บทที่ 6 โมเมนตัมและการดล 6.1 โมเมนตัมและโมเมนตัมเชิงเส้น 6.2 การดลและแรงดล 6.3 กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม 6.4 การชนใน 1 มิติ 6.5 การชนใน 2 มิติ และ 3 มิติ (การระเบิด)

1. บทที่ 6
โมเมนตัม และ การชน
อ.ณภัทรษกร สารพัฒน์
สาขาวิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏเทพสตรี ลพบุรี

2. โมเมนตัม งาน กาลัง และพลังงาน
o โมเมนตัม
o แรงและการเปลี่ยนโมเมนตัม
o การดล และแรงดล
o การชนกันของวัตถุ และ กฎทรงโมเมนตัม

3. โมเมนตัมคืออะไรอ่ะ?

4. 푣
โมเมนตัม (Momentum)
โมเมนตัม (Momentum ; 푝 ) คือ ความสามารถในการรักษา
สภาวะของวัตถุที่กาลังเคลื่อนที่ในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่ ซึ่งขึน้กับ
มวล(Mass ; m) และ ความเร็ว(Velocity ; 푣 )
푚
เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของมวลกับความเร็วในรูปแบบของ
สมการโมเมนตัม ดังนี้

5. โมเมนตัม (Momentum)
ปริมาณโมเมนตัม หาได้จากผลคูณของ ความเร็ว กับ มวล จาก
ความหมายของ โมเมนตัม จะเขียนสมการได้ว่า
푝 = 푚푣
เมื่อ 푚 คือ มวลของวัตถุ (kg)
푚 푣
푣 คือ ความเร็วของวัตถุ (m/s)
푝 คือ โมเมนตัมของวัตถุ (kg.m/s หรือ N.s)
โมเมนตัมมีหน่วยเป็น กิโลกรัม.เมตรต่อวินาที (kg .m/s) หรือ N.s.

6. หมายเหตุ
โมเมนตัม (Momentum)
푚 푣 ≡ คงที่
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อหนึ่งของนิวตัน ที่เรียกว่า กฎของความเฉื่อย ซึ่ง
อาจเขียนในรูปของโมเมนตัมได้ว่า ในกรณีที่วัตถุมีความเร็วคงตัว โม
เมนตัมของวัตถุคงตัวเสมอ

7. แรงและการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม
เมื่อวัตถุมวล m เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u มีแรงคงตัว F กระทาต่อวัตถุใน
ช่วงเวลาที่เปลี่ยนแปลงไป วัตถุเปลี่ยนเป็น v ดังรูปที่ 1
푢 퐹 푣 퐹
푡1 푡2
Δ푡 = 푡2 − 푡1

8. 푢 퐹 푣 퐹
푡1 푡2
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน : 퐹 = 푚푎
จากความสัมพันธ์ของ 푎 =
푣−푢
푡2−푡1
หรือ 푎 =
푑푣
푑푡
o กรณีที่ มวลคงที่ : 퐹 = 푚
푣−푢
Δ푡
หรือ 퐹 = 푚
푑푣
푑푡
o กรณีที่ มวลไม่คงที่ : 퐹 =
푚푣−푚푢
Δ푡
หรือ 퐹 =
푑 푚푣
푑푡
Δ푡 = 푡2 − 푡1

9. จากสมการ : 퐹 =
o 퐹 คือ แรงลัพธ์คงตัวที่กระทาต่อวัตถุมวล 푚
o 푚푢 คือ โมเมนตัมของวัตถุก่อนถูกแรงกระทา
o 푚푣 คือ โมเมนตัมของวัตถุภายหลังถูกแรงกระทา
o 푚푣 − 푚푢 คือ โมเมนตัมของวัตถุที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลา Δ푡 อาจเขียน
ย่อๆว่า Δ푝
푚푣−푚푢
Δ푡
หรือ 퐹 =
푑 푚푣
푑푡
เขียนได้ใหม่ว่า : 퐹 =
Δ푝
Δ푡
หรือ 퐹 =
푑푝
푑푡

10. แรงดล (Impulsive Force)
Δ푝 퐹
ถ้าแรงคงตัวที่กระทาต่อวัตถุ เพื่อเปลี่ยนแปลง
โมเมนตัมของวัตถุในช่วงเวลาสัน้ๆ (Δ푡 น้อยๆ )
เราจะเรียก 퐹 =
Δ푝
Δ푡
=
푑푝
푑푡
Δ푡
ว่า แรงดล (Impulsive Force)
โดยแรงที่ใช้ในการเปลีย่นสภาพการเคลือ่นทีข่องวัตถุ
จะมากหรือน้อย นอกจากจะขึ้นอยู่กับมวลและ
ความเร็วของวัตถุแล้ว ยังขึ้นอยู่กับช่วงเวลาที่

11. การดล (Impulsive)
ผลคูณของแรง กับ เวลาที่เปลี่ยนแปลง (퐹 Δ푡) เรียกว่า
การดล (Impluse) สัญลักษณ์ “ I ”
퐹 Δ푡 = 푚푣 − 푚푢 หรือ 퐹 Δ푡 = Δ푝
퐼 = 푚푣 − 푚푢 หรือ 퐼 = Δ푝
• จากสมการ การดล ก็คือ โมเมนตัมที่เปลี่ยนแปลง (푑푝 )นนั่เอง แต่
จะต้องเป็นการพิจารณาในช่วงเวลาสัน้ๆ
• การดล (I ) เป็นปริมาณเวกเตอร์มีทิศเดียวกับแรงลัพธ์ ที่กระทากับ
วัตถุ และมีหน่วยเป็น นิวตัน.วินาที(N.s)

12. การหาการดลและโมเมนตัมที่เปลี่ยนไป
จากกราฟระหว่าง F กับ t
1.การดลเมื่อแรงคงตัว
การหาการดล หาได้จาก 퐹 Δ푡 = Δ푝 หรือ จากพืน้ที่ใต้กราฟ หาได้
จาก 퐹 Δ푡
Δ푝 퐹 ≡ คงที่
พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 퐹 และ 푡 คือการดล (퐼) หรือ Δ푝
퐹
Δ푡
แรง
เวลา
Δ푡

13. แรง
เวลา
(a) 푡푖 푡푓
แรง
Area = 퐹
Δ푡 푎푣푔
. 퐹
เวลา
(b) 푡푖 푡푓
푎푣푔
2. การดลเมื่อแรงไม่คงตัว
เราอาจทาให้แรงคงตัวได้โดยการหา
ค่าเฉลี่ยของแรง F ดังกราฟรูป (b) โดย
พืน้ที่ใต้กราฟรูป (1) และรูป (3) ต้องมี
ขนาดเท่ากัน จากรูป (3) จะแทนขนาด
ของแรง F ในสมการ
퐹 Δ푡 = 푚푣 − 푚푢

14. แรง
หรือเราสามารถหาพื้นที่ใต้กราฟ โดยใช้สมการอินทิเกรต
ดังนนั้퐼 = Δ푝 = 푝 푓 − 푝 푖 = 푡푖
เวลา
푡푖 푡푓
(a)
푡푓 퐹푑푡

15. การหาการดลจากการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม
(Δ푝 )
การหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม แยกคิดได้ 2 แบบ คือ
1. เมือ่ความเร็วก่อนเปลีย่นและหลังเปลีย่นอยู่
Δ푡
ในแนวเดีย푢 วกัน
푣
퐹
퐹
푢 Δ푡 푣
퐹 퐹
2. เมือ่ความเร็วก่อนเปลีย่นและความเร็วหลัง
เปลีย่นอยู่คนละแนวกัน

16. เมื่อความเร็วก่อนเปลี่ยนและหลังเปลี่ยนอยู่ในแนวเดียวกัน
ซ้าย ขวา
o โมเมนตัม (푝 )
o แรง (퐹 )
o ความเร็ว (푣 )
ล่าง บน

17. ตัวอย่าง 4.1
วัตถุมวล m กาลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u แล้วถูกแรง F กระทาเป็นเวลา t ทา
ให้ความเร็วเปลี่ยนเป็น v จงหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม และแรงดล ที่กระทาต่อ
วัตถุ
a) แสดงเมื่อแรง F อยู่ในแนวเดียวกับ u
Δ푡
푢 푣
퐹 퐹

18. b) แสดงเมื่อแรง F อยู่ในแนวตรงข้าม u
푢 Δ푡 푣
퐹 퐹

19. c) เมื่อวัตถุตกในแนวดิ่ง
푢
푣
Δ푡
퐹
푚푔

20. ตัวอย่าง 4.2
วัตถุมวล m กาลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u แล้วถูกแรง F กระทาในทิศทามุมกับ
การเคลื่อนที่ ทาให้ความเร็วเปลี่ยนเป็น v ในทิศทามุม a กับ u จะหาการ
เปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ได้ดังรูป
푢
푣
퐹
a
q

21. ตัวอย่าง 4.3
ปล่อยวัตถุมวล 1 กิโลกรัม ลงในแนวดิ่ง เมื่อเวลาผ่านไป 2 วินาที โมเมนตัมของวัตถุ
เปลี่ยนแปลงไปเท่าใด (g = 10 m/s2)
1 กิโลกรัม

22. ตัวอย่าง 4.4
ปาวัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ขึน้ในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาทีเมื่อเวลาผา่น
ไป 3 วินาที จงหา
a) โมเมนตัมเริ่มต้น
b) โมเมนตัมสุดท้าย
c) โมเมนตัมที่เปลี่ยนไป
u = 20 m/s

23. ตัวอย่าง 4.5
นักบอลเตะลูกบอลมวล 0.5 กิโลกรัม ทาให้ลูกบอลเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 20 เมตรต่อ
วินาที เข้าชนฝาผนังในแนวตัง้ฉาก แล้วสะท้อนกลับออกมาในแนวเดิมด้วย อัตราเร็ว
20 เมตรต่อวินาทีเท่ากัน ถ้าลูกบอลกระทบฝาผนังนาน 0.05 วินาที จงหา
a) การดลของลูกบอล
b) แรงเฉลี่ยที่ฝาผนังกระทาต่อลูกบอล
20 m/s 20 m/s
Dt = 0.05 s

24. ตัวอย่าง 4.6
กล่องใบหนงึ่อยู่บนรถ ซงึ่กาลังเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็ว 30 เมตร/วินาที รถ
จะต้องเบรกจนหยุดนิ่งในเวลาน้อยที่สุดเท่าใด กล่องจึงจะไม่ไถลไปบนรถ ถ้า
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างกล่องกับรถเป็น 0.5
30 m/s
m = 0.5

25. ตัวอย่าง 4.7
ปล่อยลูกบอลมวล 0.4 กิโลกรัม จากที่สูง 5 เมตร ตกลงในแนวดิ่ง กระทบพืน้นาน
0.02 วินาที ปรากฏว่าลูกบอลกระดอนสูง 3.2 เมตร จงหา
a) การดลของลูกบอล
b) แรงดลที่กระทาต่อลูกบอล

26. ตัวอย่าง 4.8
ปาลูกบอล 0.2 กิโลกรัม ทามุม 30 องศา กับกาแพงด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที
โดยไม่มีการสูญเสียพลังงาน จงหาโมเมนตัมที่เปลี่ยนไปของลูกบอลในการชนกาแพง
10 m/s
30o

27. ตัวอย่าง 4.9
ขว้างลูกบอลมวล 100 กรัม ลงบนพืน้ด้วยอัตราเร็ว 20 เมตร/วินาที และทามุม 30๐
กับพืน้ราบ ถ้าลูกบอลสะท้อนด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม และ เวลาของการกระทบเท่ากับ
0.02 วินาที จงหา
a) โมเมนตัมของลูกบอลที่เปลี่ยนไป
b) แรงเฉลี่ยที่พืน้กระทาต่อลูกบอล
20 m/s
30o

28. กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม
(Law of conservation of
momentum)
“ ถ้าวัตถุเคลื่อนที่โดยไม่มีแรงภายนอกมากระทา ซึ่งเป็นไปตามกฎการ
เคลื่อนที่ข้อที่หนึ่งของนิวตัน วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวตลอดไป
หรือกล่าวได้ว่า วัตถุนัน้มีโมเมนตัมคงตัวทัง้ขนาดและทิศทาง ตลอดการ
เคลื่อนที่ ”
เมื่อ ∴ 푝 = 푚푣 ≡ คงที่
สมการกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม
푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน

29. ก่อนการชน : วัตถุA เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว uA
วัตถุB เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว uB
หลังการชน : วัตถุ A เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว vA
วัตถุB เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว vB
푢퐴 푢퐵
퐹 퐵
퐹 퐴
푣 퐴 푣 퐵
ก่อนการชน ขณะชน หลังการชน

30. 푢퐴 푢퐵
퐹 퐵퐴 퐹 퐴퐵
푣 퐴 푣 퐵
ก่อนการชน ขณะชน หลังการชน
ขณะวัตถุ A และวัตถุ B ชนกันไม่มีแรงภายนอกใดๆกระทา จะได้ว่า ขณะวัตถุทัง้สอง
ชนกัน จะมีแรงคู่กิริยา-ปฏิกิริยาระหว่างวัตถุทัง้สองเกิดขึน้ โดยมีขนาดเท่ากัน ดังรูป
จากกฎข้อสามของนิวตัน ได้ว่า 퐹 퐴퐵 = −퐹 퐵퐴
…………(1)
เมื่อ 퐹 퐴퐵 =
푚푣퐴−푚푢퐴
Δ푡
และ 퐹 퐵퐴 =
푚푣퐵−푚푢퐵
Δ푡
แทน 퐹 퐴퐵 และ 퐹 퐵퐴 ลงในสมการที่ 1 จะได้

31. 푢퐴 푢퐵
퐹 퐵퐴 퐹 퐴퐵
푣 퐴 푣 퐵
ก่อนการชน ขณะชน หลังการชน
ได้ว่า 푚푣퐴−푚푢퐴
Δ푡
= −
푚푣퐵−푚푢퐵
Δ푡
…………(2)
푚푣 퐴 − 푚푢퐴 = 푚푢퐵 − 푚푣 퐵 …………(3)
푚푢퐴 + 푚푢퐵 = 푚푣 퐴 + 푚푣 퐵 …………(4)
o นั่นคือ ผลรวมโมเมนตัมก่อนชนเท่ากับผลรวมของโมเมนตัมหลังชน
สมการกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม
푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน

32. การชน (Collision)
การชน (Collision) หมายถึง การที่วัตถุหนึ่งกระทบกับอีกวัตถุหนึ่งใน
ช่วงเวลาสัน้ๆ หรือในบางครัง้วัตถุอาจไม่ต้องการกระทบกันแต่มีแรงมากระทาต่อ
วัตถุแล้วให้ผลเหมือนกับการชนก็ถือว่าเป็นการชนกัน เช่น สนุ๊กเกอร์, การชนกัน
ของรถ , การกระทบกันของลูกตุ้มกับเสาเข็ม , การตีเทนนิส, ตีปิงปอง , ตีกอล์ฟ
, การเตะลูกฟุตบอล , การระเบิดของวัตถุระเบิด ,การยิงปืน เป็นต้น

33. การชนของวัตถุโดยมากมักจะมีแรงภายนอกมากระทาต่อวัตถุ
ซงึ่ขนาดของแรงจะมากหรือน้อยขึน้อยู่กับลักษณะการชนกันของ
วัตถุ และในการชนอาจมีการสูญเสียค่าโมเมนตัมมากหรือน้อย
หรือไม่สูญเสียเลยก็ได้

34. เราอาจแยกการชนได้ 2 ลักษณะ ดังนี้
1. เมื่อโมเมนตัมของระบบมีค่าคงตัว เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมา
กระทาน้อยมาก เมื่อเทียบกับขนาดของแรงดล ที่เกิดกับวัตถุขณะชนกัน หรือ
แรงภายนอกเป็นศูนย์ เช่น การชนของลูกบิลเลียด การชนกันของรถยนต์ การ
ยิงปืน เป็นต้น
2. เมื่อโมเมนตัมของระบบไม่คงที่ เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระทา
มากกว่าแรงดลที่เกิดกับวัตถุขณะชนกัน เช่น ลูกบอลตกกระทบพืน้ รถยนต์ชน
กับต้นไม้ เป็นต้น

35. สามารถแยกลักษณะการชนได้ 3 แบบ
1. การชนกันแบบยืดหยุ่น ( Elastic collision )
o การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
o การชนแบบยืดหยุ่นไม่สมบูรณ์
2. การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelatic collision)
3. การดีดตัวของวัตถุ หรือ การระเบิด

36. การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
(Perfectly elastic collision)
ผลรวมของการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
1. ผลรวมของโมเมนตัมก่อนชน = ผลรวมของโมเมนตัมหลังชน
푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
2. ผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนชน = ผลรวมของพลังงานจลน์หลังชน
퐸푘 ก่อนชน = 퐸푘 หลังชน

37. ตัวอย่าง 4.10
พิจารณาการชนกันของวัตถุ 2 ก้อน ที่มีความเร็วอยู่ในแนวผ่านจุดศูนย์กลางมวล
(C.M.) วัตถุมวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u1 เข้าชนวัตถุมวล m2 ซึ่งกาลัง
เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u2 ในทิศทางเดียวกัน โดย u1 มากกว่า u2 ดังรูป ถ้าเป็น
การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ ภายหลังการชนมวล m1 มีความเร็ว v1 มวล m2 มี
ความเร็ว v2 จะได้ความสัมพันธ์ของการชน ดังนี้
푢1 푢2
푣 1 푣 2
m1 m2
m1 m2
ก่อนการชน ขณะชน หลังการชน

38. o จาก 푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน ได้ว่า
푚1푢1 + 푚2푢2 = 푚1푣 1 + 푚2푣 2
………………(1)
เนื่องจากเป็นการชนในแนวตรงเดียวกัน อาจเขียนสมการใหม่ได้ว่า
푚1푢1 − 푚1푣 1 = 푚2푣 2 − 푚2푢2
………………(2)
푚1 푢1 − 푣 1 = 푚2 푣 2 − 푢2
………………(3)
o เมื่อเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ 퐸푘ก่อนชน = 퐸푘หลังชน
ได้ว่า
1
2푚1푢1
2 + 1
2푚2푢2
2 = 1
2푚1푣 1
2 +
1 2
………………(4)

39. 푚1푢1
2 − 푚1푣 1
2 = 푚2푣 2
2 − 푚2푢2
2
………………(5)
푚1 푢1
2 − 푣 1
2 = 푚2 푣 2
2 − 푢2
2
………………(6)
นาสมการที่ (6) / (3)
푚1 푢1
2
−푣1
2
푚1 푢1−푣1
=
푚2 푣2
2
−푢2
2
푚2 푣2−푢2
………………(7)
푢1
2
−푣1
2
푢1−푣1
=
푣2
2
−푢2
2
푣2−푢2
………………(8)
푢1−푣1 푢1+푣1
푢1−푣1
=
푣2−푢2 푣2+푢2
푣2−푢2

40. 푢1 + 푣 1 = 푣 2 + 푢2
ในการแก้ปัญหาการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
โจทย์มักจะถามหาความเร็วหลังการชนของมวลทงั้สอง (v1 , v2)
เราจะใช้สมการ 2 สมการ คือ
1. 푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
2. 푢1 + 푣 1 = 푣 2 + 푢2
โดยไม่ต้องใส่เครื่องหมายเวกเตอร์ แต่จะใช้เครื่องหมาย (+) และลบ (-) แสดงทิศทาง
การเคลื่อนที่ของวัตถุทัง้สอง หน้า u หรือ v แล้วแทนค่าในสมการทัง้สอง

41. ตัวอย่าง 4.11
วัตถุมวล 2 กิโลกรัม วิ่งด้วยความเร็ว 4 เมตร / วินาที เข้าชนวัตถุมวล 1
กิโลกรัมซึ่งกาลังเคลื่อนที่ดัวยความเร็ว 2 เมตร / วินาที ไปในทิศทางเดียวกัน ถ้า
การชนไม่มีการสูญเสียพลังงาน ความเร็วของมวลทัง้สองหลังชนเป็นเท่าใด
푣 2푘푔 푣 1푘푔
4 m/s 2 m/s
2 kg
1 kg
ก่อนการชน ขณะชน หลังการชน

42. ตัวอย่าง 4.12
มวล 2m วิ่งด้วยความเร็ว 10 เมตร / วินาที เข้าชนมวล 3m ซึ่งกาลังวิ่งด้วย
ความเร็ว 4 เมตร / วินาที ในทิศทางเดียวกัน ถ้าในการชนไม่มีการสูญเสีย
พลังงานจลน์ จงหาความเร็วของมวลทัง้สองหลังชนกัน

43. ตัวอย่าง 4.13
วัตถุ A มวล 4 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 6 เมตร/วินาที เข้าชนวัตถุ B มวล
2 กิโลกรัม ซงึ่อยู่นิ่งในแนวเส้นตรง ถ้าการชนเป็นแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ จงหา
ความเร็วหลังชนของมวลทัง้สองและหาโมเมนตัมของวตัถุ A ที่เปลี่ยนไป

44. การชนเป็นแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
ในแนวเส้นตรงเมื่อวัตถุที่ถูกชนอยู่นิ่ง
ให้วัตถุมวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u1 เข้าชนวัตถุมวล m2 ซงึ่อยู่นิ่งๆ ใน
แนวจุดศูนย์กลางของมวลทัง้สองแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ภายหลังการชนวัตถุ
m1 ที่มีความเร็ว v1 และวัตถุมวล m2 มีความเร็ว v2 ดังรูป
푢1
푣 1
푢2 = 0 푣 2
m1 m2
m1 m2
ก่อนการชน หลังการชน

45. o จาก 푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน ได้ว่า
푚1푢1 + 푚2푢2 = 푚1푣 1 + 푚2푣 2
………………(1)
푚1푢1 + 푚2 0 = 푚1푣 1 + 푚2푣 2
………………(2)
푚1푢1 = 푚1푣 1 + 푚2푣 2 ………………(3)
o จาก 푢1 + 푣 1 = 푣 2 + 푢2 ได้ว่า
푢1 + 푣 1 = 푣 2 + 0 ………………(4)
푢1 + 푣 1 = 푣 2 ………………(5)
o นา 푚1 คูณตลอด (4) ได้ว่า
푚1푢1 + 푚1푣 1 = 푚1푣 2 ………………(6)

46. o นาสมการที่ (3) บวก (6) ได้ว่า
푚1푢1 + 푚1푢1 + 푚1푣 1 = 푚1푣 2 + 푚1푣 1 + 푚2푣 2
………………(7)
2푚1푢1 = 푚1푣 2 + 푚2푣 2 ………………(8)
2푚1푢1 = 푚1 + 푚2 푣 2 ………………(9)
ดังนนั้ 푣 2 หาได้จาก
푣 2 =
2푚1푢1
푚1 + 푚2

47. ตัวอย่าง 4.14
วัตถุA เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที เข้าชนวัตถุ B ซงึ่อยู่นิ่งๆ ในแนว
ผ่านจุดศูนย์ กลางของมวลทัง้สองแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ จงหาความเร็วของวัตถุ A
และ B หลังชนกันเมื่อ
a) m A = 4 กิโลกรัม , m B = 1 กิโลกรัม
b) m A = 4 กิโลกรัม , m B = 4 กิโลกรัม
c) m A = 1 กิโลกรัม , m B = 4 กิโลกรัม

48. สรุปลักษณะการชนของวัตถุในเส้นตรง (ผ่านจุดศูนย์กลางมวล)
แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ โดยวัตถุที่ถูกชนอยู่นิ่ง จะได้ว่า
1. มวลมากชนมวลน้อย ( m1 > m2 ) หลังชนวัตถุทัง้สองจะเคลื่อนที่ไป
ทางเดียวกันโดย
2. มวลเท่ากันชนกัน ( m1 = m2 ) หลังชนวัตถุที่เข้าชนจะหยุดนิ่ง ( v1
= 0 ) ส่วนวัตถุที่ถูกชนเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วเท่ากับความเร็วก่อนชน
ของวัตถุที่ชน ( v2 = u1)
3. มวลน้อยชนมวลมาก ( m1 < m2 ) หลังชนวัตถุที่ชนจะสะท้อนกลับ
ส่วนวัตถุที่ถูกชนเคลื่อนที่ไปในแนวเดียวกับความเร็วก่อนชนของวัตถุที่เข้า
ชน

49. การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelatic collision)
การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelatic collision) หมายถึง เป็น
การชนของวัตถุแล้วรูปร่างมีการเปลีย่นแปลง หรือ มีการเคลือ่นที่
ติดกันไป จากการทดลองพบว่าการชนกันแบบนีพ้ลังงานจลน์ไม่คงที่ พลังงาน
จลน์หลังชนมีค่าน้อยกว่าพลังงานจลน์ก่อนชน เพราะว่าพลังงานจลน์บางส่วน
นาไปใช้ในการเปลี่ยนแปลงรูปร่างวัตถุทาให้บุบ, ยุบ และเปลี่ยนรูปเป็น
พลังงานเสียง แต่โมเมนตัมรวม ก่อนการชนเท่ากับโมเมนตัมหลังการชน

50. การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelatic collision)
푢1
m1 m2
푣
m1 m2
푢2
ก่อนการชน หลังการชน
ให้วัตถุมวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u1 เข้าชนมวล m2 ซึ่งเคลื่อนที่ด้วย
ความเร็ว u2 ในแนวเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของมวลทัง้สองปรากฏว่างหลัง
ชนมวล m1 และ m2 เคลื่อนที่ติดกันไปด้วยความเร็ว v ดังรูปที่

51. การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelatic collision)
ผลของการชนแบบไม่ยืดหยุ่น ได้ว่า
o จาก 푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
푚1푢1 + 푚2푢2 = 푚1푣 1 + 푚2푣 2
………………(1)
o เมื่อ 푣 1 = 푣 2 = 푣 ได้ว่า
푚1푢1 + 푚2푢2 = 푚1푣 + 푚2푣
푚1푢1 + 푚2푢2 = 푚1 + 푚2 푣
………………(2)
o จาก 퐸푘 ก่อนชน > 퐸푘 หลังชน

52. ตัวอย่าง 4.15
มวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u1 เข้าชนมวล m2 ซงึ่วางอยู่นิ่งๆ ตรงๆ
แล้วติดไปด้วยกัน จงแสดงว่าการชนแบบนีมี้การสูญเสียพลังงานจลน์

53. ตัวอย่าง 4.16
รถขนหินมวล 400 กิโลกรัม วิ่งด้วยความเร็ว 1 เมตร/วินาที เข้ารองรับ
ก้อนหินมวล 100 กิโลกรัม ซึ่งมีความเร็ว 4 เมตร/วินาที ดังรูป จงหา
ความเร็วของรถขนหินเมื่อก้อนหินตกลงสู่รถ
53o

54. ตัวอย่าง 4.17
วัตถุมวล 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที เข้าชนมวล 3
กิโลกรัม ซงึ่อยู่นิ่งในแนวผ่านจุดศูนย์กลาง หลังชนวัตถุทัง้สองเคลื่อนที่ติดกันไป
จงหาความเร็วของวัตถุทัง้สองหลังชนกัน

55. ตัวอย่าง 4.18
รถบรรทุกมวล 6000 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 15 m/s เข้าชนรถ
โดยสารมวล 4000 kg ซึ่งเคลื่อนที่สวนทางมาด้วยความเร็ว 20 m/s ใน
แนวเส้นตรงเดียวกันหลังชน ปรากฏว่ารถทัง้สองติดกันไป จงหาความเร็วหลัง
ชนของรถทัง้สอง

56. ตัวอย่าง 4.19
ลูกปืนมวล 40 กรัม ถูกยิงออกไปในแนวระดับด้วยความเร็ว 800 เมตร/
วินาที เข้าชนแท่งไม้มวล 10 กิโลกรัม ซงึ่วางนิ่งอยู่บนพืน้ แล้วทะลุผ่านแท่ง
ไม้ออกไปในทันทีทาให้แท่งไม้มีความเร็ว 2 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของ
ลูกปืนเมื่อทะลุผ่านแท่งไม้ออกไป

57. ตัวอย่าง 4.20
มวล 4 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วนความเร็ว 10 เมตร/วินาที เข้าชนมวล 6
กิโลกรัม ซึ่งวิ่งสวนทางมาด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที ในแนวผ่านจุด
ศูนย์กลางมวล ปรากฏว่ามวลทัง้สองติดกันไป จงหา
a) ความเร็วมวลทัง้สอง
b) พลังงานจลน์ที่หายไปในการชน

58. ตัวอย่าง 4.21
วัตถุมวล 10 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที เข้าชนมวล
15 กิโลกรัม ซงึ่อยู่นิ่งภายหลังการชนมวล 10 กิโลกรัม อยู่นิ่ง จงหา
a) ความเร็วหลังชนของมวล 15 กิโลกรัม
b) พลังงานจลน์เปลี่ยนแปลงหรือไม่ อย่างไร

59. การดีดตัวของวัตถุ หรือ การระเบิด
การระเบิด คือ การทีวั่ตถุแยกหรือแตกออกจากกัน โดยไม่มี
แรงภายนอกมากระทา ซงึ่เดิมวัตถุจะอยู่ด้วยกัน โดยมีเงื่อนไข
เหมือนกับการชน 2 ลักษณะที่กล่าวมาแล้ว คือ
푝 ก่อนระเบิด = 푝 หลังระเบิด
ส่วนพลังงานจลน์ของวัตถุในการระเบิด พบว่าผลรวมพลังงานจลน์หลัง
การระเบิด จะมีค่ามากกว่าผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนระเบิด เนื่องในการ
ระเบิดมีการเปลี่ยนรูปพลังงานรูปต่างๆเป็นพลังงานจลน์ จึงได้ว่า
퐸푘ก่อนระเบิด < 퐸푘หลังระเบิด

60. ลักษณะของการระเบิดแยกออกได้ 2 ลักษณะ
1. การระเบิดแบบแยกออกจากกันอย่างอิสระ การระเบิดของวัตถุ
ลักษณะนีวั้ตถุจะแยกออก จากกันเป็นส่วน ๆ เช่น การยิงปืน , มวลอัด
สปริง , คนกระโดดจากเรือ , คนกระโดดจากเรือซึ่งกาลังเคลื่อนที่
2. การระเบิดแบบสัมพัทธ์ โดยภายหลังการระเบิดวัตถุยังอยู่ด้วยกัน การ
คานวณความเร็วของวัตถุแต่ละก้อน ให้คิดเทียบกับพืน้โลก เช่น คน
เดินบนเรือซงึ่อยู่นิ่ง , คนเดินบนเรือซงึ่กาลังเคลื่อนที่

61. การระเบิดแบบแยกออกจากกันอย่างอิสระ
o การยิงปืน
เดิมกระสุนปืนและปืนอยู่ด้วยกัน ตัวปืนมีมวล M ลูกปืนมวล m หลังยิง
ลูกปืนมีความเร็ว v ตัวปืนมีความเร็ว V ถอยหลัง
m
M
V
v
M
m
ก่อนยิงปืน หลังยิงปืน

62. m
M
V
ก่อนยิงปืน โมเมนตัมของระบบ = 0
หลังยิงปืน โมเมนตัมของระบบ = mv – MV
จาก โมเมนตัมก่อนยิง = โมเมนตัมหลังยิง
0 = m1v1 + m2v2
= M(-V) + mv
จะได้ว่า MV = mv
หรือกล่าวได้ว่า โมเมนตัมของตัวปืน = โมเมนตัมของลูกปืน
v
M
m
ก่อนยิงปืน หลังยิงปืน

63. oมวลอัดสปริง
วัตถุมีมวล M และ m ผูกติดกันด้วยเชือกและมีสปริงติดอยู่ที่มวลก้อนใดก้อน
หนึ่ง เมื่อตัดเชือกขาดมวล M และ m จะเคลื่อนที่ออกจากกันด้วยความเร็ว V
และ v ตามลาดับ
V
M m M m
ก่อนดีดตัว หลังดีดตัว
v

64. V
M m M m
ก่อนดีดตัว หลังดีดตัว
푝 ก่อนระเบิด = 푝 หลังระเบิด
0 = m1v1 + m2v2
= M(-V) + mv
จะได้ว่า mv = MV
หรือกล่าวได้ว่า โมเมนตัมของมวล m = โมเมนตัมของมวล M
v

65. oคนกระโดดจากเรือ
เดิมคนมีมวล m อยู่บนเรือ ซงึ่เรือมีมวล M เมื่อคนกระโดดออกจาก
เรือด้วยความเร็ว v เรือจะเคลื่อนที่ถอยหลังด้วยความเร็ว V
m
ก่อนกระโดด หลังกระโดด
M
V v
m
M

66. m
ก่อนกระโดด หลังกระโดด
M
V v
m
M
푝 ก่อนระเบิด = 푝 หลังระเบิด
0 = m1v1 + m2v2
= M(-V) + mv
จะได้ว่า mv = MV
หรือกล่าวได้ว่า โมเมนตัมของมวล m = โมเมนตัมของมวล M

67. สรุป : การระเบิดแบบแยกออกจากกันอย่างอิสระ
จากตัวอย่างการระเบิดแบบแยกออกจากกันอย่างอิสระ
ได้สมการดังนี้
푝 ก่อนระเบิด = 푝 หลังระเบิด
0 = m1v1 + m2v2
= M(-V) + mv
จะได้ว่า mv = MV
หรือกล่าวได้ว่า โมเมนตัมของมวล m = โมเมนตัมของมวล M

68. oคนกระโดดจากเรือซึ่งกา ลังเคลื่อนที่
เดิมคนมีมวล m ยืนอยู่บนเรอ M ซงึ่กาลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u แล้วคน
กระโดดออกจากเรือด้วยความเร็วทางด้านหน้าด้วยความเร็ว v ทาให้เรือมี
ความเร็ว V
m
ก่อนกระโดด หลังกระโดด
M
V v
m
M
u

69. m
ก่อนกระโดด หลังกระโดด
M
V
v
m
M
푝 ก่อนระเบิด = 푝 หลังระเบิด
(M+m)u = MV+ mv
Mu+mu = MV+ mv
MV = m(u-v)+Mu
u
จะได้ว่า 푉 =
m(u−v)+Mu
M

70. การระเบิดแบบสัมพัทธ์
oคนเดินบนเรือซึ่งอยู่นิ่ง
ให้คนมีมวล m อยู่นิ่งบนเรือมวล M เมื่อคนเดินด้วยความเร็ว v จะทาให้เรือ
เคลื่อนที่ในทิศทางตรงข้ามด้วยความเร็ว V ขณะที่คนเดินด้วยความเร็ว v เรือจะ
เคลื่อนที่ถอยหลังจากคนด้วยความเร็ว V เมื่อเทียบกับพืน้โลก ดังนัน้คนจะมี
ความเร็ว (v - V) เมื่อเทียบกับโลก
m
V
ก่อนเดิน หลังเดิน
v
M
m
M

71. ก่อนเดิน หลังเดิน
푝 ก่อนระเบิด = 푝 หลังระเบิด
0 = m (v - V) + M(-V)
0 = m (v - V) - MV
m (v - V) = MV
mv - mV = MV
mv = (m + M)V
จะได้ว่า 푉 =
mv
m+M
m
V
v
M
m
M

72. oคนเดินบนเรือซึ่งกา ลังเคลื่อนที่
ให้คนมีมวล m ยืนนิ่งอยู่บนเรือมวล M ซงึ่มีความเร็ว u เมื่อคนเริ่มเดิน
ด้วยความเร็ว v เรือจะมีความเร็ว V ขณะที่คนเดินด้วย v ความเร็วของเรือ
เป็น V ความเร็วของคนที่สัมพัทธ์กับพืน้โลกจะเท่ากับ v + V
m
u V
ก่อนเดิน หลังเดิน
v
M
m
M

73. u V
ก่อนเดิน หลังเดิน
푝 ก่อนระเบิด = 푝 หลังระเบิด
(m + M)u = m(v + V) + MV
mu + Mu = mv + mV + MV
mu - mv + Mu = (m + M)V
m
v
M
m
M
จะได้ว่า 푉 =
m 푢−푣 +푀푢
m+M

74. 1. การชนกันหรือการระเบิดทุกกรณี จะอ้างหลักคงที่โมเมนตัมได้
เสมอว่า
푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
2. การชนกันแบบยืดหยุ่นจะไม่มีการสูญเสียพลังงานจลน์และตงั้
สมการได้ 2 สมการคือ
o 푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
o 퐸푘 ก่อนชน = 퐸푘 หลังชน
หรือสูตรลัด
สรุป
푢1 + 푣 1 = 푣 2 + 푢2

75. 3. การชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น จะมีการสูญเสียพลังงานจลน์ จะตงั้สมการได้
2 สมการคือ
o 푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
o 퐸푘ที่หายไป = 퐸푘 ก่อนชน − 퐸푘 หลังชน
4. การระเบิดจะมีพลังงานจลน์ตอนหลังระเบิดมากกว่าพลังงานจลน์ตอน
ก่อนระเบิดเสมอ โดยพลังงานส่วนที่เพิ่มมานี้มาจากการเผาไหม้ของดิน
ปืน และตงั้สมการได้ 2 สมการ
o 푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
o 퐸푘ที่เพิ่ม = 퐸푘 หลังระเบิด − 퐸푘 ก่อนระเบิด

76. ตัวอย่าง 4.22
ชายคนหนึ่งมวล 60 กิโลกรัม ยืนอยู่บนล้อเลื่อนมวล 20 กิโลกรัม แล้วขวาง
วัตถุมวล 2 กิโลกรัมออกไปตรงๆในแนวระดับด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที จง
หาความเร็วของล้อเลื่อน
10 m/s
2 kg
20 kg
60 kg

77. ตัวอย่าง 4.23
ปืนใหญ่กระบอกหนึ่งมีมวล 2000 กิโลกรัม ลูกปืนมีมวล 10 กิโลกรัม หลังยิง
แล้วปรากฏว่าลูกปืนมีความเร็ว 50 เมตร/วินาที จงหาว่าตัวปืนจะถอยหลังด้วย
ความเร็วเท่าไร
50 m/s
10 kg
2,000 kg

78. ตัวอย่าง 4.24
รถทดลอง 2 คัน คันหนงึ่มวล m มีสปริงติดอยู่หน้ารถ อีกคันหนงึ่มีมวล 2m
นามากดอัดสปริงหน้ารถคันแรก แล้วใช้เชือกผูกหน้ารถ 2 คัน ไว้ด้วยกันดังรูป
เมื่อตัดเชือกออก รถคันแรกเคลื่อนทีทันทีด้วยความเร็ว 4 เมตร/วินาที จงหา
ความเร็วของรถคันที่สองหลังตัดเชือก
m
4 m/s
m 2m m 2m

79. ตัวอย่าง 4.25
ชายคนหนึ่งมีมวล 50 กิโลกรัม ยืนอยู่บนหัวเรือมวล 75 กิโลกรัม ถ้าชายคนนี้
พุ่งตัวลงนา้ด้วยความเร็ว 6 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของเรือหลังจากชายคนนี้
พุ่งตัวลงนา้

80. ตัวอย่าง 4.26
ชายคนหนึ่งมวล 60 กิโลกรัม ยืนอยู่บนเรือมวล 40 กิโลกรัม ซงึ่กาลังแล่นด้วย
ความเร็ว 4 เมตร/วินาที ชายคนนีอ้อกเดินจากท้ายเรือด้วยความ 2 เมตร/วินาที
( เทียบกับเรือ )
a) จงหาความเร็วเรือขณะชายออกเดิน
b) ถ้าชายคนนีอ้อกเดินจากหัวเรือไปท้ายเรือด้วยความเร็ว 2 เมตร/
วินาที เทียบกับเรือ จงหาความเร็วของเรือ

81. ตัวอย่าง 4.27
ปืนใหญ่มวล 2,000 กิโลกรัม ตัง้ให้ปากกระบอกปืนทามุม 60๐ กับแนวราบ
แล้วยิงลูกปืนมวล 10 กิโลกรัม ออกไปด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาที
อยากทราบว่าตัวปืนจะเคลื่อนที่ถอยหลังด้วยความเร็วเท่าใด

82. ตัวอย่าง 4.28
ชายคนหนึ่งมีมวล 60 กิโลกรัม ยืนอยู่บนแพ ซงึ่มีมวล 40 กิโลกรัม ลอย
นิ่ง โดยชายคนนีห้่างจากฝั่ง 10 เมตร ถ้าชายคนนีเ้ดินบนแพในทิศทางเข้าหา
ฝั่งเป็นระยะ 4 เมตร ชายคนนีจ้ะอยู่ห่างจากฝั่งเท่าไร

83. Ballistic pendulum

84. Ballistic pendulum เป็นการแกว่งของวัตถุแบบลูกตุ้มนาฬิกา
เมื่อถูกกระทบด้วยวัตถุอื่น เช่น การยิงลูกปืนให้ชนถุงทราย หรือแท่งไม้ซึ่ง
แขวนด้วยเชือกในแนวดิ่ง ทาให้วัตถุแกว่งสูงขึน้จากเดิม ประโยชน์ใช้วัด
ความเร็วของลูกปืนขณะถูกยิงออกจากปืน

85. กาหนดให้ลูกปืนมวล m ถูกยิงออกจากปืนด้วยความเร็ว u เข้าชนแท่งไม้
มวล M แล้วฝังชนแท่งไม้ทาให้แท่งไม้แกว่งสูงจากเดิม h ความเร็วของ
ลูกปืนขณะออกจากลากล้องปืน

86. จากกฎอนุรักษ์โมเมนตัม (ลูกปืนชนแท่งไม้)
푝 ก่อนระเบิด = 푝 หลังระเบิด
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2
m1u1 + 0 = (m1 +m2)v
mv0 = (m + M)v …….….(1)
เมื่อ v คือ ความเร็วของแท่งไม้หลังถูกลูกปืนชน

87. จากกฎอนุรักษ์โมเมนตัม (คิดที่แท่งไม้)
퐸푘 = 퐸푝
1
2푚푣2 = 푚푔ℎ ดังนัน้푣 = 2푔ℎ
푣 = 2푔ℎ แทนใน (1) จะได้ ความเร็วของลูกปืน
푣0 =
푚 + 푀
푚
2푔ℎ

88. ***สรุป ในการหาความเร็วของลูกปืน
ถ้ารู้ความสูง h ของถุงทรายที่แกว่ง ก็จะหาความเร็วของลูกปืนได้
เลย โดยต้องรู้ m , M ก่อน
푣0 =
푚 + 푀
푚
2푔ℎ

89. ตัวอย่าง 4.29
เมื่อแท่งไม้แกว่งสูงจากเดิมวัดตามแนวดิ่งได้10 เซนติเมตร จงหาความเร็วของ
ลูกปืนตอนถูกยิงออกจากกระบอกปืน เมื่อ ถุงทรายมวล 500 กรัม และ ลูกปืน
มวล 10 กรัม

90. ตัวอย่าง 4.30
ยิงลูกปืนมวล 10 กรัม ออกไปด้วยความเร็ว 500 เมตร/วินาที เข้าฝังในแท่งไม้
มวล10 กิโลกรัม ซึ่งแขวนไว้ในแนวดิ่งอยากทราบว่าแท่งไม้จะแกว่งสูงขึน้จาก
เดิมเท่าไร

91. ตัวอย่าง 4.31
ลูกปืนมวล 50 กรัม ถูกยิงออกไปด้วยความเร็ว 400 เมตร/วินาที เข้าชนเป้า
มวล 5 กิโลกรัม แล้วลูกปืนทะลุผ่านเป้าออกไปด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาที
จงหาว่าเป้าแกว่งได้สูงสุดเท่าไร

92. ตัวอย่าง 4.32
ลูกปืนมวล 20 กรัม ถูกยิงออกไปด้วยความเร็ว 1000 เมตร/วินาที เข้าชนแท่ง
ไม้มวล 2 กิโลกรัม ที่แขวนในแนวดิ่ง ปรากฏว่าลูกปืนทะลุผ่านแท่งไม้ออกไป
ทันที โดยแท่งไม้จะแกว่งขึน้ไปได้สูงสุด 20 เซนติเมตร จงหาความเร็วของลูกปืน
ที่ทะลุออกจากแท่งไม้

93. ตัวอย่าง 4.33
ลูกปืนมวล 20 กรัม ถูกยิงออกไปด้วยความเร็ว 400 เมตร/วินาที ชนทะลุผ่าน
แท่งไม้มวล 5 กิโลกรัม ออกไปด้วยความเร็ว 50 เมตร/วินาที จงหา
a) แท่งไม้แกว่งสูงขึน้จากเดิมมากที่สุดเท่าไร
b) พลังงานของระบบสูญหายไปหรือไม่อย่างไร

94. ตัวอย่าง 4.34
มวล 4 กิโลกรัม และ 6 กิโลกรัม เคลื่อนที่ตามกันบนพืน้ราบ ซงึ่ปราศจากแรง
เสียดทานด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที และ 2 เมตร/วินาที ตามลาดับดังรูป
เมื่อชนกันจะทาให้สปริงหดสัน้ที่สุดเท่าไร เมื่อค่านิจของสปริงเป็น 8640 นิว
ตัน/เมตร
5 m/s 2 m/s
4 kg 6 kg
4 kg 6 kg

95. ตัวอย่าง 4.35
จากรูปสปริงอยู่ในแนวระดับ มีค่านิจ 600 นิวตนั/เมตร ปลายหนงึ่ตรึงอยู่กับ
ฝาผนัง อีกปลายหนึ่งมีมวล 1.5 กิโลกรัม ติดอยู่และวางบนพืน้ ซงึ่ไม่มีความ
ฝืด เริ่มต้นสปริงยังไม่ยืดหรือหดเลย เมื่อมีมวล 0.5 กิโลกรัม เลื่อนที่เข้าชน
มวล 1.5 กิโลกรัมตรงๆ โดยไม่มีการสูญเสียพลังงาน ปรากฏว่าสปริงหดเข้า
ไป 10 เซนติเมตร จงหาความเร็วของมวล 0.5 กิโลกรัม
u
0.5 kg 1.5 kg
0.5 kg 1.5 kg

96. ตัวอย่าง 4.36
วัตถุมวล 6 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 8 เมตร/วินาที เข้าชนวัตถุอีกก้อน
หนงึ่มวล 4 กิโลกรัม ซงึ่วางอยู่นิ่งบนพืน้ราบ หลังชนวัตถุมวล 6 กิโลกรัม
หยุดนิ่ง จงหาว่ามวล 4 กิโลกรัม จะเคลื่อนที่ไปได้ไกลเท่าไรถ้าสัมประสิทธิ์
ของความเสียดทานระหว่างมวล 4 กิโลกรัมและพืน้มีค่า 0.4

97. ตัวอย่าง 4.37
ลูกปืนมวล 10 กรัม ถูกยิงด้วยความเร็ว 800 เมตร/วินาที เข้าไปฝังในแท่งไม้
มวล 5 กิโลกรัม ที่วางอยู่บนโต๊ะ ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างแท่ง
ไม้กับโต๊ะมีค่าเท่ากับ 0.4 แท่งไม้จะไถลไปได้ไกลเท่าไร

98. ตัวอย่าง 4.38
กระสุนมวล 15 กรัม เคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร็ว 400 เมตร/วินาที
เข้าฝันในแท่งไม้มวล 4 กิโลกรัม ซงึ่วางนิ่งบนพืน้ ถ้าแท่งไม้เคลื่อนทไี่ปตาม
พืน้ได้ไกล 0.25 เมตร จงหาค่าสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานระหว่างแท่ง
ไม้กับพืน้

99. ตัวอย่าง 4.39
วางวัตถุมวล 4 กิโลกรัม ทับรูบนโต๊ะ ถ้ายิงลูกปืนมวล 20 กรัม ผ่านรูเข้าฝัง
ในวัตถุ ทาให้วัตถุกระเด็นขึน้ได้สูงสุด 1.25 เมตร จงหาความเร็วของลูกปืน
ก่อนกระทบวัตถุ
1.25 m

100. ตัวอย่าง 4.40
ปล่อยลูกเหล็กมวล 4 กิโลกรัม ลงตามทางโค้งเกลีย้ง AB ดังรูป โดยลูกเหล็ก
อยู่สูงจากพืน้ราบในแนวดิ่ง 20 เมตร ลูกเหล็กเข้าชนมวล 6 กิโลกรัม ซงึ่
วางอยู่นิ่ง ณ จุด B หลังจากการชน วัตถุทัง้สองเคลื่อนที่ไปด้วยกัน จงหาว่า
วัตถุทัง้สองจะเคลื่อนที่ไปได้ระยะทางเท่าไร ก่อนจะหยุดนิ่ง ถ้าพืน้ราบมีค่า
สัมประสิทธิ์ของความเสียดทาน 0.4
6 kg
4 kg
20 m
A
B

101. ตัวอย่าง 4.41
วัตถุมวล 1 กิโลกรัม ผูกติดกับเชือกยาว 1.25 เมตร ถูกดึงขึน้จนเชือกและวัตถุ
อยู่ในแนวระดับแล้วปล่อยลงมาให้ชนวัตถุก้อนหนงึ่ซงึ่มีมวล 4 กิโลกรัม วางอยู่
บนพืน้ที่จุดต่าสุดของเชือก การชนเป็นแบบไม่สูญเสียพลังงาน จงหา
a) ความเร็วหลังชนของวัตถุทัง้สอง
b) ถ้ามวล 4 กิโลกรัม เคลื่อนที่ไปได้ไกล 1 เมตร จึงหยุดสัมประสิทธิ์
ความเสียดทานเป็นเท่าใด
1 kg
4 kg
A
1.25 m
B

102. ตัวอย่าง 4.42
จากรูป ยิงลูกปืนมวล m มีความเร็ว เข้าไปฝันในลิ่มมวล แล้วลิ่มจะเคลื่อนที่
ไปตามพืน้เอียงลื่น ได้ทาง l จงหาความเร็ว
l
M
m
u0
V
q

103. ตัวอย่าง 4.43
ลูกปืนมวล m ถูกยิงให้เคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็ว v0 เข้าชนมวล M
ซึ่งแขวนกับเชือกยาว l แล้วฝังลงในมวล M จงหาความเร็ว v0 ที่น้อยที่สุดที่
ทาให้มวล M แกว่งเป็นวงกลมครบรอบพอดี

104. การชนใน 2 มิติ
เป็นการชนของวัตถุในแนวไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ทาให้ทิศทางการเคลื่อนที่
ของวัตถุไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน เรียกการชนในลักษณะนีว้่า การชนใน
สองมิติ ซึ่งแบ่งลักษณะการชนได้ 3 แบบ เหมือนการชนในแนวเส้นตรง (ชน
ใน 1 มิติ)
m1
v1i
m2

105. การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
oเมื่อมวลทั้งสองก้อนเท่ากัน
กาหนดให้มวล m มีความเร็ว u1 เข้าชนมวล m อีกก้อนหนงึ่ ซงึ่อยู่นิ่งไม่
ผ่านแนวศูนย์กลางมวล ทาให้มวลทัง้สองแยกออกจากกันทามุม q มี
ความเร็ว v1 และ v2 ตามลาดับ ดังรูปที่
m
u1
m
m
v1
m
v2
q
ก่อนชน
หลังชน

106. ผลของการชนจะได้ว่า
พิจารณาโมเมนตัม : 푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
푚푢1 = 푚푣1 + 푚푣2
푢1 = 푣1 + 푣2
푢2 1
= 푣1
2 + 푣2
2 + 2푣1푣2 cos 휃 ….(1)
พิจารณาพลังงานจลน์ : 퐸푘ก่อนชน = 퐸푘หลังชน
2 = 1
1
2푚푢1
2 + 1
2푚푣1
2
2푚푣2
2 = 푣1
푢1
2 + 푣2
2 …….….(2)
m
u1
m
m
v1
m
v2
q
ก่อนชน
หลังชน

107. m
u1
m
m
ก่อนชน
หลังชน
(1)= (2) ได้ว่า 2푣1푣2 cos 휃 = 0
เมื่อ 푣1 และ 푣2 ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่า cos 휃 = 0
휃 = 90°
v1
m
v2
q
ข้อสรุปย่อมอ้างได้ว่า ถ้ามวลเท่ากันชนกันแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ในแนว
ไม่ผ่านจุด C.M.และมวลที่ถูกชนอยู่นิ่ง หลังจากชนกันมวลทงั้สองจะ
แยกออกจากกันทามุม 90◦ เสมอ

108. oเมื่อมวลทั้งสองก้อนไม่เท่ากัน ชนกันแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์โดยมวลถูกชนอยู่
นิ่ง มวลทัง้สองจะแยกออกจากกันไม่เป็นมุมฉากกาหนดให้มวล m1เคลื่อนที่
ด้วยความเร็ว เข้าชนมวล m2ซงึ่อยู่นิ่ง ในแนวไม่ผ่านจุด C.M. ทาให้มวล
m1และ m2แยกออกจากกันทามุม และ กับแนวการเคลื่อนที่เดิมของ
ด้วยความเร็ว และ ดังรูปที่
m1
u1
m2
m1
m2
ก่อนชน
หลังชน
a
b
m1u1

109. m1
u1
m2
m1
m2
ก่อนชน
หลังชน
a
b
m1u1
การหา v1 และ v2 ทาได้ 2 วิธี
วิธีที่ 1 : การแยกองค์ประกอบของเวกเตอร์ให้เป็น x และ y
วิธีที่ 2 : การใช้กฎของไซน์

110. วิธีที่ 1 : การแยกองค์ประกอบของเวกเตอร์ ให้เป็น x และ y
m1
m2
a
b
m1v1cosa
a
b x
y
m1u1 m1u1
m2v2cosb
m2v2sinb m1v1sina
ทาการแยกพิจารณา 푝 푥 และ 푝 푦 ในการแกนปัญหา

111. วิธีที่ 1 : การแยกองค์ประกอบของเวกเตอร์ ให้เป็น x และ y
a
mu11
b x
y
m1v1cosa
m2v2cosb
m2v2sinb m1v1sina
o จากฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในแกน y จะได้ 푝 푦 = 0
ดังนนั้ m1v1sina = m2v2sinb ……(1)
จาก (1) และ (2) ถ้ารู้ m1, m2 , u1
, a, b ก็สามารถหา v1 และ v2ได้
o จากฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในแกน x จะได้ 푝 푥 = m1u1
ดังนนั้ m1u1 = m1v1cosa + m2v2cosb ……(2)

112. *** วิธีที่ 2 : การใช้กฎของไซน์ ***
a
mu11
b x
y
푚1푢1
sin 훼 + 훽
=
푚1푣1
sin 훽
=
푚2푣2
sin 훼
โดยส่วนใหญ่แล้วในการชนแบบสองมิติเรามักทราบค่าของ 푚1, 푚2, 푢1
,훼 และ 훽 ดังนัน้เราจึงสามารถหาค่า 푣1 และ 푣2 ได้ ปัญหาอยู่ที่ว่า ค่าของ
มุม ในบางครัง้ไม่สามารถหาค่าได้ง่ายนัก เช่น sin75◦, sin105◦ เป็นต้น

113. ตัวอย่าง 4.44
ลูกกลมมวลเท่ากัน 2 ลูก A และ B โดยลูก A วิ่งเข้าชนลูก B ซงึ่อยู่นิ่งในแนว
ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางทาให้ลูก A กระเด็นเบี่ยงไปจากแนวเดิม 60 องศา ก่อนชน
ลูกกลม A มีความเร็ว 10 เมตร/วินาที และเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์หลัง
ชนลูกกลม A และ B จะมีความเร็วเท่าใด

114. ตัวอย่าง 4.45
โมเลกุลของก๊าซตัวที่ 1 มีความเร็ว 200 เมตร/วินาที ชนโมเลกุลของก๊าซตัวที่
2 ซงึ่เดิมอยู่นิ่ง และมีมวลเท่ากันภายหลังการชนโมเลกุลตัวที่ 1 เบนออกจาก
แนวเดิม จงหาอัตราของโมเลกุลทัง้สองภายหลังการชน

115. ตัวอย่าง 4.46
ลูกกลม A และ B ขนาดเท่ากัน มีมวลลูกละ 0.5 กิโลกรัม ให้ลูกกลม A เข้า
ชนลูกกลม B ซงึ่อยู่นิ่ง หลังชนปรากฏว่าลูกกลม A และ B กระเด็นทามุม
30◦ และ 60◦ กับแนวการชนของลูกกลม A ตามลาดับ ถ้าอัตราเร็วของลูก
กลม B เป็น 4 เมตร/วินาที พลังงานจลน์ของลูกกลม A เปลี่ยนไปเท่าไร ใน
การชนถ้าลูกกลมทัง้สองอยู่บนพืน้ลื่น

116. ตัวอย่าง 4.47
วัตถุ 3 กิโลกรัม เคลื่อนที่เข้าชนวัตถุมวล 2 กิโลกรัม ซงึ่อยู่นิ่งด้วยความเร็ว 20
เมตร/วินาที ในแนวไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของมวล ทาให้ภายหนังการชนมวลก้อน
แรกทามุม 30◦ กับแนวเดิม และมวล 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ในแนวทามุม 45◦ กับ
แนวการเคลื่อนที่ของมวล 3 กิโลกรัม ก่อนชน จงหาอัตราเร็วของมวลทัง้สอง
ภายหลังการชน

117. การชน 2 มิติแบบไม่ยืดหยุ่น
ให้มวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u1 เข้าชน มวล m2 ซึ่งเคลื่อนที่ด้วย
ความเร็ว u2 ในแนวทามุม q ต่อกันหลังชนกันแล้วทัง้สองเคลื่อนที่ติดกันไปดัง
รูป ด้วยความเร็ว v
m1
u1
m2
m2
m1
u2
v
(m1+m2)v
m2u1
q
แทนด้วย
เวกเตอร์

118. u2
จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม
푝 ก่อนชน = 푝 หลังชน
โดยอาศัย กฎของโคไซน์ ได้ว่า
푚1 + 푚2 푣 = 푚1푢1
2 + 푚2푢2
(m1+m2)v
2 + 2 푚1푢1 푚2푢2 cos 휃
*** เมื่อรู้ m1 , m2 , u1 , u2 และ q ก็สามารถ v ได้ ***
m1
u1
m2
m1
m2
v
m2u1
q
แทนด้วย
เวกเตอร์

119. ตัวอย่าง 4.48
มวล 6 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที ในทิศตะวันออกเข้าชนกับ
มวล 4 กิโลกรัมเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที ในทิศทางเหนือ หลังชน
ปรากฏว่ามวลทัง้สองติดกันไป จงหาความเร็วของมวลทัง้สองหลังชนกัน

120. ตัวอย่าง 4.49
ลูกกลมมวล 4m เคลื่อนที่บนพืน้ราบที่ไม่มีแรงเสียดทานด้วยความเร็ว v0 เข้าชน
ลูกกลมมวล m ซงึ่วางชิดกันสองลูก ดังรูป หลังการชนลูกกลม m ทัง้สองต่าง
เคลื่อนที่ในทิศทามุม 45๐ กับแนวการเข้าชนของมวล 4m ด้วยความเร็ว 2푣0
ดังรูป โดยมวล 4m ยังคงเคลื่อนที่ต่อไปในทิศทางเดิม จงหาความเร็วของมวล
4m ภายหลังการชน

121. บทที่ 6
โมเมนตัม และ การชน
อ.ณภัทรษกร สารพัฒน์
สาขาวิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏเทพสตรี ลพบุรี