1. เวกเตอร์ (Vectors)
1.1 สเกลาร์ และเวกเตอร์
สเกลาร์ คือ ปริมาณทีกาหนดได้ สมบูรณ์ โดยบอกขนาดเพียงอย่ างเดียว
่
เช่ น มวล อุณหภูมิ ปริมาตร เวลา เป็ นต้ น
เวกเตอร์ คือ ปริมาณทีกาหนดได้ สมบูรณ์ โดยบอกทั้งขนาดและทิศทาง
่
เช่ น แรง ความเร่ ง ความเร็ว เป็ นต้ น
สั ญลักษณ์ ที่ใช้ แทนเวกเตอร์

2. เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วย (unit vector) คือ เวกเตอร์ ที่มีขนาดหนึ่งหน่ วย
เช่ น เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยของเวกเตอร์ เขียนแทนด้ วย
เมื่อแทนขนาดของเวกเตอร์ ด้วย
ดังนั้นเวกเตอร์ เขียนได้ เป็ น
ในระบบพิกดฉาก เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยในทิศทางบวกของแกน x, y, และ z
ั
แทนด้ วย และ

3. 1.2 องค์ ประกอบของเวกเตอร์ ในระบบพิกดฉาก
ั
การแยกเวกเตอร์ องค์ ประกอบของเวกเตอร์ ใน 2 มิติ
y เขียนเป็ นสมการได้ ว่า
หรือ
และ เป็ นเวกเตอร์ องค์ ประกอบ
 x
ของ ในแนวแกน x และ y

4. การแยกเวกเตอร์ องค์ ประกอบของเวกเตอร์ ใน 3 มิติ
z เขียนเป็ นสมการได้ ว่า
หรือ

y

x
, และ เป็ นเวกเตอร์ องค์ ประกอบของ ในแนวแกน x, y และ z

5. ตัวอย่ าง 1 จงเขียนเวกเตอร์ A ในรูปเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วย
z
3 หน่ วย
300
y
450
x
Ax = 3sin30 cos45 หน่ วย Ay = 3sin30 sin45 หน่ วย Az = 3cos30 หน่ วย
= 3(1/2)(0.707) หน่ วย = 3(1/2)(0.707) หน่ วย = 3(0.866) หน่ วย
 = 1.06 ^ + 1.06 ^ + 2.6 k หน่ วย ANS
i j ^

6. 1.3 การบวกและการลบเวกเตอร์
1.3.1 การบวกและการลบเวกเตอร์ โดยวิธีเรขาคณิต
1. วิธีโพลิกอน หรือ วิธีหางต่ อหัว
วิธีการหา

7. 2. วิธีสี่เหลียมด้ านขนาน
่
วิธีการหา

8. 1.3.2 การบวกและการลบเวกเตอร์ โดยวิธีตรีโกณมิติ
เวกเตอร์ และ ทามุมกัน เมื่อรวมกันได้ เวกเตอร์
โดยเวกเตอร์ ลพธ์ ทามุมกับ เป็ นมุม ดังรูป
ั
 

9. 1.3.3 การบวกและการลบเวกเตอร์ โดยวิธีแยกองค์ ประกอบ
แตกเวกเตอร์ ที่ต้องการรวมกันออกในแต่ ละแนวแกน
จากนั้นรวมเวกเตอร์ ประกอบในแต่ ละแนวแกนเข้ าด้ วยกัน
ตัวอย่ าง 2 การรวมเวกเตอร์ และ จะได้
แยกองค์ ประกอบของแต่ ละเวกเตอร์
1 2

10. y y
1 2 
x x
ผลลัพธ์ ในแต่ ละแกน จะได้
ทิศของ คือ

11. สมบัติการบวกและลบเวกเตอร์
ให้ , และ เป็ นปริมาณเวกเตอร์ และ m และ n เป็ นปริมาณสเกลาร์

12. 1.4 การคูณเวกเตอร์
1.4.1 dot product (scalar product) เป็ นการคูณกันของเวกเตอร์ กบ
ั
เวกเตอร์ ถ้ า และ เป็ นเวกเตอร์ ใด ๆ และ  เป็ นมุมระหว่ าง
และ ซึ่งอยู่ระหว่ าง 0 ถึง 
ผลคูณแบบ dot product สามารถเขียนได้ เป็ น

13. 1.4.2 cross product (vector product) เป็ นการคูณกันของเวกเตอร์ ซึ่ง
ผลลัพธ์ ที่ได้ เป็ นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งมีทศทางเป็ นไปตาม “กฎมือขวา”
ิ
ถ้ า และ เป็ นเวกเตอร์ ใด ๆ และ  เป็ นมุมระหว่ าง และ ซึ่งอยู่
ระหว่ าง 0 ถึง 
ผลคูณแบบ cross product สามารถเขียนได้ เป็ น
เมื่อ เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยที่มีทศทางตั้งฉากกับระนาบ AB
ิ
ผลคูณเวกเตอร์ แบบ cross product
เขียนในรูปผลคูณขององค์ประกอบ คือ


14. หรืออาจเขียนในรูปดีเทอร์ มิแนนท์ (Determinant) คือ
สมบัติพนฐานของการคูณแบบ cross product
ื้

15. ตัวอย่ าง ให้ A = 2 ^ + 3 ^ + 5 k^และ B = 3 ^^ 2 ^ + k^
i j ^ i– j ^
จงคานวณหา ก. A+B ข. A-B ค. A.B ง. A x B
ก. A+B
A+B = (2+3) ^ + (3+(-2)) ^^ + (5+1) ^^
i j k
= 5 ^^ + ^j^ + 6 ^^ ANS
i k
ข. A-B
A-B = (2-3) ^i^ + (3-(-2)) ^j^ + (5-1) ^^
k
= -i^ + 5 ^ + 4 ^k^ ANS
^ j

16. ค. A.B
A+B = (2x3) + (3x(-2)) + (5x1)
= 5 ANS
ง. A x B
^ ^ ^
A = 2 ^+ 3^ + 5 ^
i j k ^ ^ k
i j ^
B = 3 ^– 2 ^ + ^
A x B = (3x1 – 5(-2)) ^+ (5x3 – 2x1) ^ + (2x(-2) – 3x3) ^
^
i ^
j ^
k
^ ^ ^
= (3+10) ^ + (15-2) ^ + (-4-9) ^
i j k
^ ^j ^
= 13 ^ + 13 ^ – 13 ^ ANS
i k