SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 33
OLASILIK TABLOLARI 
Musa SARİ 
Karadeniz Teknik Üniversitesi - İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü
Tabloları Yapılan Dağılımlar 
 Binom Dağılımı  Poisson Dağılımı 
 Standart Normal Dağılım  Ki-Kare Dağılımı 
 Student – 푡 Dağılımı
Binom Dağılımı 
Bernoulli dağılımı: X rasgele değişkeni yalnızca 0 ve 1 değerlerini alsın. X ‘in olasılık 
fonksiyonu: 
푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 푝푥 1 − 푝 푥 , 푥 = 0,1 şeklindedir. 
 n kez tekrar eden Bernoulli denemesi Binom dağılımını oluşturur. 
Binom dağılımı 
Olasılık fonksiyonu; 
푓 푥 = 푛 
푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1 
Burada, 
n : yapılan deneme sayısı p : başarılı olma olasılığı 
x : başarılı olan deneme sayısı q : başarısız olma olasılığı
Binom Dağılımı
Binom Tablosu 
Binom Tablosu için; 
푓 푥 = 푛 
푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1
Binom Tablosu 
Örnek: Bir para 4 kez atılsın: a) 2 tura b) En az 1 kere tura gelmesi olasılıklarını 
hesaplayalım. 
a) 푋:4 atıştaki turaların sayısı, 
푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 4 
푥 
1 
2 
푥 1 
2 
4−푥 
푓 2 = 푃 푋 = 2 = 4 
2 
1 
2 
2 1 
2 
4−2 
= 0.375
Binom Tablosu 
b) En az 1 kere tura gelmesi olasılığı: 
푃 푋 ≥ 1 = 1 − 푃 푋 = 0 = 1 − 4 
0 
1 
2 
0 1 
2 
4−0 
= 1 − 0.0625 = 0.9375
Poisson Dağılımı 
X rasgele değişkeni Poisson dağılımına sahip olsun. X in olasılık fonksiyonu; 
푓 푥 = 
푒−휆휆푥 
푥! 
, 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0) şeklindedir. 
 Sürekli uzayda kesikli veriler veren deneylere uygulanır. 
 Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) elde ediliş sayısı 푥 dir. 
 Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) ortalama elde ediliş sayısı 휆 dır.
Poisson Dağılımı
Poisson Tablosu 
Poisson tablosu için: 
푓 푥 = 
푒−휆휆푥 
푥! 
, 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0)
Poisson Tablosu 
Örnek: 200 sayfalık bir kitaba 200 yazım hatası rastgele dağıtılıyor. Rastgele seçilen bir 
sayfada; 
a) İki b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir? 
a) 푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1 
푃 푋 = 2 = 푓 2 = 
푒−112 
2! 
= 
푒−1 
2 
= 0.1839
Poisson Tablosu 
b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir? 
푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1 
푃 푋 < 2 = 푓 0 + 푓 1 = 푒−1 + 
푒−111 
1! 
= 0.7358
Normal Dağılım 
Normal Dağılım: Sürekli bir X rasgele değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 
푓 푥 = 
1 
휎 2휋 
푒− 
1 
2 
푥−휇 
휎 
2 
, 푥, 휇 ∈ 푅 , 휎 > 0 
Standartlaştırma: 푋~푁 휇, 휎2 için, 푍 ~푁 0,1 
푍 = 
푋−휇 
휎 
dönüşümü ile X rasgele değişkeni standartlaştırılır.
Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım 
푓 푥 = 
1 
2휋 
푥2 
2 , −∞ < 푥 < ∞ −∞ 
푒− 
∞ 1 
2휋 
푒− 
푥2 
2 dx = 1 
푏 1 
푃 푎 < 푋 < 푏 = 푎 
2휋 
푒− 
푥2 
2 dx , {푎, 푏 푠푎푏푖푡}
푃 푎 < 푋 < 푏 = 
푏 
푎 
1 
2휋 
푒− 
푥2 
2 dx
Kullanılan Yöntem 
Trapez (yamuk) yöntemi: 
b 
f(a) 
f (b) 
a Taban 
f (x) 
x 
퐴푙푎푛 = 푏 − 푎 
푓 푏 + 푓 푎 
2
Trapez Yöntemi 
f2 
I1 h 
In 
fn-1 
x2....... xn-1 
f1 
I2 
f0 
fn 
x0 x1 xn 
푇표푝푙푎푚 푎푙푎푛 → 퐼 = 퐼1 + 퐼2 + … + 퐼푛 
퐼 = 
ℎ 
2 
푓1 + 푓2 + … + 푓푛−2 + 푓푛−1 + 푓푛
Trapez Yöntemi 
퐼2 
퐼1 
퐼3 퐼4 
푃 푧 < 1,64 = Σ퐼푖 = 퐼1 + 퐼2 + 퐼3 + 퐼4 + 0.5
Standart Normal Tablosu 
Standart normal tablosu için; 
푧 1 
f z = −∞ 
2휋 
푧 
2 dz 
푒−
Standart Normal Tablosu 
Örnek: Bir okuldaki erkek öğrencilerin ağırlıkları 68,50 kg ortalamalı ve 2,32 kg standart 
sapmalı normal dağılıma sahiptir. 
a) Bu okuldaki herhangi bir erkek öğrencinin 72 kg dan daha hafif olması olasılığı nedir? 
b) Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır? 
Çözüm a): 
푋: Okuldaki erkek öğrencilerin ağırlığı olsun. 
O halde 푋~푁(휇 = 68.50, 휎 = 2.32) olur. 
푃 푋 < 72 =?
Standart Normal Tablosu 
푋 standartlaştırıldığında: 
푧 = 
72.0−68.5 
2.3 
= 1.52 elde edilir. 
Böylece 푃 푋 < 72 = 푃 푍 < 1.52 
푃 푍 < 1.52 = 0.9357
Standart Normal Tablosu 
Çözüm b): Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır? 
푃 70 < 푋 < 72 =? 
푧1 = 
70.0−68.5 
2.3 
= 0.65 ve 푧2 = 
72.0−68.5 
2.3 
= 1.52 
Böylece: 
푃 70 < 푋 < 72 = 푃 푧1 < 푍 < 1푧2 
푃 0.65 < 푍 < 1.52 = 0.9357 − 0.7421 
= 0.1935
Ki-Kare Dağılımı 
푓 푥 = 
1 
2 
푣 
2 Γ 
푣 
2 
푥 
푣 
2 
−1 푒− 
푥 
2 , 푥 > 0 , 푣 = 0,1,2 … 
푣: serbestlik derecesi 
Serbestlik Derecesi : Bir örneklemdeki gözlem sayısına bağlı olarak değişkenlik 
göstermede serbest olmayı ifade eder. 
 Bir örneklemdeki bağımsız gözlem sayısından parametre sayısının çıkarılmasıyla 
bulunur.
Ki-Kare Dağılımı
Ki-Kare Dağılımı 
18.304 
푋2 = 18.304 
푣 = 10 
0.95 = 
0 
1 
푣 
2 Γ 
2 
푣 
2 
푥 
푣 
2 
푥 
2푑푥 
−1 푒−
Ki-kare Tablosu 
Ki-kare tablosu için; 
푥 1 
A푙푎푛 = 0 
2 
푣 
2 Γ 
푣 
2 
푥 
푣 
2 
−1 푒− 
푥 
2푑푥
Student – 푡 Dağılımı 
Olasılık yoğunluk fonksiyonu: 
푓 푡 = 
푣+1 
2 
푣휋Γ 
Γ 
푣 
2 
1 + 
푡2 
푣 
− 
푣+1 
2 
, 푡 ∈ 푅 şeklindedir. 
 푡 -dağılımı veri modeli kurmak için normal dağılıma bir alternatif olarak kullanılır. 
 Genel olarak örneklem sayısının küçük olduğu ve kitlenin normal dağıldığının 
varsayıldığı durumlarda kullanılır.
Student – 푡 Dağılımı
Student – 푡 Dağılımı
Student – 푡 Dağılımı 
푡0.95 = 1.812 
푣 = 10
Student – 푡 Tablosu 
Student - 푡 tablosu için; 
푡 Γ 
퐴푙푎푛 = −∞ 
푣+1 
2 
푣휋Γ 
푣 
2 
1 + 
푡2 
푣 
− 
푣+1 
2 
푑푡
Teşekkürler…

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Binomial distribution good
Binomial distribution goodBinomial distribution good
Binomial distribution goodZahida Pervaiz
 
Distribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrikDistribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrikElias Setiawan
 
03 simple-random-sampling 2019
03 simple-random-sampling 201903 simple-random-sampling 2019
03 simple-random-sampling 2019widyareza2
 
Penyajian data statistik ppt
Penyajian data statistik pptPenyajian data statistik ppt
Penyajian data statistik pptRahmi Farza
 
pembagian perpangkatan
pembagian perpangkatanpembagian perpangkatan
pembagian perpangkatanGiezka Chooy
 
APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata
APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rataAPG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata
APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rataRani Nooraeni
 
Distribusi Binomial, Poisson, dan Normal
Distribusi Binomial, Poisson, dan NormalDistribusi Binomial, Poisson, dan Normal
Distribusi Binomial, Poisson, dan NormalNovi Suryani
 
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING (2)
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI  AND RANDOM SAMPLING (2)APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI  AND RANDOM SAMPLING (2)
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING (2)Rani Nooraeni
 
Muhammad Sahid - fractal sierpinski triangle
Muhammad Sahid - fractal sierpinski triangleMuhammad Sahid - fractal sierpinski triangle
Muhammad Sahid - fractal sierpinski triangleHari Haryanto
 
Ppt hipergeometrik
Ppt hipergeometrikPpt hipergeometrik
Ppt hipergeometriknur fadillah
 
Normal distribution slide share
Normal distribution slide shareNormal distribution slide share
Normal distribution slide shareKate FLR
 
PPT SUDUT DAN GARIS KELAS 7 SEMESTER GENAP
PPT SUDUT DAN GARIS KELAS 7 SEMESTER GENAPPPT SUDUT DAN GARIS KELAS 7 SEMESTER GENAP
PPT SUDUT DAN GARIS KELAS 7 SEMESTER GENAPDoli Syahputra
 
Populasi dan sampel
Populasi dan sampelPopulasi dan sampel
Populasi dan sampelNi wulie
 
Distribusi probabilitas
Distribusi  probabilitasDistribusi  probabilitas
Distribusi probabilitasindrayani2002
 
Soal dan-pembahasan-osn-guru-mat-sma-2011
Soal dan-pembahasan-osn-guru-mat-sma-2011Soal dan-pembahasan-osn-guru-mat-sma-2011
Soal dan-pembahasan-osn-guru-mat-sma-2011Codang Edogawa
 

La actualidad más candente (20)

Binomial distribution good
Binomial distribution goodBinomial distribution good
Binomial distribution good
 
Distribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrikDistribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik
 
03 simple-random-sampling 2019
03 simple-random-sampling 201903 simple-random-sampling 2019
03 simple-random-sampling 2019
 
Penyajian data statistik ppt
Penyajian data statistik pptPenyajian data statistik ppt
Penyajian data statistik ppt
 
pembagian perpangkatan
pembagian perpangkatanpembagian perpangkatan
pembagian perpangkatan
 
APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata
APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rataAPG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata
APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata
 
Daur ulang kertas
Daur ulang kertasDaur ulang kertas
Daur ulang kertas
 
Poisson Probability Distributions
Poisson Probability DistributionsPoisson Probability Distributions
Poisson Probability Distributions
 
Distribusi Binomial, Poisson, dan Normal
Distribusi Binomial, Poisson, dan NormalDistribusi Binomial, Poisson, dan Normal
Distribusi Binomial, Poisson, dan Normal
 
Les5e ppt 04
Les5e ppt 04Les5e ppt 04
Les5e ppt 04
 
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING (2)
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI  AND RANDOM SAMPLING (2)APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI  AND RANDOM SAMPLING (2)
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING (2)
 
Muhammad Sahid - fractal sierpinski triangle
Muhammad Sahid - fractal sierpinski triangleMuhammad Sahid - fractal sierpinski triangle
Muhammad Sahid - fractal sierpinski triangle
 
Lks 1
Lks 1Lks 1
Lks 1
 
Ppt hipergeometrik
Ppt hipergeometrikPpt hipergeometrik
Ppt hipergeometrik
 
Normal distribution slide share
Normal distribution slide shareNormal distribution slide share
Normal distribution slide share
 
PPT SUDUT DAN GARIS KELAS 7 SEMESTER GENAP
PPT SUDUT DAN GARIS KELAS 7 SEMESTER GENAPPPT SUDUT DAN GARIS KELAS 7 SEMESTER GENAP
PPT SUDUT DAN GARIS KELAS 7 SEMESTER GENAP
 
Populasi dan sampel
Populasi dan sampelPopulasi dan sampel
Populasi dan sampel
 
Kerucut
KerucutKerucut
Kerucut
 
Distribusi probabilitas
Distribusi  probabilitasDistribusi  probabilitas
Distribusi probabilitas
 
Soal dan-pembahasan-osn-guru-mat-sma-2011
Soal dan-pembahasan-osn-guru-mat-sma-2011Soal dan-pembahasan-osn-guru-mat-sma-2011
Soal dan-pembahasan-osn-guru-mat-sma-2011
 

Olasilik Tablolari

  • 1. OLASILIK TABLOLARI Musa SARİ Karadeniz Teknik Üniversitesi - İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü
  • 2. Tabloları Yapılan Dağılımlar  Binom Dağılımı  Poisson Dağılımı  Standart Normal Dağılım  Ki-Kare Dağılımı  Student – 푡 Dağılımı
  • 3. Binom Dağılımı Bernoulli dağılımı: X rasgele değişkeni yalnızca 0 ve 1 değerlerini alsın. X ‘in olasılık fonksiyonu: 푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 푝푥 1 − 푝 푥 , 푥 = 0,1 şeklindedir.  n kez tekrar eden Bernoulli denemesi Binom dağılımını oluşturur. Binom dağılımı Olasılık fonksiyonu; 푓 푥 = 푛 푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1 Burada, n : yapılan deneme sayısı p : başarılı olma olasılığı x : başarılı olan deneme sayısı q : başarısız olma olasılığı
  • 5. Binom Tablosu Binom Tablosu için; 푓 푥 = 푛 푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1
  • 6. Binom Tablosu Örnek: Bir para 4 kez atılsın: a) 2 tura b) En az 1 kere tura gelmesi olasılıklarını hesaplayalım. a) 푋:4 atıştaki turaların sayısı, 푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 4 푥 1 2 푥 1 2 4−푥 푓 2 = 푃 푋 = 2 = 4 2 1 2 2 1 2 4−2 = 0.375
  • 7. Binom Tablosu b) En az 1 kere tura gelmesi olasılığı: 푃 푋 ≥ 1 = 1 − 푃 푋 = 0 = 1 − 4 0 1 2 0 1 2 4−0 = 1 − 0.0625 = 0.9375
  • 8. Poisson Dağılımı X rasgele değişkeni Poisson dağılımına sahip olsun. X in olasılık fonksiyonu; 푓 푥 = 푒−휆휆푥 푥! , 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0) şeklindedir.  Sürekli uzayda kesikli veriler veren deneylere uygulanır.  Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) elde ediliş sayısı 푥 dir.  Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) ortalama elde ediliş sayısı 휆 dır.
  • 10. Poisson Tablosu Poisson tablosu için: 푓 푥 = 푒−휆휆푥 푥! , 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0)
  • 11. Poisson Tablosu Örnek: 200 sayfalık bir kitaba 200 yazım hatası rastgele dağıtılıyor. Rastgele seçilen bir sayfada; a) İki b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir? a) 푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1 푃 푋 = 2 = 푓 2 = 푒−112 2! = 푒−1 2 = 0.1839
  • 12. Poisson Tablosu b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir? 푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1 푃 푋 < 2 = 푓 0 + 푓 1 = 푒−1 + 푒−111 1! = 0.7358
  • 13. Normal Dağılım Normal Dağılım: Sürekli bir X rasgele değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 푓 푥 = 1 휎 2휋 푒− 1 2 푥−휇 휎 2 , 푥, 휇 ∈ 푅 , 휎 > 0 Standartlaştırma: 푋~푁 휇, 휎2 için, 푍 ~푁 0,1 푍 = 푋−휇 휎 dönüşümü ile X rasgele değişkeni standartlaştırılır.
  • 15. Standart Normal Dağılım 푓 푥 = 1 2휋 푥2 2 , −∞ < 푥 < ∞ −∞ 푒− ∞ 1 2휋 푒− 푥2 2 dx = 1 푏 1 푃 푎 < 푋 < 푏 = 푎 2휋 푒− 푥2 2 dx , {푎, 푏 푠푎푏푖푡}
  • 16. 푃 푎 < 푋 < 푏 = 푏 푎 1 2휋 푒− 푥2 2 dx
  • 17. Kullanılan Yöntem Trapez (yamuk) yöntemi: b f(a) f (b) a Taban f (x) x 퐴푙푎푛 = 푏 − 푎 푓 푏 + 푓 푎 2
  • 18. Trapez Yöntemi f2 I1 h In fn-1 x2....... xn-1 f1 I2 f0 fn x0 x1 xn 푇표푝푙푎푚 푎푙푎푛 → 퐼 = 퐼1 + 퐼2 + … + 퐼푛 퐼 = ℎ 2 푓1 + 푓2 + … + 푓푛−2 + 푓푛−1 + 푓푛
  • 19. Trapez Yöntemi 퐼2 퐼1 퐼3 퐼4 푃 푧 < 1,64 = Σ퐼푖 = 퐼1 + 퐼2 + 퐼3 + 퐼4 + 0.5
  • 20. Standart Normal Tablosu Standart normal tablosu için; 푧 1 f z = −∞ 2휋 푧 2 dz 푒−
  • 21. Standart Normal Tablosu Örnek: Bir okuldaki erkek öğrencilerin ağırlıkları 68,50 kg ortalamalı ve 2,32 kg standart sapmalı normal dağılıma sahiptir. a) Bu okuldaki herhangi bir erkek öğrencinin 72 kg dan daha hafif olması olasılığı nedir? b) Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır? Çözüm a): 푋: Okuldaki erkek öğrencilerin ağırlığı olsun. O halde 푋~푁(휇 = 68.50, 휎 = 2.32) olur. 푃 푋 < 72 =?
  • 22. Standart Normal Tablosu 푋 standartlaştırıldığında: 푧 = 72.0−68.5 2.3 = 1.52 elde edilir. Böylece 푃 푋 < 72 = 푃 푍 < 1.52 푃 푍 < 1.52 = 0.9357
  • 23. Standart Normal Tablosu Çözüm b): Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır? 푃 70 < 푋 < 72 =? 푧1 = 70.0−68.5 2.3 = 0.65 ve 푧2 = 72.0−68.5 2.3 = 1.52 Böylece: 푃 70 < 푋 < 72 = 푃 푧1 < 푍 < 1푧2 푃 0.65 < 푍 < 1.52 = 0.9357 − 0.7421 = 0.1935
  • 24. Ki-Kare Dağılımı 푓 푥 = 1 2 푣 2 Γ 푣 2 푥 푣 2 −1 푒− 푥 2 , 푥 > 0 , 푣 = 0,1,2 … 푣: serbestlik derecesi Serbestlik Derecesi : Bir örneklemdeki gözlem sayısına bağlı olarak değişkenlik göstermede serbest olmayı ifade eder.  Bir örneklemdeki bağımsız gözlem sayısından parametre sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
  • 26. Ki-Kare Dağılımı 18.304 푋2 = 18.304 푣 = 10 0.95 = 0 1 푣 2 Γ 2 푣 2 푥 푣 2 푥 2푑푥 −1 푒−
  • 27. Ki-kare Tablosu Ki-kare tablosu için; 푥 1 A푙푎푛 = 0 2 푣 2 Γ 푣 2 푥 푣 2 −1 푒− 푥 2푑푥
  • 28. Student – 푡 Dağılımı Olasılık yoğunluk fonksiyonu: 푓 푡 = 푣+1 2 푣휋Γ Γ 푣 2 1 + 푡2 푣 − 푣+1 2 , 푡 ∈ 푅 şeklindedir.  푡 -dağılımı veri modeli kurmak için normal dağılıma bir alternatif olarak kullanılır.  Genel olarak örneklem sayısının küçük olduğu ve kitlenin normal dağıldığının varsayıldığı durumlarda kullanılır.
  • 29. Student – 푡 Dağılımı
  • 30. Student – 푡 Dağılımı
  • 31. Student – 푡 Dağılımı 푡0.95 = 1.812 푣 = 10
  • 32. Student – 푡 Tablosu Student - 푡 tablosu için; 푡 Γ 퐴푙푎푛 = −∞ 푣+1 2 푣휋Γ 푣 2 1 + 푡2 푣 − 푣+1 2 푑푡