1. Ö ÔØ
ÈÖÓ Û
Ü Ø ×
Å ÓÙ¹ÁÓÙÒÓÙ ¾¼½½
Ì Ü ³
Ü Ø Þ Ñ ÒÓ Å Ñ ÛÑ ØÖ
ÂÑ ½
½º ³ ×ØÛ ÓÖ Ó ôÒ Ó ØÖ ÛÒÓ ABΓ Ñ A=1 ∆ ÔÖÓ ÓÐ Ø
ÓÖÙ
A ×Ø Ò ÙÔÓØ ÒÓÙ× BΓ º Æ ÔÓ Ü Ø
Ø
´ µ ÌÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ñ
Ø
ÔÐ ÙÖ
ØÓÙ ABΓ Ò ×Ó Ñ ØÓ Ò Ñ ÒÓ Ø
ÙÔÓØ ÒÓÙ×
Ô Ø Ò ÔÖÓ ÓÐ
Ø
ÔÐ ÙÖ
ÙØ
×Ø Ò ÙÔÓØ ÒÓÙ× º Ð Ø
AB2 = BΓ · B∆ AΓ2 = BΓ · Γ∆
´ µ ÌÓ ÖÓ ×Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôÒÛÒ ØÛÒ ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ Ò ×Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø
ÙÔÓØ ÒÓÙ×
Ð
AB2 + AΓ2 = BΓ2 ´ÈÙ Ö Ó Â ôÖ Ñ µ
¾º Æ ÔÓ Ü Ø Ø Ò × ØÖ ÛÒÓ ABΓ ×Õ AB2 + AΓ2 = BΓ2 Ø Ø A=1 º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º
ÂÑ ¾
 ÛÖÓ Ñ ÓÖ Ó ôÒ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ ABΓ∆ Ñ
AB = 6 A∆ = 8 ¸ Ø Ò ÔÖÓ ÓÐ E ØÓÙ A ×Ø Ò B∆ º
½º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Ø Ò ôÒ Ó B∆ º
¾º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø ØÓ ØÑ Ñ ∆E º
¿º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø ØÓ συν B∆Γ º
º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø ØÓ ØÑ Ñ ΓE º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º º
½

2. ÂÑ ¿
Ë ÐÓ (O, R) ÛÖÓ Ñ Ø Ò Ñ ØÖÓ AB º ÈÖÓ Ø ÒÓÙÑ Ø Ò AB ÔÖÓ
ØÓ Ñ ÖÓ
ØÓÙ B Ô ÖÒÓÙÑ ØÑ Ñ
BP = 2R º ÖÒÓÙÑ Ø Ò ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ×ØÓ × Ñ Ó A ÓÔÓ Ø ÑÒ Ø Ò ÔØÓÑ Ò PΓ ×ØÓ × Ñ Ó ∆ º
√
½º Æ ÔÓ Ü Ø Ø PΓ = 2 2R º
¾º Æ ÔÓ Ü Ø Ø PO · PA = PΓ · P∆ º
√
¿º Æ ÔÓ Ü Ø Ø P∆ = 3 2R º
√
º Æ ÔÓ Ü Ø Ø O∆ = 3R º
º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Û
×ÙÒ ÖØ × ØÓÙ R Ø Ò Ñ ×Ó ∆Z ØÓÙ ØÖ ôÒÓÙ ∆OP º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º º º
ÂÑ
⌢ ⌢ ⌢
Ë ÐÓ (O, R) Ô ÖÒÓÙÑ ÓÕ Ø Ü AB = 60◦ BΓ = 90◦ ¸ Γ∆ = 120◦ º
½º Æ ÔÓ Ü Ø Ø ØÓ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ABΓ∆ Ò ×Ó× Ð
ØÖ Ô Þ Óº
¾º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Û
×ÙÒ ÖØ × ØÓÙ R Ø
ÔÐ ÙÖ
ØÓÙ ØÖ Ô ÞÓÙ ABΓ∆ º
√
R( 3+1)
¿º Æ ÔÓ Ü Ø Ø ØÓ ÝÓ
ØÓÙ ØÖ Ô ÞÓÙ Ò ×Ó Ñ º
2
º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Û
×ÙÒ ÖØ × ØÓÙ R ØÓ Ñ Ò ØÓÙ ABΓ∆ º
º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Û
×ÙÒ ÖØ × ØÓÙ R ØÓ Ñ Ò ØÓÙ Ó ÒÓ Ñ ÖÓÙ
ØÓÙ ÐÓÙ (O, R) ØÓÙ Ô Ö Ö ÑÑ ÒÓÙ
ÐÓÙ ØÓÙ ØÖ ôÒÓÙ OΓ∆ º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º º º
Æ Ô ÒØ × Ø × Ð Ø Ñ Ø º Ã Ð Ô ØÙÕ
ƺ ËÑ ÖÒ ¿¼ Å ÓÙ ¾¼½½
¾

3. Γραπτές Προαγωγικές Εξετάσεις Μαΐου-Ιουνίου 2011, 30 Μαΐου 2011
Τάξη: Β΄, Εξεταζόμενο Μάθημα: Γεωμετρία
ÂÑ ½ º ÖÑ ÞÓÙÑ ØÓ Ò ÑÓ ØÛÒ ×ÙÒ Ñ Ø ÒÛÒ ×ØÓ ØÖ ÛÒÓ ∆ΓE
½º ³ ×ØÛ ÓÖ Ó ôÒ Ó ØÖ ÛÒÓ ABΓ Ñ A=1 ∆ ÔÖÓ ÓÐ
ÕÓÙÑ ΓE2 = ∆Γ2 + ∆E2 − 2∆Γ · ∆E · συν B∆Γ ÓÔ Ø
2 2 32 2 2
Ø
ÓÖÙ
A ×Ø Ò ÙÔÓØ ÒÓÙ× BΓ º Æ ÔÓ Ü Ø Ø ΓE = 6 + 5
−2·6· 32 · 3
5 5
Ö ΓE = 772
25
ΓE = 772
25
=
2
√
´ µ ÌÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ñ
Ø
ÔÐ ÙÖ
ØÓÙ ABΓ Ò ×Ó
5
193
ÂÑ
Ñ ØÓ Ò Ñ ÒÓ Ø
ÙÔÓØ ÒÓÙ×
Ô Ø Ò ÔÖÓ ÓÐ Ø
ÔÐ ÙÖ
ÙØ
×Ø Ò ÙÔÓØ ÒÓÙ× º Ð Ø ¿
Ë ÐÓ (O, R) ÛÖÓ Ñ Ø Ò Ñ ØÖÓ AB º ÈÖÓ Ø ÒÓÙÑ Ø Ò
AB2 = BΓ · B∆ AΓ2 = BΓ · Γ∆ AB ÔÖÓ
ØÓ Ñ ÖÓ
ØÓÙ B Ô ÖÒÓÙÑ ØÑ Ñ BP = 2R º ÖÒÓÙÑ
Ø Ò ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ×ØÓ × Ñ Ó A ÓÔÓ Ø ÑÒ Ø Ò
´ µ ÌÓ ÖÓ ×Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôÒÛÒ ØÛÒ ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ
ÔØÓÑ Ò PΓ ×ØÓ × Ñ Ó ∆ º
ØÓÙ Ò ×Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø
ÙÔÓØ ÒÓÙ×
Ð
2 2 2
AB + AΓ = BΓ ´ÈÙ Ö Ó Â ôÖ Ñ µ
¾º Æ ÔÓ Ü Ø Ø Ò × ØÖ ÛÒÓ ABΓ ×Õ AB2 + AΓ2 =
2
BΓ ¸ Ø Ø A=1 º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º ½¿
Ô ÒØ ×
½º ´ µ ËÕÓÐ ÐÓ × Ð ½ ¿
´ µ ËÕÓÐ ÐÓ × Ð ½
¾º ËÕÓÐ ÐÓ × Ð ½
PΓ2 = PB · PA
ÂÑ
½º Æ ÔÓ Ü Ø Ø º
¾ PO · PA = PΓ · P∆
¾º Æ ÔÓ Ü Ø Ø º
√
 ÛÖÓ Ñ ÓÖ Ó ôÒ Ó Ô Ö¹
¿º Æ ÔÓ Ü Ø Ø P∆ = 3 2R º
√
ÐÐ Ð ABΓ∆ Ö ÑÑÓ Ñ AB = º Æ ÔÓ Ü Ø Ø O∆ = 3R º
6 A∆ = 8
¸ Ø Ò ÔÖÓ ÓÐ E
º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Û
×ÙÒ ÖØ × ØÓÙ R Ø Ò Ñ ×Ó ∆Z ØÓÙ
ØÓÙA B∆ ×Ø Ò º
ØÖ ôÒÓÙ ∆OP º
½º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Ø Ò ¹
ôÒ Ó B∆ º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º º º
¾º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø ØÓ ØÑ Ñ
Ô ÒØ ×
∆E º
½º Ò PΓ2 = PB · PA √ PΓ2√ 2R · 4R
= ÔÓÑ ÒÛ
Ð PΓ2 =
2 2 = 2 2R
¿º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø ØÓ 8R PΓ = 8R
ÔÓÑ ÒÛ
º
συν B∆Γ º
º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø ØÓ ØÑ Ñ
ΓE º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º º
Ô ÒØ ×
½º ÖÑ ÞÓÙÑ ØÓ ôÖ Ñ ØÓÙ ÈÙ Ö ×ØÓ ÓÖ Ó ôÒ Ó ØÖ ¹
ÛÒÓAB∆
B∆2 = AB2 + A∆2 ⇒ B∆2 = 62 + 82 ⇒ B∆2 = 36 + 64 ⇒
√
B∆2 = 100 ⇒ B∆ = 100 ⇒ B∆ = 10
¾º ËØÓ AB∆
ÓÖ Ó E ôÒ Ó ØÖ ÛÒÓ ØÓ Ò ÔÖÓ ÓÐ ØÓÙ A ¾º Ó Ó PΓ, A∆ Ò ÔØ Ñ Ò
ØÓÙ ÐÓÙ ×Ø Γ, A
×Ø B∆
Ò ÙÔÓØ ÒÓÙ× ÔÓÑ ÒÛ
Ò Ø
×Ø
ØÒ
OΓ, OA ÔÓÑ ÒÛ
OΓ ⊥ PΓ
82 OA ⊥ A∆ Γ A
A∆2 = ∆E · ∆B ⇒ 82 = ∆E · 10 ⇒ ∆E = 10
= 32
5
º ³ Ö Ó Ô Ò ÒØ ÛÒ
ØÓÙ
Ø ØÖ OA∆Γ
ÔÐ ÖÓÙ Ò ÓÖ
ÔÓÑ ÒÛ
Ô Ö ÔÐ ÖÛ¹
∆Γ
¿º Ô ØÓ ÓÖ Ó ôÒ Ó ØÖ B∆Γ
ÛÒÓ συν B∆Γ = Ò
∆B Ñ Ø
º OA ⊥ A∆
³ Ö ØÓ Ò Ö Ý ÑÑÓ ÙØ
6 3
Ó ∆Γ = 6 ÕÓÙÑ συν B∆Γ = 10 = 5 º PO · PA = PΓ · P∆ º
1

4. ¿º ÒØ
√ PO·PA = PΓ·P∆ PO√ 3R
×ØôÒØ =
×Ø Ò ×Õ × Ø ¸ Ö ÑÑ Ò ×ØÓÒ ÐÓ (O, R) º ³ Ö Ò ×
Ñ Ø
PA = 4R PΓ = 2 2R ¸ (3R) · (4R) = 2 2R · Ö× ÓÙÑ Ø ÔÐ ÙÖ
ØÓÙ
√ ÒÓÒ Ó Ü ôÒÓÙ ØÓÙ ÒÓÒ Ó ØÖ ôÒÓÙ
√
P∆ 3 · 2R = 2 · P∆
ÔÓÑ P∆ = 3·2R =
ÒÛ
√ ÔÓÑ ÒÛ
AB = λ6 = R
Ð ∆Γ = λ3 = R 3 º ³ÇÑÓ Ó ÕÓÖ
√ 2
3 2R º
BΓ, A∆ ÕÓÒØ ÓÖ Ô ÒØÖ ÛÒ Ð × Ñ Ø Ò
2 2 2
ÒØÖ ω4 ÛÒ ØÓÙ ØÓÙ ÒÓÒ Ó Ø ØÖ ôÒÓÙ ÔÓÙ Ò
º Ô ØÓ ÓÖ OP∆√ √ O∆ √ OΓ + ∆Γ
Ó = ôÒ Ó ÕÓÙÑ Ø º й
(O, R)
Ö ÑÑ ÒÓBΓ = A∆ = λ4 =
×ØÓÒ º ³ Ö Ò
∆Γ = P∆ − PΓ = 3 2R − 2 2R = 2R √
Ð
√ 2
ÔÓÑ ÒÛ
R 2 º
Ò O∆2 = R2 + 2R = 3R2 Ô Ø Ò ÓÔÓ ÔÖÓ ÔØ
√ ¿º ÖÒÓÙÑ OE⊥AB ÔÓÙ Ø ÑÒ Ø Ò ∆Γ ×ØÓ Z º Ó AB//∆Γ
Ø O∆ = 3R º
Ò OZ⊥∆Γ º ÌÓ EZ Ò ÝÓ
ØÓÙ ØÖ Ô ÞÓÙ
º ÖÑ ÞÓÙÑ ØÓ ´ÔÖôØÓµ ôÖ Ñ ØÛÒ Ñ ×ÛÒ ×ØÓ ØÖ ÛÒÓ
Ô ÖØÞ Ø Ô Ø ØÑ Ñ Ø OE OZ ÔÓÙ Ò ÔÓ×Ø Ñ Ø
O∆P ÕÓÙÑ
ØÛÒ ÕÓÖ ôÒ AB, ∆Γ Òô Ø ÔÓ×Ø Ñ Ø ØÓÙ
Ò × Ñ Ø
OP2
ÒØ×ØÓ Õ ÔÓ×Ø Ñ Ø ÒÓÒ Ó Ü ôÒÓÙ ØÓÙ ÒÓÒ¹
√
∆O2 + ∆P2 = 2∆Z2 + Ó ØÖ ôÒÓÙº Ð OE = α6 = R 3
OZ = α3 = R
º
2 2 2
³ Ö ØÓ ÝÓ
ØÓÙ ØÖ Ô ÞÓÙ Ò
ÔÓÑ ÒÛ
√ √
√ √ 2 R 3 R R 3+1
2 2 (3R) EZ = OE + OZ = + =
3R + 3 2R = 2∆Z2 + 2 2 2
2
Ö º ÉÖ × ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓÒ Ø ÔÓ ØÓÙ Ñ Ó ØÖ Ô ÞÓÙ Ö× ¹
9 √ R(
√
3+1)
21R = 2∆Z + R2
2 2
ÓÙÑ (ABΓ∆) = AB+Γ∆
· EZ = R+R 3
· =
2 √ 2 2 2
R2 (2+ 3)
2 33 2
Ô Ø Ò Ø Ð ÙØ ×Õ × Ö× ÓÙÑ Ø ∆Z = 4
R 2
√
33R
ÔÓÑ ÒÛ
∆Z = 2
º º À ØÒ r ØÓÙ Ô Ö Ö ÑÑ ÒÓÙ ÐÓÙ C ØÓÙ ØÖ ôÒÓÙ OΓ∆
ÂÑ
Γ∆
ÙÔÓÐÓ Þ Ø Ô ØÓÒ Ò ÑÓ ØÛÒ Ñ Ø ÒÛÒ = 2r Ö
√ √ ηµΓO∆
⌢ ⌢ R 3 R 3
Ë ÐÓ (O, R) Ô ÖÒÓÙÑ ÓÕ Ø Ü AB = 60 ◦
¸ BΓ = 90 ◦
ηµ120◦
= 2r Ð √
3
= 2r ÔÓÑ ÒÛ
r=R º ³ Ö ØÓ
⌢ 2
Γ∆ = 120 ◦
º ÒØÖÓ K ØÓÙ C Ò ×ØÓÒ (O, R) º ÌÓ Ñ Ò ØÓÙ Ó ÒÓ
Ñ ÖÓÙ
ØÛÒ Ó ÐÛÒ Ò ÔÐ × Ó ØÓÙ Ñ Ó ØÓÙ Ù ¹
½º Æ ÔÓ Ü Ø Ø ØÓ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ABΓ∆ Ò ×Ó× Ð
Ð Ó ØÑ Ñ ØÓ
S Ð Ò
ØÖ Ô Þ Óº
¾º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Û
×ÙÒ ÖØ × ØÓÙ R Ø
ÔÐ ÙÖ
ØÓÙ
2( ØÓÑ
ΓO∆ − ØÖ ÛÒÓ ΓO∆) =
ØÖ Ô ÞÓÙ ABΓ∆ º
R(
√
3+1) πR2 1 1 2 √
¿º Æ ÔÓ Ü Ø Ø ØÓ ÝÓ
ØÓÙ ØÖ Ô ÞÓÙ Ò ×Ó Ñ º 2 − R · R · ηµ120◦ = R 4π − 3 3
2 3 2 6
º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Û
×ÙÒ ÖØ × ØÓÙ R ØÓ Ñ Ò ØÓÙ ABΓ∆ º
º Æ ÙÔÓÐÓ × Ø Û
×ÙÒ ÖØ × ØÓÙ R Ñ Ò ØÓÙ Ó ÒÓ Ñ Ö¹
ÓÙ
ØÓÙ ÐÓÙ (O, R) ØÓÙ Ô Ö Ö ÑÑ ÒÓÙ ÐÓÙ ØÓÙ
ØÖ ôÒÓÙ OΓ∆ º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º º º
Ô ÒØ ×
ÐÐÓ
ØÖÓÔÓ
ÌÓ ÒØÖÓ K ØÓÙ Ô Ö Ö ÑÑ ÒÓÙ ÐÓÙ C
ØÓÙ ØÖ ôÒÓÙ OΓ∆ Ò ×Ø Ò Ñ ×Ó ØÓ ØÓÙ A∆ ÔÓÙ
Ò ÕÓØ ÑÓ
Ø
ΓO∆ ×Ø Ò Ñ ×Ó ØÓ ØÓÙ OΓ º
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
½º Ò ∆A = 360◦ − AB − BΓ − Γ∆ = 360◦ − 60◦ − 90◦ −
⌢ ⌢
120◦ = 90◦ BΓ
º ∆A³ Ö Ø Ø Ü Ò × º ÙØ
×ÙÒ Ô Ø Ø
• Ç ÕÓÖ
A∆ BΓ Ò ×
• Ç ÕÓÖ
AB Γ∆ Ò Ô Ö ÐÐ Ð
º
ÔÓÑ ÒÛ
ØÓ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ABΓ∆ Ò ×Ó× Ð
ØÖ Ô Þ Óº
¾º ËØÓÒ ÐÓ (O, R) Ò AOB = 60 = ω6 ◦
ΓO∆ =
120◦ = ω3 º ÔÓÑ ÒÛ
Ó AB, ∆Γ
ÕÓÖ
ÕÓÒØ ÒØ ×¹ ÌÓ ØÖ ÛÒÓ ΓOK Ò ×Ó× Ð
Ñ Ñ Ô Ø
Ô Ö Ø Ò
ØÓÕÛ
Ô ÒØÖ
ÛÒ
×
Ñ Ø
ÒØÖ
ÛÒ
ØÓÙ × ÛÒ
ØÓÙ 60◦ ÔÓÑ ÒÛ
Ò × ÔÐ ÙÖÓ Ö
ÒÓÒ Ó Ü ôÒÓÙ ØÓÙ ÒÓÒ Ó ØÖ ôÒÓÙ ÔÓÙ Ò KO = R ×ÙÒ ÕÞÓÙÑ ÔÛ
Ô Ó Ô ÒÛº
2