Teoría de obtención de esfuerzos en estructuras planas reticuladas isostáticas. Asignatura: Mecánica de Sólidos. Curso 2012/13. Grado en Arquitectura. Escuela Politécnica Superior. Universidad San Pablo CEU. Madrid. http://www.eps.uspceu.es Autor: Maribel Castilla Heredia. @maribelcastilla http://about.me/maribelcastilla

1. Bloque A. Representación de diagramas de esfuerzos.
Mecánica de sólidos– Curso 2012/2013 Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Versión 2.0 Octubre de 2012

2. Esfuerzos
 Como hemos visto en las clases, en cada una de las secciones (rebanadas) de las
que imaginamos componen una estructura reticulada sometida a acciones exteriores,
se producen unas fuerzas internas, a las que denominamos esfuerzos.
 Los esfuerzos se representan mediante pares de fuerzas, ya que cada una de las
“rebanadas” en las que virtualmente dividimos la estructura debe estar en equilibrio.
 En una barra perteneciente a una estructura plana, los esfuerzos posibles son tres:
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3. Esfuerzos
 Como hemos visto en las clases, en cada una de las secciones (rebanadas) de las
que imaginamos componen una estructura reticulada sometida a acciones exteriores,
se producen unas fuerzas internas, a las que denominamos esfuerzos.
 Los esfuerzos se representan mediante pares de fuerzas, ya que cada una de las
“rebanadas” en las que virtualmente dividimos la estructura debe estar en equilibrio.
 En una barra perteneciente a una estructura plana, los esfuerzos posibles son tres:
Esfuerzo Axil
Provoca que ambas caras de la
rebanada se separen entre sí,
manteniéndose paralelas.
Lo representaremos con la letra N.
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4. Esfuerzos
 Como hemos visto en las clases, en cada una de las secciones (rebanadas) de las
que imaginamos componen una estructura reticulada sometida a acciones exteriores,
se producen unas fuerzas internas, a las que denominamos esfuerzos.
 Los esfuerzos se representan mediante pares de fuerzas, ya que cada una de las
“rebanadas” en las que virtualmente dividimos la estructura debe estar en equilibrio.
 En una barra perteneciente a una estructura plana, los esfuerzos posibles son tres:
Esfuerzo Axil Esfuerzo Cortante
Provoca que ambas caras de la Provoca una cizalladura entre ambas
rebanada se separen entre sí, caras de la rebanada, deslizando una
manteniéndose paralelas. con respecto a la otra pero
manteniéndose paralelas.
Lo representaremos con la letra N.
Lo representaremos con la letra V.
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5. Esfuerzos
 Como hemos visto en las clases, en cada una de las secciones (rebanadas) de las
que imaginamos componen una estructura reticulada sometida a acciones exteriores,
se producen unas fuerzas internas, a las que denominamos esfuerzos.
 Los esfuerzos se representan mediante pares de fuerzas, ya que cada una de las
“rebanadas” en las que virtualmente dividimos la estructura debe estar en equilibrio.
 En una barra perteneciente a una estructura plana, los esfuerzos posibles son tres:
Esfuerzo Axil Esfuerzo Cortante Momento flector
Provoca que ambas caras de la Provoca una cizalladura entre ambas Provoca un giro en las caras de la
rebanada se separen entre sí, caras de la rebanada, deslizando una rebanada, de manera que la dejan de
manteniéndose paralelas. con respecto a la otra pero ser paralelas y un extremo de la
manteniéndose paralelas. rebanada se acorta y el otro se alarga.
Lo representaremos con la letra N.
Lo representaremos con la letra V. Lo representaremos con la letra M.
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6. Criterio de signos a emplear en esfuerzos
 Los esfuerzos se refieren a un par de fuerzas que actúan sobre una rebanada de la barra, por lo
que no podemos establecer el signo del esfuerzo a partir de una sola de esas fuerzas. Para que la
rebanada esté en equilibrio ambas son iguales y de sentido opuesto.
 El criterio de signos es arbitrario. Antes de analizar una estructura debemos conocer los criterios
de signos para representar los resultados. También antes de interpretar los resultados obtenidos
por un programa de cálculo por ordenador debemos conocer cuál es el criterio de signos que
emplea el software.
 El que se recoge a continuación es el criterio de signos que utilizamos en esta asignatura, pero no
tiene por qué coincidir con otras asignaturas, textos, software, etc. Los casos aquí recogidos son
válidos para una barra cuya directriz sea horizontal.
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7. Criterio de signos a emplear en esfuerzos
 Los esfuerzos se refieren a un par de fuerzas que actúan sobre una rebanada de la barra, por lo
que no podemos establecer el signo del esfuerzo a partir de una sola de esas fuerzas. Para que la
rebanada esté en equilibrio ambas son iguales y de sentido opuesto.
 El criterio de signos es arbitrario. Antes de analizar una estructura debemos conocer los criterios
de signos para representar los resultados. También antes de interpretar los resultados obtenidos
por un programa de cálculo por ordenador debemos conocer cuál es el criterio de signos que
emplea el software.
 El que se recoge a continuación es el criterio de signos que utilizamos en esta asignatura, pero no
tiene por qué coincidir con otras asignaturas, textos, software, etc. Los casos aquí recogidos son
válidos para una barra cuya directriz sea horizontal.
Esfuerzo Axil
Diremos que es positivo si ambas caras de la
rebanada se separan entre sí, y negativo si
se acercan.
Cuando el axil es positivo decimos que la
pieza está traccionada. Cuando es negativo,
decimos que está comprimida.
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8. Criterio de signos a emplear en esfuerzos
 Los esfuerzos se refieren a un par de fuerzas que actúan sobre una rebanada de la barra, por lo
que no podemos establecer el signo del esfuerzo a partir de una sola de esas fuerzas. Para que la
rebanada esté en equilibrio ambas son iguales y de sentido opuesto.
 El criterio de signos es arbitrario. Antes de analizar una estructura debemos conocer los criterios
de signos para representar los resultados. También antes de interpretar los resultados obtenidos
por un programa de cálculo por ordenador debemos conocer cuál es el criterio de signos que
emplea el software.
 El que se recoge a continuación es el criterio de signos que utilizamos en esta asignatura, pero no
tiene por qué coincidir con otras asignaturas, textos, software, etc. Los casos aquí recogidos son
válidos para una barra cuya directriz sea horizontal.
Esfuerzo Axil Esfuerzo Cortante
Diremos que es positivo si ambas caras de la Diremos que es positivo cuando el giro que
rebanada se separan entre sí, y negativo si provocaría el par de fuerzas fuera
se acercan. antihorario, y negativo cuando el giro fuera
Cuando el axil es positivo decimos que la en el sentido de las agujas del reloj.
pieza está traccionada. Cuando es negativo,
decimos que está comprimida.
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9. Criterio de signos a emplear en esfuerzos
 Los esfuerzos se refieren a un par de fuerzas que actúan sobre una rebanada de la barra, por lo
que no podemos establecer el signo del esfuerzo a partir de una sola de esas fuerzas. Para que la
rebanada esté en equilibrio ambas son iguales y de sentido opuesto.
 El criterio de signos es arbitrario. Antes de analizar una estructura debemos conocer los criterios
de signos para representar los resultados. También antes de interpretar los resultados obtenidos
por un programa de cálculo por ordenador debemos conocer cuál es el criterio de signos que
emplea el software.
 El que se recoge a continuación es el criterio de signos que utilizamos en esta asignatura, pero no
tiene por qué coincidir con otras asignaturas, textos, software, etc. Los casos aquí recogidos son
válidos para una barra cuya directriz sea horizontal.
Esfuerzo Axil Esfuerzo Cortante Momento flector
Diremos que es positivo si ambas caras de la Diremos que es positivo cuando el giro que Diremos que es positivo cuando produzca
rebanada se separan entre sí, y negativo si provocaría el par de fuerzas fuera tracción en la parte inferior de la rebanada y
se acercan. antihorario, y negativo cuando el giro fuera compresión en la cara superior.
Cuando el axil es positivo decimos que la en el sentido de las agujas del reloj.
pieza está traccionada. Cuando es negativo, Los diagramas siempre se dibujarán hacia la
decimos que está comprimida. parte traccionada de la rebanada.
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10. Criterio de signos a emplear en esfuerzos (II)
 El criterio de signos está ligado al comportamiento de una rebanada de la barra y, por ello, está
ligado a la directriz de la misma, bien por un sistema de coordenadas locales referidos al eje de la
barra (es el método que emplean la mayoría de programas informáticos) o bien mediante una
representación de la misma en las diferentes posiciones posibles en la estructura.
 Como se dijo anteriormente, el criterio es arbitrario. Éste es el que emplearemos en la asignatura:
en una única rebanada se representarán los tres esfuerzos con signo positivo (en la realidad física
los tres son concomitantes), y representaremos esa rebanada en la posición que correspondería si
perteneciera a una barra horizontal, una barra vertical, una barra inclinada con pendiente
ascendente y una barra inclinada con pendiente descendente. Esto cubrirá los casos que
necesitamos.
Barra horizontal. Barra vertical.
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11. Criterio de signos a emplear en esfuerzos (II)
 El criterio de signos está ligado al comportamiento de una rebanada de la barra y, por ello, está
ligado a la directriz de la misma, bien por un sistema de coordenadas locales referidos al eje de la
barra (es el método que emplean la mayoría de programas informáticos) o bien mediante una
representación de la misma en las diferentes posiciones posibles en la estructura.
 Como se dijo anteriormente, el criterio es arbitrario. Éste es el que emplearemos en la asignatura:
en una única rebanada se representarán los tres esfuerzos con signo positivo (en la realidad física
los tres son concomitantes), y representaremos esa rebanada en la posición que correspondería si
perteneciera a una barra horizontal, una barra vertical, una barra inclinada con pendiente
ascendente y una barra inclinada con pendiente descendente. Esto cubrirá los casos que
necesitamos.
Barra horizontal. Barra vertical.
Barra inclinada con pendiente ascendente. Barra inclinada con pendiente descendente.
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12. Diagramas de esfuerzos
 Para calcular los esfuerzos en los diferentes puntos de la estructura vamos dando
“cortes” y haciendo equilibrio. De esta manera podemos comprobar que en diferentes
secciones de una estructura se dan diferentes valores de axil, de cortante y de
momento flector.
 En este bloque vamos a aprender a representar cómo varían los tres tipos de
esfuerzo esfuerzos a lo largo de la estructura reticulada, de tal manera que, de un
vistazo, podremos interpretar el comportamiento de la misma.
 Hay que analizar la variación de cada esfuerzo a lo largo de cada barra que forma la
estructura (ya hemos visto que incluso los criterios de signos varían según la
disposición en el plano de la barra).
PROCEDIMIENTO GENERAL
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13. Diagramas de esfuerzos
 Para calcular los esfuerzos en los diferentes puntos de la estructura vamos dando
“cortes” y haciendo equilibrio. De esta manera podemos comprobar que en diferentes
secciones de una estructura se dan diferentes valores de axil, de cortante y de
momento flector.
 En este bloque vamos a aprender a representar cómo varían los tres tipos de
esfuerzo esfuerzos a lo largo de la estructura reticulada, de tal manera que, de un
vistazo, podremos interpretar el comportamiento de la misma.
 Hay que analizar la variación de cada esfuerzo a lo largo de cada barra que forma la
estructura (ya hemos visto que incluso los criterios de signos varían según la
disposición en el plano de la barra).
PROCEDIMIENTO GENERAL
Obtener las reacciones en los apoyos y asegurarnos de que la estructura está en equilibrio.
Cortar la estructura en los puntos necesarios y obtener los valores de los esfuerzos en cada uno de
esos puntos, representándolos sobre la barra.
Representar los diagramas que pasan por los valores calculados en los puntos anteriores.
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14. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo.
 Comenzaremos por la estructura reticulada más sencilla: la viga isostática biapoyada.
 Le aplicaremos una carga puntual de valor P y obtendremos las reacciones.
 Obtendremos los valores de los esfuerzos en varias secciones de la barra y deduciremos
cuáles son los “puntos necesarios” en los que debemos calcular el valor de los esfuerzos.
 Por último, dibujaremos el diagrama de esfuerzos axiles, cortantes y momentos flectores,
estableciendo simultáneamente el criterio que emplearemos a la hora de representar estos
esfuerzos en las barras horizontales.
 Queremos conocer cómo varía cada esfuerzo a lo largo de la barra, es decir, en función de la
posición que tiene el corte de la barra en el que estoy calculando el esfuerzo. Asignaré a esa
coordenada la variable x, y la barra será, por tanto, el eje x.
 En este caso he decidido asignar el origen de coordenadas (el valor x=0) al extremo
izquierdo de la figura. El punto rojo, por ejemplo, representa al punto de la barra con
coordenada x=L/4.
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15. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X=0
- Corto la estructura infinitamente cerca del apoyo izquierdo y me quedo con la
parte más pequeña (es la última rebanada que queda antes del apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que representan
los esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio de signos positivo
para esfuerzos en barras horizontales:
- Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, por lo que el valor
del mismo será 0.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante (perpendicular a
la directriz de la barra) es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del cortante
será de P/2. Para decidir el signo observamos si, una vez asignado este valor de
P/2, con el sentido que lleva el cortante podría haber equilibrio. Vemos que no,
que debería ir al contrario. Eso significa que el cortante no es positivo, como
habíamos supuesto en origen, sino que tiene que ser negativo.
- Momento flector: La única fuerza que podría provocar momento es la reacción
en el apoyo, pero al estar calculando el momento justo en el apoyo, no tenemos
brazo, por lo que el momento tendrá valor nulo.
-Represento en cada uno de los esquemas los valores obtenidos.
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16. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X=0
- Corto la estructura infinitamente cerca del apoyo izquierdo y me quedo con la
parte más pequeña (es la última rebanada que queda antes del apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que representan
los esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio de signos positivo
para esfuerzos en barras horizontales:
- Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, por lo que el valor
del mismo será 0.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante (perpendicular a
la directriz de la barra) es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del cortante
será de P/2. Para decidir el signo observamos si, una vez asignado este valor de
P/2, con el sentido que lleva el cortante podría haber equilibrio. Vemos que no,
que debería ir al contrario. Eso significa que el cortante no es positivo, como
habíamos supuesto en origen, sino que tiene que ser negativo.
- Momento flector: La única fuerza que podría provocar momento es la reacción
en el apoyo, pero al estar calculando el momento justo en el apoyo, no tenemos
brazo, por lo que el momento tendrá valor nulo.
-Represento en cada uno de los esquemas los valores obtenidos.
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17. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X=0
- Corto la estructura infinitamente cerca del apoyo izquierdo y me quedo con la
parte más pequeña (es la última rebanada que queda antes del apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que representan
los esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio de signos positivo
para esfuerzos en barras horizontales:
-Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, por lo que el valor
del mismo será 0.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante (perpendicular a
Representación la directriz de la barra) es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del cortante
será de P/2. Para decidir el signo observamos si, una vez asignado este valor de
P/2, con el sentido que lleva el cortante podría haber equilibrio. Vemos que no,
- Representaremos los valores de esfuerzos que vayamos obteniendo en un sistema cartesiano en el que el eje
que debería ir al contrario. Eso significa que el cortante no es positivo, como
x es la barra y el eje “y” representa los valores de supuesto en origen, sino que tiene que ser negativo.
habíamos cada esfuerzo.
- Los valores positivos los representaremos bajo el flector: y los valores negativos porprovocar momento es la reacción
- Momento eje x, La única fuerza que podría encima.
- Después iremos uniendo esos puntos en el apoyo, pero al una curva que representa la ecuaciónapoyo, no tenemos
entre sí mediante estar calculando el momento justo en el que define la
brazo, por lo que el momento tendrá valor nulo.
variación del esfuerzo a lo largo del eje x.
- En el primer caso que habíamos calculado (x=0): en cada uno de los esquemas los valores obtenidos.
-Represento
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18. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/4
- Corto la estructura en x=L/4 y me quedo con la parte más pequeña (la parte de
la izquierda).
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que representan
los esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio de signos positivo
para esfuerzos en barras horizontales:
- Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, por lo que el valor
del mismo será 0.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante (perpendicular a
la directriz de la barra) es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del cortante
será de P/2. Como el sentido de la fuerza tendrá que ser opuesto para que haya
equilibrio, el signo es negativo.
- Momento flector: La única fuerza que puede provocar momento es la reacción
vertical. El valor será PL/8. Para compensar ese momento producido por la
reacción hace falta un momento con el mismo sentido que el que tenemos en el
lado derecho de la rebanada con el criterio de signos. Por lo tanto, el momento
será positivo.
- Representamos los valores en los diagramas
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19. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/4
- Corto la estructura en x=L/4 y me quedo con la parte más pequeña (la parte de
la izquierda).
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que representan
los esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio de signos positivo
para esfuerzos en barras horizontales:
- Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, por lo que el valor
del mismo será 0.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante (perpendicular a
la directriz de la barra) es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del cortante
será de P/2. Como el sentido de la fuerza tendrá que ser opuesto para que haya
equilibrio, el signo es negativo.
- Momento flector: La única fuerza que puede provocar momento es la reacción
vertical. El valor será PL/8. Para compensar ese momento producido por la
reacción hace falta un momento con el mismo sentido que el que tenemos en el
lado derecho de la rebanada con el criterio de signos. Por lo tanto, el momento
será positivo.
- Representamos los valores en los diagramas
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20. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/2
- Corto la estructura en x=L/2 pero justo antes de llegar a la carga
puntual y me quedo con la parte de la izquierda.
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que
representan los esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio
de signos positivo para esfuerzos en barras horizontales:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante
es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del cortante será de
P/2. De nuevo, para que haya equilibrio, el signo tendrá que ser
negativo para que haya equilibrio.
- Momento flector: La única fuerza que provoca momento
respecto de ese punto es la reacción. El valor será PL/4 y el
sentido horario. Para compensar ese momento hace falta un
momento con el mismo sentido que el que tenemos con el criterio
de momento positivo. Por lo tanto, el momento será positivo.
- Nuevamente, representamos los valores en cada diagrama.
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21. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/2
- Corto la estructura en x=L/2 pero justo antes de llegar a la carga
puntual y me quedo con la parte de la izquierda.
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que
representan los esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio
de signos positivo para esfuerzos en barras horizontales:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante
es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del cortante será de
P/2. De nuevo, para que haya equilibrio, el signo tendrá que ser
negativo para que haya equilibrio.
- Momento flector: La única fuerza que provoca momento
respecto de ese punto es la reacción. El valor será PL/4 y el
sentido horario. Para compensar ese momento hace falta un
momento con el mismo sentido que el que tenemos con el criterio
de momento positivo. Por lo tanto, el momento será positivo.
- Nuevamente, representamos los valores en cada diagrama.
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22. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/2
- Corto la estructura en x=L/2 de nuevo, pero esta vez justo después
de la carga puntual.
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: El total de fuerzas a la izquierda de la rebanada es
P/2, hacia abajo. Para equilibrar esa fuerza hace falta otra de
valor P/2 y sentido opuesto. El sentido coincide con el del
criterio de signos positivo para el cortante. Por lo tanto, será
cortante positivo.
- Momento flector: La única fuerza que provoca momento
respecto de ese punto es la reacción, ya que la distancia a la
carga puntual central es prácticamente nula. Por lo tanto, de
nuevo el momento será positivo y el valor PL/4.
- Nuevamente, representamos los valores en cada uno de los
diagramas.
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23. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/2
- Corto la estructura en x=L/2 de nuevo, pero esta vez justo después
de la carga puntual.
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: El total de fuerzas a la izquierda de la rebanada es
P/2, hacia abajo. Para equilibrar esa fuerza hace falta otra de
valor P/2 y sentido opuesto. El sentido coincide con el del
criterio de signos positivo para el cortante. Por lo tanto, será
cortante positivo.
- Momento flector: La única fuerza que provoca momento
respecto de ese punto es la reacción, ya que la distancia a la
carga puntual central es prácticamente nula. Por lo tanto, de
nuevo el momento será positivo y el valor PL/4.
- Nuevamente, representamos los valores en cada uno de los
diagramas.
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24. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = 3L/4
- Corto la estructura en x=3L/4.
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: Valor P/2 y signo positivo.
- Momento flector: Ahora producen momento tanto la reacción como la carga puntual. El valor del momento flector
será PL/2 y el signo positivo.
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25. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = 3L/4
- Corto la estructura en x=3L/4.
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: Valor P/2 y signo positivo.
- Momento flector: Ahora producen momento tanto la reacción como la carga puntual. El valor del momento flector
será PL/2 y el signo positivo.
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26. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X=L
- Corto la estructura en x=L justo antes de llegar al apoyo derecho (por lo tanto, no cuento con la reacción en ese apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: Valor P/2 y signo positivo.
- Momento flector: Siguen produciendo momento tanto la reacción como la carga puntual, pero las distancias han
variado. El valor del momento flector será 0 (L*P/2 se equilibra directamente con P*L/2).
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27. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X=L
- Corto la estructura en x=L justo antes de llegar al apoyo derecho (por lo tanto, no cuento con la reacción en ese apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: Valor P/2 y signo positivo.
- Momento flector: Siguen produciendo momento tanto la reacción como la carga puntual, pero las distancias han
variado. El valor del momento flector será 0 (L*P/2 se equilibra directamente con P*L/2).
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28. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Trazado de los diagramas.
- Uniré cada uno de los puntos obtenidos y extraeré conclusiones .
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29. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Trazado de los diagramas.
- Uniré cada uno de los puntos obtenidos y extraeré conclusiones .
- El cortante no depende del punto “x” en el que me encuentre de la barra. Los cambios en los valores se producen
cuando aplico una carga puntual nueva.
- El momento varía linealmente (proporcionalmente) cuanto más lejos estoy de la fuerza que produce el momento, mayor
es este. Cada vez que se introduce una nueva fuerza cambia la pendiente de la gráfica.
- Conclusión: únicamente necesito dar cortes cerca de los puntos en los que cambian las cargas aplicadas.
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30. Diagramas de esfuerzos. Primer ejemplo (cont).
 Trazado de los diagramas.
Observa
- Los “saltos” que se producen en el diagrama de cortantes
tienen el mismo valor que las cargas puntuales aplicadas (re-
acciones y fuerza P)
- Siempre que se aplica una carga puntual se produce un salto
en el diagrama de cortantes y un cambio de pendiente en el de
momentos flectores.
- En el diagrama de momentos flectores los tramos con valor
positivo representan la zona de la barra con la cara inferior
traccionada.
- También presentan semejanzas con la forma que tendría la
estructura al deformarse.
- Uniré cada uno de los puntos obtenidos y extraeré conclusiones .
- El cortante no depende del punto “x” en el que me encuentre de la barra. Los cambios en los valores se producen
cuando aplico una carga puntual nueva.
- El momento varía linealmente (proporcionalmente) cuanto más lejos estoy de la fuerza que produce el momento, mayor
es este. Cada vez que se introduce una nueva fuerza cambia la pendiente de la gráfica.
- Conclusión: únicamente necesito dar cortes cerca de los puntos en los que cambian las cargas aplicadas.
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31. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo.
 Viga isostática biapoyada con varias cargas puntuales aplicadas.
 Obtenemos las reacciones.
 Obtendremos los valores de los esfuerzos antes y después de cada carga puntual aplicada.
 Por último, dibujaremos los diagramas de esfuerzos axiles, cortantes y momentos flectores.
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32. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X=0
- Corto la estructura infinitamente cerca del apoyo izquierdo y me quedo con la parte
más pequeña (es la última rebanada que queda antes del apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que representan los
esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio de signos positivo para
esfuerzos en barras horizontales:
- Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, por lo que el
valor del mismo será 0.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante (perpendicular
a la directriz de la barra) es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del
cortante será de P/2. Para decidir el signo observamos si, una vez asignado
este valor de P/2, con el sentido que lleva el cortante podría haber equilibrio.
Vemos que no, que debería ir al contrario. Eso significa que el cortante no es
positivo, como habíamos supuesto en origen, sino que tiene que ser negativo.
- Momento flector: La única fuerza que podría provocar momento es la
reacción en el apoyo, pero al pasar justo por ese punto será nulo.
-Represento en cada uno de los esquemas los valores obtenidos.
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33. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/4
- Corto la estructura en x=L/4 justo antes de la primera carga puntual y me quedo
con la parte más pequeña (la parte de la izquierda).
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, N=0
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante
(perpendicular a la directriz de la barra) es la reacción vertical. Por lo tanto,
el valor del cortante será de P/2. Como el sentido de la fuerza tendrá que
ser opuesto para que haya equilibrio, el signo es negativo.
- Momento flector: La única fuerza que puede provocar momento es la
reacción vertical. El valor será PL/8. Para compensar ese momento
producido por la reacción hace falta un momento con el mismo sentido que
el que tenemos en el lado derecho de la rebanada con el criterio de signos.
Por lo tanto, el momento será positivo.
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34. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/4
- Corto la estructura en x=L/4 justo después de la primera carga puntual y me
quedo con la parte más pequeña (la parte de la izquierda).
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, N=0
- Cortante: El módulo de la resultante de fuerzas perpendiculares a la
barra es P/6, y el sentido hacia arriba. Como el sentido de la fuerza de la
derecha de la rebanada tendrá que ser opuesto para que haya equilibrio,
el signo del cortante es negativo y el valor, P/6.
- Momento flector: Como la fuerza puntual está muy cerca del punto donde
hemos cortado, la única fuerza que puede provocar momento es la
reacción vertical. El valor de la resultante de momentos a la izquierda será
PL/8. Para compensar ese momento producido por la reacción hace falta
un momento con el mismo sentido que el que tenemos en el lado derecho
de la rebanada con el criterio de signos. Por lo tanto, el momento será
positivo.
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35. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/2
- Corto la estructura en x=L/2 pero justo antes de llegar a la carga
puntual y me quedo con la parte de la izquierda.
- Equilibro las fuerzas que tengo a ambos lados de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: El módulo de la resultante de fuerzas perpendiculares
a la barra es P/6, y el sentido hacia arriba. Como el sentido de la
fuerza de la derecha de la rebanada tendrá que ser opuesto
para que haya equilibrio, el signo del cortante es negativo y el
valor, P/6.
- Momento flector: Ahora tanto la resultante como la primera
carga puntual aplicada producen momentos. El valor de la
resultante de momentos a la izquierda será PL/6 y el sentido
horario. Para compensar ese momento hace falta un momento
con el mismo sentido que el que tenemos con el criterio de
momento positivo. Por lo tanto, el momento será positivo.
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36. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = L/2
- Corto la estructura en x=L/2 pero justo después de la carga puntual y
me quedo con la parte de la izquierda.
- Equilibro las fuerzas que tengo a ambos lados de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: El módulo de la resultante de fuerzas perpendiculares
a la barra es P/6, y el sentido hacia abajo. Como el sentido de la
fuerza de la derecha de la rebanada tendrá que ser opuesto
para que haya equilibrio, el signo del cortante es positivo y el
valor, P/6.
- Momento flector: La segunda carga está justo antes del punto
donde hemos cortado, por lo que el valor del momento flector
será el mismo que teníamos en el corte previo: PL/6 signo
positivo.
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37. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = 3L/4
- Corto la estructura en x=3L/4 justo antes de la tercera carga puntual.
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: Valor P/6 y signo positivo.
- Momento flector: Ahora producen momento tanto la reacción como las dos cargas puntuales. El valor del
momento flector será PL/4 y el signo positivo.
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38. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X = 3L/4
- Corto la estructura en x=3L/4 justo después de la tercera carga puntual.
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: Valor P/2 y signo positivo.
- Momento flector: La tercera carga está justo en el punto donde hemos cortado y, por lo tanto, no varía el valor
del momento flector obtenido en el corte anterior.
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39. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Vamos a obtener los valores de los esfuerzos en diferentes puntos de la estructura.
X=L
- Corto la estructura en x=L justo antes de llegar al apoyo derecho (por lo tanto, no cuento con la reacción en ese apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: Valor P/2 y signo positivo.
- Momento flector: Todas las fuerzas puntuales aplicadas y la reacción producen momentos, y la resultante de
todos esos momentos es nula.
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40. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Trazado de los diagramas.
- Uniré cada uno de los puntos obtenidos y extraeré conclusiones .
- El cortante no depende del punto “x” en el que me encuentre de la barra. Los cambios en los valores se producen
cuando aplico una carga puntual nueva.
- El momento varía linealmente (proporcionalmente). Cada vez que se introduce una nueva fuerza cambia la pendiente
de la gráfica.
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41. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
 Trazado de los diagramas.
Observa
- Los “saltos” que se producen en el diagrama de cortantes
tienen el mismo valor que las cargas puntuales aplicadas (re-
acciones y fuerza P)
- Siempre que se aplica una carga puntual se produce un salto
en el diagrama de cortantes y un cambio de pendiente en el de
momentos flectores.
- En el diagrama de momentos flectores los tramos con valor
positivo representan la zona de la barra con la cara inferior
traccionada.
- También presentan semejanzas con la forma que tendría la
estructura al deformarse.
- Uniré cada uno de los puntos obtenidos y extraeré conclusiones .
- El cortante no depende del punto “x” en el que me encuentre de la barra. Los cambios en los valores se producen
cuando aplico una carga puntual nueva.
- El momento varía linealmente (proporcionalmente). Cada vez que se introduce una nueva fuerza cambia la pendiente
de la gráfica.
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42. Diagramas de esfuerzos. Tercer ejemplo.
 Viga isostática biapoyada con una carga uniformemente repartida.
 Obtenemos las reacciones.
 Obtendremos los valores de los esfuerzos antes y después de cada carga puntual aplicada.
 Por último, dibujaremos los diagramas de esfuerzos axiles, cortantes y momentos flectores.
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43. Diagramas de esfuerzos. Tercer ejemplo.
 Viga isostática biapoyada con una carga uniformemente repartida.
 Obtenemos las reacciones.
 Obtendremos los valores de los esfuerzos antes y después de cada carga puntual aplicada.
 Por último, dibujaremos los diagramas de esfuerzos axiles, cortantes y momentos flectores.
Según vimos en los ejemplos
anteriores, sólo debemos obtener los
valores en los puntos en los que la
distribución de la carga cambia. En
este caso, la carga permanece
constante, por lo que cambia al inicio
y al final, pero vamos a obtener un
punto intermedio para deducir cómo
es la variación.
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44. Diagramas de esfuerzos. Tercer ejemplo (cont).
X=0
- Corto la estructura infinitamente cerca del apoyo izquierdo y me quedo con la parte
más pequeña (es la última rebanada que queda antes del apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo en la estructura con las fuerzas que representan los
esfuerzos al lado “libre” de la rebanada según mi criterio de signos positivo para
esfuerzos en barras horizontales:
- Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, por lo que el
valor del mismo será 0.
- Cortante: La única fuerza que hay en la dirección del cortante (perpendicular
a la directriz de la barra) es la reacción vertical. Por lo tanto, el valor del
cortante será de q*L/2. Para decidir el signo observamos si, una vez asignado
este valor de q*L/2, con el sentido que lleva el cortante podría haber equilibrio.
Vemos que no, que debería ir al contrario. Eso significa que el cortante no es
positivo, como habíamos supuesto en origen, sino que tiene que ser negativo.
- Momento flector: La única fuerza que podría provocar momento es la
reacción en el apoyo, pero al pasar justo por ese punto será nulo.
-Represento en cada uno de los esquemas los valores obtenidos.
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45. Diagramas de esfuerzos. Segundo ejemplo (cont).
X=L
- Corto la estructura en x=L justo antes de llegar al apoyo derecho (por lo tanto, no cuento con la reacción en ese apoyo).
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
- Axil: Valor nulo.
- Cortante: Valor q*L/2 y signo positivo.
- Momento flector: El momento producido por las fuerzas al lado izquierdo de la rebanada es nulo; por lo tanto el
momento flector también lo es.
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46. Diagramas de esfuerzos. Tercer ejemplo (cont).
Punto intermedio: X = L/2
- Corto la estructura en x=L/2 para entender cómo varían los esfuerzos
entre x=0 y x=L.
- Equilibro las fuerzas que tengo a un lado y al otro de la rebanada:
-Axil: No hay fuerzas que lleven la dirección del esfuerzo axil, N=0
- Cortante: Tengo dos fuerzas: Por un lado la reacción en el apoyo y
por otro la carga repartida en L/2 (y que está aplicada en L/4). Por lo
tanto, el valor del cortante será de 0. Si pensamos en cómo varía el
cortante desde x=0 a x=L/2, veremos que varía linealmente en función
de x.
Momento flector: Tenemos dos fuerzas que producen momento: la reacción y la carga repartida (en total PL/4) y que está aplicada a
una distancia L/8 del punto x. Por lo tanto, el momento que generan las fuerzas que están a la izquierda de la rebanada viene dado
por la expresión: q L L L L 1
q qL2
2 2 2 4 8
Para compensar ese momento debe aparecer otro en sentido opuesto al otro lado de la rebanada. Por lo tanto, el momento flector es
positivo. También podemos ver que la variación del momento en este caso no es lineal como en el caso de la carga puntual, sino
que es parabólica.
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47. Diagramas de esfuerzos. Tercer ejemplo (cont).
 Trazado de los diagramas.
- Uniré cada uno de los puntos obtenidos y extraeré conclusiones .
- Con carga repartida el cortante sí depende del punto “x” en el que me encuentre de la barra porque cuanto más
avanzo, más carga tengo. Si hubiese una carga puntual aplicada (como la hay en los extremos debido a las reacciones)
se produciría un salto brusco y luego el diagrama continuaría con la misma pendiente.
- Con carga repartida el momento varía con el cuadrado de la distancia. Cuando el diagrama de cortantes se hace cero,
tengo un cambio en la pendiente de la parábola (hay un máximo o un mínimo relativo).
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48. Diagramas de esfuerzos. Tercer ejemplo (cont).
 Trazado de los diagramas.
Observa
- Cuando la carga es uniformemente repartida, el diagrama de
cortantes varía linealmente y el de momentos es la curva que
representa a un polinomio de grado 2 (una parábola).
- La curvatura del diagrama de momentos coincide con la
dirección en que empuja la carga (como si se tratara de la vela
de un barco hinchada por el viento).
- Si una estructura es simétrica de geometría y de cargas, el
diagrama de momentos también lo es. El de cortantes es
antisimétrico.
- El diagrama de momentos también presenta semejanzas con la
forma que tendría la estructura al deformarse.
- Uniré cada uno de los puntos obtenidos y extraeré conclusiones .
- Con carga repartida el cortante sí depende del punto “x” en el que me encuentre de la barra porque cuanto más
avanzo, más carga tengo. Si hubiese una carga puntual aplicada (como la hay en los extremos debido a las reacciones)
se produciría un salto brusco y luego el diagrama continuaría con la misma pendiente.
- Con carga repartida el momento varía con el cuadrado de la distancia. Cuando el diagrama de cortantes se hace cero,
tengo un cambio en la pendiente de la parábola (hay un máximo o un mínimo relativo).
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49. Diagramas de esfuerzos. Barras no horizontales.
 Hasta ahora hemos visto cómo se representan los esfuerzos en una barra horizontal. Cuando la
estructura es más compleja (tiene más barras) y no todas las barras son horizontales, también
disponemos de unas normas de representación.
 En un examen tendréis el criterio de signos en el enunciado. En este criterio también viene
recogido hacia dónde se dibujan los diagramas cuando son positivos:
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50. Diagramas de esfuerzos. Barras no horizontales.
 Criterio de signos:
 Si se observa, al lado de cada rebanada aparece un
pequeño signo (+). Ese signo representa en qué
posición hay que representar los esfuerzos positivos
con respecto a la directriz de la barra.
o1. Barra horizontal: se representarán los esfuerzos positivos debajo de
la barra.
o2. Barra vertical: se representarán los esfuerzos positivos a la derecha
de la barra.
o3. Barra inclinada ascendente: se representarán los esfuerzos positivos
“debajo” de la barra.
o4. Barra inclinada descendente: se representarán los esfuerzos
positivos “debajo” de la barra.
Comprueba el criterio con el ejemplo de la derecha.
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51. Bloque A. Representación de diagramas de esfuerzos.
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