SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 22
Descargar para leer sin conexión
315 102 General Physics I                          อ. ดร. ศรีประจักร์ ครองสุ ข

                            เวกเตอร์ (Vectors)
                                      Vectors)

                       •    บทนํา
                       •    การรวมเวกเตอร์
                       •    เวกเตอร์ หนึงหน่วย
                       •    การแยกเวกเตอร์
                       •    ผลคูณสเกลาร์ และเวกเตอร์
                       •    ผลคูณสเกลาร์ ของสามเวกเตอร์

 1                                                                   6/4/2008
บทนํา (Introduction)
    ปริ มาณทีวัดในทางฟิ สิ กส์แบ่งออกเป็ น 2 ประเภทคือ
    • ปริ มาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริ มาณทีระบุขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น อุณหภูมิ,
      ปริ มาตร, มวล, เวลา เป็ นต้น
    • ปริ มาณเวกเตอร์ (vectors) คือ ปริ มาณทีต้องระบุทงขนาดและทิศทางพร้อมกัน เช่น
                                                       ั
      การกระจัด, ความเร็ ว, ความเร่ ง, แรง, สนามแม่ไฟฟ้ าและสนามแม่เหล็ก เป็ นต้น

                 A                                    B        θB
                                                                    N
                                                                             A
                                                                        θA

               อุณหภูมิ                                                          E
                    B
           ปริ มาณสเกลาร์                                 ปริ มาณเวกเตอร์
2                                                                                    6/4/2008
การรวมเวกเตอร์
สมบัติของเวกเตอร์
(1) การเท่ากันของสองเวกเตอร์
    ถ้าเวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B เท่ากัน จะต้องมีขนาดเท่ากัน (A = B) และมีทิศทางเดียว
    กันด้วย
    A                                         A
    B                                         B
                A=B                                        A≠B
    A                                         A
    B                                         B
            A ≠ B แต่ A = -B                               A≠B                6/4/2008
3
การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)
(2) การบวกเวกเตอร์ โดยใช้วธีเรขาคณิ ต (geometric method)
                          ิ
    • การบวกสองเวกเตอร์

                     A              R=A+B                          R
                                                                                 B
                 B                                             θ
                                                                   A
    • การบวกเวกเตอร์ ทีมีมากกว่าสองเวกเตอร์ ขึนไป

                                   R=A+B+C                             C
        C       120°     B                                 R
                             60°                                           B
                                                           θ
            A                                                  A
4                                                                              6/4/2008
การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)
การบวกของสองเวกเตอร์ สามารถเขียนในอีกแบบหนึ ง ซึ งเรี ยกว่าการบวกเวกเตอร์
แบบสร้างรู ปสี เหลียมด้านขนาน (parallelogram)
          B
                                              B            R
              A                                        A
(3) การสลับทีของการบวก (commutative law of addition)
                                          A
      A+B=B+A                            R             B
                                B
                                          A
5                                                                           6/4/2008
การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)
(4) การเปลียนกลุ่มของการบวก (associative law of addition)
                         A + (B + C) = (A+ B) + C
                         C                                     C
                B+C                                    A+B
                             B                                     B
                A                                     A
(5) เวกเตอร์ ทีติดลบ (Negative of a vector)
     A + (-A) = 0                เวกเตอร์ A และ –A มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้าม
(6) การคูณปริ มาณสเกลาร์ (m) กับเวกเตอร์
     B = mA             เวกเตอร์ B ยาวเป็ นจํานวน m เท่าของเวกเตอร์ A
6                                                                        6/4/2008
การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)
(7) การลบเวกเตอร์   A – B = A + (– B )


                           B                    R=A-B
                     A                    B
                          -B                    A
      R=A-B




7                                                       6/4/2008
คําถาม (question)?
                               จงหาเวกเตอร์ลพธ์
                                            ั
                C
                               R = A+B+C+D+E
            D
                                        D     C
    E
                   B                E
                              R               B
        A
                                    A
8                                                 6/4/2008
การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลพธ์
                                            ั
                                       ขนาดของเวกเตอร์ ลพธ์
                                                        ั
                              β
                  R                    R 2 = ( A + B cos θ ) 2 + ( B sin θ ) 2
                              B        R 2 = A2 + 2 AB cos θ + B 2 cos 2 θ + B 2 sin 2 θ

              α              γ θ       R = A2 + B 2 + 2 AB cos θ                 (1.2)
               A
     ทิศของเวกเตอร์ ลพธ์
                     ั                 สมการที 1.2 และ 1.3 เรี ยกว่า กฎของโคไซน์
                                       (cosine’s law) นอกจากนียังสามารถหาค่าเหล่านี
             B sin θ                   ได้โดยใช้กฎของไซน์ (sine’s law)
    tan α =
         A + B cos θ
            B sin θ 
α = tan −1                   (1.3)       R
                                              =
                                                 A
                                                    =
                                                       B
                                                                                 (1.4)
            A + B cos θ                sin γ sin β sin α

9                                                                                        6/4/2008
เวกเตอร์หนึงหน่วย
 เวกเตอร์ หนึงหน่ วย (unit vectors) คือ เวกเตอร์ ทีมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย ซึ งถูกกําหนดโดย

                     A
                eA =                  (1.1)                 A                A = Ae A
                     A
                                                    eA
            ั
ในระบบพิกดแบบคาทีเซี ยน (cartesian coordinates system) เวกเตอร์ หนึ งหน่วยในแนวแกน
x, y, และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ i, j, k ตามลําดับ
                                  z
                                  k j
                                                      y
                                    i
10                                            x                                   6/4/2008
การแตกเวกเตอร์
                                                                 ั                     ่
     เวกเตอร์ใดสามารถแตกเป็ นองค์ประกอบทีตังฉากกัน สําหรับระบบพิกดแบบคาร์ทีเซี ยนจะได้วา
                                             A = Ax + Ay + Az = Axi + Ayj + Azk
                    z
                                            จากรู ปจะเห็นว่า    Ax = A sin θ cos φ
                                                                Ay = A sin θ sin φ
                Az
                            A                                   Az = A cos θ

                        θ    eA A            ดังนันขนาดของเวกเตอร์ A
                    k       j    y
         Ax     i                    y             A = Ax2 + Ay + Az2
                                                              2

                    φ
     x
                                              และมีเวกเตอร์ หน่วย eA
                                           e A = sin θ cos φ i + sinθsinφ j + cosθ k


11                                                                                   6/4/2008
การแตกเวกเตอร์ (ต่อ)
ในกรณี ทีแตกเวกเตอร์ บนระนาบ (2 มิติ) จะได้
                                                A = Ax + Ay = Ax i + Ay j
        y
                                        โดยที
                                                   Ax = A cos θ
       Ay A                                        Ay = A sin θ
         j eA θ
        o i Ax                 x       ดังนันขนาดของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ หน่วย

                                                A = Ax2 + Ay ,
                                                           2


                                                e A = cos θ i + sinθ j




12                                                                          6/4/2008
การรวมเวกเตอร์ดวยวิธีแยกองค์ประกอบ
                     ้
               y               จากรู ปจะเห็นว่า
                                                  A1 = A1x i + A1y j
                   A1                             A2 = -A2x i + A2y j
          A2                                      A3 = -A3x i - A3y j
                                      x
     A3                     ดังนันเวกเตอร์ ลพธ์ของสามเวกเตอร์ คือ
                                            ั
                             R = A1 + A 2 + A 3
                             R = ( A1x − A2 x − A3 x )i + ( A1 y + A2 y − A3 y ) j
                             R = Rx i + R y j
             y
                            ขนาดและทิศทางของ R คือ
           R Ry                    R = Rx + R y
                                        2     2
          θ             x
          Rx                                  Ry 
13
                                   θ = tan −1 
                                                 
                                                                        6/4/2008
                                              Rx 
การรวมเวกเตอร์ดวยวิธีแยกองค์ประกอบ
                          ้
ถ้ามีเวกเตอร์ จานวนมาก การรวมเวกเตอร์ ในแต่ละองค์ประกอบจะเป็ นดังนี
               ํ

     Rx = ∑ Rix              ผลบวกแบบพีชคณิ ตของเวกเตอร์ องค์ประกอบตามแกน x
           i =1


     R y = ∑ Riy             ผลบวกแบบพีชคณิ ตของเวกเตอร์ องค์ประกอบตามแกน y
            i

     R = Rx i + R y j




14                                                                    6/4/2008
ตัวอย่าง 1
 กําหนดให้      A1 = 3i + 5 j − k          จงหา    (1) R = A1 + A 2
                A 2 = i − 4 j + 3k                 (2) R = A1 − A 2


      วิธีทา
           ํ
     (1)                                     (2)
 R = (3 + 1)i + (5 − 4) j + (−1 + 3)k         R = (3 − 1)i + (5 − (−4)) j + (−1 − 3)k
 R = 4i + j + 2k                              R = 2i + 9j - 4k
     R = 4 2 + 12 + 2 2 = 21                  R = 2 2 + 9 2 + (−4) 2 = 101




15                                                                              6/4/2008
ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์
     การคูณเวกเตอร์มี 2 แบบ คือ
     • การคูณแบบสเกลาร์ (scalar product)          ปริ มาณสเกลาร์
     • การคูณแบบเวกเตอร์ (vector product)         ปริ มาณเวกเตอร์
     ผลคูณแบบสเกลาร์
                                A.B = AB cos θ             (1.2)
                               โดยที
        B
         θ                         0 ≤ θ ≤ 180o
                  A
16                                                                  6/4/2008
ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)
 สมบัติการคูณแบบสเกลาร์
               (1) A.B = B.A
               (2) A.(B + C) = A.B + A.C
               (3) m(A.B) = (mA).B = A.( mB) = (A.B)m
               (4) i.i = j.j = k.k = 1
                   i.j = j.k = k.i = 0
               (5) A = Ax i + Ay j + Az k , B = Bx i + B y j + Bz k
                   A.B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
                   A.A = A2 = Ax + Ay + Az2
                               2    2


                   B.B = B 2 = Bx2 + B y + Bz2
                                       2


               (6) A.B = 0 if A ≠ 0, B ≠ 0 then A ⊥ B


17                                                                    6/4/2008
ตัวอย่าง 2
     จงแสดงให้เห็นว่า i.i = j.j = k.k = 1 และ i.j = j.k = k.i = 0
     วิธีทา
          ํ
              จากนิยามของการคูณแบบสเกลาร์ A.B = AB cosθ
              เนืองจากเวกเตอร์ หนึ งหน่วย i, j และ k ทํามุมตังฉากกันคือ θ = 90°
              ดังนัน i.j = ij cos 90 = 0, j.k = jk cos 90 = 0, k.i = ki cos 90 = 0
              ส่ วน i.i = j.j = k.k = 1       เนืองจากเวกเตอร์ มีทิศเดียวกัน




18                                                                                   6/4/2008
ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)
     ผลคูณแบบเวกเตอร์
                                   A×B      อ่านว่า “A cross B”
            A×B
                                   โดยมีขนาดเป็ น
                                    A × B = AB sin θ      (1.3)
                        θ   B     จากรู ปแสดงให้เห็นว่า
                        A          A × B = −B × A

            B× A


19                                                          6/4/2008
ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)
สมบัติการคูณแบบเวกเตอร์
              (1) A × B = - B × A
              (2) A × (B + C) = A × B + A × C
              (3) m (A × B) = ( mA) × B = A × ( mB) = (A × B) m
              (4) i × i = j × j = k × k = 0
                  i× j =k
                  j× k = i
                  k ×i = j
              (5) A = Ax i + Ay j + Az k
                   B = Bx i + B y j + Bz k
                              i     j      k
                   A × B = Ax      Ay    Az
                           Bx      By    Bz
                          = ( Ay Bz − Az B y )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax B y − Ay Bx )k

20                                                                                            6/4/2008
การคูณของสามเวกเตอร์
     การคูณของสามเวกเตอร์ มี 2 แบบ คือ
     • การคูณสามชันแบบสเกลาร์ (scalar triple product)
     • การคูณสามชันแบบเวกเตอร์ (vector triple product)
     การคูณสามชันแบบสเกลาร์ ได้ผลลัพธ์เป็ นปริ มาณสเกลาร์ ซึงมีนิยามดังนี
                             Ax   Ay   Az
                 A.(B × C) = Bx   By   Bz        (1.4)
                            Cx    Cy   Cz

     การคูณสามชันแบบเวกเตอร์ ได้ผลลัพธ์เป็ นปริ มาณเวกเตอร์ ซึงมีนิยามดังนี
                  A × B × C = ( A.C)B − (A.B)C           (1.5)


21                                                                            6/4/2008
คําถาม?
     กําหนดให้   A = 2i + j − 3k
                 B = i − 2j + k
                 C = −i + j − 4k
     จงหา
                 (1) A.B
                 (2) A × B
                 (3) A.(B × C)
                 (4) A × (B × C)



22                                    6/4/2008

Más contenido relacionado

Destacado

AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfAI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsKurio // The Social Media Age(ncy)
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Tessa Mero
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity -  Best PracticesTime Management & Productivity -  Best Practices
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementMindGenius
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...RachelPearson36
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Applitools
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at WorkGetSmarter
 

Destacado (20)

AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfAI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
 
Skeleton Culture Code
Skeleton Culture CodeSkeleton Culture Code
Skeleton Culture Code
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity -  Best PracticesTime Management & Productivity -  Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
 
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike RoutesMore than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
 

1vectors

  • 1. 315 102 General Physics I อ. ดร. ศรีประจักร์ ครองสุ ข เวกเตอร์ (Vectors) Vectors) • บทนํา • การรวมเวกเตอร์ • เวกเตอร์ หนึงหน่วย • การแยกเวกเตอร์ • ผลคูณสเกลาร์ และเวกเตอร์ • ผลคูณสเกลาร์ ของสามเวกเตอร์ 1 6/4/2008
  • 2. บทนํา (Introduction) ปริ มาณทีวัดในทางฟิ สิ กส์แบ่งออกเป็ น 2 ประเภทคือ • ปริ มาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริ มาณทีระบุขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น อุณหภูมิ, ปริ มาตร, มวล, เวลา เป็ นต้น • ปริ มาณเวกเตอร์ (vectors) คือ ปริ มาณทีต้องระบุทงขนาดและทิศทางพร้อมกัน เช่น ั การกระจัด, ความเร็ ว, ความเร่ ง, แรง, สนามแม่ไฟฟ้ าและสนามแม่เหล็ก เป็ นต้น A B θB N A θA อุณหภูมิ E B ปริ มาณสเกลาร์ ปริ มาณเวกเตอร์ 2 6/4/2008
  • 3. การรวมเวกเตอร์ สมบัติของเวกเตอร์ (1) การเท่ากันของสองเวกเตอร์ ถ้าเวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B เท่ากัน จะต้องมีขนาดเท่ากัน (A = B) และมีทิศทางเดียว กันด้วย A A B B A=B A≠B A A B B A ≠ B แต่ A = -B A≠B 6/4/2008 3
  • 4. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) (2) การบวกเวกเตอร์ โดยใช้วธีเรขาคณิ ต (geometric method) ิ • การบวกสองเวกเตอร์ A R=A+B R B B θ A • การบวกเวกเตอร์ ทีมีมากกว่าสองเวกเตอร์ ขึนไป R=A+B+C C C 120° B R 60° B θ A A 4 6/4/2008
  • 5. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) การบวกของสองเวกเตอร์ สามารถเขียนในอีกแบบหนึ ง ซึ งเรี ยกว่าการบวกเวกเตอร์ แบบสร้างรู ปสี เหลียมด้านขนาน (parallelogram) B B R A A (3) การสลับทีของการบวก (commutative law of addition) A A+B=B+A R B B A 5 6/4/2008
  • 6. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) (4) การเปลียนกลุ่มของการบวก (associative law of addition) A + (B + C) = (A+ B) + C C C B+C A+B B B A A (5) เวกเตอร์ ทีติดลบ (Negative of a vector) A + (-A) = 0 เวกเตอร์ A และ –A มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้าม (6) การคูณปริ มาณสเกลาร์ (m) กับเวกเตอร์ B = mA เวกเตอร์ B ยาวเป็ นจํานวน m เท่าของเวกเตอร์ A 6 6/4/2008
  • 8. คําถาม (question)? จงหาเวกเตอร์ลพธ์ ั C R = A+B+C+D+E D D C E B E R B A A 8 6/4/2008
  • 9. การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลพธ์ ั ขนาดของเวกเตอร์ ลพธ์ ั β R R 2 = ( A + B cos θ ) 2 + ( B sin θ ) 2 B R 2 = A2 + 2 AB cos θ + B 2 cos 2 θ + B 2 sin 2 θ α γ θ R = A2 + B 2 + 2 AB cos θ (1.2) A ทิศของเวกเตอร์ ลพธ์ ั สมการที 1.2 และ 1.3 เรี ยกว่า กฎของโคไซน์ (cosine’s law) นอกจากนียังสามารถหาค่าเหล่านี B sin θ ได้โดยใช้กฎของไซน์ (sine’s law) tan α = A + B cos θ  B sin θ  α = tan −1   (1.3) R = A = B (1.4)  A + B cos θ  sin γ sin β sin α 9 6/4/2008
  • 10. เวกเตอร์หนึงหน่วย เวกเตอร์ หนึงหน่ วย (unit vectors) คือ เวกเตอร์ ทีมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย ซึ งถูกกําหนดโดย A eA = (1.1) A A = Ae A A eA ั ในระบบพิกดแบบคาทีเซี ยน (cartesian coordinates system) เวกเตอร์ หนึ งหน่วยในแนวแกน x, y, และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ i, j, k ตามลําดับ z k j y i 10 x 6/4/2008
  • 11. การแตกเวกเตอร์ ั ่ เวกเตอร์ใดสามารถแตกเป็ นองค์ประกอบทีตังฉากกัน สําหรับระบบพิกดแบบคาร์ทีเซี ยนจะได้วา A = Ax + Ay + Az = Axi + Ayj + Azk z จากรู ปจะเห็นว่า Ax = A sin θ cos φ Ay = A sin θ sin φ Az A Az = A cos θ θ eA A ดังนันขนาดของเวกเตอร์ A k j y Ax i y A = Ax2 + Ay + Az2 2 φ x และมีเวกเตอร์ หน่วย eA e A = sin θ cos φ i + sinθsinφ j + cosθ k 11 6/4/2008
  • 12. การแตกเวกเตอร์ (ต่อ) ในกรณี ทีแตกเวกเตอร์ บนระนาบ (2 มิติ) จะได้ A = Ax + Ay = Ax i + Ay j y โดยที Ax = A cos θ Ay A Ay = A sin θ j eA θ o i Ax x ดังนันขนาดของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ หน่วย A = Ax2 + Ay , 2 e A = cos θ i + sinθ j 12 6/4/2008
  • 13. การรวมเวกเตอร์ดวยวิธีแยกองค์ประกอบ ้ y จากรู ปจะเห็นว่า A1 = A1x i + A1y j A1 A2 = -A2x i + A2y j A2 A3 = -A3x i - A3y j x A3 ดังนันเวกเตอร์ ลพธ์ของสามเวกเตอร์ คือ ั R = A1 + A 2 + A 3 R = ( A1x − A2 x − A3 x )i + ( A1 y + A2 y − A3 y ) j R = Rx i + R y j y ขนาดและทิศทางของ R คือ R Ry R = Rx + R y 2 2 θ x Rx  Ry  13 θ = tan −1     6/4/2008  Rx 
  • 14. การรวมเวกเตอร์ดวยวิธีแยกองค์ประกอบ ้ ถ้ามีเวกเตอร์ จานวนมาก การรวมเวกเตอร์ ในแต่ละองค์ประกอบจะเป็ นดังนี ํ Rx = ∑ Rix ผลบวกแบบพีชคณิ ตของเวกเตอร์ องค์ประกอบตามแกน x i =1 R y = ∑ Riy ผลบวกแบบพีชคณิ ตของเวกเตอร์ องค์ประกอบตามแกน y i R = Rx i + R y j 14 6/4/2008
  • 15. ตัวอย่าง 1 กําหนดให้ A1 = 3i + 5 j − k จงหา (1) R = A1 + A 2 A 2 = i − 4 j + 3k (2) R = A1 − A 2 วิธีทา ํ (1) (2) R = (3 + 1)i + (5 − 4) j + (−1 + 3)k R = (3 − 1)i + (5 − (−4)) j + (−1 − 3)k R = 4i + j + 2k R = 2i + 9j - 4k R = 4 2 + 12 + 2 2 = 21 R = 2 2 + 9 2 + (−4) 2 = 101 15 6/4/2008
  • 16. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์มี 2 แบบ คือ • การคูณแบบสเกลาร์ (scalar product) ปริ มาณสเกลาร์ • การคูณแบบเวกเตอร์ (vector product) ปริ มาณเวกเตอร์ ผลคูณแบบสเกลาร์ A.B = AB cos θ (1.2) โดยที B θ 0 ≤ θ ≤ 180o A 16 6/4/2008
  • 17. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) สมบัติการคูณแบบสเกลาร์ (1) A.B = B.A (2) A.(B + C) = A.B + A.C (3) m(A.B) = (mA).B = A.( mB) = (A.B)m (4) i.i = j.j = k.k = 1 i.j = j.k = k.i = 0 (5) A = Ax i + Ay j + Az k , B = Bx i + B y j + Bz k A.B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz A.A = A2 = Ax + Ay + Az2 2 2 B.B = B 2 = Bx2 + B y + Bz2 2 (6) A.B = 0 if A ≠ 0, B ≠ 0 then A ⊥ B 17 6/4/2008
  • 18. ตัวอย่าง 2 จงแสดงให้เห็นว่า i.i = j.j = k.k = 1 และ i.j = j.k = k.i = 0 วิธีทา ํ จากนิยามของการคูณแบบสเกลาร์ A.B = AB cosθ เนืองจากเวกเตอร์ หนึ งหน่วย i, j และ k ทํามุมตังฉากกันคือ θ = 90° ดังนัน i.j = ij cos 90 = 0, j.k = jk cos 90 = 0, k.i = ki cos 90 = 0 ส่ วน i.i = j.j = k.k = 1 เนืองจากเวกเตอร์ มีทิศเดียวกัน 18 6/4/2008
  • 19. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) ผลคูณแบบเวกเตอร์ A×B อ่านว่า “A cross B” A×B โดยมีขนาดเป็ น A × B = AB sin θ (1.3) θ B จากรู ปแสดงให้เห็นว่า A A × B = −B × A B× A 19 6/4/2008
  • 20. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) สมบัติการคูณแบบเวกเตอร์ (1) A × B = - B × A (2) A × (B + C) = A × B + A × C (3) m (A × B) = ( mA) × B = A × ( mB) = (A × B) m (4) i × i = j × j = k × k = 0 i× j =k j× k = i k ×i = j (5) A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + B y j + Bz k i j k A × B = Ax Ay Az Bx By Bz = ( Ay Bz − Az B y )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax B y − Ay Bx )k 20 6/4/2008
  • 21. การคูณของสามเวกเตอร์ การคูณของสามเวกเตอร์ มี 2 แบบ คือ • การคูณสามชันแบบสเกลาร์ (scalar triple product) • การคูณสามชันแบบเวกเตอร์ (vector triple product) การคูณสามชันแบบสเกลาร์ ได้ผลลัพธ์เป็ นปริ มาณสเกลาร์ ซึงมีนิยามดังนี Ax Ay Az A.(B × C) = Bx By Bz (1.4) Cx Cy Cz การคูณสามชันแบบเวกเตอร์ ได้ผลลัพธ์เป็ นปริ มาณเวกเตอร์ ซึงมีนิยามดังนี A × B × C = ( A.C)B − (A.B)C (1.5) 21 6/4/2008
  • 22. คําถาม? กําหนดให้ A = 2i + j − 3k B = i − 2j + k C = −i + j − 4k จงหา (1) A.B (2) A × B (3) A.(B × C) (4) A × (B × C) 22 6/4/2008