ανάλυση μαθήματα από 1 έως 9 νέο

Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών
http://lisari.blogspot.com mac190604@gmail.com

Μαθηµατικά Γ΄ Λυκείου
Θετική και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Α΄ Μέρος – Ανάλυση

• Ερωτήσεις θεωρίας µε κενά για απαντήσεις

• Ασκήσεις πάνω στα θέµατα θεωρίας

• Μεθοδολογία ασκήσεων

• Μαθήµατα θεωρίας

• Επαναληπτικές ασκήσεις

Αθήνα 2011 – 12


Περιεχόµενα

• Μάθηµα 1ο : Ορισµός συνάρτησης – Πεδίο ορισµού

• Μάθηµα 2ο : Γραφική παράσταση συνάρτησης

• Μάθηµα 3ο: Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων – Σύνθεση συναρτήσεων

• Μάθηµα 4ο: Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης

• Μάθηµα 5ο: Συνάρτηση 1 – 1 και αντίστροφη

• Μάθηµα 6ο: Όριο συνάρτησης στον πραγµατικό αριθµό χ0 (Μορφή: 0/0)

• Μάθηµα 7ο: Μη πεπερασµένο όριο στο x0 (α/0, µε απ0)

• Μάθηµα 8ο: Όρια συνάρτησης το x να τείνει στο άπειρο •

• Μάθηµα 9ο: Συνέχεια – Βασικά θεωρήµατα συνέχειας

• Επαναληπτικό µάθηµα: Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 1 Ανάλυσης και µεθοδολογίες

- Ανάλυση – Συνάρτηση - Κεφάλαιο 1ο Σελίδα 2


… αφιερωµένο στους αναγνώστες του lisari.blogspot.com


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο – ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΡ ΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.2

Μάθηµα 1ο – Ορισµός συνάρτησης – Πεδίο ορισµού
Ερώτηση 1η
α) Έστω Α υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση f : A → R ;
β) Πως ονοµάζονται τα x, y, f, A και f(A);
γ) Έστω x1, x2 σηµεία του συνόλου Α. Αν x1 = x2 τι θα ισχύει για τα f(x1), f(x2) αν η f
i. Είναι συνάρτηση;
ii. ∆εν είναι συνάρτηση;
Απάντηση

Άσκηση 1η
Κάθε αντιστοίχηση τιµών µεταξύ δύο συνόλων είναι συνάρτηση; Πότε µια αντιστοίχηση δεν θα είναι συνάρτηση; ∆ώστε
παραδείγµατα αντιστοιχήσεων µεταξύ δύο συνόλων που να µην ορίζουν συνάρτηση.
Απάντηση

Άσκηση 2η
Εξηγήστε ποιες από τις παρακάτω ισότητες, το y δεν είναι συνάρτηση του x και δικαιολογήστε την απάντησή σας:
x + 3 x <1
i. y = (1 − x ) ii. y = ± (1 − x ) iv. y = 
3 3
iii. y = x + 1
2

 x − 2 x ≥1
 x>2
v. y =  x
 vi. y 2 = x 2 + 1 vii. y = x viii. y = x
 x − 1 x > −1

Απάντηση



Άσκηση 3η
1
∆ίνεται η συνάρτηση f τέτοια ώστε: 2 ⋅ f ( x ) − 3f  =x ,x≠0
2

x
1
Υπολογίστε: α) f (1) =; β) f ( 2 ) =; και f   = ;
2
Απάντηση

Άσκηση 4η
Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(x) στις παρακάτω περιπτώσεις.

α) f ( x − 1) = x 2 − 3x + 2, x ∈R β) f ( 2x − 3) = 3 x 2 , x∈R
x x −1
γ) f   = ηµ ( 3x ) , x ∈ R δ) f ( 3x ) = , x∈R
2 2x 2 + 1
Απάντηση



Ερώτηση 2η
α. Τι λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης; Πως το συµβολίζουµε και ποιος είναι ο τύπος του;
β. Πως βρίσκουµε το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης αν γνωρίζουµε τον τύπο της;
Αναφέρετε διάφορες µορφές συναρτήσεων.
γ. Τι πρέπει να γνωρίζουµε για να ορίσουµε µια συνάρτηση;
δ. Τι σηµαίνει ότι η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο διάστηµα ∆;
Απάντηση

Άσκηση 1η
x2 −1 1
∆ίνονται οι συναρτήσεις: f ( x ) = και g ( x ) = 1 −
x +x
2
x
α) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f
β) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g
γ) Τι παρατηρείτε;
Απάντηση



Άσκηση 2η

x −1 x −1
∆ίνονται οι συναρτήσεις: f ( x ) = και g ( x ) =
x−2 x−2
Απάντηση

Άσκηση 3η
Βρείτε τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων:
x − 3 ,x < 0
x 4 + 12 
a. h(x) = 2 b. h(x) = x − 5x + 6 c. g(x) = ln(e 2 x − 3e x ) d. f ( x ) =  x ,0 ≤ x < 3
3 2

x − 5x + 6  2x
 ,x ≥ 3
Απάντηση



Άσκηση 4η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: f ( x ) = ( x − 1)( x − 2 ) και g ( x ) = x − 1 ⋅ x − 2

Απάντηση

Η άσκηση που ξεχωρίζει

3x + 1 , x ≤ k 2 − k + 3
Να βρεθεί ο ακέραιος κ ώστε να ορίζει συνάρτηση η σχέση f ( x ) = 
 x + 1 , x ≥ 2k − k + 2
2 2

Απάντηση

Σχόλια και παρατηρήσεις για το 1ο Μάθηµα



Μάθηµα 2ο – Γραφική παράσταση συνάρτησης

Ερώτηση 1η
α) Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f;
β) Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων (ευθεία, παραβολή, υπερβολή, κυβική παραβολή,
τριγωνοµετρικές, εκθετική, λογαριθµική κτλ.)
γ) Πως ελέγχουµε αν µια γραφική παράσταση ανήκει σε συνάρτηση; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας και δώστε
παραδείγµατα.

Απάντηση

Άσκηση 1η

x 2 + 5x + 6
Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο f ( x ) =
x+2
α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της
β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της
γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f

Απάντηση



Άσκηση 2η
Σχεδιάστε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις

 2x 2 , x ≤ 1

α. f ( x ) =  2 β. f ( x ) = 2x + x − 1 γ. f ( x ) = e − x , δ) g ( x ) = e − e x
 , x >1
x

Απάντηση

Ερώτηση 2η
α) Πότε κάνουµε κατακόρυφη ή οριζόντια µετατόπιση των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων; ∆ώστε παραδείγµατα.
β) Αν γνωρίζουµε την γραφική παράσταση της f, πως σχεδιάζουµε τις συναρτήσεις α) – f, β) f ;

γ) ∆ώστε τον ορισµό άρτιας και περιττής συνάρτησης και ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία τους.

Απάντηση



Άσκηση 1η
α) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

f ( x ) = x 2 , f1 ( x ) = ( x − 1) , f 2 ( x ) = ( x + 2 ) , f3 ( x ) = x 2 + 3
2 2

β) Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις: α) f ( x ) = x 3 β) g ( x ) = x 3 − 1 γ) h ( x ) = − x 3 + 1 δ) r ( x ) = x 3 − 1

Απάντηση

Άσκηση 2η
Έστω η συνάρτηση f : ℝ → ℝ η οποία για κάθε x, y∈ℝ ικανοποιεί τη σχέση: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .

Να αποδείξετε ότι: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, διέρχεται από την αρχή των αξόνων και
β) Η f είναι περιττή

Απάντηση



Ερώτηση 3η
α) Συµπληρώστε το σχήµα και τις σχέσεις που προκύπτουν για τις διάφορες εκφράσεις των γραφικών παραστάσεων στο
παρακάτω πίνακα.
β) Πως µέσα από την γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκουµε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών µιας
συνάρτησης; ∆ώστε σχήµα και παραδείγµατα.

Απάντηση
α)
Έκφραση Σχήµα Σχέση

Η Cf τέµνει τον
άξονα x΄x

Η Cf τέµνει τον
άξονα y΄y

Η Cf τέµνει την Cg
στο σηµείο x0 (σηµεία τοµής
δύο γρ. παραστάσεων)

Η Cf βρίσκεται υψηλότερα από
την Cg

Η Cf βρίσκεται υψηλότερα από
άξονα x΄x

Η Cf βρίσκεται χαµηλότερα από
άξονα x΄x

Η Cf βρίσκεται στο 1ο ή στο 2ο ή
στο 3ο ή στο 4ο τεταρτηµόριο

Η Cf διέρχεται από το σηµείο
(α, β)

β)



Άσκηση 1η
α. Για ποιές τιµές του x ∈ — η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x ′x , όταν:

1+ x
i) f (x) = x 2 − 4x + 3 , ii) f (x) = , iii) f (x) = e x − 1 iv) f ( x ) = ln ( 2x ) − 3ln 2
1− x
β. Για ποιές τιµές του x ∈ — η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης g, όταν:

i) f (x) = x 3 + 2x + 1 και g(x) = x + 1 ii) f (x) = x 3 + x − 2 και g(x) = x 2 + x − 2 .

Απάντηση

Άσκηση 2η
α) Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:
|x|
i) f (x) = + 1, ii) f (x) = x | x | ,
x
−x + 3 , x < 1
iii) f (x) =  iv) f (x) = | ln x | .
 x +1 , x ≥1
β) Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού και σύνολο των τιµών της f σε καθεµιά περίπτωση.

Απάντηση



Η άσκηση που ξεχωρίζει
Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι:
y y
i) y
ii) iii)
2

1 1
x x
O 1 2 O 1 2 O 1 2 3 4 x

Απάντηση

Σχόλια και παρατηρήσεις στο µάθηµα 2:




Μάθηµα 3ο – Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων – Σύνθεση συναρτήσεων
Ερώτηση 1η
α) Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες; Πως θα συµβολίζουµε τις ίσες συναρτήσεις; Ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία;
β) Αν οι συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο (ίδιες τιµές για κάθε χ που ανήκει σε ένα διάστηµα) αλλά διαφέρουν τα πεδία
ορισµούς τους, τότε είναι ίσες; Ποια είναι τότε η γεωµετρική ερµηνεία;
Απάντηση

Άσκηση 1η
Βρείτε το µέγιστο υποσύνολο του R (περιορισµός συναρτήσεων σ’ ένα κοινό διάστηµα ∆) που οι παρακάτω συναρτήσεις
x2 −1 1
α. f ( x ) = x , g(x) = x β. f ( x ) = x , g (x) = x f ( x) = 2 και g ( x ) = 1 −
2 2
είναι ίσες. γ)
x + x x
Απάντηση



Ερώτηση 2η
α) Πως ορίζεται το άθροισµα, η διαφορά και το γινόµενο δύο συναρτήσεων;
f
β) Πως ορίζεται το πηλίκο δύο συναρτήσεων f και g;
g
γ) Αν οι συναρτήσεις δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού τελικά δεν θα µπορούµε να κάνουµε πράξεις;
Απάντηση

Άσκηση 2η
∆ίνονται οι συναρτήσεις: f ( x ) = x − 1, g ( x ) = 4 − x
α. Βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων
β. Σε ποιο διάστηµα µπορούµε να κάνουµε πρόσθεση, αφαίρεση και και πολ/σµό συναρτήσεων;
γ. Ορίστε τις συναρτήσεις: f + g,f − g,f ⋅ g
f
δ. Ορίστε την συνάρτηση
g
Απάντηση



Ερώτηση 3η
α. Έστω οι συναρτήσεις g, f µε πεδία ορισµού τα σύνολα Α και Β αντίστοιχα. Ποια συνάρτηση ορίζεται ως σύνθεση της g µε
την f; Πως συµβολίζεται; ∆ώστε σχηµατική παράσταση. Παραδείγµατα
β. Ποια συνάρτηση ορίζεται ως σύνθεση της f µε την g; Πως συµβολίζεται; ∆ώστε σχηµατική παράσταση. Παραδείγµατα
γ. Σωστό ή Λάθος; gof = fog
Απάντηση

Άσκηση 2η
Έστω οι συναρτήσεις µε τύπους: f ( x ) = x + 1, g ( x ) = x − 2
2

α. Βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων
β. Ορίστε την συνάρτηση gof
γ. Ορίστε την συνάρτηση fog
Απάντηση



Άσκηση 3η
 x2 , x≥1
∆ίνονται οι συναρτήσεις: f(x) =2x -1 µε πεδίο ορισµού Α=(-∞ , 4 ] και g(x)=  .
3x + 1 , x < 1
Nα βρεθεί η fog.
Απάντηση

Άσκηση 4η
x+2 , x ≤1
Οµοίως για τις συναρτήσεις f(x)=  και g(x)= x , να βρεθεί η fog
x + 1 , x > 1
2

Απάντηση



Άσκηση 5η
ex − 1  1 + x  . Να ορισθεί η gof και να αποδειχθεί ότι είναι
και g(x)=ln 
∆ίνονται οι συναρτήσεις : f(x)= 
e +1 1− x 
x

ταυτοτική στο R .[ Υπόδειξη: (gof)(x)=x ]
Απάντηση

Άσκηση 6η
kx − 1
∆ίνεται η συνάρτηση : f(x)= . Να βρεθεί ο k∈ R ώστε η συνάρτηση fof να έχει τύπο: (fof)(x) = x
x
Απάντηση



Άσκηση 7η
Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης : g(x) = f (f (f(x))) , όπου f ( x ) = 1 ;
1− x
Απάντηση

Άσκηση 8η

( )
∆ίνονται οι συναρτήσεις: g x + 1 = x − 1, x ∈ ( −∞, −1] ∪ [1, +∞ ) και
2 2

f ( )
x − 2 = x − 1, x ∈ [ 2, +∞ )

α) Βρείτε την συνάρτηση f
β) Βρείτε την συνάρτηση g
γ) Βρείτε την σύνθεσή τους fog, gof.
Απάντηση




Μάθηµα 4ο – Μονοτονία – Ακρότατα συνάρτησης
Ερώτηση 1η - Μονοτονία
α) Έστω µια συνάρτηση f : A → R . Πότε η συνάρτηση f λέγεται
• γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα Α;
• αύξουσα και φθίνουσα στο διάστηµα Α;
• γνησίως µονότονη στο διάστηµα Α;
β) ∆ώστε γεωµετρική ερµηνεία σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.
Απάντηση



Βασική άσκηση 1η - Μονοτονίας
α. Αν η f είναι (γνησίως) µονότονη να αποδείξετε την ισοδυναµία: f ( α ) = f ( β ) ⇔ α = β
β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα να αποδείξετε την ισοδυναµία: α < β ⇔ f ( α ) < f (β )
γ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα να αποδείξετε την ισοδυναµία: α < β ⇔ f ( α ) > f (β )
δ. Αν f: γνησίως αύξουσα και g: γνησίως φθίνουσα στο R ,λύστε τα παρακάτω (εξίσωση, ανισώσεις):
 2 
( )
i)f x 2 − x = f ( x ) ( )
ii) f x 2 − x > f ( x ) iii) g  2  < g (1)
 x +1
iv) ( fog )( x − 1) < ( fog )( 0 )

Απάντηση

α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει
το πολύ µια ρίζα στο διάστηµα ∆.
β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε διάστηµα ∆, τότε να αποδείξετε ότι η C f τέµνει τον άξονα x’x το
πολύ µια φορά
Απάντηση



Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆, τότε τι συµπεραίνουµε για την συνάρτηση –f ;

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆=[-α , α], τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν
είναι άρτια στο ∆.

Αν η συνάρτηση f, g είναι γνησίως φθίνουσες στο R , τότε να αποδείξετε ότι:
α. f + g είναι γνησίως φθίνουσα στο R
β. f g είναι γνησίως φθίνουσα στο R , αν f, g είναι θετικές στο R
γ. fog είναι γνησίως αύξουσα στο R
δ. gοf είναι γνησίως αύξουσα στο R
ε. – f είναι γνησίως αύξουσα στο R



Άσκηση 5η - Μονοτονίας
α. ∆ίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f στο R . Να διατάξετε τους παρακάτω αριθµούς:
f(3), f(-3), f(0), f(π), f(e)
β. ∆ίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f στο R . Να διατάξετε τους παραπάνω αριθµούς.
Απάντηση

Άσκηση 6η (Ορισµός – Εξίσωση – Ανίσωση µονοτονίας)
Α. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο πεδίο ορισµούς τους.
α. f ( x ) = x 3 + 2x − 3 β. f ( x ) = 2 − 1 − x γ. f ( x ) = 1 + x − e x δ. f ( x ) = x + 1 + ln x
Β. Με την βοήθεια µονοτονίας και της προφανής λύσης, λύστε τις εξισώσεις:
α. x3 + 2x − 3 = 0 β. 2 − 1 − x = 0 γ. 1 + x − ex = 0 δ. x + 1 + ln x = 2
Γ. Με την βοήθεια µονοτονίας και της προφανής λύσης, λύστε τις ανισώσεις:
1
α. x3 + 2x − 3 > 0 β. 2 − 1 − x < 0 γ. ex ≤ 1 + x δ. x + ln x > x + ln x
2
Απάντηση



Άσκηση 7η - Μονοτονίας
Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις f ,g : R → ( 0, +∞ ) , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
h ( x ) = ln ( f ( x ) + g ( x ) ) είναι γνησίως αύξουσα στο R . Τι διαπιστώνουµε για την συνάρτηση – h;
Απάντηση

Ερώτηση 2η - Ακρότατα
α) Έστω µια συνάρτηση f : A → R . Πότε η συνάρτηση f έχει:
• (ολικό) µέγιστο και πότε (ολικό) ελάχιστο στο x0;
• τοπικό µέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο στο x0;
• ακρότατα;
β) ∆ώστε γεωµετρική ερµηνεία σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.
Απάντηση



Βασική άσκηση 1η - Ακροτάτων
α. Ποια είναι τα πιθανά σηµεία ακροτάτων;
β. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο ανοικτό διάστηµα ∆ = (α, β), τότε έχει ακρότατα;
γ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο κλειστό διάστηµα ∆ = [α, β], τότε έχει ακρότατα;
Απάντηση

Βασική άσκηση 2η - Ακροτάτων
Πως λέγεται ο πίνακας που παρουσιάζει τις πληροφορίες για την µονοτονία και τα ακρότατα; ∆ώστε
παραδείγµατα
Απάντηση



Άσκηση 3η - Ακροτάτων
∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R µε τύπο f ( x ) = x 2 + 2x + 2
α. Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης
β. Βρείτε το f ( −1)
γ. Να αποδείξετε ότι: f ( x ) ≥ 1 για κάθε x ∈ℝ
δ. Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης
Απάντηση

Άσκηση 4η - Ακροτάτων
∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = e x + e − x
α. Να αποδείξετε ότι: f ( 0 ) = 2 και f ( x ) ≥ 2 για κάθε x∈ℝ
β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης
Απάντηση



Εργασία 1η Μονοτονία - Ακρότατα
Να σχεδιάσετε τις βασικές γραφικές παραστάσεις από το σχολικό βιβλίο (σελ. 136 – 139) σε ένα
µεγάλο χαρτόνι έτσι ώστε:
Στην πρώτη στήλη να είναι οι γραφικές παραστάσεις, στη δεύτερη το πεδίο ορισµού, στην τρίτη το
σύνολο τιµών, στην τέταρτη και πέµπτη η µονοτονία και τα ακρότατα των συναρτήσεων και στην
τελευταία γράφουµε αν είναι άρτια ή περιττή.




Μάθηµα 5ο – Συνάρτηση «ένα προς ένα» – Αντίστροφη
Ερώτηση 1η – «Συνάρτηση 1 -1»
α) Έστω µια συνάρτηση f : A → R . Πότε η συνάρτηση f λέγεται ένα προς ένα (1 – 1) ; ∆ώστε βελοδιάγραµµα
και τύπο.
β) Αν συνάρτηση είναι 1 – 1 f : A → R , τότε να αποδείξετε την ισοδυναµία: f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇔ x1 = x 2
(αντιθεταντιστροφή). Πότε χρησιµοποιούµε την παραπάνω σχέση; ∆ώστε παραδείγµατα.
γ) Πότε µια συνάρτηση f δεν θα είναι 1 – 1 ; ∆ώστε βελοδιάγραµµα, τύπο και παραδείγµατα (εφαρµογή και
ασκήσεις βιβλίου σελ. 155 – 156)
Απάντηση



Ερώτηση 2η – «Συνάρτηση 1 -1»
∆ικαιολογήστε την απάντησή σας και να δοθεί σχήµα στις παρακάτω προτάσεις:
α. Πως ελέγχουµε αν µια γραφική παράσταση συνάρτησης είναι 1 – 1 ;
β. Αν η f είναι άρτια συνάρτηση στο [-α, α], τότε είναι 1 – 1;
γ. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τον άξονα x’x τουλάχιστον 2 φορές είναι 1 – 1 ;
δ. Αν η εξίσωση f (x) =0 έχει τουλάχιστον 2 ρίζες, τότε είναι 1 – 1;
Απάντηση

Βασική άσκηση 1η – Μονοτονία και 1 – 1 συνάρτηση
α. Αν η f είναι (γνησίως) µονότονη, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1
β. Το αντίστροφο της πρότασης (α) ισχύει; ∆ώστε παράδειγµα (ασκήσεις βιβλίου σελ. 156)
γ. Αναφέρετε όλες τις προτάσεις που αποδεικνύουν µια συνάρτηση ότι είναι «ένα προς ένα»;
Απάντηση



Βασική Άσκηση 2η – Συνάρτηση 1 – 1
Αν η συνάρτηση f και g είναι 1 – 1 τότε να δείξετε ότι και οι επόµενες συναρτήσεις είναι 1 – 1 :
α. fog β.gof γ. fof δ. gog ε. – f
Απάντηση

Βασική άσκηση 3η – Συνάρτηση 1 – 1
Έστω οι συναρτήσεις f ,g : R → R τέτοιες ώστε η σύνθεση fog είναι 1 – 1. Να αποδείξετε ότι και η g είναι 1 – 1

Άσκηση 4η – Συνάρτηση 1 – 1 (εξίσωση)
Έστω η συνάρτηση f : R → R , η οποία για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση: ( fof )( x ) = 4x + 3
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1
β. Να λύσετε την εξίσωση: f(2x) = f (x+1)



Άσκηση 5η – Συνάρτηση όχι 1 – 1
Εξετάστε αν υπάρχουν 1 – 1 συναρτήσεις f ,g : R → R τέτοιες ώστε:
( )
8f x 2 − f 2 ( x ) ≥ 16, g 2 ( x ) ≤ g ( x ) g (1 − x ) για κάθε x ∈ R

Ερώτηση 3η – Αντίστροφη συνάρτηση
α) Τι λέγεται αντίστροφη συνάρτηση; ∆ώστε συµβολισµό, τύπο και βελοδιάγραµµα.
β) Πότε δεν ορίζεται αντίστροφη συνάρτηση;
γ) ∆ώστε τα βήµατα που ακολουθούµε στις ασκήσεις για να βρούµε την αντίστροφη µιας «ένας προς ένα»
συνάρτησης f (µε γνωστό τύπο).
Απάντηση



α. Πως βρίσκουµε το σύνολο ορισµού της συνάρτησης f, αν γνωρίζουµε το τύπο της;
β. Βρείτε το σύνολο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων
1. f ( x ) = 3 1 − x 2. g ( x ) = ln ( e x − 1) 3. h ( x ) = 2 − 4 − x
Απάντηση

α. Ποιες ιδιότητες έχει η αντίστροφη συνάρτηση, µιας συνάρτησης f;
β. Ποια είναι η σχηµατική ερµηνεία µεταξύ των γραφικών παραστάσεων f ,f −1 ; Πως θα το εφαρµόζουµε;
Απάντηση



Βασική άσκηση 4η – Αντίστροφη συνάρτηση (κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των f και f −1 )
α. Όταν µια συνάρτηση f : A → R είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση f −1 ( x ) = f ( x ) είναι ισοδύναµη µε την
εξίσωση ………………
β. Ισχύει το ίδιο όταν η f : A → R είναι γνησίως φθίνουσα;
γ. Έστω η συνάρτηση f : R → R µε τύπο: f ( x ) = x 3 + 3x − 3
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη
β. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των f και f −1
Απάντηση

Βασική άσκηση 5η – Αντίστροφη συνάρτηση
Να αποδείξετε ότι για την συνάρτηση f : R → R
α. Αν είναι 1 – 1 τότε και η αντίστροφη συνάρτηση είναι 1 – 1
β. Αν είναι γνησίως αύξουσα στο R και η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ. Αν είναι γνησίως φθίνουσα στο R και η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο R
Απάντηση



Άσκηση 6η – Αντίστροφη συνάρτηση
Θεωρούµε την συνάρτηση f ( x ) = 2x 3 + 3x − 6
α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται
β. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1. f ( x ) = −11 και 2. f −1 ( x ) = 2
γ. Να λύσετε την ανίσωση: 1. f ( x ) > −1 και 2. f −1 ( x ) < −2
Απάντηση

∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 2 x + x − 8, x ∈ R
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη
β. Να λύσετε την εξίσωση f ( x ) = x
γ. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των f ,f −1
Απάντηση



Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x 3 + x − 1, x ∈ R
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
β. Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f και να βρείτε τον αριθµό f −1 ( −1)
γ. Να λύσετε την εξίσωση: f ( x ) = f −1 ( x )
δ. Να λύσετε την ανίσωση: ( fof )( x ) < 1
Απάντηση

Έστω η συνάρτηση f : R → R , οποία για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση f ( f ( x ) − 1) = x
Να αποδείξετε ότι:
α. Η f είναι 1 – 1
β. Το σύνολο τιµών της f είναι το R
γ. f −1 ( x ) = f ( x − 1) για κάθε x ∈ R
Απάντηση



Έστω οι συναρτήσεις f ( x ) = x − 4, g ( x ) = 1 + x
α. Βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων f, g
f
β. Να ορίσετε τις συναρτήσεις: 1. g −1 2. fog −1 και 3.
g
Απάντηση

Ένα ιδιαίτερο θέµα από 1 – 1 και αντίστροφη συνάρτηση
x
Έστω η συνάρτηση f ( x ) =
1+ x
α. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f
β. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1
γ. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f
δ. Βρείτε την συνάρτηση: fofo...of
2011

Απάντηση


Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηματικών
http://lisari.blogspot.com 1o Λύκειο Ζακύνθου

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.4

Μάθημα 6ο – Όριο συνάρτησης στον πραγματικό αριθμό χ0 (Μορφή: 0/0)
Ερώτηση 1η – «Όριο συνάρτησης»
α) Τι ονομάζουμε όριο της f(x) όταν το χ τείνει στο χ0; Να δώσετε διατύπωση, συμβολισμό και σχήμα.
β) Τι ονομάζουμε πλευρικά όρια της f στο χ0; Να δώσετε διατύπωση, συμβολισμό και σχήμα.
γ) Πότε υπάρχει το όριο της f(x) όταν το χ τείνει στο χ0 και πότε δεν υπάρχει; Δώστε τύπο και παραδείγματα και
στις δύο περιπτώσεις.
Απάντηση

Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες ορίων»
Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των ορίων και δώστε παραδείγματα στο καθένα ξεχωριστά.
Απάντηση

Κεφάλαιο 1ο – Ανάλυση – Συναρτήσεις Σελίδα 38


Βασική άσκηση 1η – Ύπαρξη ορίων
Σημειώστε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ). Στην περίπτωση που είναι Σωστή, να
γίνει απόδειξη της πρότασης και αν είναι Λάθος δώστε αντιπαράδειγμα.
α. Αν τα όρια lim f  x  , lim g  x  υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί τότε πάντα και το lim f  x   g  x 
x xo x xo x xo
 
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

x xo
 
β. Αν το lim f  x   g  x  υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε πάντα και τα όρια lim f  x  , lim g  x 
x xo x xo

υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί
γ. Αν το lim f  x  υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός και το lim g  x  δεν υπάρχει, τότε πάντα και το
x xo x xo

lim  f  x   g  x   δεν υπάρχει.
x x o

δ. Αν τα lim f  x  , lim g  x   
δεν υπάρχουν, τότε πάντα και το lim f  x   g  x  δεν υπάρχει.
x xo x xo x xo


ε. Αν για τις συναρτήσεις f,g :R  R και α πραγματικό αριθμό ισχύει ότι: lim f  x   g  x   0 και
x 

lim  f  x   g  x    0 τότε πάντα θα ισχύει: lim f  x   lim g  x   0
x  x  x 

Απάντηση



Ερώτηση 3η – Κριτήριο παρεμβολής
Διατυπώστε και δώστε σχήμα για το κριτήριο παρεμβολής. Πότε και πως θα το εφαρμόζουμε;
Απάντηση

Ερώτηση 4η – Τριγωνομετρικά όρια
α. Να αποδείξετε ότι: lim x  x 0
x xo

β. Αναφέρετε άλλα 3 βασικά τριγωνομετρικά όρια που πρέπει να γνωρίζουμε
γ. Σωστό ή Λάθος: ημx  x , για κάθε x 
Απάντηση



Ερώτηση 5η – Όριο σύνθετης συνάρτησης – Αλλαγή μεταβλητής
Α) Πως βρίσκουμε το όριο μιας σύνθετης συνάρτησης; Να δοθεί ο τύπος, τα βήματα και να λυθούν τα επόμενα
παραδείγματα.

Β) Παραδείγματα

Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:
1) lim ημ  x  1
3 x
2) lim e
x 1 x 3

f x f  x  1 f  2x 
3) Αν lim  2 υπολογίστε τα όρια: α) lim και β) lim
x 0 x x 1 x  1 x 0 x
Απάντηση



Μεθοδολογία 1η – Πολλαπλού τύπου εύρεση ορίων
Α) Πως βρίσκουμε τα όρια σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου;


Βρείτε τα παρακάτω όρια, αν υπάρχουν:
 x2  1
 ,x 1
1) lim f  x  ; lim f  x  ; lim f  x  ; αν f  x    x  1
x 0 x 2 x 1  ln x , x  1


 x 4  16
 ,x  2
 x3  8
2) lim f  x  ; αν f  x   
x 2  x  7  3 ,x  2
 x2


 x3  x  2
 ,x 1
3) lim f  x  ; αν f  x    x  1
x 1 
 4 ,x 1
Απάντηση



Μεθοδολογία 2η – Απροσδιόριστη μορφή 0/0
Α) Ποια βήματα ακολουθούμε όταν το όριο είναι της μορφής 0/0;


Βρείτε τα παρακάτω όρια, αν υπάρχουν:
x 3  5x 2  3x  1 x32
1) lim 2) lim
x 1 x2  x  2 x 1 x 1
Απάντηση



Μεθοδολογία 3η – Απόλυτη τιμή
Α) Τι κάνουμε όταν στο όριο που θέλουμε να υπολογίσουμε υπάρχει απόλυτη τιμή;


Βρείτε τα παρακάτω όρια:
 x  2  3  x2  3  x
1) lim   2) lim
x 1 2x  3  1  x 0 x
 

x 1  x  1  x2 1  3 x  x  4 
3) lim 4) lim  
x 1 x  1 x 1 x 5 2 
 
Απάντηση



Μεθοδολογία 4η – Τριγωνομετρικά όρια
Α) Πως υπολογίζουμε όρια που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς;


Υπολογίστε τα παρακάτω όρια:
ημx  x  συνx συνx  1 ημ 2011x
1) lim 2) lim 3) lim
x 0 x x 0 ημx x 0 x

ημ  αx 
4) (Αλλαγή μεταβλητής – τριγωνομετρικά όρια) lim , α0
x 0 x

ημ  πx 
5) lim
x 1 x  1

 f  x  ημx  f x
6) (Απόλυτη τιμή – Κριτήριο παρεμβολής και τριγωνομετρικά όρια ) lim   , όπου xlim 0
x x0  gx  x 0 g  x 
 

  1 
7) lim  x  ημ    , v 
v *

x 0   x 
Απάντηση



Μεθοδολογία 5η – Βοηθητική συνάρτηση
Α) Όταν γνωρίζουμε ένα όριο και αναζητούμε κάποιο άλλο τι κάνουμε;

Β) Παράδειγμα

 f (x)  x 
Αν για την συνάρτηση f :  ισχύει lim    2 να βρεθούν τα εξής όρια:
x 1 x 1 
 2 
f x  x  f (x)  f (x)  2 
α) lim f  x  β) lim γ) lim
x 1 x 1 f  x   1 x 1
 f 2 (x)  3  2x 
 

Απάντηση



Μεθοδολογία 6η – Παραμετρικά όρια
Α) Ποια όρια ονομάζουμε παραμετρικά;


 ax  3 , x  1
1) Αν για την συνάρτηση f :  όπου f  x    γνωρίζουμε ότι το lim f  x  υπάρχει να
2ax  3 x  1 x 1

βρεθούν α) Ο πραγματικός αριθμός a και β) Το lim f  x 
x 1

 ax  b ,x 1
2) Αν για την συνάρτηση f :  όπου f  x    γνωρίζουμε ότι lim f  x   4 να
2ax  3b  1 x  1 x 1

βρεθούν τα οι πραγματικοί αριθμοί a,b.

x 4  ax 3  2b
3) Αν lim  1 βρείτε τα a,b 
x 1 x2  1

(λ  1)x 2  x  2 x 2  2x  μ
4) Δίνονται οι συναρτήσεις f (x)  και g(x)  . Να βρείτε τις τιμές των
x2  1 x
,   για τις οποίες υπάρχουν στο τα όρια limf (x) και limg(x) .
x 1 x 0

Απάντηση


http://lisari.blogspot.com Δ/βάθμιας Εκπαίδευσης


Μάθημα 7ο – Μη πεπερασμένο όριο στο x0 (α/0, με α0)
Ερώτηση 1η – « Μη πεπερασμένο όριο »
α) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει στο x0 όριο το + ή -; Να δοθεί και σχήμα
β) Αν lim f  x   + ή - τότε το όριο υπάρχει στο x0 ;
x xo

Απάντηση

Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες μη πεπερασμένων ορίων»
Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των μη πεπερασμένων ορίων και δώστε παραδείγματα στο καθένα
ξεχωριστά.
Απάντηση

Α΄ μέρος Ανάλυση: Όρια – Μορφή a/0 Σελίδα 48


Ερώτηση 3η – «Απροσδιόριστη μορφή»
α. Τι ονομάζουμε απροσδιόριστη μορφή (ΑΜ);
β. Τι κάνουμε όταν σ’ ένα όριο προκύψει απροσδιόριστη μορφή;
γ. Αναφέρεται τις κυριότερες απροσδιόριστες μορφές
Απάντηση

Ερώτηση 4η –«Άθροισμα - διαφορά μη πεπερασμένων ορίων»
Αν γνωρίζουμε ότι τα όρια lim f  x  , lim g  x  υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί ή άπειρο τότε τι ισχύει για
x xo x xo

τα όρια: α) lim  f  x   g  x   β) lim  f  x   g  x   ;
x xo x xo

Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Αν στο x0R
το όριο της f είναι: αR αR  -  -
και το όριο της g είναι:  -  - - 
τότε το όριο της f + g είναι:
τότε το όριο της f – g είναι:

Ερώτηση 5η – «Γινόμενο – πηλίκο – δύναμη μη πεπερασμένων ορίων»
Αν γνωρίζουμε ότι τα όρια lim f  x  , lim g  x  υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί ή άπειρο τότε τι ισχύει για
x xo x xo

 f x 
τα όρια: α) lim  f  x   g  x  
x x o
β) lim 
  
x x  g x 

o
x xo

γ) lim f  x  ;


Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.
Αν στο x0R,

το όριο της f είναι:
α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 + + - - + -
και το όριο της g είναι:
+ + - - + - + - + - 0 0
τότε το όριο της f·g είναι:

το όριο της f / g είναι:

το όριο της f n, n∈N*
- - -



Κατηγορία 1η Ασκήσεων α/0 «σχήμα»
Βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) lim f  x  , lim f  x  , στα παρακάτω σχήματα
+ -
x xo x xo

α. x0 = 0 y y

x
O x O

α>0 α<0

β. x0 = 0 γ) x0
y y
x x0 x x
O

f (x)
1
y 2
x

O x

Κατηγορία 2η Ασκήσεων α/0 – «Σταθερό πρόσημο παρονομαστή κοντά στο x0»
x 2  5x  6 3x  2
Βρείτε τα παρακάτω όρια: α. lim β. lim
x 1 x 1 x 3 ( x  3)2

e x  5x   2x   3 x 1
γ. lim δ. lim ε. lim
x 0 x 4  2011x 2 x 0 4  (x  1)  x 4 x 0
x
Απάντηση



Κατηγορία 3η Ασκήσεων α/0 – «Μη σταθερό πρόσημο παρονομαστή κοντά στο x0»
x2  x  2  3 4    1 
Βρείτε τα παρακάτω όρια: α. lim β. lim   2  γ. lim  x 2  2  3  
x 1 x 1 x 1
 1  x x 1  x 0
  x 
Απάντηση

Κατηγορία 4η Ασκήσεων α/0 – «Τριγωνομετρικά όρια»
x 1 x2 x 1 x  1
Βρείτε τα όρια: α. lim β. lim  x
γ. lim δ. lim x ε. lim x στ. lim3  x  1
x  0 x
x x  0 x  1  x 0 x
x
2 2 2

Απάντηση



Κατηγορία 5η Ασκήσεων α/0 – «Παραμετρικά όρια»
Βρείτε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών λ και μ:
x x 2  1 x x  
α. lim β. lim γ. lim ε. lim
 x  1 x 1 x 1 x  1
 x  1
x 1
4 x 1
2
x 1

Απάντηση

Άσκηση 2η – Παραμετρικά όρια
( λ  1) x 2  x  2 x2  2x  μ
Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x)  και g ( x) 
x2  1 x
α. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, αν υπάρχει το όριο lim f ( x )
x1

β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού μ, αν υπάρχει το όριο lim g ( x )
x 0

γ. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα παραπάνω όρια
Απάντηση



Κατηγορία 6η Ασκήσεων α/0 – «Βοηθητική συνάρτηση»
Να βρείτε το lim f ( x ) , όταν:
x1

x3  2  f (x)  3 
α. lim   β. lim     γ. lim[f (x)(3x3  5)]  
x 1 f (x) x 1
 x 1  x 1

Απάντηση




Μάθημα 8ο – Όρια συνάρτησης στο άπειρο
Ερώτηση 1η – « Όρια συνάρτησης στο άπειρο »
α) Έστω συνάρτηση f, οποία είναι ορισμένη στο διάστημα  ,   . Πότε θα λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο:
1.  R 2.  3.  όταν το χ τείνει  ;
β) Διατυπώστε τα ανάλογα συμπεράσματα όταν το χ τείνει στο 
Απάντηση

Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες ορίων όταν το χ τείνει στο άπειρο»
Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των ορίων όταν το χ τείνει στο άπειρο και δώστε παραδείγματα για το
καθένα χωριστά.
Απάντηση

Α΄ μέρος Ανάλυση: Όρια συνάρτησης στο άπειρο Σελίδα 54


Κατηγορία 1η (σχήμα)
Βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) lim f  x  , lim f  x  , στα παρακάτω σχήματα
x  x 

y y y

x
y  f x  x
O O

O x
α>0 α<0

y y y

y=f (x)

Cf Cf
f (x) O x f (x)

 
x x
O x +  x O
(a) (α)



Κατηγορία 2η ( Πολυωνυμική συνάρτηση)
Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι πολυωνυμική; Δώστε το τύπο και αποδείξτε το.
Β. Βρείτε τα όρια: α. lim  x 2  5x  3 β. lim 1  x  x 4 
x  x 

γ. lim  x  5x  6x  2011 , , ,  R
3 2
δ. lim  x 2  x  1 ,   R
x  x 

Απάντηση



Κατηγορία 3η (Ρητή συνάρτηση)
Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι ρητή; Δώστε τον τύπο και αποδείξτε το.
Β. Βρείτε τα όρια:
x2  x  2  4x  3  3x 5  x  2
α. lim β. lim  2  γ. lim
x 1 x  x  x  1 x  1  x 3  x 5
x 
 
Γ. Βασική άσκηση: Έστω οι πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x), Q(x) με βαθμό ν, μ αντίστοιχα, τότε να αποδείξτε
 0 ,  
Px  Px   ,  
τα εξής: 1. lim   *
,   2. lim 
    ,   
x  Q x
    ,   
x  Q x


Απάντηση



Κατηγορία 4η (απόλυτη τιμή)
Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση έχει απόλυτες τιμές;
| x 2  5x |  x | x 2  x | 3
α. lim x β. lim  x  1  2 x  3  7  γ. lim  x  1  2 x  3  7  δ lim ε. lim
x  x  x  x  x 2  x  2 x  x  2011

Απάντηση



Κατηγορία 5η (άρρητες συναρτήσεις)
Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι άρρητη; Δικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά όρια
1. lim x   και 2. lim x  
x  x 

α. lim 4x 2  x  1 β. lim 9  10x  x 2 γ. lim ( x 2  1  x 2  x ) δ. lim ( x 2  1  x 2  x )
x  x  x  x 

x 2  12x  1 x  x2  1 x  x2  1 x2  1  5  x
ε. lim ( x 2  5  x) στ. lim ζ. lim η. lim θ. lim
x  x  x 3 x 
x  x2 1 x 
x  x2 1 x 
3x  1  2x 2
Απάντηση



Κατηγορία 6η (Πολλαπλού τύπου)
Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου;
Β. Βρείτε τα όρια στο άπειρο για τις παρακάτω συναρτήσεις:
x 3
x 2 , x 1   2 x, x  1  ,x  2
α. f ( x)   β. f ( x)   γ. f  x    x  2
x 1  x  1, x  1
2
5 x,  1 , x  2

Απάντηση



Κατηγορία 7η (εκθετικές συναρτήσεις)
Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι εκθετική; Δικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά
όρια
1. lim  x  , lim  x  0 για α > 1 και 2. lim  x  0, lim  x   για 0 < α < 1
x  x  x  x 

x
Β. Βρείτε τα όρια: α. lim 3 x
β. lim 3 γ. lim e x δ. lim e x
x  x  x  x 

 3x  4x   3x  4x 
x
2
ε. lim   στ. lim  x  ζ. lim  x 
x  3  4 x x  3  4 x
 
x  e
   
Απάντηση



Κατηγορία 8η (λογαριθμικές συναρτήσεις)
Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι λογαριθμική; Εξηγήστε τα παρακάτω όρια:
1. lim ln x  , lim log x   και 2. lim  ln x   ,

lim  log x   

x  x  x 0 x 0

Γιατί δεν υπάρχουν τα όρια στο  ;Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
1 1 2ln x  1
α. lim β. lim γ. lim
x  ln x  2 x  ln x x  ln x  1

Απάντηση



Κατηγορία 9η (Τριγωνομετρικά όρια) – (σε συνδυασμό με τις κατηγορίες 11 και 12)
Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι τριγωνομετρική; Δικαιολογήστε γεωμετρικά
γιατί τα όρια lim x και lim x δεν υπάρχουν.
x  x 

x x x  x xx  1
α. lim β. lim γ. lim δ. lim ε. lim
x  x x  x x  x  x  x x  x 2  x

Απάντηση


ανάλυση μαθήματα από 1 έως 9 νέο

ανάλυση μαθήματα από 1 έως 9 νέο

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a ανάλυση μαθήματα από 1 έως 9 νέο

Similar a ανάλυση μαθήματα από 1 έως 9 νέο (20)

Más de Μάκης Χατζόπουλος

Más de Μάκης Χατζόπουλος (20)

ανάλυση μαθήματα από 1 έως 9 νέο