રોજબરોજના જીવનમાં આપણે કોઈ એક જથ્થા કે સમૂહના નાનાભાગને અપૂર્ણાંકની મદદથી વર્ણવીએ છીએ. આપેલા બે અપૂર્ણાંકોની મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ સરખામણી કરવી હોય તો પણ સમમૂલ્ય અપૂર્ણાંકો મદદે આવેછે.

1. અપૂર્ણાંકોનણ
સરવણળણ, બણદબણકી,
ગુર્ણકણર અને ભણગણકણર
સુસ્મિતણ વૈષ્ર્વ
સંખ્યાઓની રસભરી દુનનયામાં પ્રાથનમક ડોકીયું

2. સિમૂલ્ય અપ ૂર્ણાંકો અને લ. સણ. અ. એ બન્નેની િદદથી આપર્ે અપ ૂર્ણાંકોનણ સરવણળણ સિી કકીુંુ.
ધણરોકે, બે અપ ૂર્ણાંકનણ છેદ સિણન છે.
દણ. ત. ૧/૧૨ +૫/૧૨.
આ બનેને સખ્યણરેખણ પર જુઓ.
A P Q B
૧/૧૨ ૬/૧૨
A થી Bનણ એક એકિનણ ૧૨ સરખણ ભણગ પડ્યણ છે. બબિંદુ P અપ ૂર્ણાંક ૧/૧૨ બતણવે છે. તેવણ જ બીજા ૫
ભણગ તેિણ ઉિેરતણ જિર્ી બણજુએ બબિંદુ Q પર આવીએ, જે અપ ૂર્ણાંક ૬/૧૨ બતણવે છે. તો ૧/૧૨ +૫/૧૨
= ૧+૫/૧૨ = ૬/૧૨ િળે.
૬/૧૨ = ૨*૩/૨*૨*૩ =૧/૨ થયણ.
આિ, બધણ અંકોનો સરવણળો કરી અંકિણ મુકો અને જે સિણન છેદ છે તે જ સખ્યણ છેદિણ મુકો
એ નનયિથી સિણન છેદવણળણ અપ ૂર્ણાંકોનો સરવણળો થણય છે.
ક્રમશઃ......

3. હવે, કોઈ પર્ બે કે વધણરે અપ ૂર્ણાંકો આપેલણ હોય અને તેનો સરવણળો કરવણનો હોય
તો?
આપેલણ અપ ૂર્ણાંકોનણ છેદ સિણન હોય તેવુ નણ પર્ હોય.
દણ. ત. ૧/૫ +૧/૨.
આ ઉદણહરર્િણ કોઈ એક એવી સખ્યણ જોઈએ જે બન્નેનણ છેદિણ લણવવણથી
છેદ સિણન બને. તે સખ્યણ ૫ અને ૨ નો લ. સણ. અ. ૧૦ છે.
હવે, ૧/૫ = (૧*૨)/(૫*૨) = ૨/૧૦, અને
૧/૨ = (૧*૫)/(૨*૫) = ૫/૧૦.
અહીંયણ ૧/૫ અને ૨/૧૦ તેિ જ ૧/૨ અને ૫/૧૦ એ બને સિમૂલ્ય
અપ ૂર્ણાંકો થયણ.
તેથી, ૧/૫ + ૧/૨ = ૨/૧૦ + ૫/૧૦ = (૨+૫)/૧૦ = ૭/૧૦.
.... આગળથી ચાલુ
ક્રમશઃ......

4. એક વધણરે દણખલો :
૩/૫ + ૧/૪.
છેદની સખ્યણઓ ૫ અને ૪ નો લ.સણ.અ. ૨૦ છે.
૩/૫ = (૩*૪)/(૫*૪) = ૧૨/૨૦,
૧/૪ = (૧*૫)/(૪*૫) = ૫/૨૦.
તેથી, ૩/૫ + ૧/૪ = ૧૨/૨૦ + ૫/૨૦ = ૧૨+૫/૨૦ = ૧૭/૨૦.
.... આગળથી ચાલુ

5. અપ ૂર્ણાંકોની બણદબણકીની રીત સરવણળણ જેવી જ છે.
એટલે કે એક અપ ૂર્ણાંકિણથી બીજો અપ ૂર્ણાંક બણદ કરવો હોય, ત્યણરે પહેલણ આપર્ે છેદ
સરખણ કરીએ છીએ.
પછી અંકિણ, પહેલણ અપ ૂર્ણાંકનણ અંકિણથી બીજા અપ ૂર્ણાંકનો અંક બણદ કરીને તેને
જવણબનણ અંકિણ લખવણનો રહે.
દણ.ત.
૪ પ ૂર્ણાંક ૩/૫ - ૧ પ ૂર્ણાંક ૨/૩ = ૨૩/૫ - ૫/૩
હવે છેદિણ જે ૫ અને ૩ છે તેનો લ.સણ.અ. ૧૫ થણય છે.
૨૩/૫ = (૨૩*૩)/(૫*૩) = ૬૯/૧૫,
એ જ રીતે ૫/૩ = (૫*૫)/(૩*૫) = ૨૫/૧૫
આિ, ૨૩/૫ - ૫/૩ = ૬૯/૧૫-૨૫/૧૫ = (૬૯-૨૫)/૧૫ = ૪૪/૧૫ = ૨ પ ૂર્ણાંક ૧૪/૧૫

6. હવે, આપર્ે અપ ૂર્ણાકોનણ ગુર્ણકણર કેવી રીતે થણય છે તે સિી એ.
સરવણળણ, બણદબણકીનણ કરતણ ગુર્ણકણર ઓછી િહેનતથી થણય છે.
આપેલણ બે કે તેથી વધણરે અપ ૂર્ણાંકોનણ અંકિણ રહેલી સખ્યણઓને ગુર્ણકણર કરીને િળેલી
સખ્યણ જવણબનણ અંકિણ રહે છે અને છેદિણ રહેલી સખ્યણઓને ગુર્ણકણર કરીને િળેલી સખ્યણ
જવણબનણ છેદિણ રહે છે.
આ જવણબ તેનણ સબિપ્ત રુપિણ હોવો જોઈએ, એટલે કે તેનણ અંક અને છેદની વચ્ચે જેટલણ
સણિણન્ય અવયવો હોય તેને ઉડ્ણડ્યણ પછી િળેલો અપ ૂર્ણાંક.
દણ. ત.
૨/૩ * ૫/૭ =(૨ * ૫)/(૩ * ૭) = ૧૦ / ૨૧.
૨/૩ * ૭/૮ = [૨ * ૭] /[૩ * ૮] = (૨ * ૭) / (૩ * ૨ * ૨ * ૨) = ૭ /(૩ * ૨ * ૨)
=૭ / ૧૨.
(૪/૫) * ૧૫ = [૪ * ૧૫]/ [૫ * ૧] = (૪ * ૩ * ૫)/(૫ * ૧) = ૪ * ૩ = ૧૨.

7. કરુઆતિણ એક વ્યણખ્યણ સિી એ.
કોઈ અપૂર્ણાંકનણ અંક અને છેદને એક્બીજાિણ બદલી કણઢવણથી િળતો નવો
અપૂર્ણાંક, મૂળ અપ ૂર્ણાકનો વ્યમત કહેવણય.
દણ.ત. ૩/૭ નો વ્યમત ૭/૩, ૧/૨ નો વ્યમત ૨/૧ = ૨ થણય.
હવે, અપ ૂર્ણાંકોનણ ભણગણકણર કરવણની રીત આ છે.
બે આપેલણ અપ ૂર્ણાંકોનો ભણગણકણર એટલે પહેલણ અપ ૂર્ણાંક સણથે બીજા અપ ૂર્ણાંકનણ વ્યમતનો
ગુર્ણકણર.
દણ. ત.
(૨/૩) /(૩/૪) = (૨/૩) * (૪/૩) = (૨*૪) /(૩*૩) = ૮/૯.
(૩/૪)/(૨/૩) = (૩/૪) * (૩/૨) = (૩*૩)/(૪*૨) = ૯/૮, એટલે કે ૧ પ ૂર્ણાંક ૧/૮
અહીં એ નોંધો કે ભણગણકણર કરતી વખતે પહેલો અને બીજો અપ ૂર્ણાંક એવણ ક્રિનુ
ધ્યણન રણખવણનુ છે.

8. [૩ પ ૂર્ણાક ૧/૨]/(૭/૧૨)
= (૭/૨)/(૭/૧૨) = (૭/૨)*(૧૨/૭) = (૭*૧૨)/(૨*૭) = ૭*૨*૨*૩/૨*૭ =૨*૩ = ૬
(અંક અને છેદિણ સણિણન્ય અવયવો, ૨ અને ૭, ઉડ્ી જાય છે.)
[૨ પ ૂર્ણાંક ૩/૪]/[૩પ ૂર્ણાંક ૧/૩]
= (૧૧/૪)/(૧૦/૩) = (૧૧/૪) * (૩/૧૦) = (૧૧*૩)/(૪*૧૦) = ૩૩/૪૦.
.... આગળથી ચાલુ

9. રોજબરોજનણ ી વનિણ આપર્ે કોઈ એક જથ્થણ કે સમૂહનણ નણનણભણગને અપ ૂર્ણાંકની િદદથી
વર્ાવીએ છીએ.
જેિ કે કણળણનણ વગાિણ પોર્ણ ભણગની સખ્યણ છોકરણઓની છે, અને વગાિણ કુલ્લે ૬૦
નવદ્યણથીઓ છે.
તો છોકરણઓની સખ્યણ ૬૦નો પોર્ો ભણગ =
૬૦ * (૩/૪) = (૬૦*૩) / ૪ = (૪*૧૫*૩)/૪ = ૧૫*૩ = ૪૫.
ધણરો કે એક ઘરિણ બણળકોનણ નકિર્નો ખચા કુલ્લ ઘરખચાનો પણચિો ભણગ છે, અને ઘરખચા
િણનસક રુ. ૧૦,૦૦૦ છે.
તો, નકિર્ખચા = ૧૦,૦૦૦ * (૧/૫) = ૧૦,૦૦૦/ ૫ = (૫*૨૦૦૦ ) / ૫ = રુ. ૨૦૦૦
આિ, આપર્ે રોજીંદણ ી વનિણ અપ ૂર્ણાંકોનો છૂટથી ઉપયોગ કરીએ છીએ.

10. એક છેલ્લો મુદ્દો-
આપેલણ બે અપ ૂર્ણાંકોની મૂલ્યની દ્રષ્ષ્ટએ સરખણિર્ી કરવી હોય તો પર્ સિમૂલ્ય અપ ૂર્ણાંકો
િદદે આવે છે.
ધણરો કે ૨/૫ અને ૩/૧૦ એ બેિણથી ક્યો િોટો?
બે છેદ ૫ અને ૧૦ નો લ.સણ.અ. ૧૦ છે. ૨/૫ = ૨*૨ / ૫*૨ = ૪ /૧૦.
૪/૧૦, ૩/૧૦ કરતણ િોટો છે.
એટલે કે ૨/૫,એ ૩/૧૦ કરતણ િોટો છે.
સકેતિણ તેને આિ લખણય : ૨/૫ > ૩/૧૦
ક્રમશઃ......

11. બીજો દણખલો-
૧/૬ અને ૨/૯ િણથી ક્યો અપ ૂર્ણાક નણનો છે?
બે છેદ ૬ અને ૯ નો લ.સણ.અ. ૧૮ છે.
૧/૬ = (૧*૩)/(૬*૩) = ૩ / ૧૮; ૨/૯ = (૨*૨)/(૯*૨) = ૪ / ૧૮.
૩/૧૮ એ ૪/૧૮ કરતણ નણનો છે.
એટલે કે ૧/૬ એ ૨/૯ કરતણ નણનો છે.
સકેતિણ તેને આિ લખણય : ૧/૬ < ૨/૯.
.... આગળથી ચાલુ