5. ใบความร้ ู ที 3.3
เอกลักษณ์ และตัวผกผันการคณของจํานวนเชิ งซ้ อน
ู
เอกลักษณ์ และตัวผกผันการคณู
่
พิจารณาการคูณจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
(a , b)(0,1) = (a ⋅ 1 − b ⋅ 0, a ⋅ 0 + b ⋅ 1)
= (a − 0,0 + b)
= (a , b )
ั
ทํานองเดียวกน (1,0)(a , b) = (a, b)
่ ่
ดังนั. นจึงกลาวได้วา (1,0) เป็ นเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนเชิงซ้อน
่ ่ ั
ถ้า (a, b) เป็ นจํานวนเชิงซ้อนซึ งไมเทากบ (0,0) ตัวผกผันการคูณของ (a, b) คือจํานวน
ั
เชิงซ้อนทีคูณกบ (a, b) แล้วได้ (1,0) ซึ งหาได้ดงนี. ั
ให้ (x, y) เป็ นตัวผกผันการคูณของ (1,0)
จะได้ (a , b)( x , y) = (1,0)
แต่ (a , b)( x , y) = (ax − by, bx + ay)
ดังนั. น (ax − by, bx + ay) = (1,0)
จากบทนิยามจะได้ ax − by = 1 ………….(1)
bx + ay = 0 …………(2)
สมการ (1) × a จะได้
a 2 x − aby = a ………(3)
สมการ (2) × b จะได้
b 2 x + aby = 0 ……….(4)
สมการ (3) + (4) จะได้
a 2x + b2x = a
(a 2 + b 2 ) x = a
a
x= 2 ่
แทนคาในสมการ (2)
a + b2
จะได้ b 2 a 2 + ay = 0
a +b
ab
+ ay = 0
a + b2
2
ab
ay = 0 − 2
a + b2
6. ab
y=−
(a + b 2 ) a 2
b
y=− 2
a + b2
a b
ดังนั. น ( x , y) = 2 ,− 2
a +b a + b2
2
b a2
ตรวจสอบวา (a, b)
่
a
,− 2 2
= 2
b ab ab
a + b2 + a 2 + b2 , a 2 + b2 − a 2 + b2
a +b a +b
2 2
a 2 + b2
= 2
a + b 2 ,0
= (1,0)
a b
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (a , b ) คือ 2 ,− 2
a +b a + b2
2
ตัวผกผันการคูณของ z เขียนแทนด้วย z −1
a b
เมือเขียน z = a + bi จะได้ z −1 = − 2 i
a +b 22
a + b2
a − bi
= 2
a + b2
่
ตัวอย่ าง 3 จงหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (4,−3)
วิธีทา
ํ a 2 + b 2 = 4 2 + (−3) 2
= 16 + 9
= 25
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (4,−3) คือ
4 3
,
25 25
2. (−2,3)
วิธีทา a 2 + b 2 = (−2) 2 + 3 2
ํ
= 4+9
= 13
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (−2,3) คือ 2 ,−
3
13 13
3. 6 + 8i
7. วิธีทา
ํ a 2 + b 2 = 6 2 + 82
= 36 + 64
= 100
6 8 3 4
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ 6 + 8i คือ − i หรื อ − i
100 100 50 50
4. − 2 − i
วิธีทา a 2 + b 2 = (−2) 2 + (−1) 2
ํ
= 4 +1
=5
2 1
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ −2−i คือ − + i
5 50