1. ใบความร้ ูที 3.1
เรือง สมบัติเชิ งพีชคณิตของจํานวนเชิ งซ้ อน
ี ี ั
สมบัติทีเกยวข้องเกยวกบการบวกและการคูณของจํานวนเชิงซ้อน
่
ถ้า z1 , z 2 , z 3 เป็ นจํานวนเชิงซ้อน แล้วจะได้วา
1. z1 + z 2 = z 2 + z1 และ z1z 2 = z 2 z1 (สมบัติการสลับที)
2. z1 + (z 2 + z 3 ) = (z1 + z 2 ) + z 3 และ z1 (z 2 z 3 ) = (z 2 z1 )z 3 (สมบัติการเปลียนกลุ่ม)
3. z1 (z 2 + z 3 ) = z1z 2 + z1z 3 (สมบัติการเปลียนแปลง)
สมบัติเชิ งพีชคณิตของจํานวนเชิ งซ้ อน (Algebraic Propertiest of Complex Number)
เอกลักษณ์ และตัวผกผันการบวก
่
พิจารณาการบวกจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
(a , b) + (0,0) = (a + 0, b + 0)
= (a , b )
ั
ทํานองเดียวกน (0,0) + (a, b) = (a, b)
่ ่
ดังนั. นจึงกลาวได้วา (0,0) เป็ นเอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนเชิงซ้อน
็ ั
ในระบบจํานวนจริ ง ตัวผกผันการบวกของจํานวนใดกตาม คือ จํานวนทีนํามาบวกกบ
จํานวนนั. นแล้วได้เอกลักษณ์การบวก ในระบบจํานวนเชิ งซ้อนตัวผกผันการบวกของจํานวน
็ ่
เชิงซ้อนกมีความหมายเชนเดียวกน ั
่
สังเกตวา (a, b) + (−a,−b) = (a − a, b − b)
= (0,0)
และ (−a ,−b) + (a , b) = (0,0)
ดังนั. น (−a ,− b) เป็ นตัวผกผันการบวกของ (a , b)
หรื อ − a − bi เป็ นตัวผกผันการบวกของ a + bi
ตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซ้อน z เขียนแทนด้วย − z
ฉะนั. น − (a + bi) = −a − bi
ตัวอย่ างที 1 ตัวผกผันการบวกของ (−2,1) คือ (2,−1)
ตัวผกผันการบวกของ 3 + 2i คือ − 3 − 2i
ตัวผกผันการบวกของ 1− i คือ −1+ i

2. แบบฝึ กทักษะที 3.1
่
จงหาตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (−3,2)
2. (−15,−10)
3. (0,−2)
4. (6,−5)
5. 4 + 2i
6. − 1 + i
7. − 4 − 7i
8. − 45 + 3i

3. ใบความร้ ู ที 3.2
การลบจํานวนเชิ งซ้ อน
ั
เราจะนิยามการลบกนจํานวนเชิงซ้อน ดังนี.
บทนิยาม z − w = z + (− w ) สําหรับจํานวนเชิงซ้อน z, w ใดๆ
่
ตัวอย่ างที 1 จงหาผลลัพธ์ของจํานวนตอไปนี.
1. (2 − 3i) − (4 − i)
วิธีทา (2 − 3i) − (4 − i) = 2 − 3i − 4 + i
ํ
= (2 − 4) + (−3i + i)
= −2 + (−3 + 1)i
= −2 + (−2)i
= −2 − 2i
2. (−9 + 5i) − (−5 + 3i)
วิธีทา (−9 + 5i) − (−5 + 3i) = −9 + 5i + 5 − 3i
ํ
= (−9 + 5) + (5i − 3i)
= −4 + (5 − 3)i
= −4 + 2i
3. (−4,5) − (−6,10)
วิธีทา (−4,5) − (−6,10) = (−4,5) + (6,−10)
ํ
= (−4 + 6,5 + (−10))
= (2,−5)

4. แบบฝึ กทักษะที 3.2
่
จงหาผลลบของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (3,4) − (−8,9)
2. (2,−3) − (−2,−7)
3. (−6,−5) − (3,−7)
4. (−3,4) − (8,9)
5. (−2,6) − (−5,−10)
6. (4 + i) − (5 − i)
7. (−6 − 17i) − (5 − 10i)
8. (−6 − 10i) − (−5 + 10i)
9. (6 − 17i) − (−5 − 10i)
10. (−6 + 17i) − (15 + 12i)

5. ใบความร้ ู ที 3.3
เอกลักษณ์ และตัวผกผันการคณของจํานวนเชิ งซ้ อน
ู
เอกลักษณ์ และตัวผกผันการคณู
่
พิจารณาการคูณจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
(a , b)(0,1) = (a ⋅ 1 − b ⋅ 0, a ⋅ 0 + b ⋅ 1)
= (a − 0,0 + b)
= (a , b )
ั
ทํานองเดียวกน (1,0)(a , b) = (a, b)
่ ่
ดังนั. นจึงกลาวได้วา (1,0) เป็ นเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนเชิงซ้อน
่ ่ ั
ถ้า (a, b) เป็ นจํานวนเชิงซ้อนซึ งไมเทากบ (0,0) ตัวผกผันการคูณของ (a, b) คือจํานวน
ั
เชิงซ้อนทีคูณกบ (a, b) แล้วได้ (1,0) ซึ งหาได้ดงนี. ั
ให้ (x, y) เป็ นตัวผกผันการคูณของ (1,0)
จะได้ (a , b)( x , y) = (1,0)
แต่ (a , b)( x , y) = (ax − by, bx + ay)
ดังนั. น (ax − by, bx + ay) = (1,0)
จากบทนิยามจะได้ ax − by = 1 ………….(1)
bx + ay = 0 …………(2)
สมการ (1) × a จะได้
a 2 x − aby = a ………(3)
สมการ (2) × b จะได้
b 2 x + aby = 0 ……….(4)
สมการ (3) + (4) จะได้
a 2x + b2x = a
(a 2 + b 2 ) x = a
a
x= 2 ่
แทนคาในสมการ (2)
a + b2
จะได้ b 2 a 2  + ay = 0
 
a +b 
ab
+ ay = 0
a + b2
2
ab
ay = 0 − 2
a + b2

6. ab
y=−
(a + b 2 ) a 2
b
y=− 2
a + b2
 a b 
ดังนั. น ( x , y) =  2 ,− 2 
a +b a + b2 
2
b   a2 
ตรวจสอบวา (a, b)
่ 
a
,− 2 2 
= 2
b ab ab
 a + b2 + a 2 + b2 , a 2 + b2 − a 2 + b2 

a +b a +b  
2 2

 a 2 + b2 
= 2
 a + b 2 ,0 

 
= (1,0)
 a b 
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (a , b ) คือ  2 ,− 2 
a +b a + b2 
2
ตัวผกผันการคูณของ z เขียนแทนด้วย z −1
a b
เมือเขียน z = a + bi จะได้ z −1 = − 2 i
a +b 22
a + b2
a − bi
= 2
a + b2
่
ตัวอย่ าง 3 จงหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (4,−3)
วิธีทา
ํ a 2 + b 2 = 4 2 + (−3) 2
= 16 + 9
= 25
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (4,−3) คือ 

4 3 
, 
 25 25 
2. (−2,3)
วิธีทา a 2 + b 2 = (−2) 2 + 3 2
ํ
= 4+9
= 13
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ (−2,3) คือ  2 ,−

3

 13 13 
3. 6 + 8i

7. วิธีทา
ํ a 2 + b 2 = 6 2 + 82
= 36 + 64
= 100
6 8 3 4
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ 6 + 8i คือ − i หรื อ − i
100 100 50 50
4. − 2 − i
วิธีทา a 2 + b 2 = (−2) 2 + (−1) 2
ํ
= 4 +1
=5
2 1
ดังนั. น ตัวผกผันการคูณของ −2−i คือ − + i
5 50

8. แบบฝึ กทักษะที 3.3
่
จงหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี.
1. (5,8)
2. (−12,−5)
3. (9,−5)
4. 6 + 7i
5. − 12 − 5i
6. (−3,2)
7. (−15,−10)
8. (0,−2)
9. (6,−5)
10. 4 + 2i
11. − 1 + i
12. − 4 − 7i
13. − 45 + 3i