A história do ábaco e do sistema decimal

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Parte I

1. Dez é um número agradável

Mencione o número 10, e as pessoas dirão, “Agora temos um número agradável”.
E é. Está conosco por todo o tempo. Olhe suas mãos e você verá dez dedos. As pessoas são
equipadas desde o nascimento com duas mãos com cinco dedos em cada. um total de dez dedos.
O que nós há pouco escrevemos é conhecida como uma declaração matemática. Mas tais
declarações têm que ser demonstradas. E o modo de demonstrar que cada pessoa tem dez dedos
simplesmente é contar os dedos. Nada é mais fácil; você não precisa ser um matemático para contar
até dez.
Claro que, contar dedos é muito simples. Da mesma maneira, é uma idéia importante aprender usar
um ábaco a idéia de agrupamento através das dezenas.
Um nome mais comum para esta idéia é o “sistema decimal”, um nome cujos responsáveis são os
romanos. Nossa palavra “decimal” vem do latim Decem e significa dez. A palavra "ábaco" em inglês
também vem diretamente do latim; este era o nome que os romanos davam ao seu tipo de
computador.
Os romanos não foram os primeiros a usar um computador baseado no sistema decimal. Eles
tomaram emprestado o ábaco dos Gregos que o chamavam de abax, que em troca, já tinham
tomado emprestado de até mesmo de povos mais antigos. As chances são que os primeiros homens
que vestiam peles de animais ainda não tinham inventado um dispositivo de calculo realmente útil,
mas eles tinham idéia do sistema decimal.
Eles devem ter usado os seus dez dedos para contar, da mesma maneira como às vezes contamos
hoje.
De fato, nossa palavra dígito significa dedo e número.
Imagine uma transação entre dois homens das cavernas. A pessoa entra na caverna com um pacote
de peles de tigre sobre o ombro. Ele as põe no solo e diz: consegui seis peles para você. Eu te dei
sete peles outro dia, se você se lembra, isto significa que você tem agora treze peles.
Errado! O outro afirma. Você me deu no total doze peles. Seis e sete são doze.
O primeiro homem olha o outro surpreso. Isso mostra como ignorante você é, ele diz. Olhe aqui. E
ele começa a contar com seus dedos e prova ao outro homem sete mais seis são treze.

O uso dos dedos para calcular serve para contar muito bem quando algumas peles de tigre estão
envolvidas. Mas o que acontece quando algo maior deve ser contado, por exemplo, clamshells, como
algumas tribos índias americanas usavam no seu comércio? Como um homem rico poderia somar,
digamos, 87 conchas com 926 conchas? Se ele tivesse que confiar nos dedos para obter a resposta,
ocuparia horas. Com algum tipo de máquina de calcular, como um ábaco, pode-se fazer o trabalho
rápido e facilmente.
Você pode fazer esta adição?

2. Os anciães.

A Rainha Branca perguntou. Quanto é um e um e um e um e um e um e um e um e um e um.
Eu não sei, disse a Alice. Eu perdi conta.

Uma pergunta torna-se fácil responder se for posta na forma escrita.
Mas quando a pergunta é falada, a uma velocidade normal, não é fácil de manter a atenção.
E isso é uma das coisas que os matemáticos querem dizer quando falam de uma sensação numérica:
a habilidade de reconhecer uma quantidade imediatamente sem ter dificuldade de contá-la. A
maioria de nós, olhando um grupo de quatro bolas, por exemplo, podem reconhecer que há apenas
quatro no grupo. Nós podemos reconhecer até mesmo cinco. Mas para sete ou mais, teríamos que
fazer algumas contas. O homem primitivo tinha o provavelmente mesmo tipo de sensação sobre os
números, mas isso estava além do limite da matemática deles. Nem sequer a sua habilidade para
contar era muito forte. Eles devem ter usado palavras no seu idioma falado para dois ou três, ou até
mesmo doze ou treze. Mas as chances são que eles não tinham palavras para quantidades maiores
que estas. Eles usavam muitas expressões para descrever grandes quantias simplesmente porque
eles não podiam contar.

Sancle Porchera Página 1 de 64 21/12/2009

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Embora o homem primitivo tivesse um idioma falado, ainda não tinha como inventar um modo de
escrever suas idéias. O melhor que poderia fazer era desenhar figuras. Nós sabemos que era um
artista inteligente porque deixaram esboços nas cavernas em todo mundo. Mas iria levar milhares de
anos antes deles registrarem suas idéias para que outros pudessem ler e entender o que ele estava
tentando dizer exatamente. E iria levar até muito mais tempo antes deles inventarem um modo de
calcular. Até mesmo antes que achassem um modo de escrever números, tinha um modo de manter
registros.
Os moradores das cavernas freqüentemente usavam uma ovelha; precisavam das peles para se
vestir, do seu leite e carne para comer, e os chifres para instrumentos musicais simples. Ele deve ter
descoberto como contar suas ovelhas quando elas se agrupavam à noite, e as contavam novamente
pela manhã. Como o homem primitivo fez se apenas poderia contar com os seus dedos para manter
o registro do seu rebanho de ovelhas? Talvez ele usou um punhado de pedras. Para toda ovelha,
jogava uma pedrinha em uma panela; de manhã, tirava uma pedrinha da panela para toda ovelha
que saia. Se ele ainda achasse uma pedrinha na panela mesmo de todas as ovelhas saírem, saberia
se um lobo havia capturado uma delas ou se o morador vizinho o teria roubado. Assim, um grupo de
contas pode ter sido a primeira máquina de calcular. Nosso próprio idioma indica isso. Se você
observar a palavra "calcule" no dicionário, você verá que vem do latino formule cálculo que significa
“pedrinha ou conta".
Como o passar do tempo, o homem primitivo deixou as cavernas e construiu cabanas com paredes
ao redor deles para se proteger contra lobos e tribos ferozes errantes. As pessoas nestas pequenas
cidades se mantinham confortáveis. O que eles não usavam comerciavam com outros e trocavam
seus produtos por coisas que eles precisavam. Não havia só o comercio dentro das cidades, mas
também entre eles, e com o crescimento do comércio criou-se o sistema monetário. E com o dinheiro
vieram os escriturários e contadores, homens que não só poderiam ler e escrever, mas também
podiam somar, subtrair, multiplicar e dividir. Uma simples panela de pedras não era bastante para
estes homens que lidavam com somas muito grandes. Eles precisavam de um sistema de cálculo.
Mas que tipo de sistema usaram eles? A Babilônia, uma cidade que floresceu há milhares de anos
atrás na Ásia Menor, tinha um idioma escrito cuneiforme. O papel era então desconhecido assim à
escrita era feita em blocos de argila. Então o bloco com seus sinais curiosos era cozido em um forno
para endurecer. Alguns destes blocos ainda existem em vários museus do mundo; arqueólogos,
cientistas que os estudam tentam entender o seu significado, eles sempre estão desenterrando
outros. Os babilônicos usaram um sistema numérico que também tinha a forma de cunha nas suas
letras. O sinal do 1, não era muito diferente do nosso.
Um babilônico que quisesse escrever um 4 simplesmente gravaria mais destes símbolos no bloco:

Eram parecidos com bandeiras, mas não eram nada mais do que o nosso número 4.

Para 10, eles usavam o sinal:

Para escrever um número como 19 devem ter tido um bocado de trabalho mesmo, porque o antigo
contador tinha que gravar no bloco:

O qual, como você pode ver, pode ser um 10 seguido por nove 1's e para completar assim 19.
O número 21 seria escrito.


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Com dois 10`s e um 1, o total é 21.
Podemos imaginar um babilônico inteligente que inventa uma máquina de calcular simples.
Ele registraria 21 sobre os vários blocos de argila, e faria seus cálculos levando alguns dos blocos ou
adicionando outros. Por exemplo, se ele quisesse subtrair 8 de 19, ele usaria os blocos necessários
para obter os 19:

Então, tomando oito blocos menores, ele teria:

O qual ele reconheceria imediatamente como onze. Uma coleção destes blocos deveria esta à mão
do colegial babilônico que deveria tomar certos cuidados para não danificar o bloco a ser usado na
sua lição. Os antigos egípcios que construíram as grandes pirâmides e estátuas enormes, esplêndidas
como a Esfinge, tinham algo que os babilônico não tiveram. Era um tipo de papel conhecido como
papiro obtido de canas que crescem no rio Nilo. É certamente mais fácil escrever em um rolo de
papel do que em um bloco de barro, assim os egípcios obtiveram grande vantagem sobre os
babilônicos. Mas em se tratando de sistemas numéricos, não há muita escolha entre os sistemas dos
dois povos. Os egípcios tinham o mesmo sistema dos babilônico exceto que eles usavam sinais
diferentes. Naquele sistema:

Era o sinal para 1.

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Era o sinal para 10.

Era o sinal para 100.

Era o sinal para 1.000.


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Era o sinal para 1.000.000.

Eles tiveram outros, mas estes eram o sistemas mais freqüentemente usado. O primeiro sinal, um
traço vertical, não é muito diferente do nosso. Supõe-se que o próximo representava um osso de
salto de sapato, o terceiro era um rolo de papel, e o quarto em uma flor de loto, uma planta que os
egípcios amavam. O último significava um homem com os braços levantados. Para os egípcios, um
milhão representava uma tremenda soma.
Os egípcios escreviam, não como nós fazemos, da esquerda para a direita, mas na direção oposta,
da direita para esquerda. O seu modo de escrever o número 123, por exemplo, era o primeiro
símbolo, o primeiro no lado extremo direito, é o rolo de papel. Da lista acima, nós podemos ver a
representação do 100. Logo, temos dois ossos de salto de sapato. Cada quantia representa 10, e
ambos juntos dão 20. Junte isto aos 100 do rolo de papel, e nós temos um total de 120. Finalmente,
há três traços verticais, de forma que para o número inteiro lemos 123 como escrevemos no modo
moderno.
Os egípcios não se preocupavam com a ordem com que escreviam os seus números. E no seu
sistema, realmente não importava a ordem. Até mesmo se nós escrevêssemos esses mesmos sinais
egípcios deste modo:

Ainda temos o numero 100, os dois símbolos de 10, e os três símbolos verticais. E nós ainda os
somamos para obter 123. Os romanos que criaram uma grande civilização há milhares de anos, e
mesmo assim depois dos egípcios, estava um pouco mais preocupados com o sistema de número. A
ordem na qual um número romano era escrito causava uma diferença.
Primeiro olhemos os sinais que os romanos usavam para os números. Em lugar de trabalhar com
figuras como os egípcios, tinham um alfabeto para escrever suas cartas e números. Se estes sinais
lhe parecem familiares: o alfabeto inglês tem origem no idioma latino dos romanos.

No sistema romano,

I é o sinal para 1;
V é o sinal para 5;
X é o sinal para 10;
L é o sinal para 50;
C é o sinal para 100;
D é o sinal para 500;
M é o sinal para 1.000.

Nós usamos o termo “é” porque este sistema numérico não morreu como o Império romano. Nós
ainda o usamos, e de fato, você pode achar estes sinais em qualquer nota de dólar. Se você olhar a
parte posterior da nota, você verá, dentro de um círculo à esquerda, uma pirâmide com esta
inscrição a sua base: MDCCLXXVI

Definitivamente é um número. E para nos ajudar, nós podemos entender que número é este.
Diferentemente dos egípcios, os romanos escreviam a partir da esquerda para a direita; o primeiro
sinal, então, é M que vale 1000 de acordo com a nossa lista.
O próximo sinal, D, é 500 que significa que MD vale 1500.
O próximo dois C's valem cem cada, de forma que MDCC dá 1500 mais 200, ou seja, 1700.
Depois disso, nós temos a letra L, ou 50. Adicionando isto ao MDCC temos um total de 1750.
Agora adicione o dois X's que juntos valem 20. Somado a 1750 temos 1770.

Finalmente há o V e o I, que valem 5 e 1, ou 6. O número inteiro é vale 1776.
Assim sendo, o sistema romano se parece um pouco com o egípcio.
Mas os romanos tinham uma regra que os egípcios não tinham: quando um sinal de baixo valor era
colocado antes de um sinal de valor superior, o número menor era subtraído do maior. No numeral
IX, por exemplo, o I que tem um valor 1 entra antes do X que representa 10. Assim o valor da
combinação IX é 10 menos 1, ou 9. A mesma regra se aplica ao número IV que é 5 menos 1 ou 4.


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Mas VI vale 6 porque aqui o número 1 vem depois do número V que significa que devemos somar 5
mais 1.
Assim nós podemos dizer que a ordem dos sinais no sistema romano é importante, importa onde os
sinais são colocados: VI é diferente de IV, XL (40) é diferente de LX (60), CM é 900 enquanto MC é
1100, e assim por diante.
Como os romanos antigos calculavam com este sistema estranho? Bem, não era fácil, mas não havia
dificuldade em usa-lo, pois isto era o melhor que tinham. A adição não era tão difícil; para somar
dois números, você simplesmente agrupa todas as letras de mesmo valor. Por exemplo, somar VII
para VIII (7 a 8), você grupa os V's e os I's: VVIIIII. Podemos ver que este resultado é 15, porque
tem dois V's, ou 10, mais 5 I's, ou 5. Porém, um romano não gostaria de olhar assim esta resposta
VVIIIII. Ele mudaria o dois V's por um X ,que equivale a dez. Então mudariam IIIII que nos
confunde visualmente por um V. E a resposta seria XV.
A subtração era um pouco mais complicada. Suponha que gostaríamos de subtrair XX de L. Você não
poderia fazer a operação sem antes mudar o L em seu número pelo seu equivalente em X's; desde
que L é 50, seu equivalente é XXXXX. Agora nós podemos fazer a subtração simplesmente
removendo dois desses X. Três X permanecem, o resultado é XXX, ou 30.
Não pergunte se a multiplicação e a divisão no sistema romano era tão fácil. Elas eram terríveis.

3. Os sistemas modernos

O sistema numérico moderno é chamado o sistema de Hindu-Árabe porque provavelmente foi
inventado na Índia e veio para o mundo ocidental através Arábia. Nós dizemos, provavelmente,
porque ninguém está realmente seguro de onde, como, e por quem foi exportado.
Uma vantagem deste sistema sobre os outros que vieram antes é que com apenas dez sinais onde se
pode expressar qualquer número, não importa quão grande seja. Outro sistemas, babilônico, egípcio,
e o romano tinham só alguns sinais que tinham de ser usados repetidamente para criar alguns
números, que tornava estes cálculos reconhecidamente difícil. Os gregos antigos e hebreus usavam
quase que alfabetos inteiros como sinais representativos dos seus números, que tornaram as coisas
bem mais complicadas.
Os dez sinais do sistema decimal moderno são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 0. Um velho manuscrito
espanhol escrito aproximadamente há mil anos atrás, os dígitos se pareciam com:

De fato, nesta época as pessoas tinham seu método próprio de escrita. Pouco tempo depois os
símbolos numéricos adquiriram a forma presente. Quando você observa nosso sistema decimal, você
ainda nota algumas coisas estranhas nele. Em primeiro lugar, não existe um sinal para o número 10,
embora seja um sistema decimal baseado naquele número. Há um sinal diferente para todo número
até nove, lá até existe mesmo um sinal para nada, o zero, quando chegamos em dez, nós temos que
combinar de repente dois sinais, um 1 e um 0 colocados lado a lado, assim. 10. Por que?
Achar obter a resposta para esta pergunta, veja este diagrama:

Esta é a figura do dial de um cronômetro. Cada um dos números nele representa os segundos.


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Suponha que este relógio está nas mãos de um juiz em uma luta de boxe. Um dos pugilista tira
proveito do fato que a guarda do oponente está baixa o acerta com um direto na mandíbula. O
homem vai à lona. No momento em que ele cai, o juiz aperta o botão do cronômetro, e o ponteiro
começa a girar.
Ao término de um segundo, ele aperta o botão na posição 1; ao término de dois segundos, aperta o
botão na posição 2; e assim por diante. Após dez segundos, a o ponteiro completou uma volta ao
redor do dial e permanece agora na marca zero
O juiz declara então que o pugilista foi nocauteado (kayoed), como os comentaristas esportivos
comentam. Suponhamos, agora, que enquanto tudo isso acontecia, o técnico do lutador nocauteado
estava conversando com os amigos dele. Sem noção que seu lutador foi derrubado, ele interpela o
juiz.
Por que você parou a luta?. “Porque seu homem foi nocauteado, diz o juiz”.
Oh, ele foi ? O gerente diz sarcasticamente. Mostre para mim.
O juiz mostra o cronômetro em sua mão que apontando para o zero.
Isso não representa nada, diz o técnico. “Ah, mas faz, o juiz responde. Ele tira”. um pedaço de papel
do seu bolso e escreve zero nele. Ele diz, “é o zero do cronômetro que agora está registrado. E que
ele escreve um 1 à esquerda do zero, é o número de tempos registrado ao redor do dial. Assim a
conta é dez, e seu lutador foi derrotado”.
E, claro que, ele tem razão. Pressionando o botão nas dez paradas sucessivas ao redor do dial, o
cronômetro contou 10 que ilustra como nosso sistema decimal Hindu-Árabe moderno funciona.
Depois de passar por dez unidades, o dígito inicial retorna a 0, e um 1 é posto antes dele. Se a
contagem continua, o dígito a direita vai de O para 1, de 1 a 2, e assim por diante, até que alcançar
9 novamente. Então retorna a O enquanto, ao mesmo tempo, o dígito à esquerda muda de 1 para 2.
Assim, em qualquer número com dois dígitos 87, por exemplo, o dígito à direita representa o número
de unidades enquanto o dígito à esquerda representa o número de dezenas.
Imagine que você está caminhando ao longo de uma estrada e um disco voador voa sobre sua
cabeça. A porta do disco se abre e de lá sai uma criatura estranha. Ele se dirige a você. É do planeta
Júpiter e veio a Terra para verificar quanto nossa ciência avançou. Ele pede que você explique nosso
sistema numérico.
Como você explicaria isto? Você poderia começar deste modo.
Em primeiro lugar, meu amigo Jupteriano, o nosso é um sistema posicional. Isso significa que se a
posição ou a ordem dos dígitos em um número muda, seu valor muda.
A criatura se espanta, mas entendo, ele diz. E agora?
Agora, você continua, se um dígito é escrito isoladamente, sempre representa a unidade, através das
unidades, as coisas são contadas; botões, bananas, balões, ou tudo mais. Por exemplo, se você
escreve o número 8 em um pedaço de papel, ele representa oito unidades.
O Jupteriano toma nota em seu caderno. Eu entendi bem. Por favor, continue.
Agora, se eu escrevo outro dígito à esquerda do 8, o novo dígito está na posição das dezenas.
Suponha que vamos escrever um 4 à esquerda de 8, assim,: 48.
Quanto dezenas temos? Quatro.
E quatro dezenas perfazem.. Quarenta, diz a criatura.
Correto, você diz com um sorriso.
Mas e o 8? Ainda representa as unidades?
Claro. E quarenta mais oito são quarenta oito. Assim o sinal 48 é lido deste modo.
Bom, ele diz e escreve no seu caderno. Agora, o que aconteceria se nós trocássemos os dois dígitos
do 48 transformando-o em 84. Ainda será a mesma quantia?
Oh não, Absolutamente não. Porque agora o 8 está na posição das dezenas e representa o valor
oitenta, e o 4 está na posição das unidades, de forma o número oitenta e quatro. E isto certamente
não é o mesmo que quarenta e oito. Lembre-se, eu disse que nosso sistema é posicional, isto
significa que temos que ter cuidado onde posicionamos estes dígitos.
Eu estou começando a ver luz do dia, diz o jupteriano. Agora como você chama o digito colocado à
esquerda do 4 em 48? Isso é o lugar das centenas.
Vamos supor que temos um 9 à esquerda do 4 para criar o número 948, haverá nove centenas,
quatro dezenas, e oito unidades e temos o número novecentos e quarenta e oito.
Agora ele entende completamente o sistema.
Ah! ele diz, eu percebi que seu sistema está baseado no dez; é um sistema decimal. Um dígito
sozinho representa as unidades; um dígito à esquerda das unidades vale dez vezes mais, ou


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dezenas. Um dígito escrito mais à esquerda disso vale dez vezes as dezenas, ou centenas. Suponho
que outro digito mais à esquerda representa os milhares.
Exatamente, você diz, porque mil vale dez vezes dez vezes dez. Se puséssemos outro dígito à
esquerda de 948, digamos 2, teríamos 2948, o 2 estaria na posição dos milhares, 9 na posição das
centenas, 4 na posição das unidades.
Não se preocupe com o resto, diz o jupteriano. Eu sou um astronauta muito ocupado, você sabe. A
propósito, você tem computadores aqui na Terra? De todos os tipos. Talvez até mesmo mais do que
vocês lá em Júpiter. Por exemplo, há um pequeno deles chamado ábaco.

4. Conhecimento oriental

Nós temos tanto papel ao nosso redor que não podemos imaginar um dia sem blocos, sem papel de
cartas ou envelopes, recibos, notícias, documentos e revistas. Com freqüência, se você quer um
pedaço de papel para rabiscar, ou para descobrir quantos dias ainda faltam para o Natal, tudo que
você precisa fazer é calcular. E você normalmente pode calcular tudo isto sem sair da sua cadeira.
O mesmo se aplica ao lápis. Mas as coisas nem sempre são tão fáceis. Como vimos, os antigos
babilônicos tiveram toda sorte de problemas com os blocos de argila.
Os egípcios, claro que, tiveram o papiro. Mas não é fácil de colher canas que cresciam as margens
do rio em papiro com ferramentas do tipo mais simples. Além disso, só um punhado de homens
qualificados sabiam faze-lo, e tinham o cuidado de manter isso em segredo.
Então como o homem fazia os pequenos cálculos que todo o mundo tem que fazer de vez em
quando? Não sabemos com certeza, mas podemos adivinhar. Eles simplesmente criavam uma série
de linhas horizontais no solo deste modo:

A linha inferior representava as unidades, a segunda as dezenas, a terceira as centenas, a quarta os
milhares, e assim por diante. Às vezes, porque todas estas linhas não eram suficientes, o homem
que fazia o calculo, nós o chamaremos de "operador" criava uma marca, um X, na linha dos milhares
para identifica-lo separadamente dos outros. Para formar seus números, o operador colocava pedras
sobre as linhas. Por exemplo, o número 132 era criado pondo duas pedras na primeira linha, ou linha
das unidades (porque o último dígito é 2 unidades), três pedras na segunda, ou linha das dezenas
(porque o próximo dígito é 3 dezenas), e uma pedra na terceira linha (porque o primeiro dígito é 1
uma centena).
Quando o operador terminava seu trabalho, o padrão das pedras se parecia com:

Agora, suponha que ele desejasse somar 61 a 132. Já que havia a unidade 1 neste número, ele
colocava s uma pedra mais abaixo, ou seja, na linha das unidades. E desde que já havia 6 dezenas,
ele colocava mais seis pedras na segunda linha, a linha das dezenas. E teria algo como isto:

Que está perfeitamente correto, mas era preciso contar todas essas pedras posicionadas na segunda
linha. Isso leva tempo. Alguém mais inteligente e mais sábio teria colocado uma pedra adicional na
linha das dezenas, e uma segunda conta no meio e outra entre a segunda e terceira linhas para
representar um 5, assim,:


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Este resultado é mais fácil ler. Uma única pedra sobre a terceira linha mostra que há uma centena a
ser incluída na soma. Há quatro contas na linhas das dezenas, e como há uma conta entre a
segunda e terceira linhas que representa 5, nós temos um total de 9 dezenas, ou 90. Some a estas
três pedras sobre a linha das unidades, e nós teremos a resposta para 132 mais 61 dá 193.
Para um operador experiente, a resposta está tão clara quanto o dia. Uma vez tendo posicionado as
pedras nos lugares corretos, ele pode à primeira vista visualizar o resultado final. Na verdade não foi
necessário escrever qualquer número, não teve que registrar nada sobre um papiro com uma caneta,
nem precisou cozer qualquer bloco de barro. O único equipamento necessário foi um bastão para
desenhar as linhas no solo e algumas contas.
Como sabemos se tal dispositivo na verdade existiu? Porque um bloco com tais linhas e um tal um X
foi desenterrado por arqueólogos na ilha de Salames na Grécia. O bloco está agora no Museu do
Egito em Atenas. Isto representa dizer que mesmo antes de inventarmos nosso sistema atual, outras
pessoas tinham um sistema posicional em mente. Nós podemos ver isto mais claramente se nós
girarmos o bloco para a direita, de forma que suas linhas passem a estar na vertical em vez da
horizontal. Ao mesmo tempo, numeraremos essas linhas para sabermos o que é o que:

O bloco que antes se parecia uma grade; agora parece uma fila de colunas. Mas ainda é o mesmo.
Como antes, o X marca a linha dos milhares ou coluna, através disto podemos dizer que a coluna um
é ainda a linhas das unidades, a coluna dois a linha das dezenas, a coluna três a linha das centenas,
e assim por diante. Isto é exatamente igual ao sistema posicional explicado no último capítulo; só
então falamos sobre a posição dos dígitos, enquanto aqui falamos sobre a posição das colunas.
Veremos que o ábaco segue o mesmo sistema. De fato, podemos dizer que este bloco antigo é o avô
herói deste livro. Podemos ver como um bloco como este está bem à mão. A dificuldade com isto,
entretanto, eram as pedras usadas pelos contadores que sempre estavam se perdendo, assim
alguém decidiu que seria uma boa idéia ter barras em vez de linhas, contas que deslizavam de cima
para baixo nas barras, em vez de pedras. Deste modo, as contas fazem parte do próprio instrumento
e com certeza não se perdem.

Há muitas opiniões sobre o assunto, mas a maioria dos historiadores imagina que este ábaco
primitivo foi criado primeiro na Ásia Central, em algum lugar daquela vasta extensão de terra, na
antiga União Soviética. De lá, disseminou-se para Oeste e para a Europa, e chegou à China e aos
países orientais vizinhos. Os europeus não o adotaram; eles preferiram fazer cálculos em papel, com


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caneta e tinta. Por outro lado, os chineses o adotaram calorosamente, eles perceberam que
poderiam fazer seus cálculos mais rapidamente através das contas deslizando do que fazendo os
cálculos no papel.
Eles gostaram tanto disto que logo criaram um modo de melhora-lo. Em vez de usar nove contas em
cada coluna, eles usaram sete. Duas destas sete tinham o valor cinco cada, enquanto as outras cinco
tinham o valor um cada. Então, para ter certeza que as contas que valiam cinco não fossem
confundidas com as contas que valiam um, eles puseram uma barra transversal na parte superior da
estrutura para separar os dois tipos de contas:

Nós podemos dizer que temos assim o "ábaco chinês moderno" embora os chineses o tenham usado
por séculos. Ele tem muito a oferecer. É simples, é processado manualmente e não através da
eletricidade, como tantos de nossos computadores são, e funciona por muitos anos sem acidentes
sem ter que ser consertado. Não há peças que se quebram, significando que nenhuma peça
sobressalente se faz necessária. Ainda, nas mãos de um perito, pode resolver alguns problemas tão
rapidamente quanto um computador moderno como mostrado na figura esboço, a barra transversal
divide a estrutura em duas áreas, a menor das duas em cima, a maior em baixo. Como pessoas
românticas, os chineses chamam seção superior de “CÉU” e a inferior de "TERRA".
Claro que, nós podemos dar as duas seções nomes ordinários como “parte de cima ou parte de
baixo”, mas seria um crime roubar do ábaco sua poesia. Como dissemos antes, as duas contas do
céu valem 5 cada, enquanto as contas da terra valem 1 cada. Isto é verdade para todas as colunas.
A maioria dos ábacos, como mostrado na figura, tem nove colunas, embora existam vários com
onze, treze, ou mais. Naturalmente, quanto maior for o número de colunas, maior os resultados que
o ábaco pode produzir.
Antes que os cálculos comecem, o operador põe o ábaco sobre uma mesa e faz com que todas as
contas do céu estejam na parte superior da estrutura, enquanto todas as contas de terra estão na
parte inferior, conforme demonstrado no desenho. Isto é conhecido como “limpar ou clarear" o
ábaco.
Para fazer cálculos, o operador posiciona as contas apropriadas para cima ou para baixo na barra
transversal. As contas da terra são promovidas, claro que, enquanto as contas de céu são
rebaixadas. Para eliminar números do cálculo, movemos as contas da barra transversal para cima ou
para baixo
Como peritos no uso do ábaco, os chineses desenvolveram também um modo fácil de manipula-lo.
Eles usam o dedo indicador e o dedo polegar da mão direita para deslizar as contas; os dedos
restantes não participam do processo,
O dedo indicador tem o trabalho de controlar as contas do céu, o dedo polegar faz o mesmo para as
contas da terra. O que você faz com sua mão esquerda não é importante; você pode usa-la para
fixar o ábaco que normalmente é uma boa idéia. Esta regra também se aplica às pessoas que são
canhotas. Para manter o ábaco na posição, enquanto você está trabalhando, o melhor lugar é um
lugar plano, uma mesa, ou talvez em seu colo. Mas a estrutura deve ficar no plano. Ao inclina-la
você pode deslocar as contas do céu que desliza para a terra como se fossem anjos caídos. Isto
atrapalha seus cálculos.
E isso representa a informação suficiente para qualquer pessoa que deseje usar este mecanismo
notável. O resto depende de prática e bom senso. Prática para ganhar velocidade; e bom senso é
necessário para precisão. Se você dedicar alguns minutos diários ao ábaco você pode facilmente
treinar enquanto estiver na sala e assim você se tornará um especialista no ábaco.

5. Usando a estrutura

Agora que sabemos como segurar e manipular este objeto oriental que chamamos de ábaco, vamos
fazer alguns exercícios.


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Primeiro exercício: Um menino com 8 bolinhas entra em um jogo com alguns meninos, e então
abandona o jogo depois de ganhar 5 delas. Ele pensa que tem um total de 14 bolinhas agora. Ele
está certo?
Sem considerar o fato que ele mostrou bom senso ao deixar o jogo enquanto ganhava, vejamos se
ele é um matemático igualmente sensato. Considerando que ele quer saber o total dele após ganhar
5 bolas, o problema dele é de adição simples; ele quer somar 8 a 5. Este é um processo simples para
o ábaco.
A primeira coisa para fazer é fazer certo de modo que o ábaco comece com que todas as contas do
céu no topo da estrutura, enquanto todas as contas da terra estão no fundo. Com o ábaco clareado,
nós alimentamos no primeiro dado, o 8, deslizando uma das contas do céu na coluna um (a primeira
coluna à direita) até a barra, e deslizando três contas da terra daquela mesma coluna até a barra
transversal. Considerando que uma conta do céu vale cinco e a temos posicionada sobre a barra
transversal já temos 5 dos 8 que precisamos; o 3 restante é posicionado i.e. três contas da terra. O
desenho aqui mostra o resultado final:

O quadro também mostra como o abacista principiante pode se rápido. Se as duas ações para mover
as conta do céu e mover as contas da terra são feitas separadamente, um depois do outro, um
segundo movimento é uma perda de tempo. Por si só, o segundo pode não importar muito. Mas em
longas operações, todos os segundos perdidos podem atrasar a resposta. A idéia, então, é evitar
esta perda de tempo levando a cabo ambas as ações imediatamente. E seguindo o sistema chinês de
usar o dedo indicador para as contas do céu e o dedo polegar para as contas da terra faz isso.
O dois dedos seguram as contas agarrando-as junto como uma garra de uma lagosta.
Com o 8 registrado no ábaco, temos só que alimentar o 5 para completar o problema. E isto é feito
simplesmente movendo a conta do céu no topo da coluna da estrutura até a barra transversal, claro
com o dedo indicador.
Agora nós podemos ler o resultado. As duas contas do céu na primeira coluna valem cinco cada e
assim somam 10. Que, mais as três contas da terra sobre barra transversal, faz um total de 13. E
assim se mostra que o menino estava errado ao apurar seu resultado; ele realmente tinha menos
uma unidade do que supunha.
Vamos continuar, entretanto, se nós não pudéssemos mostrar esta resposta de um modo mais fácil.
Nós sabemos que as duas contas do céu nesta primeira coluna somam 10. Mas nós também
sabemos que as contas da terra na coluna à esquerda (coluna dois) valem dez unidades cada, desde
que esta segunda coluna representa dezenas. Neste caso, o ábaco chinês parece com os blocos e
pedras dos antigos Gregos que nós falamos anteriormente: a primeira coluna (ou linha) conta às
unidades; a segunda coluna conta às dezenas; a terceira conta às centenas; e assim por diante.
Isso sendo como verdade, podemos substituir as duas contas do céu da primeira coluna por uma
única conta da terra na segunda coluna. E isto podemos fazer em um movimento: transferimos duas
contas do céu para o topo da estrutura com o dedo indicador, e deslizamos uma única conta da terra
na segunda coluna até a barra transversal com o dedo polegar. O padrão de contas se parece com:

Aqui temos um resultado muito mais fácil de ler. Anteriormente, lemos o resultado somando 5 mais 5
mais 3. Se nós tivéssemos de fazer este tipo de coisa toda vez que fizermos um cálculo, não há


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sentido em chamarmos um ábaco como algo especial. Mas usando este segundo método podemos
46 ver de imediato que à direita coluna tem 3, a coluna à esquerda tem 1. Da mesma maneira, as
contas nestas colunas representam o número 13, que tem um 3 à direita e um 1 à esquerda.
A propósito, estas expressões "alimentando em" e "lendo" que temos usado é parte da conversa dos
operadores dos computadores. Certamente, estes companheiros têm a sua linguagem especial, e nós
podemos compartilhar dela. Nós estamos no mesmo negócio, afinal de contas. O operador do
computador alimenta seus dados apertando botões, virando chaves, ou ligando interruptores; e lê o
resultado olhando dígitos em uma fita ou na tela do monitor. Um abacista alimenta seus dados
ajustando as contas; e lê o resultado observando a posição dessas contas. Ambos estão fazendo
exatamente a mesma coisa.

Segundo exercício: A adição significa a combinação dois ou mais números para formar um número
maior; a subtração é o oposto e reduz um número do outro. No primeiro exercício, vimos nós como
esta combinação é feita no ábaco. Vamos prosseguir e verificar como a subtração é processada.
Suponha que o menino do primeiro exercício entra em um segundo jogo com as suas 13 bolinhas.
Agora ele já não está com a mesma sorte; contra um jogador mais forte, ele perde 9 das treze bolas.
Quanto é o saldo? O problema aqui é diminuir 9 de 13. O primeiro passo, como regra geral, é clarear
o ábaco. O próximo passo é alimentar o número maior, 13.
De acordo com as regras, nós deveríamos fazer isto:
Apenas com o dedo polegar deslocamos três contas da terra na primeira coluna até a barra
transversal, então deslocamos uma conta da terra na segunda coluna para a barra transversal. Mas,
para economizarmos aquele segundo mencionado anteriormente, usaremos o dedo polegar para
operarmos na primeira coluna e o dedo indicador na segunda. E isto é mostrado no desenho abaixo:

Agora, como vamos incluir 9 unidades na coluna das unidades que tem só 3 contas? Isto é um
desafio, já que sabemos que uma única conta da terra na coluna dois tem valor de 10 unidades. Se
tomarmos uma única conta, porém, que nós estaremos retirando uma unidade a mais. Assim sendo
movemos uma conta da terra na coluna um para a barra transversal , e retiramos uma conta,
segunda coluna, da barra transversal. Considerando que as únicas contas que permanecem na barra
transversal são as quatro contas da terra na, coluna um, 4 é nossa resposta.

Terceiro exercício: Cedo ou tarde, nosso menino perde toda a sua fortuna. O seu tio promete que
arranjará mais umas bolinhas para ele se ele puder responder a seguinte pergunta. “Se eu comprar
seis sacos bolinhas, com quatro em cada saco, quantas bolinhas eu tenho? Oh, isso é fácil,” diz o
menino desdenhosamente. E, apanhando seu ábaco, começa a trabalhar. Em menos que um minuto,
ele tem a resposta. Vinte e quatro, ele grita.
O menino resolveu um problema da multiplicação. O que o seu tio querido queria saber era, quanto
é 6 multiplicado por 4? Ou, pondo isto outro modo, quantos são quatro seis? O menino foi inteligente
o bastante para descobrir que ele poderia obter a resposta para esta última pergunta somando
quatro seis vezes no ábaco. E assim ele fez.
O primeiro passo (ele sabia qual é o primeiro passo) era clarear o ábaco. após isso, ele alimentou o
primeiro 6 do quatro seis movendo uma conta do céu e uma conta da terra para junto da barra
transversal.
Considerando que ainda havia outra conta do céu que permanecia no topo da estrutura e quatro
mais contas da terra ao fundo, nosso menino pode alimentar seu segundo 6 movendo aquela conta
do céu e uma das contas da terra para junto da barra transversal, assim,:


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Ele agora entendeu (especialmente se tivesse lido a parte anterior deste capítulo) que duas contas
do céu na primeira coluna é igual a uma conta da terra na segunda. Assim, com um único
movimento do dedo polegar e do indicador, ele moveu uma conta da terra da coluna dois até a barra
transversal e as duas contas de céu da coluna um para o topo da estrutura.
Com estas duas contas do céu de reserva o menino agora tem armas para entrar na batalha. Ele
alimentou seu terceiro 6 movendo uma destas contas e uma das três contas da terra, assim,:

Então ele alimentou o seu quarto e final 6 movendo a conta remanescente do céu na primeira coluna
e o quarto contas da terra e desta maneira:

Para se obter uma resposta com o menor número de contas, uma das conta da terra na coluna dois
por duas contas do céu na coluna exatamente como foi feito anteriormente:

E mover para cima duas contas da terra, segunda coluna, e quatro contas da terra na primeira.
Desde que estas eram apenas contas da barra transversal, a resposta poderia ser complicada. Ele
leu em voz alta prontamente a resposta como 24.
Nós não recomendamos este método de multiplicação, vejamos o caso de 724 por 36, isso
significaria alimentar 724 no ábaco 36 vezes. Levaria muito, mas muito tempo. Mas é interessante se
você esquecer de quanto 7 vezes 4 é, ou se 6 vezes 8 é 48 ou 92. Para usarmos o ábaco na
multiplicação de grandes números, veremos como isso é feito no próximo capítulo.


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Quarto exercício. Nosso herói tem no bolso as 24 bolinhas que o tio lhe deu, e trata de reparti-las
entre os sete sócios do clube dele. O presidente de clube de olhos colados nas bolinhas, fala, quando
nós formamos este clube, José, nós juramos que qualquer coisa que um sócio tenha será
compartilhado por todos os outros sócios. Certo ?.
Nosso herói coça a cabeça e sabe o que está por vir.
Certo, então, dividiremos suas vinte e quatro bolinhas entre os oito sócios em até mesmo entre
outros. Considerando que nenhum dos sócios parece saber dividir 24 por 8, nosso herói passa a mão
no seu ábaco-e enquanto seus amigos ficam assombrados.
Assim, como a palavra "dividir" nos fala, é um problema da divisão. O que os sócios querem saber,
quanto 8's estão contidos em 24. Eles podem descobrir subtraindo grupos de 8 de 24 até lá não
sobrar nenhum resto. Contando os grupos que forma subtraídos, eles acham a resposta. Nosso herói
começa a resolver o problema clareando o ábaco. Então, ele alimenta 24 nas primeiras duas colunas:

Agora, ele gostaria de eliminar o primeiro grupo de 8´s. Mas desde que só há quatro contas da terra
na barra transversal na coluna um, ele não pode realizar esta tarefa diretamente. O nosso herói, no
entanto, já enfrentou este tipo de problema. Ele sabe que a conta da terra na coluna dois vale duas
contas do céu na coluna um, assim ele move para baixo uma conta na segunda coluna e duas contas
do céu da primeira coluna para barra transversal.

Agora é mais fácil de remover o primeiro grupo de 8´s. Ele move para baixo uma conta do céu na
coluna, e três das contas da terra da barra transversal para baixo:

Ele se recorda, agora, que o segredo é manter a contagem dos numero de 8´s retirados do original
24. Assim ele move um das contas da terra na última coluna, move outra na extremidade do ábaco,
até a barra transversal. Ele só está usando aquela coluna para registrar o numero de 8´s retirados.


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O que resta do original 24 é um 1 na segunda coluna e um 6 (um conta no céu e uma na terra) no
primeiro movimento. Como nosso menino processa o segundo grupo de 8a? Sem problema. Se
aquela conta da terra na coluna dois tem valor dez na coluna um e basta move-la de volta para (54)
o fundo da estrutura, assim subtrairá 10. Mas isso representa algo a mais do que nosso herói quer
subtrair. Assim, ao mesmo tempo em que ele move a conta da coluna dois para o fundo da
estrutura, ele move duas contas da terra da coluna um até a barra transversal, restabelecendo assim
o 2 perdido.

E, para indicar que ele tirou grupo de 8 do original 24 e move uma segunda conta de controle para a
barra transversal na última coluna.

Agora, olhando agora a coluna um, nosso herói vê que ainda tem uma conta do céu e três contas da
terra na barra transversal. Isto, claro que, compõe o seu último grupo de 8. Com um rápido
movimento com o dedo indicador e do polegar, ele move a (55) conta do céu atrás até o topo da
estrutura e as três contas da terra até o fundo,

E move outra conta de controle na última coluna. Considerando que nada permanece do original 24,
as três contas na última coluna é a resposta para a questão. Todo sócio do clube tem direito a 3
bolinhas então.
Enquanto nenhum dos quatro exercícios neste capítulo foi tão difícil, no último capítulo teremos
exercícios realmente difíceis, mostra muito bem como o ábaco. funciona. Eles também mostram que
o ábaco oferece vantagens em relação aos cálculos feitos de modo habitual:


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1. Você não precisa escrever um único dígito.
2. Com um pouco prática, você pode fazer seus cálculos na metade do tempo que você levava.
4. Com o ábaco tudo é mais divertido. Ainda há outra vantagem, mas isso terá que esperar.

6 - Ábacos elétricos

Entre o ábaco, que parece um brinquedo, e um computador, que certamente não tem uma
semelhança familiar. Deveria haver, desde que ambos fazem o mesmo tipo de trabalho. Mas eles são
distintos em alguns pontos, também, da mesma maneira que irmãos podem ser distintos.
A aparência é um destes pontos. A maioria dos ábacos são pequenos e delicados, com o esquema de
cores vermelha e preta. Por outro lado, um computador eletrônico normalmente está alojado em
uma caixa de metal parda que pode ser grande ou pequena, que pode depender do tipo de problema
que o computador se compromete a resolver. Alguns deles não tomam mais espaço que uma
televisão de tamanho médio; outros são grandes bastante para ocupar prédios inteiros. Nossos
submarinos nucleares navegam com computadores.
De fato, os dados administrados pela receita federal, bolsa de valores, e pelos correios, todos são
administrado por computadores. Se tais computadores pudessem apenas guardar dados, eles ainda
seriam de muita valia. Mas eles podem fazer mais. Eles podem usar lógica, com mais eficiência que
os humanos.
Como estes computadores eletrônicos funcionam? Enquanto fazem o mesmo tipo de computação
que nosso ábaco faz, eles fazem isto de modo diferente. Ábacos geralmente seguem o sistema
decimal que, como nós sabemos, está baseado no número 10. Enquanto alguns computadores
eletrônicos seguem este sistema também, muitos deles são construídos para funcionar com o que é
conhecido como o Sistema Binário. Pelo menos, é conhecido por este nome pelo engenheiros de
computadores, embora o homem comum provavelmente nunca tenha ouvido falar nisto.
O sistema binário é realmente bastante simples, uma vez você se identificando com ele.
Se você observa a palavra "binário" no dicionário, você descobrirá que significa “dobro". E dobro,
claro que, significa "dois". Que imediatamente nos informa algo sobre este sistema: se o sistema
decimal está baseado no número 10, o sistema binário está baseado no número 2. Também nos
informa que se há dez dígitos no sistema decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, há apenas dois dígitos
no sistema binário 0 e 1.
Nós podemos ver como o sistema binário funciona, (58), mas sem esquecer que nosso sistema é o
sistema decimal. Os dígitos no sistema são representados pelas unidades. O maior destes dígitos é 9.
Assim que as unidades excedam 9, eles são transformados em grupos de 10. Nós temos a mesma
coisa no sistema binário. O maior de seus dois dígitos é 1. Se nós somamos outra unidade a este 1,
ele se divide em dois dígitos para se tornar 10. Que significa que, em binário, 1 + 1 = 10.
Mas, se nós fôssemos ler esta última definição em voz alta, nós não poderíamos dizer, “Um mais um
é igual a dez”. Um mais um nunca pode ser dez. Nós ainda poderíamos dizer: “Um mais um é igual a
dois" porque 10 em binário é igual a 2 em decimal.
Vamos parar um momento para lembrarmos o que explicamos antes sobre nosso sistema decimal.
Nós dissemos que enquanto um dígito só representa unidades, outro dígito escrito à esquerda disto
representa dezenas, um terceiro dígito à esquerda representa dez vezes dez, ou centenas, um quarto
dígito à esquerda representa dez vezes dez vezes dez, ou milhares, e assim por diante. Tendo em
mente que o sistema binário está baseado em dois, nós podemos substituir a palavra 11 dois
simplesmente onde anteriormente usávamos dez “. Um dígito só, em binário, é uma unidade imóvel.
Mas um dígito à esquerda representa dois ; um terceiro dígito à esquerda representa dois vezes dois,
ou quatro, um quarto dígito à esquerda representa dois vezes dois vezes dois, ou oito, e assim por
diante”.
Tentemos um quebra-cabeça binário. Quanto vale o número binário 110 no sistema decimal?
Aqui está a solução. O dígito na primeiro coluna à direita 0 que significa que não hão nenhuma
unidade. O dígito à esquerda 1, e desde que o dígito está na posição dos dois, isto vale o valor
decimal de 2. O terceiro dígito à esquerda também 1; está na posição dos quatros, é então igual a 4
em decimal. Somando 4 ao 2 dá um valor total de 6. O número 110 binário é então igual ao número
decimal 6. O zero não foi somado, mas simplesmente permanece em aberto na posição das
unidades.
Se você está pronto para tentar um segundo quebra-cabeça binário, veja se você pode entender
quanto binário 101001 vale em decimal. Se feito passo a passo é bastante simples:


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Passo A. O primeiro dígito à direita é 1. Esta posição representa unidades, assim o valor é de 1 no
sistema decimal.

Passo B: O próximo dígito à esquerda 0. Esta é a posição dos dois, mas desde que zero está nesta
posição, não há nada que somar. O total é o mesmo do passo C.

Passo C: O terceiro dígito está na posição dos dois vezes dois ou quatro. Mas este também é um
zero, não há nada a somar. O total permanece o mesmo.

Passo D: As coisas estão começando a se formar. O quarto dígito é um 1, e ocupa a posição dos dois
vezes dois vezes dois. Três dois multiplicados entre si dão oito. Some oito ao total de 1 do passo C, e
nós temos 9, o número em decimal.

Passo E. O quinto dígito é um O e, novamente, não há nada a somar. Total ainda é 9.

Passo F. O dígito final na esquerda é um 1. Está na sexta posição, dos dois vezes dois vezes dois
vezes dois vezes dois, ou cinco 2's multiplicados entre si vale 32 em decimal (2 vezes 2 é 4, 4 vezes
é 8 vezes 2 é 16, 16 vezes 2 é 32).

Some 32 ao 9 nós entramos no passo E (e você pode fazer esta adição no ábaco, se você quiser) e
nós temos o resultado final de 41.
Assim, o número 101001 binário é o mesmo número decimal 41. Duro acreditar, não é? Se você não
gosta deste resultado e exige uma recontagem, nós podemos mostrar todos estes passos de um
modo mais divertido na forma de uma foto cômica, por exemplo. Aqui, uma esquadra de seis
cavaleiros em formação representa o número binário 101001. O cavaleiros 1 são desenhados em
negrito para realçar que eles representam algo. Os cavaleiros 0 são do tipo transparentes de modo
que não contribuem com nada à pontuação total. O galhardete de cada cavaleiro mostra o valor da
sua posição: o companheiro a direita leva uma bandeira com 1 porque ele está na posição das
unidades; o próximo galhardete leva um 2 porque ele na posição dos dois; o próximo homem leva
um 4 porque ele está na posição dois vezes dois; e assim por diante. Quando um cavaleiro é
chamado para dar um passo a frente, ele grita quanto ele vale, e o rei, o líder dos cavaleiros, grita o
número total, em decimal, a cada movimento.
Os engenheiros de computação, que usam este sistema binário, tem um idioma próprio. Desde que a
expressão "dígito binário" é muito divulgada, eles se referem aos 1's e 0´s do sistema de contagem
como “bits".


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Esta palavra bit é composta pelas duas primeiras letras em “binary” e a última letra em “dígit”. Uma
combinação de bits, como 101001 é um exemplo, é chamada de uma “Word (palavra)”. Quando um
engenheiro fala de uma palavra de seis bits, ele não quer dizer setenta cinco centavos, ele quer dizer
101001, ou 110011, ou possivelmente 100001. Como operadores de ábaco, nós estamos na mesma
família profissional destes companheiros que ajudam na construção de máquinas maravilhosas que
nós mencionamos anteriormente. Nós deveríamos saber algo sobre o seu jargão.
Nós podemos ver por que um dígito binário deveria ser chamado de bit. Mas por se chama uma
coleção de bits por Word - palavra? Há uma boa razão para isso, e nós podemos entender quando
nós recordamos que computadores são máquinas de lógica como também calculadoras. Da mesma
maneira que nós pensamos e argumentamos em palavras, o computador pensa e argumenta com
palavras, compostas de bits, alimentados por seu operador.
Mas o que faz com que os engenheiros prefiram o sistema binário, de qualquer maneira? Por que
eles não aderiram ao bom e velho sistema decimal que todo o mundo tem usado por centenas de
anos?
De fato, eles sabem o que estão fazendo. Em quase todo tipo de circuito elétrico imaginável, há um
interruptor de algum tipo. Pode ser o tipo de interruptor que todos nós conhecemos, embutidos
praticamente em todas as parede dentro e , fora das nossas casas, o tipo de interruptor móvel que
liga e desliga uma luz ou liga ou desliga um motor.
Em um quarteirão de uma cidade de porte médio pode conter até um milhão de interruptores, se nós
não incluirmos apenas os interruptores das luzes, motores, e telefones, mas os interruptores em
rádios e televisão e os interruptores internos dentro destes aparatos.
Nem todos estes interruptores são o tipo manual; alguns deles acionados automaticamente de
tempos em tempos através de sinais elétricos. Mas independentemente de como eles funcionam,
todos eles fazem a mesma coisa: eles ou abrem ou fecham um circuito. Quando um interruptor abre
um circuito, interrompe o fluxo da corrente elétrica; então uma luz apaga, um motor deixa de


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funcionar ou um telefone fica mudo. Quando o interruptor fecha o circuito, o fluxo retorna; a luz
acende, o motor volta a funcionar mais uma vez, e a pessoa no telefone pode continuar falando.
Tais interruptores simples têm só duas posições: aberta e fechada, ou ligado/desligado.
Ou, pondo isto em um modo matemático, O e 1.
Este é o segredo do computador. O computador está cheio de interruptores minúsculos, todos
operando. Eles ordinariamente não são o tipo de interruptores usado domesticamente. Eles são
muito menores (muitos deles aproximadamente da metade do tamanho do seu dedo polegar), está
completamente silencioso, e funciona muito mais rápido. O tempo que levam para ligar/desligar é
medido em nanosegundos, e um nanosegundo é um milésimo de um milionésimo de um segundo.
Você poderia chamar isto de super segundo. Mas toda vez que um destes interruptores se fecha,
registra um 1; toda vez que se abre, registra um 0. Considerando que estes interruptores só podem
ter duas posições, é perfeitamente natural que os computadores que usam um sistema destes só
poderia contar dois dígitos.
É duro imaginar como um nanosegundo é, mas pense deste modo: se você fosse piscar seus olhos
uma vez, tão rápido quanto você pudesse, mais de um milhão de nanosegundos já teriam acontecido
enquanto suas pálpebras ainda estavam fechadas. Uma vez um computador processa
continuamente, ele pode resolver problemas mais rápido que um piscar de olhos. Claro que, mais
complicado o problema, o mais tempo o computador leva para resolve-lo.
Os grandes computadores são compostos de várias seções. Uma delas é a calculadora que contém a
maioria dos interruptores binários. Outra é a memória, que tem este nome porque armazena
informações da mesma maneira que o cérebro humano armazena fatos que aprendeu. A memória do
computador mantém sua informação na forma de palavras, não na forma de palavras ordinárias
usadas na fala, mas grupos de bits. Tais pedaços de informações são armazenada em meios
magnéticos, ou em imãs muito minúsculos conhecidos como núcleos de ferrite. Esta informação
sempre está disponível para ser alimentado na calculadora quando se fizer necessário.
Em outras palavras, os computadores funcionam como um pequeno cérebro e muito simples. Nós
dizemos "simples" porque, embora possa trabalhar mais rapidamente que os cérebros de seus
criadores eles só podem tratar de alguns tipos de problemas enquanto a mente humana pode lidar
até com os mistérios da natureza, o átomo, que é tão minúsculo que o olho não pode ver, nem
mesmo através do mais potente microscópio, e até galáxias tão grandes que podem conter milhares
de sistemas solares como o nosso.
O ábaco chinês é um instrumento muito mais humilde que um computador. Existem certos
dispositivos de memória; que não podem fazer nada além de cálculos. Os problemas que pode
administrar são simples comparados com aqueles que um computador processa.
Não é elétrico, e não tem um único interruptor. Ainda pode funcionar bem tanto com o sistema
binário quanto com o decimal.
O que torna o sistema binário útil são as duas contas em cada coluna sobre a barra transversal. À
medida que o sistema binário só lida com dois bits, 1 e 0, a seção do céu do ábaco chinês é bem
parecida com este tipo de conta. Porém, precisamos nos lembrar que quando nós usarmos o ábaco
como binário, as contas do céu têm um valor de um cada. Eles não podem contar cinco porque não
há tal número em binário.
Alimentando bits no ábaco é a mesma coisa que alimentar dígitos decimais. (Se você desejar, você
pode chamar os dígitos decimais de "dits".) Como nós fizemos com os decimais, nós trabalhamos da
direita para a esquerda. A coluna direita superior é chamada de primeira coluna. O um exatamente à
esquerda é a segunda, o um à esquerda disso é a terceira, e assim por diante. Os bits são integrados
ao cálculo movendo contas do céu até a barra transversal, e retirada do cálculo movendo-as para o
topo da armação. Não é preciso se importar ainda com as contas na seção da terra, porque nós não
precisamos delas no processo binário. Antes de começarmos a calcular, nós clareamos o ábaco.
Movendo todas as contas do céu para o topo da estrutura. Nós estamos agora prontos alimentar os
bits. Suponha, que para começar, nós nos fixamos o problema de alimentação na “palavra” 101. O
primeiro bit, lado direito superior desta palavra, é um 1. Nós podemos verificar isto no ábaco
movendo uma das contas do céu na primeira coluna no lado direito extremo até a barra transversal.
O segundo bit da nossa palavra é um 0; isto significa que nenhuma conta deve ser movida até a
barra transversal, assim nós deixamos a segunda coluna simplesmente vazia. O terceiro bit é outro 1.
Então movemos uma conta do céu na terceira coluna até a barra transversal. E este é o padrão das
contas no ábaco:


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A posição das contas no ábaco revela a palavra 101. Da mesma maneira, para criar a palavra 1011,
movemos uma conta do céu até a barra transversal na primeira e segunda colunas deixe as contas
da terceira coluna no topo da estrutura, e traga uma conta da quarta coluna para a barra
transversal.
Mas o ábaco nasceu para computar, não para registrar números. Assim, suponha tentaremos um
cálculo binário simples. Somemos o dois bits da palavra 11 com outros dois bits da palavra, 10.
Podemos começar alimentando qualquer um dos dois 11. Depois de clarear o ábaco, trazemos uma
conta do céu da primeira coluna até a barra transversal, e outra da segunda coluna ate a barra
transversal. Isso registra a palavra 11:

Vamos alimentar agora a segunda palavra, 10. O O não é um problema; só significa que a primeira
coluna deve permanecer como está. Para o 1, nós deslizamos a conta do céu restante na segunda
coluna até sua companheira na barra transversal:

Agora, com ambas as palavras alimentadas, nós deveríamos ter o resultado. Mas, olhando o esboço
acima, nós vemos algo estranho nisto. A segunda coluna tem duas contas na barra transversal. Não
pode ser lido como 2 porque não existe tal dígito em binário. A que nós podemos fazer, porém, é
troca estas duas contas na segunda coluna para uma conta na terceira. Assim nós devolvemos estas
duas contas para o topo da estrutura, e movemos uma das contas do céu, terceira coluna, até a
barra transversal. E este é o resultado:


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E o resultado é a palavra 101.

Agora, o que nos dá o direito de trocar uma conta da terceira coluna por duas da segunda? Nós
temos todo direito. Em binário, uma conta em qualquer coluna vale duas contas na coluna
imediatamente à direita. Nossa peça binária mostra a mesma coisa; com o galhardete que esvoaça
na lança de cada cavaleiro tem um numero que vale duas vezes o valor contido no galhardete
anterior. E nós tivemos uma situação semelhante no capítulo anterior a este com os dígitos decimais.
Nós dissemos que uma coluna valia dez vezes o valor do vizinho, enquanto aqui cada coluna à direita
vale duas vezes o valor da próxima à direita.
Ao lermos o resultado deste cálculo, temos que ter em mente que este é um resultado binário, não
decimal. Nós podemos escrever isto como 101, mas nós estamos cometendo um crime matemático
terrível se nós pronunciarmos isto como cento e um. Não existe tal palavra "cem" no idioma binário.
Nós poderíamos ler isto como “um 0 um, mas nós só temos que somar” binários “para ter certeza
que uma pessoa para a qual nós lemos não se confunda com cento e um. Da mesma maneira, os
dois da formula original não devem ser lidos como 11 e 10 onze e dez, porque” onze e dez “não têm
nenhum significado em binário”.
Um simples exercício de subtração binária suponha que tentemos diminuir a palavra 11 do resultado
101. Vamos voltar ao 10; vejamos o que fazer. Depois de clarear a área do céu ábaco, nós
alimentamos 101. A primeira parte desta subtração é processada retirando o 1 à direita do 11 do 1
posicionado à direita de 101. Nada difícil; nós simplesmente movemos uma única conta da primeira
coluna na barra transversal para o topo da estrutura. O que permaneceu no ábaco foi:

A segunda e parte final do problema é retirar o 1 à esquerda de 11 do O do 101. Em outras palavras,
temos que remover uma conta da segunda coluna. Mas como você pode remover uma conta quando
não há nenhuma conta na barra transversal nesta coluna? É preciso contornar esta dificuldade.
Como as contas na coluna três vale duas vezes o valor das contas na coluna dois, nós podemos
trocar a única conta nesta terceira coluna para duas contas da segunda. Assim, movemos uma conta
da terceira coluna até o topo da estrutura, e movemos duas contas do céu na segunda coluna até a
barra transversal, assim,:


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Com duas contas da segunda coluna na barra transversal podemos fazer a subtração de 1 movendo
uma das contas de volta até a estrutura. O resultado é:

A resposta é 10, um-0-binário.

O chineses que aperfeiçoaram o ábaco não tinham a menor idéia que o seu dispositivo poderia ser
usado para cálculos binários que, algum dia no futuro distante, um foguete (outra invenção chinesa,
a propósito) seria enviado para a lua. De fato, é improvável que a idéia de um sistema binário tenha
passado pela mente deles. Eles o projetaram para funcionar no sistema decimal; e por sorte é
utilizável no sistema binário. Por não terem tido a menor idéia do binário, não quer dizer que nós
não possamos usá-lo.

7. Onde coisas pegam.

Se você imaginar que os quatro exercícios do capítulo 5 eram muito simples e querem tentar algo
com tempero, você veio ao lugar certo. A primeira operação é uma adição. Considerando que o
ábaco é um instrumento de homens de negócios, é normalmente usado para o real e seus centavos.
Nosso primeiro exercício, então, será somar esta coluna de números:

Há dois modos de somar no ábaco.

O método horizontal.

A pessoa alimenta a primeira linha horizontal de dígitos, e prossegue com a segunda, terceira, e
quartas filas. Ao final, se corretamente alimentado, teremos a resposta certa.
O segundo modo é fazer a adição verticalmente; quer dizer, alimentar os quatro dígitos da primeira
coluna à direita, os quatro da segunda coluna, os quatro da terceira, os quatro da quarta, os dois da
quinto, e o solitário dígito da sexta. Pessoalmente, nós preferimos o segundo método. Pode ser o
mais lento dos dois, mas é mais fácil de fazer. Vamos explicar ambos os métodos, e passo a passo.


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No primeiro ou método horizontal, nós começamos alimentando os dígitos da linha topo, começamos
com os 2 da direito e termina com os 7 à esquerda. Estes dígitos são alimentados na primeira,
segunda, terceira, e quarta colunas do ábaco. Depois que fizermos isto, as contas no ábaco têm esta
aparência:

O próximo passo é alimentar os dígitos da segunda linha, novamente da direita para a esquerda. Nós
começamos com o 7. Considerando que este é o dígito ao lado direito extremo naquela linha, nós
movemos uma conta do céu e duas contas da terra na coluna um, à direita, do ábaco.

O próximo dígito a ser alimentado é o 6, e isto entra na segunda coluna. Nós simplesmente
movemos uma conta do céu e uma conta da terra para a barra transversal

Temos agora outro 6. Isto é feito exatamente da mesma maneira, movemos uma conta do céu e
uma conta da terra para junto da barra transversal na terceira coluna:


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O próximo dígito a ser alimentado é um 4, e deve ser posto, na quarta coluna do ábaco.

Mas, olhando esta quarta coluna, percebemos que temos apenas três contas da terra no fundo da
estrutura. Como então alimentar o 4 que necessitamos?
Nós podemos através de uma idéia luminosa: Nós somamos 10 e subtraímos 6 para nos obtermos o
4 desejado. Desde que uma conta na quinta coluna vale dez vezes a sua conta equivalente na quarta
coluna, movendo uma conta da terra na coluna cinco até a barra transversal somamos 10 coluna
quatro. Para subtrair 6 da quarta coluna, movemos uma conta do céu para cima e uma das duas
contas da terra na barra transversal desta coluna para baixo:

O último dígito na segunda linha é 1. Zero problema.

Movemos simplesmente uma conta da terra até a barra transversal na quinta coluna para incluir o
um de há pouco. Agora, temos duas contas da terra na barra transversal da quinta coluna:

Isso liquida a linha dois. Vamos para a linha três agora. O primeiro dígito à direita nesta linha é um 3
que significa que nós o alimentamos na primeira coluna. Realizamos isto com a mesma idéia


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luminosa de somar 10 e subtrair 7. Para somar 10 para nesta primeira coluna, movemos uma conta
da terra na coluna dois até a barra transversal. Para subtrair 7 da primeira coluna, nós movemos
uma conta do céu para cima e duas contas da terra da barra transversal para baixo:

O segundo dígito na linha é um 9. Considerando que 9 é 10 menos 1, nós podemos simplesmente
registrar este 9 na coluna dois movendo uma conta da terra, coluna três, para a barra transversal
enquanto movemos uma das contas da terra na barra transversal, coluna dois, para baixo:

Agora temos outro 9, este deve ser posicionado na terceira coluna. Novamente: Movemos uma conta
da terra para a barra transversal, coluna quatro, e removemos um das contas da terra da barra
transversal, coluna três:

O dígito final na terceira linha é um 2. Considerando que este é o quarto dígito à direita, será
posicionado na quarta coluna do ábaco. Adicionando duas contas da terra nesta coluna para barra
transversal, temos:

Agora, a quarta e última linha. O primeiro dígito à direita é um 2. Movemos duas contas da terra,
primeira coluna, até a barra transversal. Isso nos dá:


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O próximo dígito é 9. Novamente, desde que este 9 deve ser colocado na segunda coluna, nós
elevamos uma das contas da terra na terceira coluna para a barra transversal e abaixamos uma das
contas da terra na segunda coluna para baixo.

Continuando neste quarta linha, à esquerda, temos 1. Ele deve ser alimentado na coluna três.

Olhando esta coluna vemos que ela tem valor 10, uma conta do céu, que vale cinco, e cinco contas
da terra que vale outros cinco. E isso nos dá outra idéia: nós podemos alimentar nosso 1, somando
10 e subtraindo 9. Assim, movemos uma conta da terra para a barra transversal na quarta coluna.
Então retiramos quatro contas da terra da barra transversal na terceira coluna, e retiramos uma
conta do céu da barra transversal:

O próximo dígito é 7. Isto deve ser alimentado na quarta coluna desde que é o quarto dígito à
direita. Nós entramos isto somando 10 e subtraindo 3. E isso significa mover uma conta da terra na
quinta coluna até a barra e retirar três contas da terra na quarta coluna.


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Agora nós temos 0, a ser alimentado na quinta coluna, um zero nesta quinta coluna significa não
fazer nada. Assim passamos para a próxima coluna, a sexta, que pede a adição de 2, o dígito final a
ser alimentado. E isto é muito fácil; movemos duas contas da terra, sexta coluna, até a barra
transversal:

E nós temos o resultado. Para verificar o resultado, basta ler o ábaco da direita para esquerda que é,
começando da coluna um e terminando na coluna seis, ou da esquerda para a direita, começando da
coluna seis e terminando na coluna um. Supondo o primeiro modo.

À medida que a coluna um tem quatro contas da terra, isso corresponde ao dígito 4.
A coluna dois tem uma conta do céu que vale 5, e duas contas da terra num valor total de 7.
A coluna três tem uma única conta da terra, assim seu valor é 1:
A coluna quatro tem duas contas da terra; seu valor é 2.
A coluna cinco, com três contas da terra, seu valor é 3.
E, finalmente, a coluna seis tem duas contas da terra, o valor é 2.

Claro que, fazendo esta verificação, nós contamos apenas as contas da barra transversal.
As outras no topo e fundo da estrutura estão fora do cálculo.
Assim vemos que nosso resultado é 232174

Mas algo ainda deve ser feito. É preciso lembrar que as figuras que somamos eram reais e centavos.
Assim daremos o toque final a nossa resposta escrevendo um sinal de real na frente do 2, e uma
virgula entre 1 e 7 indicar que os 74 são à direita do ponto de fração decimal centavos: R$ 2.321,74.
Se você desejar, você pode pôr um ponto depois do 2 para mostrar que 2 representa a casa dos
milhares: R$2.321,74. Isto torna a coisa mais fácil de ler, e nós lemos como dois mil, trezentos, vinte
e um reais e setenta quatro centavos.

O método vertical:


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Primeiro, alimentaremos todos os dígitos, a partir da direita, na primeira coluna do ábaco. Esses
dígitos, como nós podemos ver, são 2, 7, 3, e 2. A seguir alimentaremos apenas os dígitos à
esquerda deles (2, 6, 9, 9) na segunda coluna de ábaco. Nós continuaremos desta maneira até
terminamos com a ultima coluna. Então verificaremos se chegamos a resposta certa. Claro que, a
resposta obtida por este método deve ser igual à resposta do primeiro método.
O primeiro passo, é clarear o ábaco. Assim feito, nós alimentamos no dígito superior na extrema
direita um 2. Movemos duas contas da terra, primeira coluna, até a barra transversal:

O próximo dígito imediatamente abaixo, é um 7. Para alimenta-lo, movemos uma conta do céu e
duas contas da terra, primeira coluna, até a barra transversal:

A próxima tarefa é alimentar um 3. Aqui nós podemos usar nossa “idéia luminosa" de somar 10 e
subtrair 7 para obter o 3 desejado. Nós somamos 10 movendo uma conta da terra, segunda coluna,
para a barra transversal e subtraímos os 7 retirando uma conta do céu e duas contas da terra da
barra transversal na primeira coluna, assim:

O próximo dígito a ser alimentado é um 2. Simplesmente movemos duas contas da terra, primeira
coluna, até a barra transversal:


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Isso termina nossa primeira coluna de dígitos. Agora estamos prontos para o segundo digito.

Como as colunas no ábaco devem representar as colunas de dígitos, nós alimentaremos estes
segundos dígitos na segunda coluna do ábaco. Aqui vamos nós:
O primeiro dígito da segunda coluna é 2. Movemos duas contas da terra, segunda coluna, até a barra
transversal para registrar 1 :

Apos o 2 temos 6. Para registra-lo na segunda coluna do ábaco movemos uma conta do céu e uma
conta da terra:

Após o 6 temos 9. Isto pede nossa “idéia luminosa". Movemos uma conta da terra, terceira coluna,
até a barra transversal para somar 10, e retiramos uma conta da terra da barra transversal, segunda
coluna. para subtrair 1:


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Agora temos um outro 9. Faremos da mesma maneira que fizemos antes:

Isso representa registra-lo com cuidado na coluna dois. Agora vamos cuidar da coluna três. O dígito
de topo aqui é 3. Simplesmente movemos 3 contas da terra para a barra transversal

O dígito após nosso 3 é um 6. Novamente: Movemos uma conta da terra, quarta coluna, para a
barra transversal, e retirar quatro das contas da terra, coluna três, para a barra transversal:

Agora temos um 9. Movemos uma conta da terra, coluna quatro, para a barra transversal e
retiramos, coluna três, a conta restante da terra:


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O último dígito nesta terceira coluna é 1. Assim, na coluna três do ábaco, devolvemos a conta da
terra para a barra transversal onde anteriormente estava:

Isto pode parecer tolo, este negócio de deslizar a mesma conta para cima e para baixo, mas assim
você evita fazer duas operações simultâneas, que pode nos levar a uma resposta errada. Um
especialista poderia lidar com isto, mas um novato deve adotar o lema "uma coisa de cada vez".
Vemos agora a coluna quatro cujo dígito de topo é 7. Nós o alimentaremos na quarta coluna,
movendo uma conta do céu e duas contas da terra para a barra transversal:

Nosso próximo dígito é um 4. Uma “idéia” luminosa se faz necessária. Nós movemos uma conta da
terra, quinta coluna, para a barra transversal, e retiramos da coluna quatro, uma conta do céu e uma
conta da terra da barra transversal:

Em baixo do 4 temos um 2. Isto é registrado na quarta coluna, basta mover duas mais contas da
terra para a barra transversal.


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O último número na quarta coluna é um 7. Nós o registramos na quarta coluna do ábaco movendo
uma conta da terra, coluna cinco, para a barra transversal e removendo da barra transversal, coluna
quatro, três contas da terra. Como nós sabemos, isto representa somar 10 e subtrair 3 para
obtermos o 7 desejado.

E assim terminamos a quarta coluna de dígitos. Agora vamos para coluna cinco.

Olhando a figura acima, vemos que esta coluna só tem dois dígitos, 1 e 0. Podemos nos esquecer do
zero que não alterar nada. Porém, o 1 tem que ser alimentado na coluna cinco do ábaco.
Para fazermos isto, movemos uma conta da terra até a barra transversal.

Na sexta coluna de dígitos há um 2. Assim, nesta coluna, movemos duas contas da terra até a barra
transversal:


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Isto completa as colunas e o problema. Lendo o resultado na figura acima ou no seu próprio ábaco,
você pode ver que é 232174 ou, em reais e centavos, R$ 2.321,74.
Que é exatamente o mesmo resultado obtido anteriormente.

Agora que gastamos nosso tempo na solução de um problema de adição, nós podemos tentar algo
ao longo da mesma linha com uma subtração: 3140-2658.
Antes de atacar o problema clarearemos o ábaco. O próximo passo é alimentar a figura maior, a qual
podemos chamar de minuendo. Considerando que este é um número de quatro dígitos, você deve
ser capaz de resolver a questão em menos de quatro segundos. Pronto? Vamos. Ao terminar, seu
ábaco deve se parecer com:

Agora começamos a alimentar o menor número, o subtraendo. Iniciaremos com o 8 à direita com
terminando com o 2 à esquerda. Todo o trabalho deve ser feito no ábaco; não olhe a página exceto
para observar os dígitos de subtraendo.
Nosso primeiro trabalho, como veremos, é tirar 8 de 0. Aqui temos um nó antes mesmo de termos
ter começado. Como você pode tirar oito de nada?
Soa mal, mas realmente não há nada difícil nisto. Nós usaremos a mesma idéia luminosa usada
anteriormente. Aqui, desde que subtração é o oposto da adição, trabalhamos de modo oposto.
Retiraremos uma das contas da terra na barra transversal, coluna dois, do cálculo enviando-a para
baixo da armação que representa subtrair 10 da coluna um. Isso é verdade porque toda conta da
terra na segunda coluna tem o valor 10, como nós sabemos. Porém, nós não queremos subtrair 10,
nós só queremos subtrair 8. Assim, com o mesmo movimento com que removemos a conta da terra
da coluna dois, nós baixamos duas contas da terra para a barra transversal, coluna um:

Nosso próximo trabalho é tirar 5 da segunda coluna. Mas a coluna só tem 3 contas na barra
transversal.


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Como nós subtraímos 5 de 3? Usando a mesma idéia luminosa nós movemos para baixo uma conta
da terra, coluna três, para subtrair 10 da coluna dois, e ao mesmo tempo movemos para baixo uma
conta do céu, coluna dois, para somar 5:

Agora passamos para o próximo dígito do subtraendo um 6. Considerando que este é o terceiro
dígito à direita, deve ser registrado na terceira coluna do ábaco. Mas esta coluna, como nós vemos
do desenho anterior, não tem nenhuma conta na barra transversal.

Para alimentar 6 nesta coluna, subtraímos 10 e somamos 4. E faremos isto baixando um das contas
da terra, coluna quatro, até a estrutura enquanto movemos quatro contas da terra, coluna três, até a
barra transversal. Nosso último trabalho é registrar 2 do subtraendo na coluna quatro do ábaco. Já
que há então duas contas posicionadas na barra transversal desta coluna, nós simplesmente as
movemos para baixo, até o fundo da estrutura.

Com todos os dígitos do subtraendo processados, vemos que a resposta é dada na figura acima.
Como traduzimos isso em números? Bem, as duas contas da terra, coluna um, nos dá um 2, e uma
conta no céu e três contas da terra, coluna dois vale 8, e as quatro contas da terra, coluna três, vale
um total de 4. Escrevendo estes dígitos da direita para esquerda, nós vemos a resposta 482 que
representa, desde que números sempre são lidos da esquerda para a direita, temos quatrocentos e
oitenta e dois.
No problema que fizemos há pouco, sempre que tivermos que subtrair um número maior de um
menor em uma coluna, nós sempre tivemos contas da terra na barra transversal umas próximas das
outras. Tudo seria um mar de rosas se coisas sempre se mostrassem assim. Mas elas nem sempre
são. Por exemplo, suponha que você tenha uma nota de dez reais e você compra uma bala por seis
centavos. O que poderia você esperar? Este é claramente um problema de subtração, significa tirar
seis centavos de dez reais.


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Poderíamos fazer o cálculo com lápis e papel. Mas como é feito no ábaco?
Nós começamos este problema como começaríamos qualquer outro de subtração. Depois de clarear
o ábaco, nós registramos o minuendo. Isto consiste em três 0's e um 1. Considerando que este 1 é o
quarto dígito à direita, nós o alimentamos no ábaco baixando uma conta da terra, coluna quatro,
para a barra transversal:

Note que nenhuma conta esteve posicionada na barra transversal da primeira, segunda, e terceiras
colunas. Isto é natural, pois há três 0's a direito do minuendo, simplesmente manteremos as
posições em aberto. Agora, nós gostaríamos de subtrair 6 da primeira coluna. Mas há existem contas
na barra transversal nesta coluna, ou há algumas na barra transversal das colunas dois ou três. O
que fazer? Antes de prosseguir para que o problema seja resolvido, gaste alguns minutos pensando
como você faria isto, então vá em frente para ver se você tinha razão. Você pensou nisto? Aqui está
como fazer o cálculo:
Nós sabemos que a única conta de terra, coluna quatro, vale dez em relação à coluna três. Assim,
façamos a troca, baixamos uma conta, coluna quatro, até o fundo da estrutura, movemos uma conta
do céu e cinco contas da terra para a barra transversal, terceira coluna, assim,:

Agora estamos começando a obter alguma munição para atacar nosso problema. Nós podemos
prosseguir um pouco mais fazendo uma segunda trocando uma conta da terra, coluna três, por uma
conta do céu e cinco contas da terra da coluna dois:


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Agora temos contas na coluna dois para trabalhar, que significa que nós poderemos resolver o
problema agora mesmo. Mas vejamos o que acontece, vamos dar mais um passo e trocaremos uma
das contas da terra, segunda coluna, por uma conta do céu e cinco contas da terra, primeira coluna:

O que vemos nesta última figura é exatamente a mesma, acredite ou não, como a mesma que
tínhamos no ábaco no começo do problema. A diferença agora é que podemos fazer muito mais
facilmente subtraindo 6 da primeira coluna. Para fazermos isto movemos uma conta do céu da barra
transversal para cima e uma conta da terra para baixo.

E podemos ler a resposta. A primeira coluna, quatro contas da terra, é um 4; a segunda coluna, com
uma conta do céu e quatro contas da terra, somam 9; a terceira coluna, com uma conta do céu e
quatro contas da terra também somam 9. Isso nos, em reais e centavos, dá R$9.94
Nós prometemos que as coisas iriam engrossar neste capítulo, e elas vão. Nós esquentamos as
coisas com uma adição e uma subtração, e agora nós estamos prontos para a multiplicação onde as
coisas realmente esquentam.

Tentemos um problema bastante fácil: 68 x 7

É uma boa prática registrar números no ábaco, quando você tem números de dois ou mais dígitos
para multiplicar. Deste modo, você não esquecerá dos números originais que você está
multiplicando. Além disso, é melhor registrar os dois números nas colunas à esquerda do ábaco. Isso
deixará as colunas à direita aberta para os cálculos. Assim, nós registramos 68 nas duas últimas à
esquerda, e então, deixando a próxima coluna desocupada, e registramos 7.
O propósito de ter a coluna vazia é manter os dois números separados. Se forem registrados nas três
últimas colunas, seria incomodo sebermos se estamos multiplicando 68 por 7, ou 6 por 87. Olhando
a figura, podemos ver que 68 é o multiplicando e 7 é o multiplicador.

Na multiplicação, como qualquer outra coisa no ábaco, sempre trabalhamos da direita para a
esquerda. Considerando que 8 aparece à direita do multiplicando, nós o multiplicamos primeiro pelo
7. Agora, como todo bom abacista deveremos saber, 7 vezes 8 igual a 56. Considerando que nossos
cálculos são feitos à direita nas colunas, nós alimentamos 56 nas primeiras duas colunas:


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Os 6 é registrado na primeira coluna movendo uma conta da terra e uma conta do céu para a barra
transversal; 5 simplesmente está representado por uma conta do céu na barra transversal, segunda
coluna. Agora, multiplicamos o outro número do multiplicando, o 6, pelo multiplicador 7. Agora, 7
vezes 6 dá 42. Onde nós registraremos estes dígitos no ábaco? Considerando que 6 é o segundo
dígito à direita no multiplicando, o 2 dos 42 entra na segunda coluna à direita do ábaco. E, se 2 entra
na segunda coluna, 4 naturalmente entra na terceira coluna:

Desde que 7 foi usado para multiplicar ambos os dígitos no multiplicando agora, o problema está
concluído. E nós podemos ler a resposta nas primeiras três colunas. A coluna um tem uma conta do
céu e uma conta da terra na barra transversal dando um total de 6. A coluna dois tem uma conta do
céu e duas contas da terra dando um total de 7. Finalmente, coluna três tem quatro contas da terra
dando um total de 4, e nossa resposta é: 476 e lido como quatrocentos e setenta e seis.
Considerando que este problema não é assim tão difícil, tentaremos algo um pouco mais complicado.
Neste momento multiplicando e multiplicador passam a ter dois dígitos cada: 75 X96 neste exemplo,
75 é o multiplicando enquanto 96 é o multiplicador. De fato, não importa o que isto representa, 75 X
96 é exatamente igual a 96 X 75. De qualquer maneira, nós registramos ambos os números nas
colunas à esquerda e no fim do ábaco, com uma coluna desocupada entre eles e claro depois de
clarear o ábaco:

Como fizemos antes, nós começamos com os dígitos extremos à direita. multiplicando o 5 do
multiplicando pelo 6 do multiplicador, temos 30. O Zero entra na primeira coluna do ábaco. Mas,
como já sabemos, o ábaco trata o zero como uma coluna vazia, assim a primeira coluna permanece
como está. Porém, 3 deve ser registrado ao lado, assim nós movemos três das contas da terra para
cima, coluna dois, para a barra transversal:

Agora multiplicamos o 7 do multiplicando pelo 6 do multiplicador. O resultado disso é 42. Já que 7 é
o segundo dígito à direita do multiplicando, realmente é 70 à medida que o zero preenche a posição
do 5; então o 2 do 42 precisa ser registrado na segunda coluna do ábaco e o 4 ao lado, terceira


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coluna, deixando a primeira coluna em aberto para o zero. O 2 simplesmente é registrado na
segunda coluna movendo para baixo um das contas do céu nesta coluna para a barra transversal e
ao mesmo tempo movemos três contas da terra para baixo, da barra transversal até o fundo da
estrutura. Isto significa a somar 5 e subtrair 3, e isso significa somar 2 na segunda coluna. Para
registrarmos 4 na coluna três, basta elevar quatro contas da terra nesta coluna para a barra
transversal.

O 6 do multiplicador 96 já fizeram sua parte agora. Já multiplicamos ambos os dígitos do
multiplicando, e não os usaremos adicionalmente. Assim nós movemos para cima uma conta do céu
e sua uma conta da terra para baixo.

Fazemos isto por duas razões. Em primeiro lugar, deixa o ábaco parecer menos poluído com contas,
e que sempre ajuda. Segundo, deixa mais espaço para o cálculo ao final do lado direito do ábaco.
Neste exemplo em particular, nós não precisamos de espaço extra; mas se você fosse multiplicar
números de mais de dois dígitos, o espaço extra seria certamente útil.
Agora, o que sobra no nosso problema é ainda multiplicar 9 do multiplicador pelos dígitos do
multiplicando. Multiplicamos o primeiro 9 por 5 temos 45. Já que 9 é o segundo dígito de 96
(contando a partir da direita) registramos o 5 dos 45 na segunda coluna enquanto o 4 entra na
terceira. Para alimentarmos 5, nós poderíamos elevar as cinco contas da terra, coluna dois, para a
barra transversal. Mas isso atravancaria a coluna com contas; é uma boa idéia, como nós já
mencionamos, evitar fazer isso. Um modo mais simples é somar 10 e subtrair 5, quer dizer, elevar a
uma conta da terra ao fundo da estrutura, coluna três, para a barra transversal, e elevar uma conta
do céu da barra transversal, coluna dois, para o topo da estrutura.

Mas nós ainda temos que registrar o 4 na terceira coluna. Nós fazemos isto baixando uma das contas
do céu nesta coluna para a barra transversal; ao mesmo tempo, baixamos um das contas da terra
nesta terceira coluna para o fundo da estrutura. Em deste modo, somamos 5 e subtraímos 1,
portanto 4 128 foi registrado na quarta coluna. Para alimentarmos 3, nós elevamos uma conta da


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terra, quarta coluna, para a barra transversal. E, ao mesmo tempo, retiramos uma conta do céu da
barra transversal, coluna três. e duas contas da terra da barra transversal na mesma coluna:

Finalmente, nós registramos o 6 do nosso 63 na coluna quatro baixando uma conta do céu e uma
conta da terra para a barra transversal:

Agora podemos ler em voz alta nossa resposta. Não há contas na barra transversal das colunas um e
dois, que significa que os dois dígitos a direito em nossa resposta devem ser 00. A terceira coluna
tem duas contas da terra na barra transversal, assim o terceiro dígito a direita na resposta deve ser
um 2. A quarta coluna tem uma conta do céu e duas da terra, temos um total de 7. E isso significa
que o quarto dígito à direita na resposta deve ser o número. Reunindo isto, nós podemos ver que o
resultado de nossa multiplicação é 7200
Em um ábaco de nove colunas; não é fácil multiplicar figuras de três ou mais dígitos cada. Também
não haverá bastante espaço a esquerda para o registro do multiplicador e multiplicando. E porisso
que há ábacos maiores (alguns têm até quanto vinte e sete colunas!) são utilizados. Mesmo grandes
números podem ser calculados no ábaco
Por exemplo, você precisaria de um ábaco com mais de nove colunas para multiplicar 2.000.000 por
74.000?. Certamente não. Considerando que todos esses zeros não mudam as posições das contas
do ábaco nas barras, eles podem ser mantidos em sua memória enquanto você multiplica 74 por 2.
Você tira os seis zeros do primeiro número e os três zeros do segundo e guarda na sua memória, e
os inclui no resultado. Façamos esta multiplicação.
Alimentamos 74 nas últimas duas colunas à esquerda, deixe a próxima coluna em branco, então
alimente o 2 na quarta coluna:

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