1. บทที่ 2
การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน
( 20 ชั่วโมง )
สถิติเปนวิชาที่มีบทบาทในชีวิตประจําวัน และเปนวิชาที่มีบทบาทในแทบทุก
วงการ การใหผูเรียนไดมีความรูพื้นฐานทางสถิติอยางเพียงพอ และสามารถวิเคราะห
ขอมูลอยางงายไดจึงเปนสิ่งที่จําเปนตอการเรียนรูของผูเรียน
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. เลือกใชคากลางที่เหมาะสมกับขอมูลที่กําหนดใหและวัตถุประสงคที่ตองการ
2. วิเคราะหขอมูลเบื้องตนโดยใชคากลาง (คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม) การ
วัดการกระจายโดยใชสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และการหาตําแหนงที่ของขอมูลโดยใช
เปอรเซ็นไทลได
3. ใชขอมูลขาวสารและคาสถิติชวยในการตัดสินใจบางอยางได
ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้น
ทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรู
ทางดานทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน และสอดแทรกกิจกรรม ปญหา
หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียน
ทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมี
ความเชื่อมั่นในตนเอง
ขอเสนอแนะ
1. สถิติเปนวิชาที่วาดวยการวิเคราะหขอมูลเพื่อหาขอสรุปจากขอมูลเพื่ออธิบาย
หรือตอบปญหาที่สนใจ การวิเคราะหขอมูลที่ผูเรียนจะตองศึกษาในชั้นนี้เปนศาสตรที่
กลาวถึงการสรุปสาระสําคัญที่มีอยูในขอมูลและนําเสนอขอมูลดวยคาสถิติ เชน คากลาง

2. 10
คาการวัดการกระจาย แผนภาพ ฯลฯ เพื่ออธิบายลักษณะของขอมูลชุดนั้น ซึ่งในปจจุบัน
ไดมีการพัฒนาโปรแกรมสําเร็จรูป เครื่องคํานวณ เชน เครื่องคิดเลขที่สามารถหาคาสถิติได
ทําใหสามารถหาคาที่ตองการไดอยางรวดเร็ว ในปจจุบันการเรียนการสอนวิชาสถิติ จึงไม
จําเปนตองมุงฝกทักษะการหาคาสถิติตาง ๆ ใหถูกตองแมนยํา เนื่องจากในชีวิตจริงของ
ผูเรียนจะตองใชเครื่องคํานวณมาชวยในการหาคาสถิติที่ตองการอยูแลว สิ่งที่ผูสอนควร
คํานึงคือการสอนใหผูเรียนมีความรูพื้นฐาน มีความเขาใจ และสามารถนําความรู ความ
เขาใจในวิชาสถิติไปใชในการแกปญหาและชวยในการตัดสินใจบางอยางได
2. เนื่องจากในชวงชั้นที่ 3 (ม.1 – ม.3) ผูเรียนมีพื้นฐานในเรื่องการหาคากลาง
มาแลว ดังนั้น การกลาวถึงการหาคากลางในชวงชั้นนี้จึงกลาวถึงในลักษณะของการ
ทบทวน และในสวนที่เพิ่มเติมจากวิธีการที่กลาวไวตอจากชวงชั้นที่ 3 เชน การหาคากลาง
ของขอมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น
สําหรับวิธีการหาคากลางโดยการทอนคาของขอมูลใหนอยลง ดังวิธีการใน
ตัวอยางที่ 12 หัวขอการหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลที่แจกแจงความถี่แลว มีไวเพื่อให
ผูเรียนไดเขาใจวิธีการหาคากลางแบบตาง ๆ และอาจหาคากลางของขอมูลที่มีจํานวนไมมาก
นักโดยใชวิธีการขางตนไดเมื่อไมมีเครื่องคํานวณชวย แตไมมีวัตถุประสงคใหผูเรียนฝก
ทักษะในสวนนี้แตอยางใด
3. การสรางตารางแจกแจงความถี่นั้นเปนการจัดระบบขอมูลเบื้องตน แตมีขอเสีย
คือ ทําใหเราไมทราบคาที่แทจริงของขอมูล ทราบแตเพียงคราว ๆ วา คาของขอมูลอยู
ในชวงที่กลาวถึง ดังนั้นยิ่งอันตรภาคชั้นมีความกวางมากขึ้นก็ยิ่งทําใหเราทราบลักษณะของ
ขอมูลนอยลง รวมทั้งการนําตารางที่ไดไปหาคากลางของขอมูล เมื่อแตละตารางที่สราง
ขึ้นมีอันตรภาคชั้นไมเทากันจะทําใหไดคากลางที่แตกตางกันดวย ในปจจุบันนี้การหา
คาสถิติของขอมูลที่มีจํานวนมากมักจะใชเครื่องคิดเลขหรือโปรแกรมคอมพิวเตอรทางสถิติ
มาชวยในการคํานวณซึ่งจะทําใหตัดปญหาเรื่องการแบงอันตรภาคชั้นออกไป ดังนั้น
ผูสอนจึงควรชี้แจงใหผูเรียนมีความเขาใจในเรื่องนี้ดวย
4. การแจกแจงความถี่โดยใชแผนภาพตน-ใบ เปนวิธีการจัดระบบขอมูลที่เรา
สามารถทราบคาที่แทจริงของขอมูลได และสามารถวิเคราะหขอมูลอยางคราว ๆ จาก
แผนภาพดังกลาวได การใชแผนภาพตน-ใบ เปนวิธีการสรุปขอมูลโดยแผนภาพและจัด

3. 11
กลุมหรือจัดเรียงขอมูลไวดวยกัน นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมคอมพิวเตอรที่สามารถสราง
แผนภาพดังกลาวไดดวย การนําวิธีการแจกแจงความถี่โดยใชแผนภาพตน-ใบ ซึ่งเปน
วิธีการที่ไดมีการพัฒนาขึ้นเมื่อไมนานมากนัก ทําใหผูเรียนไดเรียนรูวิธีการใชแผนภาพและ
สามารถนําแผนภาพตน -ใบ ไปใชในการวิเคราะหขอมูลเบื้องตนได เชน ดูลักษณะการ
กระจายของขอมูล ในกรณีที่มีขอมูลเบื้องตนไมมากนัก
กิจกรรมเสนอแนะ
กิจกรรมที่ 1
จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนไดเห็นวา การเลือกตัวอยางโดยการสุมจะทําใหไดตัวอยาง
ซึ่งเปนตัวแทนของประชากรที่มีคาสถิติ เชน คากลาง คาที่ใชวัดการ
กระจาย มีคาใกลเคียงกับคาที่ไดจากประชากร
ผูสอนยกตัวอยางขอมูลที่เปนคะแนน ซึ่งมีจํานวนขอมูลทั้งหมด 500 รายการ
และถือวาขอมูลชุดนี้คือขอมูลที่ไดจากประชากร (ขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิต (µ) 50
และมีสวนเบี่ยงมาตรฐาน (σ) 10 ทั้งนี้ผูสอนไมตองบอกรายละเอียดสวนนี้ใหผูเรียน
ทราบ)
ขอมูลทั้งหมดของประชากรนํามาแจกแจงความถี่ไดดังนี้
คะแนน ความถี่ คะแนน ความถี่
20
21
22
23
24
25
26
27
1
0
0
1
1
1
1
1
28
29
30
31
32
33
34
35
2
2
3
3
4
5
6
6

4. 12
คะแนน ความถี่ คะแนน ความถี่
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
7
9
10
11
12
13
14
16
17
18
18
19
19
20
20
20
19
19
18
18
17
16
14
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
13
12
11
10
9
7
6
6
5
4
3
3
2
2
1
1
1
1
1
0
0
1
ผูสอนใหผูเรียนสุมตัวอยางโดยมีขั้นตอนดังนี้

5. 13
1. ใหผูเรียนชวยกันเขียนสลากของขอมูลที่เปนคะแนนทั้งหมด 500 รายการใส
กลองไว (นั่นคือ เขียนคะแนนบนสลาก ใหจํานวนสลากของแตละคะแนนเทากับความถี่
ของคะแนนนั้น เชน เขียนคะแนน 20 จํานวน 1 ใบ ไมตองเขียนคะแนน 21 เพราะมี
ความถี่เปน 0 และเขียนคะแนน 50 จํานวน 20 ใบ)
2. ผูสอนแบงผูเรียนในชั้นเปนกลุม กลุมละ 3 ถึง 4 คน ใหผูเรียนในแตละกลุม
ชวยกันหยิบสลากขอมูลกลุมละ 20 ชิ้น โดยกลุมแรกหยิบสลาก 20 ชิ้น จดขอมูลที่ไดไว
แลวคืนสลากที่หยิบมาไวในกลองอยางเดิม เขยากลองแลวใหกลุมตอไปทําเหมือนกันจน
ครบทุกกลุม
3. เมื่อผูเรียนทํากิจกรรมในขอ 2 แลว ใหเขียนขอมูลที่ไดเรียงจากขอมูลที่มีคา
นอยไปหาคามาก แลวใหหา คาเฉลี่ยเลขคณิต (X ) มัธยฐาน และสวนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน (s)
ตัวอยางขอมูล 10 ชุด ชุดละ 20 ตัวอยาง ที่นักเรียนสุมขึ้นมาอาจเปนดังนี้
ชุดที่ ขอมูล
1. 55 48 55 50 51 64 48 39* 49 48 54 59 66* 42 53 51 44 58 57 45
2. 44 47 43 63 60 69 47 56 46 36 53 52 49 72* 47 34 66 49 26* 63
3. 79 58 72 80* 56 46 64 44* 59 55 60 60 47 44 47 62 50 47 45 58
4. 52 51 38 58 42 53 47 50 43 55 42 59 63* 46 57 53 54 34* 48 50
5. 53 53 64 51 52 48 42 58 40 58 51 42 60 57 47 40* 68* 51 55 46
6. 33* 49 50 37 40 51 38 55 62 58 46 68* 43 35 63 41 42 36 45 48
7. 45 55 54 46 49 62 47 49 50 48 48 53 25* 52 44 48 39 63* 57 51
8. 59 47 36 43 53 37 66* 52 48 39 56 63 65 35* 58 37 62 55 58 52
9. 61* 20* 46 53 30 39 44 57 61 48 59 34 59 43 55 41 35 26 48 31
10. 54 52 41* 60* 53 51 53 49 47 50 48 52 45 42 55 49 58 43 57 50
* คาที่มากที่สุดหรือนอยที่สุดของขอมูลแตละชุด

6. 14
หมายเหตุ ในทางปฏิบัติ ผูสอนใหผูเรียนเปนผูสุมขอมูลแตละชุดดวยตนเองตามวิธีการที่ได
กลาวมาขางตน ตัวอยางที่ใหไวนี้ มีไวเพื่อใชยกตัวอยางในการอภิปรายในตอน
ตอไปเทานั้น
จากขอมูลที่ได ผูสอนใหผูเรียนแตละกลุมสรางแผนภาพตน -ใบ แลวหาคาเฉลี่ย
เลขคณิต สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และพิสัยของขอมูลที่ได โดยอาจดําเนินการดังนี้
1. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาแผนภาพตน -ใบ ที่เขียนไว แลวประมาณคาเฉลี่ย
เลขคณิตวาควรมีคาเทาใด เชน
ขอมูลจากชุดที่ 1
3 9
4 2 4 5 8 8 8 9
5 0 1 1 3 4 5 5 7 8 9
6 4 6
จากขอมูลในแผนภาพตน -ใบ ของชุดที่ 1 ผูเรียนควรประมาณวา คา X ควร
มีคาใกลเคียงกับ 50 โดยอาจมีคามากกวา 50 เล็กนอย เนื่องจากขอมูลสวนใหญอยูในชวง
50 – 59 และขอมูลที่มีคามากกวา 50 มี 11 จํานวน ซึ่งมากกวาขอมูลที่มีคานอยกวา 50
ที่มี 8 จํานวน จากนั้นผูสอนใหผูเรียนหาคา X , มัธยฐาน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ
พิสัยจากคาจริง ซึ่งจะได
X = 51.8 มัธยฐาน เทากับ 51
s = 6.95 และ พิสัย เทากับ 66 – 39 = 27
ผูสอนใหผูเรียนกลุมอื่นประมาณคา X โดยใชวิธีการเชนเดียวกับที่กลาว
มาแลว เชน จากขอมูลของชุดที่ 3

7. 15
ขอมูลจากชุดที่ 3
4 4 4 5 6 7 7 7
5 0 5 6 8 8 9
6 0 0 2 4
7 2 9
8 0
จะเห็นวา ขอมูลที่มีคานอยกวา 60 มีทั้งหมด 13 คา ซึ่งนาจะมีคาประมาณ
50 × 13 หรือ 650 และคาที่มากกวาหรือเทากับ 60 คะแนน มี 7 คา ซึ่งนาจะมี
คาประมาณ 65 × 7 หรือ 455 และเมื่อนําผลรวมจากคาประมาณซึ่งเทากับ 650 + 455
หรือ 1105 มาหาคาเฉลี่ย จะไดคา X ซึ่งเปนคาประมาณเทากับ 1105 ÷ 20 หรือ
55.25
เมื่อหาคา X , มัธยฐาน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และพิสัยโดยการคํานวณ
จากคาจริง จะได
X = 56.65 มัธยฐาน เทากับ 56 58
2
+
= 57
s = 10.98 และ พิสัย เทากับ 80 – 44 หรือ 36
ผูสอนใหผูเรียนกลุมอื่น ๆ ทํากิจกรรมเชนเดียวกันจนครบทุกกลุม เพื่อให
ผูเรียนฝกวิธีการประมาณคา X โดยพิจารณาจากแผนภาพตน -ใบ และใชทักษะ
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่เหมาะสม กิจกรรมที่กลาวมานี้ไมไดเนนความถูกตอง
เรื่องการประมาณคาแตตองการใหผูเรียนมองภาพความสัมพันธของขอมูลโดยใชแผนภาพ
ตน -ใบ และฝกทักษะการวิเคราะหขอมูลเบื้องตน
2. เมื่อผูเรียนหาคา X ของขอมูลไดแลว ใหผูเรียนแตละกลุมพิจารณาวา ขอมูล
แตละตัวในขอมูลตัวอยางของกลุมตางจากคา X มากหรือนอยเพียงใด จากนั้นจึงให
สองกลุมใด ๆ จับคูกันแลวพิจารณาโดยใชการประมาณคาและอธิบายเหตุผลวา ขอมูล
ของกลุมใดควรจะมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกวากัน เมื่อไดขอสรุปแลวใหผูเรียนหา

8. 16
สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยการคํานวณจากสูตรเพื่อพิจารณาวาขอสรุปที่ไดจากการ
ประมาณใกลความจริงมากหรือนอยเพียงใด
3. ในกรณีที่มีเครื่องคิดเลขที่สามารถหาคาสถิติเบื้องตนได ผูสอนใหผูเรียน
หาคา µ และ σ ของประชากรที่กําหนดให (ในกรณีที่ไมมีเครื่องคิดเลขใหผูสอนบอก
คาดังกลาวแกผูเรียน) แลวใหผูเรียนชวยกันพิจารณาวา ขอมูลของผูเรียนแตละกลุมมี
คาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานแตกตางจากคาดังกลาวของประชากรมาก
นอยเพียงใด
การสุมตัวอยางที่กลาวมา ผูสอนอาจจะใหผูเรียนทํากิจกรรมซ้ํา โดยใหสุมตัวอยาง
เพิ่มเติมจาก 20 ตัวอยาง เปน 50 หรือ 100 ตัวอยาง เพื่อใหไดจํานวนตัวอยางเพิ่มมากขึ้น
แลวพิจารณาใหมวา ขอสรุปจากจํานวนตัวอยางที่มากขึ้นจะทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิต และ
สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ไดจากตัวอยางใกลเคียงกับคาที่ไดจากประชากรมากขึ้นหรือไม
แมวาขอสรุปที่ไดจากการทํากิจกรรมที่กลาวมาในตัวอยาง จะไมไดใชวิธีการสถิติ
ขั้นสูงและไมสามารถใหขอสรุปในกรณีทั่วไปไดก็ตาม แตการใชกิจกรรมนี้มีจุดประสงค
ที่จะแสดงใหผูเรียนไดมองเห็นความสัมพันธระหวางคาสถิติของขอมูลตัวอยางที่เลือก
ขึ้นมาโดยการสุม กับคาสถิติของประชากร โดยผูสอนควรบอกใหผูเรียนไดทราบวา
ในทางปฏิบัติ การที่จะเลือกตัวอยางขึ้นมาจากประชากรใดนั้นจะตองอาศัยความรูทางดาน
คณิตศาสตร และสถิติอีกมากซึ่งผูเรียนจะไดเรียนเมื่อเลือกเรียนวิชาสถิติใน
ระดับอุดมศึกษา
กิจกรรมที่ 2
จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนเขาใจความหมายของคากลางและการกระจายของขอมูล
ขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม
1. ผูสอนตั้งคําถามใหผูเรียนดังนี้
ถามีขอมูลสองชุดที่มีคาเฉลี่ยเทากันแลว จะบอกไดหรือไมวาขอมูลที่มีคาเฉลี่ย
เลขคณิตเทากันจะตองมีขอมูลที่มีการกระจายใกลเคียงกัน โดยใหผูเรียนตอบโดย
ยกตัวอยางเพื่อแสดงเหตุผลประกอบ

9. 17
ในกรณีที่ผูเรียนไมสามารถยกตัวอยางเพื่อแสดงเหตุผลประกอบคําตอบได ให
ผูสอนยกตัวอยางขอมูลที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากันหลาย ๆ ตัวอยางเพื่อใหผูเรียนสรุป
คําตอบ เชน ผูสอนยกตัวอยางขอมูล 4 ชุด ซึ่งแตละชุดประกอบดวยขอมูล 5 จํานวน
และมี X เทากับ 5 ดังนี้
ชุดที่ 1 ชุดที่ 2 ชุดที่ 3 ชุดที่ 4
1 1 1
4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6
9 9 9
2. ผูสอนแนะนําใหผูเรียนหาพิสัยของขอมูลแตละชุด เพื่อแสดงวาคาดังกลาว
สามารถบอกลักษณะของขอมูลไดอยางคราว ๆ วามีการกระจายมากนอยเพียงใด
จากนั้นผูสอนจึงสรุปใหผูเรียนทราบวา การใชคากลางซึ่งในที่นี้ใชคาเฉลี่ยเลข
คณิต ไมสามารถบอกลักษณะการกระจายของขอมูลที่กําหนดใหได แตเราอาจใชพิสัย
เพื่อบอกลักษณะการกระจายของขอมูลอยางคราว ๆ ได
3. ผูสอนตั้งคําถามกับผูเรียนตอวา ถามีขอมูลสองชุดที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและพิสัย
เทากันแลว ขอมูลทั้งสองชุดจะตองเหมือนกันหรือมีลักษณะใกลเคียงกันหรือไม โดยให
ผูเรียนยกตัวอยางประกอบเหตุผลในการตอบ
ในกรณีที่ผูเรียนไมสามารถยกตัวอยางได ผูสอนอาจแสดงตัวอยางตอไปนี้
เพื่อใหผูเรียนเขาใจวา พิสัยสามารถบอกลักษณะการกระจายของขอมูลไดอยางคราว ๆ
เทานั้น
ชุดที่ 1 ชุดที่ 2 ชุดที่ 3
1 1 1 1
4 2
5 5 5
6 8
9 9 9 9

10. 18
4. ผูสอนแนะนําวิธีการวัดการกระจายของขอมูล โดยใชการเฉลี่ยความแตกตาง
ของขอมูลแตละคาจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งวิธีที่นิยมใชกันทั่วไปคือการใชสวนเบี่ยงเบน
มาตรฐานตามวิธีการในหนังสือเรียน
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. จากตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียน 100 คน ตอไปนี้
1) จงสรางตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมนี้
2) จากตารางแจกแจงความถี่สะสมในขอ 1) จงหาวามัธยฐานของขอมูลชุดนี้อยู
ในชวงคะแนนใด
3) จงหารอยละของจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 51 คะแนน
คะแนน จํานวนนักเรียน
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
2
3
5
11
15
23
26
15
รวม 100
2. ขอมูลในลักษณะใดตอไปนี้ที่ไมควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตในการหาคากลาง
1) ความเร็วของรถยนต (กิโลเมตร / ชั่วโมง)
2) เพศ (ชาย หญิง)
3) อายุ (ป)
4) ระดับคะแนน (1, 2, 3, 4, 5)
5) น้ําหนัก (ต่ํากวามาตรฐาน อยูในเกณฑมาตรฐาน
เกินมาตรฐาน)

11. 19
3. จากขอมูลที่กําหนดให
3 15 21 30 9
11 4 18 21 30
30 14 5 11 22
23 13 12 5 13
12 21 4 13 8
1) จงสรางแผนภาพตน-ใบ
2) จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของขอมูลชุดนี้
4. ขอมูลที่เปนเวลาที่คนไขใชในการรอพบแพทยในโรงพยาบาลแหงหนึ่งเปนดังนี้
เวลา (นาที)
0
1
2
3
3 9 4 5 5 4 8
5 1 8 4 1 3 2 3 2 3
1 1 2 3 1
0 0 0
1) จงหา เวลาที่นานที่สุดที่คนไขตองรอพบแพทย
2) เวลาที่คนไขตองรอพบแพทยต่ํากวา 10 นาที มีกี่เปอรเซ็นตของขอมูลทั้งหมด
3) จงหามัธยฐานของขอมูลชุดนี้
5. จากตารางแผนภาพตน-ใบ ที่แสดงอายุของนักทองเที่ยวที่เดินทางมาเที่ยวเกาะชาง
ตอไปนี้
อายุ (ป)
0 6 7
3 9 3 4 6 6
4 0 0 1 2 2 2 4 7
5 3 5 8 1 3 2 1
6 1 1 2

12. 20
จงหา
1) จํานวนนักทองเที่ยวกลุมนี้
2) อายุที่นอยที่สุด และอายุที่มากที่สุดของนักทองเที่ยวกลุมนี้
3) คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของอายุของนักทองเที่ยวกลุมนี้
6. จากผลการสอบวิชาคณิตศาสตร นัทไดคะแนนเทากับเปอรเซ็นไทลที่ 65 ขอความใด
ตอไปนี้ถูกตอง
1) นัทสอบไดคะแนน 65%
2) 35% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนเทากับหรือนอยกวาคะแนนที่นัทได
3) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนมากกวาคะแนนของนัท
4) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนนของนัท
7. ในการสอบครั้งหนึ่งมีผูเขาสอบทั้งหมด 280 คน ถาเปอรเซ็นไทลที่ 75 ของคะแนน
สอบครั้งนี้คือ 84 จงหาวา มีนักเรียนกี่คนที่สอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ
84 คะแนน
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. 1)
คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
2
3
5
11
15
23
26
15
2
5
10
21
36
59
85
100

13. 21
2) มัธยฐานอยูในชวงคะแนน 71 – 80
3) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 51 คะแนน มี 10
100
100
× = 10%
2. ขอมูลที่ไมควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตในการหาคากลาง ไดแก
2) เพศ (ชาย, หญิง)
5) น้ําหนัก (ต่ํากวามาตรฐาน, อยูในเกณฑมาตรฐาน, เกินมาตรฐาน)
3. 1) 0 3 4 4 5 5 8 9
1 1 1 2 2 3 3 3 4 5 8
2 1 1 1 2 3
3 0 0 0
2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 14.72
มัธยฐาน คือ 13
ฐานนิยม สําหรับขอมูลชุดนี้อาจกลาวไดวาไมมีฐานนิยมเพราะมีคาที่มีความถี่
เทากันมากกวาสองคา ไดแก 13, 21 และ 30
4. 1) 30 นาที
2) 28%
3) 13 นาที
5. 1) 25 คน
2) อายุนอยที่สุด คือ 6 ป
อายุมากที่สุด คือ 62 ป
3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 43.44
มัธยฐาน คือ 42
ฐานนิยม คือ 42

14. 22
6. ขอ 4) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนนของนัท
7. คะแนน 84 คะแนนคือคะแนนในตําแหนง P75
นั่นคือ ถามีนักเรียน 100 คน จะมี 75 คนที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 84
ดังนั้น เมื่อมีนักเรียน 280 คน จะมีนักเรียน 75
280
100
× = 210 คนที่ไดคะแนน
นอยกวาหรือเทากับ 84 คะแนน
เฉลยแบบฝกหัด
เฉลยแบบฝกหัด 2.1
1. 1)
ยอดเงินที่จาย (บาท) จํานวนลูกคา
ต่ํากวา 100
100 – 199
200 – 299
300 – 399
400 – 499
500 – 599
600 – 699
2
4
11
13
14
5
1
2) 400 – 499 บาท
3) มากกวา 1 คน
4) ประมาณจํานวนเงินในชวงต่ํากวา 100 ใหเทากับ 50 บาท หาคากึ่งกลางของ
แตละอันตรภาคชั้นและประมาณจํานวนเงินที่ลูกคาจายโดยใชจุดกึ่งกลาง

15. 23
จุดกึ่งกลาง จํานวนลูกคา จํานวนเงิน
50
149.5
249.5
349.5
449.5
549.5
649.5
2
4
11
13
14
5
1
50 × 2
149.5 × 4
249.5 × 11
349.5 × 13
449.5 × 14
549.5 × 5
649.5 × 1
รวม 17,676
ลูกคาทั้ง 50 คนใชเงินในการซื้อสินคาประมาณ 17,676 บาท
2. จากตารางแจกแจงความถี่สะสมที่กําหนดให จะไดตารางแจกแจงความถี่ดังนี้
อายุ (ป) ความถี่ (คน)
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
2
15
10
5
0
3
รวม 35
1) จากตารางแจกแจงความถี่ที่ได คนที่มีอายุอยูในชวง 10 - 19 ป มี 2 คน ชวง
20 – 29 ป มี 15 คน ชวง 30 – 39 ป มี 10 คน ชวง 40 – 49 ป มี 5 คน ไมมีคน
ที่มีอายุอยูในชวง 50 – 59 ป และคนที่มีอายุอยูในชวง 60 – 69 ป มี 3 คน
2) 20 – 29 ป

16. 24
3. 1) 80 – 89 คะแนน มี 8 คน
60 – 89 คะแนน มี 49 คน
2) 3 คน
3) 70 – 79 คะแนน
4) 31 คน
4. 1) เนื่องจากคาต่ําสุดของขอมูลคือ 345 คน และสูงสุดคือ 730 คน
สรางตารางแจกแจงความถี่ใหมี 10 อันตรภาคชั้นไดดังนี้
จํานวนประชากร รอยขีด จํานวนหมูบาน
341 – 380
381 – 420
421 – 460
461 – 500
501 – 540
541 – 580
581 – 620
621 – 660
661 – 700
701 – 740
//
//// //
////
//// //// ////
//// //// /
//// //// /
//// //// /
///
/
/
2
7
5
14
11
11
11
3
1
1

17. 25
2)
อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม
341 – 380
381 – 420
421 – 460
461 – 500
501 – 540
541 – 580
581 – 620
621 – 660
661 – 700
701 – 740
2
7
5
14
11
11
11
3
1
1
2
9
14
28
39
50
61
64
65
66
(1) 28 หมูบาน
(2) 48 หมูบาน
(3) จํานวนหมูบานที่มีประชากรอาศัยอยูเกิน 660 คน เทากับ 66 – 64 หรือ
2 หมูบาน ซึ่งคิดเปนรอยละ 2
100
66
× หรือประมาณรอยละ 3
5. 1)
เวลา (t นาที) รอยขีด ความถี่
0 < t ≤ 5
5 < t ≤ 10
10 < t ≤ 15
15 < t ≤ 20
20 < t ≤ 25
25 < t ≤ 30
/
////
//// ////
//// ////
//// /
/
1
5
9
10
6
1
รวม 32

18. 26
2) จากตารางนักเรียนจํานวนมากที่สุดใชเวลาเดินทางมากกวา 15 นาที แตไมเกิน 20
นาที
3 ) จากขอมูลขางตนนาจะสรุปไดวา ที่พักของนักเรียนเหลานี้ไมไกลจากโรงเรียน
มากนัก (ครูกับผูเรียนอาจอภิปรายเพิ่มเติมจากขอมูลก็ได โดยคําตอบและ
คําอธิบายที่ใหควรสมเหตุสมผล และอาจเปนประเด็นใหทําการสํารวจขอมูล
ตอไป)
6. 1)
จํานวนเด็ก (คน) รอยขีด ความถี่
(ครอบครัว)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
////
//// /
//// //// //// ////
//// //
//// //
//
///
/
5
6
19
7
7
2
3
0
1
รวม 50
2) (1) 19 ครอบครัว (2) 25 ครอบครัว (6 + 19)
(3) 11 ครอบครัว (5 + 6) (4) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5)
(5) 20 ครอบครัว (50 – 30) (6) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5)
3) (1) 20
100
50
× หรือ รอยละ 40 (2) 30
100
50
× หรือ รอยละ 60
(3) 20
100
50
× หรือ รอยละ 40 (4) 13
100
50
× หรือ รอยละ 26

19. 27
7. 1)
คะแนน ความถี่ ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสม
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
2
0
6
6
10
13
8
4.44
0
13.33
13.33
22.22
28.89
17.78
2
2
8
14
24
37
45
2) ชวงคะแนน 80 – 89 คะแนน
3) 13.3%
4) 37 คน
5) 17.8%
8. 1) (1) 2,467,839 คน (2) 38,074 คน
(3) 4,954,109 คน (4) 3,794,796 คน
2) (1) 16.53% (2) 1.73%
(3) 24.32% (4) 33.24%
(5) 31.75%
9. 1) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 80 ถึง 89 คะแนน มี 8 คน
นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 60 ถึง 89 คะแนน มี 58 – 9 = 49 คน
2) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรต่ํากวา 50 คะแนน มี 3 คน
3) ชวงคะแนนที่มีจํานวนนักเรียนไดมากที่สุด คือ ชวง 70 – 79 คะแนน
4) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 70 คะแนนขึ้นไป มี 60 – 29 = 31 คน

20. 28
10. 1)
ระดับคะแนน จํานวนนักเรียน
4
3
2
1
ไมผาน
8
13
10
12
2
รวม 45
2) ระดับคะแนน 3
11. 1)
คะแนนสอบ ความถี่ ความถี่สะสม
701 – 800
601 – 700
501 – 600
401 – 500
301 – 400
201 – 300
4
10
15
18
11
2
60
56
46
31
13
2
2) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 700 คะแนน มี 4 คน
จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 301 คะแนน มี 2 คน
จํานวนนักเรียนทั้งสองกลุมเทากับ 6 คน คิดเปนรอยละ 6
100
60
× หรือ 10%
ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด

21. 29
กิจกรรม
กิจกรรมนี้ผูสอนใหผูเรียนแบงกลุมกันกําหนดระดับคะแนนและใหแตละกลุม
มานําเสนอความคิดเห็นของตน เพื่อฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร โดยใชความรู
สถิติในเรื่องที่เรียนมา ทั้งนี้อาจใชคะแนนในโจทยขอ 11 หรือนักเรียนกําหนดคะแนนขึ้น
เองก็ได
เฉลยแบบฝกหัด 2.2.1
1. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของจํานวนบุหรี่ที่ผูปวยสูบในแตละวัน
จํานวนบุหรี่ (มวน) รอยขีด จํานวนผูปวย (คน)
7 – 9
10 – 12
13 – 15
16 – 18
19 – 21
/
////
////
////
//
1
5
4
4
2
2) ฮิสโทแกรมแสดงจํานวนบุหรี่ที่ผูปวยสูบในแตละวัน
1
0
3
2
5
4
จํานวนบุหรี่ (มวน)
จํานวนผูปวย (คน)
118 14 17 20

22. 30
2. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนักนักเรียน 50 คน
น้ําหนัก รอยขีด ความถี่
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
///
//// ////
//// //// //// //// /
//// //// ///
////
3
9
21
13
4
2) ฮิสโทแกรมแสดงน้ําหนักนักเรียน
3. 1) นักเรียนที่สูงที่สุด สูง 175 เซนติเมตร นักเรียนที่เตี้ยที่สุด สูง 151 เซนติเมตร
ทั้งสองคนมีความสูงแตกตางกัน 24 เซนติเมตร
2) ตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูงของนักเรียน
ความสูง รอยขีด จํานวนนักเรียน
150 – 156
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
175 – 179
//// //
//// //// //// ///
//// ////
//// /
//// ///
/
7
18
10
6
8
1
3
0
9
6
15
12
น้ําหนัก (กิโลกรัม)
จํานวนนักเรียน (คน)
21
18
42 47 52 57 62

23. 31
3) ฮิสโทแกรมแสดงความสูงของนักเรียน
4. 1) 50 ผล
2) 36 ผล คิดเปน 72% ของจํานวนผลสมทั้งหมด
3)
3
0
9
6
15
12
152
ความสูง (ซม.)
จํานวนนักเรียน (คน)
157 162 167 172
21
18
177
2
0
6
4
10
8
64.5 น้ําหนัก (กรัม) / ผล
จํานวนผลสม (ผล)
74.5 84.5 94.5 104.5
12
114.5 124.5 134.5

24. 32
เฉลยแบบฝกหัด 2.2.2
1. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหนํามาจัดเรียงใหมไดดังนี้
19
24 24 24 23
31 35 36 38 34 38 33 36
44 43 47 44 42 49 48
จากขอมูลที่จัดเรียงขางตนนํามาเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้
1 9
2 3 4 4 4
3 1 3 4 5 6 6 8 8
4 2 3 4 4 7 8 9
2) จากแผนภาพตน-ใบ พบวา ในชวง 30 – 39 คะแนนมีจํานวนนักเรียนมากที่สุด
2. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้
0 7 8 9
1 1 2 3 4 6 7 8 8 9
2 2 2 4 5
3 0 2 2 3 4 5
4 1 3 5 6
5 1 6 6
6 1
2) อายุต่ําสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 7 ป
อายุสูงสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 61 ป
3) ผูเขาชมนิทรรศการมีอายุอยูในชวง 10 – 19 ป มากที่สุด

25. 33
3. 1) 12 3 9 9
13 1 2 5 7
14 4 8
15 0 1 1 3 4 4 8 9
16 0 0 1 6
17 0 5 6
18 0 3 5 9
19 8
20 6
2) คนไขมีความดันโลหิตในชวง 150 – 159 มากที่สุด
4. 1) 9 20 20 60 80 90
10 00 40
11 20 40 50 70
12 40 40 60 60 70
13 00 30 50 60 60
14 00 30 60 80
15 20 50 60 70
16 10 80
17 20
18
19 40
20 00 90
9 20 แทน 920
10 00 แทน 1000

26. 34
2) พนักงานไดรับเงินสมทบในชวง 900 – 990 บาท 1200 – 1290 บาท และ
1300 – 1390 บาท ชวงละ 5 คนเทากัน จึงอาจกลาวไดวาไมมีชวงจํานวนเงินใดที่
มีพนักงานจํานวนมากที่สุดไดรับเงินในชวงนั้น
3) พนักงานที่ไดรับเงินสมทบในชวงต่ําสุด มี 5 คน ซึ่งมากกวาพนักงานที่ไดรับเงิน
สมทบในชวงสูงสุด 3 คน
5. 1) 25 คน
2) เวลาที่นอยที่สุด 41 นาที
เวลาที่มากที่สุด 90 นาที
6. มี 11 คน หรือคิดเปน 11
100
25
× หรือ 44%
7. 1) 0 5 5
1 0 0 5 5
2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5
3 0 0 0 0 5
4 0 5 5
2) 20 – 29 นาที
8. 1) 9 0 5 8
10 4 4 5 6
11 1 2 3 7
12 2 2 3 4 5 8 8
13 1 2 3 4 5 9 9
2) มี 14
100
25
× หรือ 56%

27. 35
9. 1) คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงมากที่สุด คือ 6.6 เมตร
คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงนอยที่สุด คือ 2.4 เมตร
2) จํานวนนักเรียนที่ประมาณความสูงของตนไมต่ํากวา 4 เมตร มี 12
100
30
× = 40%
เฉลยแบบฝกหัด 2.3
1. เนื่องจากมีนักเรียน 9 คน ที่ไดคะแนนสอบนอยกวาหรือเทากับ 25 คะแนน
และ คะแนน 25 คะแนนเปนคะแนนในตําแนง P25
ดังนั้น นักเรียน 9 คน คิดเปนรอยละ 25 ของจํานวนนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด
ถาใหจํานวนนักเรียนทั้งหมด คือ N คน จะได 25
N
100
× = 9 ซึ่งได N = 36
นั่นคือ มีนักเรียนเขาสอบครั้งนี้ทั้งหมด 36 คน
หมายเหตุ อาจมีนักเรียนบางคนคิดวา P25 คือคะแนนของนักเรียนในตําแหนงที่ 9 แลว ใชสูตร
เขียนสมการ 25(N+1) = 9
100
จะไดวา N = 35 และตอบวามีนักเรียนเขาสอบทั้งหมด
35 คน การตอบเชนนี้ก็ถือวาเปนคําตอบที่ถูกตองเชนกัน เพราะคะแนน 25 ซึ่งเปน
คะแนนของตําแหนง P25 อาจเปนคะแนนของนักเรียนคนที่ 9 หรืออยูระหวาง
คะแนนของคนที่ 9 และคนที่ 10 ก็ได และถาคะแนน 25 เปนคะแนนของคนที่ 9 ก็
จะไดวามีนักเรียนเขาสอบ 35 คน แตถาคะแนนนั้นเปนคะแนนระหวางคนที่ 9 และ
คนที่ 10 ก็จะไดวามีนักเรียนเขาสอบ 36 คน ดังนั้นเมื่อนักเรียนตอบ 35 หรือ 36 คน
ก็ถือวาตอบถูกตองทั้งคู ขึ้นอยูวานักเรียนมีกระบวนการคิดเชนไร
2. คะแนนในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 40 เทากับ 78 คะแนน และมีนักเรียน 8 คนที่
ไดคะแนนเทากับหรือนอยกวา 78 คะแนน
จาก 40
N 8
100
× = จะได N = 20
ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 78 คะแนน อยู 20 – 8 หรือ 12 คน
3. เนื่องจาก 20
100
25
× = 80%
ดังนั้น คะแนน 92 คะแนนอยูในเปอรเซ็นไทลที่ 80

28. 36
4. 80% ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนเตาไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนน
ที่เตาได
5. 6 คน
6. เนื่องจากรอยละ 68 ของนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด 25 คน เทากับ 68
25
100
× หรือ 17
คน ดังนั้น คะแนนที่อยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 68 คือ 88 คะแนน
7. จากขอมูลที่กําหนดให สรางแผนภาพตน-ใบไดดังนี้
3 0 4 9
4 0 7 9
5 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 7 8 8 9
6 0 1 3 4 4 9 9 9
7 0 1
จากแผนภาพตน-ใบ
1) นักเรียนตองสอบได 52 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้
ประมาณรอยละ 30 หรือประมาณ 10 คน จาก 32 คน
นักเรียนตองสอบได 56 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้
ประมาณรอยละ 55 หรือประมาณ 18 คน จาก 32 คน
2) นักเรียนตองสอบได 54 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้
ประมาณ 4 ใน 10 หรือประมาณ 13 คน จาก 32 คน
นักเรียนตองสอบได 69 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้
ประมาณ 9 ใน 10 หรือประมาณ 29 คน จาก 32 คน
3) นักเรียนตองสอบได 63 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาอยู 3 ใน 4
หรือประมาณ 24 คน จาก 32 คน

29. 37
เฉลยแบบฝกหัด 2.4
1. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8
มัธยฐาน คือ 8
ฐานนิยม คือ 8
ขอความที่เปนจริงสําหรับขอมูลชุดนี้คือ ขอความ 2) และขอความ 4)
2. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 40
มัธยฐาน คือ 40
ดังนั้น ขอความ 2) ถูกตอง
3. ขอมูลทั้งหมด 7 จํานวน มีคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 81
จะได ผลรวมของขอมูลทั้ง 7 จํานวน คือ 81 × 7 = 567
ตัดขอมูลออกไป 1 จํานวน คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 78
จะไดผลรวมของขอมูล 6 จํานวน คือ 78 × 6 = 468
นั่นคือ ขอมูลที่ถูกตัดออกไปมีคา 567 – 468 = 99
4. 1) X = 3 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 3
2) X = 3 มัธยฐาน = 2 ฐานนิยม = 1
3) X = 2 มัธยฐาน = 1 ฐานนิยม = 1
4) X = 4 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 1
จะได ขอมูลชุด 1) ที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมเทากัน
5. คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักนักเรียนสามคน คือ 38 กิโลกรัม
จะไดผลรวมของน้ําหนักของนักเรียนสามคน เทากับ 38 × 3 = 114 กิโลกรัม
มีนักเรียนหนึ่งคนในกลุมนี้หนัก 46 กิโลกรัม
ดังนั้น อีกสองคนที่เหลือมีน้ําหนักรวมกัน 114 – 46 = 68 กิโลกรัม
แตสองคนที่เหลือมีน้ําหนักเทากัน
จะไดวา แตละคนมีน้ําหนัก 68
2
= 34 กิโลกรัม

30. 38
6. ตองการคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ 4 ครั้งเปน 85 คะแนน
จะไดผลรวมของคะแนนสอบ 4 ครั้ง เทากับ 85 × 4 = 340 คะแนน
สอบ 3 ครั้ง เจี๊ยบไดคะแนน 78, 89 และ 82 คะแนน
ดังนั้น สอบครั้งที่ 4 เจี๊ยบตองไดคะแนน 340 – (78 + 89 + 82) = 91 คะแนน
7. มัธยฐาน คือ 87 ซึ่งตองอยูเปนอันดับที่ 3 ของขอมูลที่เรียงคะแนนจากนอยไปมาก
ฐานนิยมคือ 80 ซึ่งนอยกวามัธยฐาน ดังนั้นขอมูลมี 80 อยู 2 จํานวน
คาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 86 จะไดผลรวมของขอมูลทั้ง 5 จํานวนเปน 86 × 5 = 430 คะแนน
นั่นคือ ขอมูลอีก 2 จํานวน ตองมีผลรวมเปน 430 – (87 + 80 + 80) = 183 คะแนน
ขอมูลที่อยูถัดจากมัธยฐานไปจะมีคานอยที่สุดที่เปนไปไดคือ 88 คะแนน
ดังนั้น คะแนนสอบสูงสุดที่เปนไปไดคือ 183 – 88 = 95 คะแนน
8. คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน คือ 360
จะได ผลรวมของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน เทากับ 360 × 5 = 1800
สองจํานวนสุดทาย คือ 102 และ 99
นั่นคือ ผลรวมของจํานวนเต็มบวกอีกสามจํานวน ที่เหลือจะเปน
1800 – (102 + 99) = 1599
และมีการเรียงลําดับจํานวนจากมากไปนอย นั่นคือ สองจํานวนกอนหนา คะแนนสูงสุด
จะมีคานอยสุดที่เปนไปไดคือ 102 กับ 102
ดังนั้น จํานวนมากที่สุดที่เปนไปไดคือ 1599 – (102 + 102) = 1395
9. คาเฉลี่ยเลขคณิตของหาวิชา ตองได 90 เปนอยางนอย
จะไดผลรวมของคะแนนหาวิชา อยางนอยตองเทากับ 90 × 5 = 450 คะแนน
ผลการสอบ 4 ครั้ง เกงสอบได 85, 89, 87 และ 96 คะแนน
ดังนั้น ครั้งที่ 5 เกงตองไดคะแนนอยางนอย 450 – (85 + 89 + 87 + 96) = 93 คะแนน
10. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8
จะได ตัวเลขที่สุมไดที่มากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 10 กับ 13
ดังนั้น ความนาจะเปน เทากับ 2
6
= 1
3

31. 39
2) มัธยฐานเทากับ 7 8
2
+
= 7.5
จะไมมีตัวเลขที่สุมไดที่มีคาเทากับมัธยฐาน
ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะสุมไดตัวเลขที่เทากับ มัธยฐานจึงเปน 0
11. คาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 17 14 11 6 x
5
+ + + +
= 48 x
5
+
แยกกรณีพิจารณาคา x
กรณีที่ 1 ถา x ≤ 11
มัธยฐานคือ 11
จะได 48 x
5
+
= 11
x = 55 – 48 = 7
กรณีที่ 2 ถา 11 < x < 14
มัธยฐานคือ x
จะได 48 x
5
+
= x
48 + x = 5x
x = 12
กรณีที่ 3 ถา x ≥ 14
มัธยฐานคือ 14
จะได 48 x
5
+
= 14
x = 70 – 48 = 22
นั่นคือ x มีคาเทากับ 7, 12 และ 22 จะทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของ
ขอมูลมีคาเทากัน
12. 1) ควรใชมัธยฐานเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ เพราะจากแผนภาพขอมูลสวนใหญ
อยูในชวง 3 – 29 และขอมูลมีการกระจายมาก
2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 28
มัธยฐาน คือ 22

32. 40
13. 1) แผนภาพตน-ใบ
12 3 9 9
13 1 2 5 7
14 4 8
15 0 1 1 3 4 4 8 9
16 0 0 1 6
17 0 5 6
18 0 3 5 9
19 8
20 6
2) จากแผนภาพควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนคากลางแทนขอมูลชุดนี้ เพราะขอมูล
ไมกระจายมาก
3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 158.23
มัธยฐาน คือ 154 158
2
+
= 156
ขอสังเกต ขอมูลชุดนี้ไมกระจายมาก ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน
จึงไมแตกตางกันมาก
14. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดควรจะสูงกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของ
คะแนนจริง เนื่องจากคะแนนสวนใหญ (16 จาก 21 จํานวน) มีคาอยูระหวาง
30 – 48 คะแนน ในขณะนี้คะแนนจริงที่มีคาระหวาง 30 – 50 คะแนน
มี 13 จํานวน จาก 21 จํานวน
2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะได คือ 36.43 คะแนน
คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่นักเรียนไดจริง คือ 33.05 คะแนน
ซึ่งคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดมีคาสูงกวาคะแนนที่นักเรียนไดจริง

33. 41
15. 1) จํานวนนักเรียนทั้งหมดที่ทําแบบทดสอบ มี 25 คน
2) เวลาที่มากที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 90 นาที
เวลานอยที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 41 นาที
3) มัธยฐาน คือ 65 นาที
ฐานนิยม คือ 71 นาที
16. 1) นักเรียนที่สูงที่สุดสูง 172 เซนติเมตร
2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูง คือ 157.6 เซนติเมตร
มัธยฐาน คือ 159 เซนติเมตร
3) นักเรียนที่สูงมากกวา 169 เซนติเมตร มี 20% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด
17. X = 25.04 กิโลกรัม
มัธยฐาน = 22 กิโลกรัม
ฐานนิยม = 22 กิโลกรัม
เฉลยแบบฝกหักหัด 2.5
1. 1) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย
จะได s ≈ =
7 2
4
−
= 1.25
X = 20
5
= 4
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
จะได s = 4 1 1 9 1
4
+ + + +
= 4 = 2
พิสัย
4

34. 42
2) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย
จะได s ≈ =
37 20
4
−
= 4.25
X = 150
5
= 30
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
s = 100 25 9 1 49
4
+ + + +
= 46
≈ 6.78
3) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
6 1
4
−
= 1.25
X = 33
11
= 3
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 4 0 1 4 1 9 1 4 1 0 1
10
+ + + + + + + + + +
≈ 2.60 ≈ 1.61
4) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
12 2
4
−
= 2.5
X = 60
12
= 5
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 4 49 0 1 4 9 1 0 1 0 0 1
11
+ + + + + + + + + + +
≈ 6.3636 ≈ 2.52
พิสัย
4

35. 43
5) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
15 5
4
−
= 2.5
X = 60
6
= 10
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 25 9 1 1 9 25
5
+ + + + +
≈ 14 ≈ 3.74
6) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
95 74
4
−
= 5.25
X = 588
7
= 84
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 16 25 121 4 16 64 100
6
+ + + + + +
≈ 57.67 ≈ 7.59
7) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
75 42
4
−
= 8.25
X = 580
10
= 58
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร
s = 256 169 100 100 16 4 36 144 256 289
9
+ + + + + + + + +
= 152.22 ≈ 12.34
8) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
21 3
4
−
= 4.5
X = 110
10
= 11
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร
s = 9 100 4 16 25 16 64 9 36 1
9
+ + + + + + + + +
= 31.11 ≈ 5.58

36. 44
9) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
116 99
4
−
= 4.25
X = 763
7
= 109
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 64 36 25 100 9 9 49
6
+ + + + + +
≈ 48.67 ≈ 6.98
10) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
2.5 1.6
4
−
= 0.225
X = 14.7
7
= 2.1
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร
s = 0 0.01 0.04 0.25 0.16 0.01 0.09
6
+ + + + + +
= 0.0933 ≈ 0.306
2. 1) a
2) c
3) d
4) g
5) b
6) e
7) f
3. พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้
1) ขอมูล 0, 10, 20, 30, 40 มี X = 20
5
i
i 1
X X
=
−∑ = 20 + 10 + 0 + 10 + 20
= 60
0 10 20 30 40
× × × × ×

37. 45
2) ขอมูล 0, 0, 20, 40, 40 มี X = 20
5
i
i 1
X X
=
−∑ = 20 + 20 + 0 + 20 + 20
= 80
3) ขอมูล 0, 19, 20, 21, 40 มี X = 20
5
i
i 1
X X
=
−∑ = 20 + 1 + 0 + 1 + 20
= 42
พิจารณาจากคา
5
i
i 1
X X
=
−∑ ของขอมูลแตละชุด พบวา ขอมูลในขอ 2) ควรมี
การกระจายมากที่สุด และขอมูลในขอ 3) ควรมีการกระจายนอยที่สุด
และเมื่อหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตรพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ขอมูลในแตละขอมีดังนี้
1) s = 15.81 2) s = 20 3) s = 14.16
4. 1) ขอมูล 5, 5, 5, 5, 5, 5 มี X = 5
จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวไมแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต
ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้จะเทากับ 0
2) ขอมูล 10, 10, 10, 20, 20, 20 มี X = 15
จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 5 และ iX X− = 5
พิจารณาคา
6
i
i 1
X X
6
=
−∑
ของขอมูลชุดนี้ซึ่งเทากับ 6 5
6
×
หรือ 5
แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5
จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47
0 10 20 30 40
×
×
× ×
×
0 10 20 30 40
×× ×× ×

38. 46
3) ขอมูล 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 มี X = 14
พิจารณาคา
9
i
i 1
X X
9
=
−∑
ของขอมูลชุดนี้ ซึ่งเทากับ
8 6 4 2 0 2 4 6 8
9
+ + + + + + + +
≈ 4.4
แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5
จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47
4) ขอมูล 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 มี X = 25
พิจารณาคา
9
i
i 1
X X
9
=
−∑
ของขอมูลชุดนี้ ซึ่งเทากับ
20 15 10 5 0 5 10 15 20
9
+ + + + + + + +
= 100
9
≈ 11.11
แสดงวา ขอมูลชุดนี้ไมควรมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานใกลเคียงกับ 5
จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 13.69
5. ขอมูลชุดแรก 16, 23, 34, 56, 78, 92, 93 มี X = 56
ขอมูลชุดที่สอง 20, 27, 38, 60, 82, 96, 97 มี X = 60
พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้
ชุดแรก
X 60=
ชุดที่สอง
15 25 35 45 55 65 75 85 95 105
X 56=
19 29 39 49 59 69 79 89 99 109
× × × × × ××
× × × × × ××

39. 47
จากแผนภาพจะเห็นวา ขอมูลทั้ง 2 ชุด มีการกระจายจากคาเฉลี่ยเลขคณิต (X )
ในลักษณะที่ใกลเคียงกัน ดังนั้น ถาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดแรกมีคา 30
(โดยประมาณ) สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดที่สองควรจะมีคา 30 (โดยประมาณ)
ดวย หาคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลทั้งสองชุด โดยใชสูตรไดดังนี้
ขอมูลชุดแรก s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
s = 1600 1089 484 0 484 1296 1369
6
+ + + + + +
= 6322
6
≈ 32.46
ขอมูลชุดที่สอง s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
s = 1600 1089 484 0 484 1296 1369
6
+ + + + + +
= 6322
6
≈ 32.46
จากการคํานวณคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ขอมูลทั้งสองชุดนี้เทากัน
6. 1) X = 201
10
= 20.1
2) s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
= 0.01 0.01 1.21 0.81 0.81 4.41 0.01 3.61 8.41 9.61
9
+ + + + + + + + +
= 28.9
9
≈ 1.79

40. 48
3) ถาขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน ขอมูลชุดนี้ควรจะมีการ
กระจายแบบสมมาตร
7. 1) X = 51 และ s = 2.26
2) เนื่องจากการสุมชั่งน้ําหนักมันสําปะหลัง 15 กระสอบ พบวา
คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม
ดังนั้น ถาใหน้ําหนักของมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม
รถบรรทุกซึ่งบรรทุกน้ําหนักไดไมเกิน 5 ตัน (5,000 กิโลกรัม) จึงควรบรรทุก
มันสําปะหลังไดไมเกินคันละ 5000
51
หรือ 98 กระสอบ
เฉลยคําถามเพิ่มเติม
1. 1) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/1
คาต่ําสุด คือ 60 คาสูงสุดคือ 100
และ Q1 = 67, Q2 = 75 และ Q3 = 88
ดังนั้น 25% ของนักเรียนหอง 5/1 ที่ไดคะแนนอยูในกลุมต่ําสุด อยูในชวง
คะแนน 60 – 67 โดยมีคะแนนต่ําสุด 60 และคะแนนสูงสุด 67 คะแนน
2) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/2
60
67 75 88
100
64
77 85 91
98

41. 49
คาต่ําสุดคือ 64 คาสูงสุดคือ 98
และ Q1 = 77, Q2 = 85 และ Q3 = 91
ดังนั้น นักเรียนหอง ม. 5/2 ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 91 คะแนน
มีประมาณ 25%
3) มีนักเรียนหอง ม. 5/1 อยู 50% ที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 75 คะแนน
4) มีนักเรียนหอง ม. 5/2 อยู 75% ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 77 คะแนน
5) ถาผูสอนใหระดับคะแนน 4 แกผูสอบที่ไดคะแนนตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป
จากแผนภาพกลองพบวา นักเรียนหอง ม.5/2 มีผูที่สอบไดคะแนน 80 คะแนน
ซึ่งไดระดับคะแนน 4 เกิน 50% ในขณะที่หอง ม.5/1 มีนักเรียนที่ไดคะแนน
ตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป ไมถึง 50% (เนื่องจาก Q2 เทากับ 75 คะแนน)
ดังนั้น หอง ม.5/2 ควรจะมีผูที่ไดระดับคะแนน 4 มากกวาหอง ม.5/1
2. เปนไปไมไดที่แผนภาพที่สามจะแทนคะแนนเฉลี่ยจากการสอบทั้งสองครั้งของ
นักเรียนแตละคนในกลุมนี้ เพราะคะแนนสูงสุดของแผนภาพที่สาม ไมใชคะแนน
เฉลี่ยสูงสุดของนักเรียนกลุมนี้ ถึงแมวานักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดจากการสอบทั้งสอง
ครั้งเปนคนเดียวกันก็ตาม
หมายเหตุ ผูสอนอาจใหผูเรียนอภิปรายรวมกันวาถาคะแนนเต็มของการสอบแตละ
ครั้งไมเทากัน เหตุผลขางตนยังเปนไปไดหรือไม