lisari.blogspot.com

1. http://lisari.blogspot.com
Επικίνδυνα σηµεία / Γ΄ Λυκείου
x + 2 , x ≥ 5
1) Έστω η συνάρτηση f ( x ) =  τότε η f είναι συνεχής στο [5, +∞ ) ; Αιτιολογήσετε την
x +1 ,x < 5
απάντησή σας.
Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Σωστή Απάντηση
Ναι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [5, +∞ )
Εξήγηση / ∆ικαιολόγηση
x + 2 , x ≥ 5
H συνάρτηση f ( x ) =  είναι συνεχής στο [5, +∞ ) αφού ισχύουν τα εξής :
x +1 ,x < 5
• συνεχής στο ( 5, +∞ ) ως πολυωνυµική
lim f ( x ) = lim ( x + 2 ) = 7
+ +
 x →5 x →5
• και ⇒ lim f ( x ) = f ( 5 )
+
x →5

 f ( 5) = 7
Σηµείωση: Μπορεί να το δείτε εύκολα αν θεωρήσετε την συνάρτηση g ( x ) = x + 2, x ≥ 5 (λέγεται περιορισµός της συνάρτησης f).
Γεωµετρική ερµηνεία

2. http://lisari.blogspot.com
Συχνό λάθος
Οι περισσότεροι µπερδεύονται στο εξής, επειδή
lim f ( x ) = lim ( x + 2 ) = 7 και lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 6
+ + − −
x →5 x →5 x →5 x →5
τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά στο σηµείο x0 = 5, άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 5, οπότε
θεωρούν ότι δεν µπορούν να γράψουν ότι είναι συνεχής στο κλειστό 5, άρα υποστηρίζουν ότι είναι συνεχής
µόνο στο ανοικτό διάστηµα (5, +•).
Αλλά όπως βλέπουµε στο σχήµα µπορεί να µια συνάρτηση να είναι συνεχής στο [5, +•) χωρίς να είναι
συνεχής στο x0 = 5.
Γενίκευση
Μια συνάρτηση f µπορεί να είναι συνεχής στο [α, β] χωρίς να είναι συνεχής στα σηµεία x1 = α και x2 = β,
όπως φαίνεται στην παρακάτω γραφική παράσταση.
y
63
[ ]
O a β x
(β)
(σχήµα 63 σχολικού βιβλίου – σελ. 191)

3. http://lisari.blogspot.com
Επικίνδυνα σημεία / Γ΄ Λυκείου
2) Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   ex 1 και g  x   ln x , τότε η συνάρτηση fog έχει πεδίο ορισμού
Afog  x  Ag / g  x   Af   x   0,   / ln x     0,   και
eln x x
 fog  x   f  g  x    f  ln x   eln x 1   , για x   0,   .
e1 e
Σωστά; Και όμως υπάρχει λάθος, το ανακαλύψατε;
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Απάντηση
Η σωστή έκφραση είναι η εξής
«Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   ex 1 και g  x   ln x , τότε η παράσταση fog έχει πεδίο ορισμού
Afog  x  Ag / g  x   Af   x   0,   / ln x     0,   και
eln x x
 fog  x   f  g  x    f  ln x   eln x 1   , για x   0,   .»
e1 e
Εξήγηση – Δικαιολόγηση
Δεν ξέρουμε αν το πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι μη κενό σύνολο, οπότε δεν μπορούμε να ομιλούμε για
συνάρτηση πριν βρούμε αρχικά το πεδίο ορισμού της. Το σχολικό βιβλίο γράφει επακριβώς στην σελίδα
143 τα εξής:
«Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία
το f (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο
A1  {x  A | f ( x)  B} .
Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν A1   , δηλαδή αν f ( A)  B   .»
Φυσικά ισχύουν τα ανάλογα και για την fog.
Επίσης στην εφαρμογή του σχολικού βιβλίου σελ. 144 γράφει τα εξής στην επίλυση
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το D f  (0, ) , ενώ η g το D g  [0.  ) .
i) Για να ορίζεται η παράσταση g ( f ( x)) πρέπει:
xDf και f ( x)  D g

4. http://lisari.blogspot.com
Επικίνδυνα σημεία / Γ΄ Λυκείου
3) Αν για τις συνεχείς συναρτήσεις f, g ισχύει f  x   g  x  για κάθε x  , τότε για κάθε α,β
β β
ισχύει  f  x  dx   g  x  dx
α α
Σωστά; Και όμως υπάρχει λάθος, το ανακαλύψατε;
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης

5. http://lisari.blogspot.com
Επικίνδυνα σημεία / Γ΄ Λυκείου
1
4) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει f   x   , x  0 , τότε f  x   ln x  c.
x
Σωστά; Και όμως υπάρχει λάθος, το ανακαλύψατε;
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης