1. ‫نظريـة الوتوةمـاتـــا ‪Automata Theory‬‬
‫الساسيات )1(‬
‫جاةمعة الةمة للتعليم المفتوح‬
‫م. وسام زقوت‬
‫سبتمبر 2102‬

2. ‫مصادر المادة العلمية‬
‫نظرية الحوسبة - د. أيمن حمارشة‬ 
‫النظرية الحتسابية – الجامعة المستنصرية – حسن قاسم محمد‬ 
 Introduction to theory of computation - Tom
Carter
 Automata Theory with Modern Applications -
JAMES A. ANDERSON
 Introduction to theoretical computer science -
G. Grahne

3. ‫الحوسبة ‪Computation‬‬
‫الحوسبة هي سلسلة الخطوات التي نستخدةمها في إنجاز‬ ‫‪‬‬
‫خوارزةمية بطريقة حاسوبية. أي أن الحوسبة هي خوارزةمية‬
‫نقوم بها لتحويل ةمدخلت إلى ةمخرجات.‬

4. ‫نظرية الحوسبة ‪Theory of Computation‬‬
‫نظرية الحوسبة هي المبحث الذي يختص بدراسة‬ ‫‪‬‬
‫نماذج الحواسيب )نظرية ذاتيات الحركة أو نظرية الوتوةماتا(‬ ‫‪‬‬
‫نظرية قابلية الحتساب ‪computability theory‬‬ ‫‪‬‬
‫نظرية التعقيد الحتسابي ‪computational complexity theory‬‬ ‫‪‬‬
‫وبالتالي فهي تدرس ةماهية الحواسيب، وةما الذي تستطيع‬ ‫‪‬‬
‫الحواسيب احتسابه، وةما الذي يمكن للحواسيب أن تقوم‬
‫باحتسابه بكفاءة.‬

5. ‫نظرية الحوسبة‬
‫نظرية قابلية الحتساب تدرس المسائل القابلة للحل حاسوبيا ً‬ ‫‪‬‬
‫باستخدام نماذج ةمختلفة للحوسبة، للتأكد ةمن أن تلك المسائل‬
‫قابلة للحل حاسوبيا ً.‬
‫نظرية قابلية الحتساب تستخدم آلت ةمجردة ضمن تجارب فكرية‬ ‫‪‬‬
‫لدراسة الحوسبة.‬
‫اللت المجردة النموذجية هي نماذج رياضية تقوم بتحويل الدخل‬ ‫‪‬‬
‫إلى خرج وفق ةمجموعة ةمن العمليات المصرح بها. أشهر أةمثلة‬
‫اللت المجردة هي آلة تورنج ‪.Turing Machine‬‬

6. ‫نظرية الحوسبة‬
‫نظرية التعقيد الحتسابي تدرس التعاةمل بكفاءة ةمع الموارد‬ ‫‪‬‬
‫المطلوبة في عملية الحوسبة. أشهر تلك الموارد هي الزةمن‬
‫والمكان )الذاكرة( اللزةمان لحل المسألة.‬
‫بدراسة نظرية الحوسبة، سنجد أن بعض المسائل غير قابلة‬ ‫‪‬‬
‫للحل. وبعضها يتطلب حلها ةموارد ل يمكن توفيرها )ةمثل ً‬
‫يستغرق حلها زةمنا ً طويل ً جدا ً(.‬

7. ‫المجموعات‬
‫لنفرض وجود ثل ث مجموعات ‪ A, B, C‬تنتمي للمجموعة‬ ‫‪‬‬
‫الشاملة ‪ .U‬هذه المجموعات ستنطبق عليها الخواص التالية:‬

9. ‫الضرب الديكارتي‬
‫الضرب الديكارتي ‪Cartesian product‬‬ ‫‪‬‬
‫مثلا ً افرض المجموعتين‬
‫3 ,2 ,1{ = ‪{A = {a, b} , B‬‬
‫فإن‬
‫3 ,‪({.A × B = {(a, 1)(a, 2)(a, 3)(b, 1)(b, 2)(b‬‬

10. ‫لظحظ أن‬ ‫‪‬‬
‫إل إذا تساوت المجموعتان ‪ A, B‬أو إذا كانت إظحداهما فارغة. مثلا ً إذا‬
‫إ ّ‬
‫كان: 2,1{ = ‪{A = B‬‬
‫فإن‬
‫‪=A × B = B ×A‬‬
‫= {2,1{ × {2,1{‬
‫{(1,1(, (2,1(, (1,2(, (2,2({‬
‫أو إذا كانت ‪ ∅ = B‬فإن‬
‫∅‪=A × B = B ×A‬‬

11. ‫العلاقات ‪Relations‬‬
‫‪ ‬بفرض المجموعتين ‪ A‬و ‪ ،B‬فإن أية مجموعة جزئية من‬
‫‪ A × B‬هي علةقة بين ‪ A‬و ‪B‬عادةا ً ما نرمز للعلةقة بالرمز .‬
‫‪.R‬‬
‫‪ ‬مثال: افرض‬
‫‪ { A = {a, b, c, d, e‬و 5 ,4 ,3 ,2 ,1{ = ‪{ B‬فإن‬
‫})5 ,‪{(a, 3), (a, 2), (c, 2), (d, 4), (e, 4), (e‬‬
‫هي بمثابة علةقة بين المجموعتين ‪ A‬و ‪.B‬‬
‫‪ ‬مثال:‬
‫({‪ {x, y) : x ≥ y‬ا ً هي علةقة أيضا‬
‫.‬

12. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
‫البجدية ‪ :Alphabet‬هي مجموعة منتهية من الرموز. مثلا ً‬ ‫‪‬‬
‫{1, 0{ أو {‪ {a, b‬هي أبجديات كل منها يحوي رمزين. ومن‬
‫البجديات أيضاا ً:‬
‫مجموعة أظحرف اللغة النجليزية أيضاا ً هي أبجدية.‬ ‫‪‬‬
‫{‪∑= {a, b, c, ..., z‬‬
‫مجموعة كل أظحرف ترميز السكي ‪ASCII‬‬ ‫‪‬‬
‫اضرب أمثلة أخرى‬ ‫‪‬‬

13. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
‫المتسلسلة ‪ :String‬وأحيانا ً تسمى الكلمة ‪ ،word‬هي سلسلة‬ ‫‪‬‬
‫منتهية من رموزالجبجدية. مثل ً 1101001 أو ‪.Ahmed‬‬
‫المتسلسلة الفارغة ‪ null strings‬ل تضم أية رموز. ويشار لها جبالرمز ‪λ‬‬ ‫‪‬‬
‫‪ ( (Lambda‬أو الرمز ‪ .(ε (epsilon‬وهي متسلسلة في أي مجموعة.‬
‫طول المتسلسلة يرمز له جبالرمز | ‪ .| ω‬مثل ً |00100| = 5 ، | = | ‪λ‬‬ ‫‪‬‬
‫0.‬

14. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
‫اللغة ‪ : Language‬هي مجموعة من المتسلسل ت مبنية على‬ ‫‪‬‬
‫أجبجدية ما. مثل ً }‪ {a, ab, baa‬هي لغة مكونة من عدة‬
‫متسلسل ت على الجبجدية }‪.{a, b‬‬

15. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
‫‪ ‬قوى الجبجدية ‪:Powers of an Alphabet‬‬
‫إذا كانت ∑ = }2,1{ فإنه عند رفع هذه الجبجدية إلى القوة ‪k‬‬
‫فهذا يقصد جبه مجموعة كل المتسلسل ت المبنية على ∑ والتي‬
‫طولها ‪ .k‬مثل ً:‬

16. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
‫مجموعة كل المتسلسل ت )جبما فيها ‪ (λ‬المبنية من الجبجدية ∑‬ ‫‪‬‬
‫يرمز لها جباستخدام الرمز *∑ حيث النجمة في هذا الرمز‬
‫تسمى نجمة كليني ‪ .Kleene star‬أي أن * هي مجموعة‬
‫تحتوي على كل المتسلسل ت التي طولها يساوي صفر أو أكثر‬

17. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
:‫ مثال‬
, . . .}a}* = {λ, a, aa, aaa{
:‫ مثال‬
a', 'b', 'c'}* = {λ, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba",{'
", ...}"bb", "bc", "ca", "cb", "cc
:‫ مثال‬
ab", "c"}* = {λ, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc",{"
"ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc",
", ...} "ccab", "ccc
∅* {λ} = :‫مثال‬ 

18. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
‫إذا كانت لدينا الجبجدية ∑ وكانت لدينا المجموعة ‪ L‬هي‬ ‫‪‬‬
‫مجموعة جزئية من *∑ ، فإن ‪ L‬هي لغة.‬
‫‪If L ⊆ *∑ then L is a language‬‬
‫أمثلة على اللغة: مجموعة كلما ت اللغة النجليزية، أو‬ ‫‪‬‬
‫مجموعة الكلما ت التي تبدأ جبحرف ‪ ،a‬أو مجموعة العداد‬
‫الثنائية التي تضم عدد متساوي من الوحايد والصفار، أو‬
‫مجموعة العداد الثنائية التي تبدأ جبصفر، أو مجموعة }‪{λ‬‬

19. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
‫افرض الجبجدية ∑ = }‪ {a, b, c‬فإن ما يلي هي لغات:‬ ‫‪‬‬

20. ‫الجبجديات والمتسلسلت واللغات‬
‫‪ ‬اللحاق ‪:Concatenation‬‬
‫هو إنشاء متسلسلة من دمج متسلسلتين، أي أن‬
‫‪= a1a2a3a4 . . . an ◦ b1b2b3b4 . . . bm‬‬
‫‪a1a2a3a4 . . . anb1b2b3b4 . . . bm‬‬
‫مثال: ‪aabba ◦ babaa = aabbababaa‬‬
‫مثال: 101110=‪x=011, y=101 then xy‬‬
‫مثال: إذا كانت ‪ ω‬هي متسلسلة في *∑ فإن‬
‫‪λ◦ω=ω◦λ=ω‬‬

21. ‫المشكلة‬
‫‪ ‬هل المتسلسلة ‪ ω‬تنتمي للغة ‪ L‬؟‬
‫مثله ً هل العدد الثنائي 101101110101 هو عدد أولي )أي‬
‫هل أنه ينتمي للغة تمثل مجموعة العداد الولية(؟‬
‫لّ‬
‫كيف يمكننا الاجاجبة على هذا السؤال جبنعم أو ل، وما هي‬
‫الموارد الحاسوجبية اللمزمة للاجاجبة على هذا السؤال.‬

22. ‫تمرين‬
State which of the following are true and which
are false:
 (a) {∅} ⊆ A for an arbitrary set A.
 (b) ∅ ⊆ A for an arbitrary set A.
 (c) {a, b, c} ⊆ {a, b, {a, b, c}}.
 (d) {a, b, c} ∈ {a, b, {a, b, c}}.