SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 8
Descargar para leer sin conexión
ใบความร้ ูที 3.1
                              เรือง สมบัติเชิ งพีชคณิตของจํานวนเชิ งซ้ อน

              ี          ี ั
สมบัติทีเกยวข้องเกยวกบการบวกและการคูณของจํานวนเชิงซ้อน
                                                 ่
ถ้า z1 , z 2 , z 3 เป็ นจํานวนเชิงซ้อน แล้วจะได้วา
1. z1 + z 2 = z 2 + z1 และ z1z 2 = z 2 z1                                    (สมบัติการสลับที)
2. z1 + (z 2 + z 3 ) = (z1 + z 2 ) + z 3 และ z1 (z 2 z 3 ) = (z 2 z1 )z 3   (สมบัติการเปลียนกลุ่ม)
3. z1 (z 2 + z 3 ) = z1z 2 + z1z 3                                          (สมบัติการเปลียนแปลง)

สมบัติเชิ งพีชคณิตของจํานวนเชิ งซ้ อน (Algebraic Propertiest of Complex Number)
เอกลักษณ์ และตัวผกผันการบวก
                                         ่
        พิจารณาการบวกจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
         (a , b) + (0,0) = (a + 0, b + 0)
                           = (a , b )
                         ั
          ทํานองเดียวกน (0,0) + (a, b) = (a, b)
                       ่     ่
          ดังนั. นจึงกลาวได้วา (0,0) เป็ นเอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนเชิงซ้อน
                                                            ็                  ั
          ในระบบจํานวนจริ ง ตัวผกผันการบวกของจํานวนใดกตาม คือ จํานวนทีนํามาบวกกบ
จํานวนนั. นแล้วได้เอกลักษณ์การบวก ในระบบจํานวนเชิ งซ้อนตัวผกผันการบวกของจํานวน
           ็               ่
เชิงซ้อนกมีความหมายเชนเดียวกน      ั
        ่
สังเกตวา (a, b) + (−a,−b) = (a − a, b − b)
                                   = (0,0)
และ        (−a ,−b) + (a , b) = (0,0)
ดังนั. น    (−a ,− b) เป็ นตัวผกผันการบวกของ (a , b)
หรื อ       − a − bi เป็ นตัวผกผันการบวกของ a + bi
ตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซ้อน z เขียนแทนด้วย − z
ฉะนั. น     − (a + bi) = −a − bi


ตัวอย่ างที 1 ตัวผกผันการบวกของ           (−2,1)    คือ   (2,−1)
              ตัวผกผันการบวกของ           3 + 2i    คือ   − 3 − 2i
              ตัวผกผันการบวกของ              1− i   คือ   −1+ i
แบบฝึ กทักษะที 3.1
                                     ่
จงหาตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (−3,2)
2. (−15,−10)
3. (0,−2)
4. (6,−5)
5. 4 + 2i
6. − 1 + i
7. − 4 − 7i
8. − 45 + 3i
ใบความร้ ู ที 3.2
                                    การลบจํานวนเชิ งซ้ อน

                       ั
       เราจะนิยามการลบกนจํานวนเชิงซ้อน ดังนี.

      บทนิยาม         z − w = z + (− w )       สําหรับจํานวนเชิงซ้อน   z, w   ใดๆ


                                     ่
ตัวอย่ างที 1 จงหาผลลัพธ์ของจํานวนตอไปนี.
1. (2 − 3i) − (4 − i)
วิธีทา (2 − 3i) − (4 − i) = 2 − 3i − 4 + i
     ํ
                          = (2 − 4) + (−3i + i)
                          = −2 + (−3 + 1)i
                          = −2 + (−2)i

                          = −2 − 2i
2. (−9 + 5i) − (−5 + 3i)
วิธีทา (−9 + 5i) − (−5 + 3i) = −9 + 5i + 5 − 3i
     ํ
                              = (−9 + 5) + (5i − 3i)
                              = −4 + (5 − 3)i

                                   = −4 + 2i


3. (−4,5) − (−6,10)
วิธีทา (−4,5) − (−6,10) = (−4,5) + (6,−10)
     ํ
                        = (−4 + 6,5 + (−10))
                        = (2,−5)
แบบฝึ กทักษะที 3.2

                            ่
จงหาผลลบของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (3,4) − (−8,9)
2. (2,−3) − (−2,−7)
3. (−6,−5) − (3,−7)
4. (−3,4) − (8,9)
5. (−2,6) − (−5,−10)
6. (4 + i) − (5 − i)
7. (−6 − 17i) − (5 − 10i)
8. (−6 − 10i) − (−5 + 10i)
9. (6 − 17i) − (−5 − 10i)
10. (−6 + 17i) − (15 + 12i)
ใบความร้ ู ที 3.3
                     เอกลักษณ์ และตัวผกผันการคณของจํานวนเชิ งซ้ อน
                                                 ู
เอกลักษณ์ และตัวผกผันการคณู
                                     ่
       พิจารณาการคูณจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
        (a , b)(0,1) = (a ⋅ 1 − b ⋅ 0, a ⋅ 0 + b ⋅ 1)
                     = (a − 0,0 + b)
                     = (a , b )
                           ั
         ทํานองเดียวกน (1,0)(a , b) = (a, b)
                        ่        ่
         ดังนั. นจึงกลาวได้วา (1,0) เป็ นเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนเชิงซ้อน
                                                 ่ ่ ั
         ถ้า (a, b) เป็ นจํานวนเชิงซ้อนซึ งไมเทากบ (0,0) ตัวผกผันการคูณของ (a, b) คือจํานวน
                  ั
เชิงซ้อนทีคูณกบ (a, b) แล้วได้ (1,0) ซึ งหาได้ดงนี.  ั
         ให้ (x, y) เป็ นตัวผกผันการคูณของ (1,0)
จะได้           (a , b)( x , y) = (1,0)
แต่          (a , b)( x , y) = (ax − by, bx + ay)
ดังนั. น (ax − by, bx + ay) = (1,0)
จากบทนิยามจะได้                 ax − by = 1 ………….(1)
                                bx + ay = 0 …………(2)
                     สมการ (1) × a จะได้
                              a 2 x − aby = a ………(3)
                     สมการ (2) × b จะได้
                               b 2 x + aby = 0 ……….(4)
                     สมการ (3) + (4) จะได้
                          a 2x + b2x = a
                       (a 2 + b 2 ) x = a
                                       a
                              x= 2                 ่
                                               แทนคาในสมการ   (2)
                                    a + b2
                  จะได้ b 2 a 2  + ay = 0
                                      
                           a +b 
                                  ab
                                         + ay = 0
                              a + b2
                                2

                                            ab
                              ay = 0 − 2
                                         a + b2
ab
                                       y=−
                                     (a + b 2 ) a   2


                                         b
                                 y=− 2
                                     a + b2
                                a           b 
        ดังนั. น    ( x , y) =  2     ,− 2       
                               a +b      a + b2 
                                     2


                                  b   a2                                           
ตรวจสอบวา (a, b)
        ่       
                         a
                             ,− 2   2 
                                        = 2
                                                        b         ab         ab
                                          a + b2 + a 2 + b2 , a 2 + b2 − a 2 + b2   
                                                                                     
                     a +b     a +b  
                       2   2
                                                                                     
                                                                 a 2 + b2 
                                                               = 2
                                                                 a + b 2 ,0 
                                                                             
                                                                            
                                                              = (1,0)
                                                             a            b 
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ             (a , b )   คือ        2       ,− 2     
                                                            a +b       a + b2 
                                                                    2




ตัวผกผันการคูณของ          z    เขียนแทนด้วย                z −1
                                                      a        b
เมือเขียน     z = a + bi       จะได้     z −1 =            − 2     i
                                                   a +b 22
                                                            a + b2
                                                    a − bi
                                                  = 2
                                                   a + b2


                                                ่
ตัวอย่ าง 3 จงหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (4,−3)
วิธีทา
     ํ      a 2 + b 2 = 4 2 + (−3) 2

                       = 16 + 9
                       = 25
        ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ                 (4,−3)          คือ 
                                                                       
                                                                         4 3 
                                                                          , 
                                                                       25 25 
2. (−2,3)
วิธีทา a 2 + b 2 = (−2) 2 + 3 2
     ํ
                   = 4+9
                   = 13
        ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (−2,3) คือ  2 ,−
                                              
                                                                              3
                                                                                
                                                                       13   13 


3.   6 + 8i
วิธีทา
     ํ   a 2 + b 2 = 6 2 + 82

                  = 36 + 64
                  = 100
                                                    6   8               3  4
         ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ 6 + 8i คือ        −    i   หรื อ      − i
                                                   100 100             50 50
4. − 2 − i
วิธีทา a 2 + b 2 = (−2) 2 + (−1) 2
     ํ
                   = 4 +1
                   =5
                                                       2 1
         ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ   −2−i   คือ   −    + i
                                                       5 50
แบบฝึ กทักษะที 3.3

                                    ่
จงหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (5,8)
2. (−12,−5)
3. (9,−5)
4. 6 + 7i
5. − 12 − 5i
6. (−3,2)
7. (−15,−10)
8. (0,−2)
9. (6,−5)
10. 4 + 2i
11. − 1 + i
12. − 4 − 7i
13. − 45 + 3i

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

แบบทดสอบหน่วยที่ 1 กรณฑ์ที่สอง
แบบทดสอบหน่วยที่ 1  กรณฑ์ที่สองแบบทดสอบหน่วยที่ 1  กรณฑ์ที่สอง
แบบทดสอบหน่วยที่ 1 กรณฑ์ที่สองSathuta luamsai
 
ช่วงและการแก้อสมการ
ช่วงและการแก้อสมการช่วงและการแก้อสมการ
ช่วงและการแก้อสมการAon Narinchoti
 
แบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการแบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการNoir Black
 
อสมการ
อสมการอสมการ
อสมการkrusongkran
 
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์ทับทิม เจริญตา
 
ฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรมฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรมkrookay2012
 
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนามแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนามวชิรญาณ์ พูลศรี
 
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่องทศนิยมและเศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้ที่  1   เรื่องทศนิยมและเศษส่วนหน่วยการเรียนรู้ที่  1   เรื่องทศนิยมและเศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่องทศนิยมและเศษส่วนInmylove Nupad
 
การแก้อสมการ
การแก้อสมการการแก้อสมการ
การแก้อสมการAon Narinchoti
 
แบบทดสอบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบทดสอบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบทดสอบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบทดสอบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวsontayath
 
โจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับกำไร ขาดทุน
โจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับกำไร ขาดทุนโจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับกำไร ขาดทุน
โจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับกำไร ขาดทุนNok Yupa
 

La actualidad más candente (20)

แบบทดสอบหน่วยที่ 1 กรณฑ์ที่สอง
แบบทดสอบหน่วยที่ 1  กรณฑ์ที่สองแบบทดสอบหน่วยที่ 1  กรณฑ์ที่สอง
แบบทดสอบหน่วยที่ 1 กรณฑ์ที่สอง
 
เฉลยMath onet49
เฉลยMath onet49เฉลยMath onet49
เฉลยMath onet49
 
31201final521
31201final52131201final521
31201final521
 
31202 final502
31202 final50231202 final502
31202 final502
 
ช่วงและการแก้อสมการ
ช่วงและการแก้อสมการช่วงและการแก้อสมการ
ช่วงและการแก้อสมการ
 
แบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการแบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการ
 
ข้อสอบปลายภาคม4เทอม1
ข้อสอบปลายภาคม4เทอม1ข้อสอบปลายภาคม4เทอม1
ข้อสอบปลายภาคม4เทอม1
 
ใบงานที่ 1
ใบงานที่ 1ใบงานที่ 1
ใบงานที่ 1
 
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
 
อสมการ
อสมการอสมการ
อสมการ
 
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
 
31201mid521
31201mid52131201mid521
31201mid521
 
ฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรมฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรม
 
แผนภาพ
แผนภาพแผนภาพ
แผนภาพ
 
ชุดการสอนที่ 3 มุมภายนอกกับมุมภายใน
ชุดการสอนที่ 3  มุมภายนอกกับมุมภายในชุดการสอนที่ 3  มุมภายนอกกับมุมภายใน
ชุดการสอนที่ 3 มุมภายนอกกับมุมภายใน
 
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนามแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
 
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่องทศนิยมและเศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้ที่  1   เรื่องทศนิยมและเศษส่วนหน่วยการเรียนรู้ที่  1   เรื่องทศนิยมและเศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่องทศนิยมและเศษส่วน
 
การแก้อสมการ
การแก้อสมการการแก้อสมการ
การแก้อสมการ
 
แบบทดสอบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบทดสอบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบทดสอบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบทดสอบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 
โจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับกำไร ขาดทุน
โจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับกำไร ขาดทุนโจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับกำไร ขาดทุน
โจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับกำไร ขาดทุน
 

Similar a Math3

กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปรกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปรJiraprapa Suwannajak
 
บทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซต
บทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซตบทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซต
บทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซตPumPui Oranuch
 
E0b888e0b8b3e0b899e0b8a7e0b899e0b980e0b88ae0b8b4e0b887e0b88be0b989e0b8ade0b899
E0b888e0b8b3e0b899e0b8a7e0b899e0b980e0b88ae0b8b4e0b887e0b88be0b989e0b8ade0b899E0b888e0b8b3e0b899e0b8a7e0b899e0b980e0b88ae0b8b4e0b887e0b88be0b989e0b8ade0b899
E0b888e0b8b3e0b899e0b8a7e0b899e0b980e0b88ae0b8b4e0b887e0b88be0b989e0b8ade0b899Beer Aksornsart
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์wisita42
 
Real Number(ระบบจำนวนจริง)
Real Number(ระบบจำนวนจริง)Real Number(ระบบจำนวนจริง)
Real Number(ระบบจำนวนจริง)Thanuphong Ngoapm
 
เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1
เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1
เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1Unity' Aing
 
บทที่ 13 ระบบสมการ
บทที่ 13 ระบบสมการบทที่ 13 ระบบสมการ
บทที่ 13 ระบบสมการkrulerdboon
 
9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73
9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb739545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73
9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73peter dontoom
 
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริงความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริงRitthinarongron School
 
แบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน
แบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อนแบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน
แบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อนchatchai
 

Similar a Math3 (20)

P2a
P2aP2a
P2a
 
Math4
Math4Math4
Math4
 
Math6
Math6Math6
Math6
 
Realnumbers
RealnumbersRealnumbers
Realnumbers
 
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปรกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
 
Math1
Math1Math1
Math1
 
บทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซต
บทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซตบทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซต
บทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซต
 
E0b888e0b8b3e0b899e0b8a7e0b899e0b980e0b88ae0b8b4e0b887e0b88be0b989e0b8ade0b899
E0b888e0b8b3e0b899e0b8a7e0b899e0b980e0b88ae0b8b4e0b887e0b88be0b989e0b8ade0b899E0b888e0b8b3e0b899e0b8a7e0b899e0b980e0b88ae0b8b4e0b887e0b88be0b989e0b8ade0b899
E0b888e0b8b3e0b899e0b8a7e0b899e0b980e0b88ae0b8b4e0b887e0b88be0b989e0b8ade0b899
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
 
Vector
VectorVector
Vector
 
Math7
Math7Math7
Math7
 
Math5
Math5Math5
Math5
 
Real Number(ระบบจำนวนจริง)
Real Number(ระบบจำนวนจริง)Real Number(ระบบจำนวนจริง)
Real Number(ระบบจำนวนจริง)
 
เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1
เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1
เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1
 
บทที่ 13 ระบบสมการ
บทที่ 13 ระบบสมการบทที่ 13 ระบบสมการ
บทที่ 13 ระบบสมการ
 
9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73
9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb739545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73
9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73
 
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริงความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
 
แบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน
แบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อนแบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน
แบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน
 
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 
ข้อสอบ
ข้อสอบข้อสอบ
ข้อสอบ
 

Más de krusangduan54 (6)

Math13
Math13Math13
Math13
 
Math11
Math11Math11
Math11
 
Math
MathMath
Math
 
Math9
Math9Math9
Math9
 
Math8
Math8Math8
Math8
 
M1
M1M1
M1
 

Math3

  • 1. ใบความร้ ูที 3.1 เรือง สมบัติเชิ งพีชคณิตของจํานวนเชิ งซ้ อน ี ี ั สมบัติทีเกยวข้องเกยวกบการบวกและการคูณของจํานวนเชิงซ้อน ่ ถ้า z1 , z 2 , z 3 เป็ นจํานวนเชิงซ้อน แล้วจะได้วา 1. z1 + z 2 = z 2 + z1 และ z1z 2 = z 2 z1 (สมบัติการสลับที) 2. z1 + (z 2 + z 3 ) = (z1 + z 2 ) + z 3 และ z1 (z 2 z 3 ) = (z 2 z1 )z 3 (สมบัติการเปลียนกลุ่ม) 3. z1 (z 2 + z 3 ) = z1z 2 + z1z 3 (สมบัติการเปลียนแปลง) สมบัติเชิ งพีชคณิตของจํานวนเชิ งซ้ อน (Algebraic Propertiest of Complex Number) เอกลักษณ์ และตัวผกผันการบวก ่ พิจารณาการบวกจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี. (a , b) + (0,0) = (a + 0, b + 0) = (a , b ) ั ทํานองเดียวกน (0,0) + (a, b) = (a, b) ่ ่ ดังนั. นจึงกลาวได้วา (0,0) เป็ นเอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนเชิงซ้อน ็ ั ในระบบจํานวนจริ ง ตัวผกผันการบวกของจํานวนใดกตาม คือ จํานวนทีนํามาบวกกบ จํานวนนั. นแล้วได้เอกลักษณ์การบวก ในระบบจํานวนเชิ งซ้อนตัวผกผันการบวกของจํานวน ็ ่ เชิงซ้อนกมีความหมายเชนเดียวกน ั ่ สังเกตวา (a, b) + (−a,−b) = (a − a, b − b) = (0,0) และ (−a ,−b) + (a , b) = (0,0) ดังนั. น (−a ,− b) เป็ นตัวผกผันการบวกของ (a , b) หรื อ − a − bi เป็ นตัวผกผันการบวกของ a + bi ตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซ้อน z เขียนแทนด้วย − z ฉะนั. น − (a + bi) = −a − bi ตัวอย่ างที 1 ตัวผกผันการบวกของ (−2,1) คือ (2,−1) ตัวผกผันการบวกของ 3 + 2i คือ − 3 − 2i ตัวผกผันการบวกของ 1− i คือ −1+ i
  • 2. แบบฝึ กทักษะที 3.1 ่ จงหาตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี. 1. (−3,2) 2. (−15,−10) 3. (0,−2) 4. (6,−5) 5. 4 + 2i 6. − 1 + i 7. − 4 − 7i 8. − 45 + 3i
  • 3. ใบความร้ ู ที 3.2 การลบจํานวนเชิ งซ้ อน ั เราจะนิยามการลบกนจํานวนเชิงซ้อน ดังนี. บทนิยาม z − w = z + (− w ) สําหรับจํานวนเชิงซ้อน z, w ใดๆ ่ ตัวอย่ างที 1 จงหาผลลัพธ์ของจํานวนตอไปนี. 1. (2 − 3i) − (4 − i) วิธีทา (2 − 3i) − (4 − i) = 2 − 3i − 4 + i ํ = (2 − 4) + (−3i + i) = −2 + (−3 + 1)i = −2 + (−2)i = −2 − 2i 2. (−9 + 5i) − (−5 + 3i) วิธีทา (−9 + 5i) − (−5 + 3i) = −9 + 5i + 5 − 3i ํ = (−9 + 5) + (5i − 3i) = −4 + (5 − 3)i = −4 + 2i 3. (−4,5) − (−6,10) วิธีทา (−4,5) − (−6,10) = (−4,5) + (6,−10) ํ = (−4 + 6,5 + (−10)) = (2,−5)
  • 4. แบบฝึ กทักษะที 3.2 ่ จงหาผลลบของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี. 1. (3,4) − (−8,9) 2. (2,−3) − (−2,−7) 3. (−6,−5) − (3,−7) 4. (−3,4) − (8,9) 5. (−2,6) − (−5,−10) 6. (4 + i) − (5 − i) 7. (−6 − 17i) − (5 − 10i) 8. (−6 − 10i) − (−5 + 10i) 9. (6 − 17i) − (−5 − 10i) 10. (−6 + 17i) − (15 + 12i)
  • 5. ใบความร้ ู ที 3.3 เอกลักษณ์ และตัวผกผันการคณของจํานวนเชิ งซ้ อน ู เอกลักษณ์ และตัวผกผันการคณู ่ พิจารณาการคูณจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี. (a , b)(0,1) = (a ⋅ 1 − b ⋅ 0, a ⋅ 0 + b ⋅ 1) = (a − 0,0 + b) = (a , b ) ั ทํานองเดียวกน (1,0)(a , b) = (a, b) ่ ่ ดังนั. นจึงกลาวได้วา (1,0) เป็ นเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนเชิงซ้อน ่ ่ ั ถ้า (a, b) เป็ นจํานวนเชิงซ้อนซึ งไมเทากบ (0,0) ตัวผกผันการคูณของ (a, b) คือจํานวน ั เชิงซ้อนทีคูณกบ (a, b) แล้วได้ (1,0) ซึ งหาได้ดงนี. ั ให้ (x, y) เป็ นตัวผกผันการคูณของ (1,0) จะได้ (a , b)( x , y) = (1,0) แต่ (a , b)( x , y) = (ax − by, bx + ay) ดังนั. น (ax − by, bx + ay) = (1,0) จากบทนิยามจะได้ ax − by = 1 ………….(1) bx + ay = 0 …………(2) สมการ (1) × a จะได้ a 2 x − aby = a ………(3) สมการ (2) × b จะได้ b 2 x + aby = 0 ……….(4) สมการ (3) + (4) จะได้ a 2x + b2x = a (a 2 + b 2 ) x = a a x= 2 ่ แทนคาในสมการ (2) a + b2 จะได้ b 2 a 2  + ay = 0   a +b  ab + ay = 0 a + b2 2 ab ay = 0 − 2 a + b2
  • 6. ab y=− (a + b 2 ) a 2 b y=− 2 a + b2  a b  ดังนั. น ( x , y) =  2 ,− 2  a +b a + b2  2 b   a2  ตรวจสอบวา (a, b) ่  a ,− 2 2  = 2 b ab ab  a + b2 + a 2 + b2 , a 2 + b2 − a 2 + b2   a +b a +b   2 2   a 2 + b2  = 2  a + b 2 ,0     = (1,0)  a b  ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (a , b ) คือ  2 ,− 2  a +b a + b2  2 ตัวผกผันการคูณของ z เขียนแทนด้วย z −1 a b เมือเขียน z = a + bi จะได้ z −1 = − 2 i a +b 22 a + b2 a − bi = 2 a + b2 ่ ตัวอย่ าง 3 จงหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี. 1. (4,−3) วิธีทา ํ a 2 + b 2 = 4 2 + (−3) 2 = 16 + 9 = 25 ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (4,−3) คือ   4 3  ,   25 25  2. (−2,3) วิธีทา a 2 + b 2 = (−2) 2 + 3 2 ํ = 4+9 = 13 ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (−2,3) คือ  2 ,−  3   13 13  3. 6 + 8i
  • 7. วิธีทา ํ a 2 + b 2 = 6 2 + 82 = 36 + 64 = 100 6 8 3 4 ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ 6 + 8i คือ − i หรื อ − i 100 100 50 50 4. − 2 − i วิธีทา a 2 + b 2 = (−2) 2 + (−1) 2 ํ = 4 +1 =5 2 1 ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ −2−i คือ − + i 5 50
  • 8. แบบฝึ กทักษะที 3.3 ่ จงหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี. 1. (5,8) 2. (−12,−5) 3. (9,−5) 4. 6 + 7i 5. − 12 − 5i 6. (−3,2) 7. (−15,−10) 8. (0,−2) 9. (6,−5) 10. 4 + 2i 11. − 1 + i 12. − 4 − 7i 13. − 45 + 3i