Interpretacion geometrica de la derivada

1. Actividad 2.1
Interpretación Geométrica de la Derivada
G. Edgar Mata Ortiz

2. El concepto de derivada, desde un punto de vista matemático, es un
límite; y podríamos definirlo directamente como tal, sin embargo, es
preferible comprender dicho concepto a partir de una situación
problemática y, posteriormente, formalizar el término.
En el presente material se parte del problema resuelto en la
actividad 1.1; determinar las dimensiones de cuatro cuadrados que
se deben recortar para fabricar una caja con el máximo volumen
posible, a partir de una pieza de material de tamaño especificado.
Una vez resuelto el problema, se profundiza en la estrategia
aplicada, y cómo nos conduce a la determinación de la pendiente de
una recta tangente a la curva en un punto específico.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................1
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado..................................................................2
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:...............................................................2
La pendiente de la recta secante a la curva. ................................................................................................3
Aproximación de la secante a la tangente. ..................................................................................................4
Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................5
Obtención de límites. .......................................................................................................................................5
Gráfica. .............................................................................................................................................................6
Ejercicio 2. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................6
Obtención de límites. .......................................................................................................................................6
Gráfica. .............................................................................................................................................................7
Ejercicio 3. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................8
Obtención de límites. .......................................................................................................................................8
Gráfica. .............................................................................................................................................................9
Bibliografía............................................................................................................................................................. 10
First, it is necessary to study the facts, to multiply the number of observations, and then later to search for
formulas that connect them so as thus to discern the particular laws governing a certain class of phenomena. In
general, it is not until after these particular laws have been established that one can expect to discover and
articulate the more general laws that complete theories by bringing a multitude of apparently very diverse
phenomena together under a single governing principle.
Augustine – Louise Cauchy

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Interpretación Geométrica de la Derivada
Introducción.
Vamos a revisar el problema que sirvió como introducción al cálculo:
El problema de la caja que
debe tener el volumen
máximo, el cual se encuentra
en el punto más alto de la
gráfica correspondiente.
Dicho punto fue encontrado
mediante aproximaciones
sucesivas, es decir, buscando
valores de equis (tamaño del
cuadrado que se recorta), que
produjeran un volumen mayor
al que teníamos en cada caso.
Vamos a desarrollar un método que nos permita encontrar este punto
más alto de la curva, sin necesidad de realizar tantas operaciones
aritméticas o algebraicas y que además se pueda aplicar a cualquier clase
de problema en el que se trate de obtener el punto máximo o mínimo de
una curva.
El razonamiento que nos permitirá llegar a este método general de
solución está basado en un hecho sencillo. El punto más alto de la gráfica
se encuentra justo cuando la curva ha dejado de ascender, pero todavía
no comienza a descender. Es el punto donde la curva “es horizontal”.
En las secciones donde el valor de ye aumenta al aumentar el valor de
equis, se dice que es “la función es creciente”, y en las secciones en las
que ye disminuye al aumentar el valor de equis, se le llama “función
decreciente”.
Interpretaciones
de la derivada.
Como ya hemos visto, el cálculo
es atribuido a Newton y/o a
Leibnitz, quienes en forma
independiente desarrollaron sus
fundamentos, cada uno con un
enfoque completamente
diferente.
Mientras Newton pensaba en
términos de variables que
cambian con respecto al tiempo,
como la velocidad y aceleración;
Leibnitz consideraba un enfoque
geométrico en el que las
variables x, y, tomaban valores
cada vez más cercanos a un
punto dado.
Estos dos enfoques de la
derivada nos muestran que
puede ser interpretada tanto
geométricamente, como
físicamente, en términos de
variaciones de magnitudes como
la velocidad y aceleración.
Además de lo anteriormente
citado, es conveniente destacar
que, la notación empleada
actualmente, es la que desarrolló
Leibnitz.
Tanto el cálculo de Newton como
el de Leibnitz recurría a los
“infinitésimos”, cantidades
fuertemente cuestionadas por los
matemáticos de la época,
especialmente Lord Bishop
Berkeley, quien los llamaba “Los
fantasmas de las cantidades que
se han ido”.
Finalmente Cauchy, Weierstrass y
Riemann, reformularon el cálculo
en términos de la teoría de
límites evitando así las bien
fundadas críticas al uso de los
infinitésimos.

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Interpretación Geométrica de la Derivada
Existe solamente un punto, no una sección de la curva, donde la función no está ascendiendo ni descendiendo,
permanece horizontal. A este punto se le llama “Punto Crítico”, y se dice que “la función es estacionaria”.
Con la finalidad de facilitar la comprensión, el lenguaje que hemos
empleado no es preciso, se trata simplemente de captar la idea
para, posteriormente, ser más formales con el vocabulario. Una
forma más matemática de expresar la idea anterior es: la tangente
a la curva en el punto máximo es horizontal, por lo que su
pendiente es cero.
El problema de encontrar el punto máximo se ha reducido a
localizar el punto donde la tangente a la curva es horizontal.
El problema original ha ido sufriendo transformaciones sucesivas
conforme lo hemos analizado. De un enfoque aritmético y
geométrico, pasamos a revisarlo algebraicamente, luego en
términos de funciones y geometría analítica. Hemos llegado a un
nuevo planteamiento. ¿Cómo calcular la pendiente de la tangente
a una curva en un punto dado?
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado.
A lo largo de la historia se realizaron diversos intentos por resolver este problema, un trabajo interesante es el
“Método de Descartes de las raíces iguales”, sin embargo, no funciona en todos los casos.
Pierre Fermat, matemático contemporáneo de Descartes, propuso un método universal para resolver este
problema: “Método de límites de Fermat”.
El proceso es ingenioso, aunque un poco laborioso, pero para comprenderlo mejor vamos a resolver el siguiente
ejemplo por medio de un acercamiento aritmético.
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:
en
La gráfica nos muestra en qué consiste el problema, con el
valor de podemos obtener el valor de ye
sustituyendo en la ecuación:

Conocemos las coordenadas de un punto que pertenece
tanto a la curva como a la recta tangente, pero para calcular
la pendiente de una recta se necesitan las coordenadas de
dos puntos.
2
xy  1x
1x
2
xy  2
)1(y 1y
12
12
xx
yy
m




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Puesto que no tenemos la ecuación de la recta, no podemos conocer otro punto de la misma, pero si podemos
tomar un punto de la curva, que esté cercano a 1x y determinar su coordenada ?y sustituyendo el valor
de equis en la ecuación. Con estos puntos podemos encontrar la pendiente de la recta tangente.
Un punto ya lo teníamos como dato:  A (1, 1)
El otro punto lo elegimos nosotros:
2
2 xy   B (0, 0)
Con estos puntos podemos determinar la pendiente de la recta tangente:
12
12
xx
yy
m



10
10


m 1m
Si observas cuidadosamente el procedimiento notarás una inconsistencia, es decir, algo que no resulta del todo
convincente. Anota donde te parece que está el problema:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Si observamos con atención veremos que hemos involucrado un punto que no pertenece a la recta tangente,
en la siguiente gráfica podemos observar lo que sucedió.
La pendiente de la recta secante a la curva.
En realidad, estamos calculando la pendiente de una
recta distinta de la que nos interesaba. Es una recta
llamada secante.
Entonces la pendiente de la recta tangente no es 1,
este valor es la pendiente de la recta secante.
En este punto es donde vamos a involucrar la noción
de límite.
Podemos tomar valores de x2 cada vez más cercanos
al valor de x1, de tal forma que la recta secante
tenga una pendiente muy cercana a la de la
tangente.
Es muy importante que no olvidemos qué estamos buscando: la pendiente de la recta tangente a la curva en un
punto dado, pero debido a que no ha sido posible calcular dicho valor, decidimos obtener la pendiente de una
recta secante a la curva en el mismo punto, y poco a poco, ir tomando puntos más cercanos al punto (1, 1).
11 x 2
1 xy  2
1 )1(y 11 y
02 x 2
2 )0(y 02 y

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Observa en la gráfica siguiente que, al tomar un valor de x2 (0.5) más cercano a x1 (1), la recta secante dos tiene
una pendiente más parecida a la de la recta tangente.
Aproximación de la secante a la tangente.
Si continuamos este proceso podemos acercar el
punto x2, a x1, tanto como sea necesario para
observar a qué valor se aproxima la pendiente de
la recta secante.
Esta aproximación es una aplicación del concepto
de límite, por lo tanto, es conveniente realizar la
aproximación por la izquierda y por la derecha
para asegurarnos que, efectivamente, la
pendiente de la recta tangente es el valor límite
de la pendiente de la recta secante, cuando x2 se
aproxima a x1. En la siguiente línea, expresa este
límite en forma simbólica:
________________________________________
En la tabla se van dando valores de x2, cada vez más cercanos a x1, para
ver qué sucede con la pendiente de la recta secante.
¿A qué valor se aproxima la pendiente? ___________
Este valor al que se aproxima, ¿es la pendiente de la recta tangente?
___________________________________________________________
El cálculo realizado hasta ahora es solamente el límite por la
izquierda, para estar seguros debemos obtener el límite por la
derecha. Completa la tabla y determina el valor del límite.
En la siguiente línea, anota la representación simbólica del límite
calculado:
________________________________________________________
A este proceso de aproximación es al que se le llama límite. Podemos decir que la pendiente de la recta tangente
es igual al límite de la pendiente de la recta secante cuando x2 se aproxima a x1.
En las siguientes líneas, explica el procedimiento seguido para determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva en un punto:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
x2 y2 m
0 0 1
0.8 0.64 1.8
0.9 0.81 1.9
0.99 0.9801 1.99
0.999 0.998 1.999
0.9999 0.9998 1.9999
x2 y2 m
2
1.5
1.1
1.01
1.001
1.0001

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Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Aplica límites laterales, traza la gráfica de la función e incluye la recta tangente y dos rectas secantes, tal como
se muestra en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función: y = x2
Punto de tangencia:
x1 = 2
Calcular el valor de y1:
y1 = x2  y1 = (2)2
→y1 = 4
Estos valores (x1, y1) se utilizarán
en cada cálculo de la pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 = 2.
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
1
1.5
1.7
1.9
1.99
1.999
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 = 2.
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
3
2.5
2.3
2.1
2.01
2.001
La pendiente de la recta tangente a la curva y = x2
, en el punto x1 = 2 es: m =
Los valores calculados tomando valores de equis por la izquierda y por la derecha, no nos dan el valor buscado
del límite, solamente son valores aproximados.
El proceso de “tomar el límite” consiste en observar los decimales que se van generando y, con base en ellos,
determinar a cuál valor se aproximan los resultados que se van obteniendo al calcular la pendiente. Al realizar
el cálculo por la izquierda y por la derecha facilita el razonamiento que nos permitirá determinar si la respuesta
es entera o tiene decimales, y si tiene decimales, cuáles forman parte del límite y cuáles no. En la página
siguiente se muestra la gráfica como debe quedar, incluyendo la tangente y una secante.

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Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se
identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2),
la recta tangente y, al menos una recta
secante.
En los siguientes problemas, asegúrate
de anotar todo el proceso
ordenadamente, paso por paso, así
como la gráfica de la función.
Al graficar funciones, es necesario que
se observen los puntos más altos, más
bajos e intersecciones con los ejes de
coordenadas.
Ejercicio 2. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
En esta ocasión debemos determinar la pendiente de la tangente a la curva: y = 0.5x2
– 1, en x1 = 1. No olvides
seguir el procedimiento mostrado en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función:
Punto de tangencia: Calcular el valor de y1: Estos valores (x1, y1) se utilizarán
en cada cálculo de la pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:

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Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva y = , en el punto x1 = es: m =
Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2), la recta tangente y, al menos una
recta secante.

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Ejercicio 3. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Determina la pendiente de la tangente a la curva: y = -0.2x3
+ 4.5x, en x1 = 1.5; no olvides seguir el
procedimiento mostrado en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función:
Punto de tangencia: Calcular el valor de y1: Estos valores (x1, y1) se utilizarán
en cada cálculo de la pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva y = , en el punto x1 = es: m =
En las siguientes líneas, explica cómo se determina el valor límite a partir de los límites por la izquierda y por la
derecha.
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Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2), la recta tangente y, al menos una
recta secante.

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Bibliografía.