10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากนักเรียนได้เห็นตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 4 ตัวอย่าง แล้ว
ต่อไปจะให้นักเรียนได้เห็นตัวอย่างการแก้ปัญหาในโลกจริง
ตัวอย่าง ในการเล่นว่าวนั้น ถ้าต้องการหาว่าวลอยอยู่สูงจากพื้นดินเท่าไร เราสามารถหาคาตอบ จากการใช้
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ดังนี้
กาหนด A เป็นตาแหน่งของว่าวบนท้องฟ้า
B เป็นตาแหน่งของปลายสายป่านที่มือผู้เล่น
C เป็นตาแหน่งเหนือพื้นดินแนวเดียวกับที่ว่าวลอยอยู่
แล้ว AB2 AC2 BC2 จะได้ AC AB2 BC2
เราจะได้ความสูงของว่าว มีค่าประมาณ AC + ความสูงของผู้เล่น
9
11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากที่กล่าวมาแล้วว่า บทแย้งสลับที่ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นจริง กล่าวคือ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงนั่นเอง
สาหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ
ถ้ากาลังสองของความยาวด้านที่ยาวสุด ไม่เท่ากับ ผลบวกของกาลังสองของความยาวด้านที่เหลือ
แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นจะไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ซึ่งในตอนต่อไป เราจะนาไปใช้ในการตรวจสอบว่า
รูปสามเหลี่ยมใด ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
กล่าวคือ สาหรับรูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ
A ถ้า a มีค่ามากสุด และ a 2 b 2 c 2
แล้ว ABC ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
c b
แต่ถ้า a มีค่ามากสุด และ a 2 b 2 c 2
แล้ว ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือไม่
B a C
หรือกล่าวง่าย ๆ ว่า บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นจริงหรือไม่นั่นเอง
10
16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ
ในหัวข้อนี้จะนิยามอัตราส่วนของด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และก่อนที่จะมีการนิยาม
จะทบทวนเรื่อง ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมกันก่อน
ถ้ารูปสามเหลี่ยมคู่ใด ๆ มีมุมเท่ากันทุกมุม จะกล่าวว่า รูปสามเหลี่ยมคู่นั้น คล้ายกัน
สมบัติของความคล้าย
ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป ABC และ DEF คล้ายกัน
D e
A b
C F
c f
d
a
B E
กล่าวคือ ˆ ˆ ˆ ˆ
ABC DEF , BCA EFD และ ˆ ˆ
CAB FDE
แล้วจะได้ c
a
b
f d e
หรือกล่าวว่า อัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากัน ย่อมมีค่าเท่ากัน นั่นเอง
หมายเหตุ ถ้าทราบว่ารูปสามเหลี่ยมคู่ใดมีมุมเท่ากัน 2 มุม จะได้ว่ามุมที่เหลือย่อมเท่ากันด้วย
นั่นคือ มุมเท่ากันทุกมุม ฉะนั้นรูปสามเหลี่ยมคู่นั้นย่อมคล้ายกัน
15
17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเราจะพิจารณาเฉพาะรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกันก่อน พร้อมทั้งใช้สมบัติคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก และใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จะนิยามอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งขึ้นอยู่กับมุมแหลมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
และในสื่อการสอน มุมมุมนั้นคือ มุม A
เนื่องจาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวกว่าด้านตรงข้ามมุม A ดังนั้น 0 < sin A < 1
และ เนื่องจาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวกว่าด้านประชิดมุม A ดังนั้น 0 < cos A < 1
16
18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื่องจาก 0 < sin A < 1 ดังนั้น cosec A > 1
และ เนื่องจาก 0 < cos A < 1 ดังนั้น sec A > 1
หลังจากการนิยามอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบไปแล้ว จะหาความสัมพันธ์ของ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ โดยเริ่มจากการหาความสัมพันธ์ของไซน์ กับ โคไซน์ กันก่อน
17
19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ
เพิ่มเติมตัวอย่างการหาความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกาหนดอัตราส่วนตรีโกณมิติมาให้
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก
1
1. ถ้าด้าน AC ยาว 5 หน่วย และ sin B = จงหาความยาวด้าน AB
3
AC
วิธีทา A เรามี sin B =
AB
AC 5
5 ดังนั้น AB =
1
= 15 หน่วย
sin B
3
B C
2
2. ถ้าด้าน AB ยาว 5 หน่วย และ cos B = จงหาความยาวด้าน AC และ BC
5
BC
วิธีทา A เรามี cos B =
AB
2
5 ดังนั้น BC = AB cos B = 5 = 2 หน่วย
5
และ AC = AB2 BC2 52 22 21 หน่วย
B C
18
20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างต่อไปจะใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส และความสัมพันธ์ของไซน์กับโคไซน์
ตัวอย่าง กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี A เป็นมุมฉาก และ AD ตั้งฉากกับ BC
2
ถ้า AB ยาว 6 หน่วย และ sin B = จงหาความยาวของ BD, AC และ DC
3
วิธีทา เขียนรูป ABC อย่างคร่าว ๆ
A
6
B D C
AD
เนื่องจาก AB เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ sin B = ดังนั้นเราจะหาความยาวของ AD
AB
2
ได้ AD = AB sin B = 6 = 4 หน่วย
3
หา BD จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส , BD = AB2 AD2 62 42 36 16 20 2 5 หน่วย
BD 2 5 5
จากความสัมพันธ์ของไซน์กับโคไซน์ sin C = cos(90 – C) = cos B =
AB 6 3
AD AD 4 12
แต่ sin C = เราได้ AC = หน่วย
AC sin C 5 5
3
144 8
หา DC จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส , DC = AC2 AD 2 16 หน่วย
5 5
หมายเหตุ เราสามารถใช้สมบัติคล้ายของรูปสามเหลี่ยมหาคาตอบได้เช่นกัน
โดยหา AD = 4 หน่วย และ BD = 2 5 หน่วย ได้ก่อน แล้วหาความยาว AC และ DC ดังนี้
AD BD 4 2 5
พิจารณา ABC กับ ABD , แทนค่าได้
AC AB AC 6
24 12
แล้ว AC = หน่วย
2 5 5
DC AC
พิจารณา ADC กับ ABD ˆ ˆ
, CAD ABD ได้
AD AB
DC 12 48 8
ฉะนั้น ได้ DC = หน่วย
4 56 56 5
19
21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ที่ผ่านมาจะเห็นว่า เราหาอัตราส่วนตรีโกณมิติจากการกาหนดความยาวของด้านมาให้อย่างน้อย 2 ด้าน
1) ถ้ากาหนดความยาวของด้าน 3 ด้าน เราหาอัตราส่วนตรีโกณมิติได้เลย
2) ถ้ากาหนดความยาวของด้าน 2 ด้าน เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ช่วยก่อน
แต่ถ้าไม่กาหนดความยาวด้านมาให้ เพียงกาหนดอัตราส่วนตรีโกณมิติบางค่ามาให้
แล้วเราจะสามารถหาอัตราส่วนตรีโกณมิติที่เหลือได้หรือไม่ เช่น
กาหนด sin A หรือ cos A หรือ tanA แล้วให้หาอัตราส่วนตรีโกณมิติที่เหลือ
20
23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เพิ่มเติมตัวอย่าง
1
ตัวอย่าง จงพิจารณา ABC ซึ่ง sin A = ด้านประชิดมุม A ยาว 4 และ 7 หน่วย
3
จงหาพื้นที่ของ ABC
วิธีทา เขียนรูป ABC อย่างคร่าว ๆ โจทย์ไม่ระบุว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
AC ยาว 4 หน่วย C จากจุด C ลากเส้นตั้งฉากไปพบ AB ที่จุด D
AB ยาว 7 หน่วย ดังนั้น CD เป็นส่วนสูงของ ABC
CD
จาก sin A = ดังนั้น CD = AC sin A = 4 หน่วย
AC 3
1
A D B ฉะนั้น พื้นที่ = AB CD
2
1 4 14
= 7 ตารางหน่วย
2 3 3
22
24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
1. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ต่อไปนี้ จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบของมุม A และมุม B
1.1 A 1.2 A
8 5
5 2
B 39 C B 1 C
1.3 1.4
C C
A
7 6 8
9
A B
B
1.5 B
1.6
A C
5 11 10
B
C 4 A
23
25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก และ a, b, c เป็นความยาวด้านตรงข้าม
มุม A, B, C ตามลาดับ
1
2.1 sin A = a=3 จงหา c
4
5
2.2 cos A = c = 21 จงหา a
7
2.3 tan B = 5 b= 2 5 จงหา c
2.4 cosec A = 2 c= 4 3 จงหา tan B
3. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 รูปต่อไปนี้
A
3.1 ถ้า AG = 12 , AE = 15 และ FG = 8 จงหา DE
F G 3.2 ถ้า BC = 9 , DE = 6 และ AB = 15 จงหา BD
3
D E
3.3 ถ้า sin A = และ DE = 9 จงหา AE
5
3
3.4 ถ้า cos C = และ AC = 6 จงหา AB
5
B C
4. จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติอีก 5 แบบของมุม A เมื่อกาหนด
2
4.1 sin A =
3
12
4.2 cos A =
13
4.3 tan A = 7
5
4.4 cosec A =
2
6
4.5 sec A =
2
1
4.6 cot A =
3
24
28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เขียนตารางแสดงค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 และ 60 ดังนี้
หมายเหตุ นักเรียนสามารถจาขนาดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ไปใช้ในการหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ทั้ง 6 แบบ ของมุม 30 และ 60 ได้โดยง่าย
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป จงหาความยาวด้านตรงข้ามมุม A
C BC BC
วิธีทา เนื่องจาก sin 30 =
AC 10
1
10 ? ดังนั้น BC = 10 sin 30 = 10 × = 5 หน่วย
2
30
A B
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน AC และ BC
BC BC
C วิธีทา เนื่องจาก tan 60 =
AB 7
ดังนั้น BC = 7 tan 60 = 7 3 หน่วย
AB 7
? ? และเนื่องจาก cos 60 =
AC AC
ดังนั้น AC = 7 sec 60 = 7 × 2 = 14 หน่วย
60
A BC 7 B
27
29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเราจะเลือกรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมมุมหนึ่งมีขนาด 45 จะเห็นว่ามุมที่เหลือมีขนาด
180 – 90 – 45 = 45 ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เลือกใช้จะมีมุมเท่ากัน 2 มุม นั่นคือรูปสามเหลี่ยม
หน้าจั่วนั่นเอง และเนื่องจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีด้านเท่ากัน 2 ด้านด้วย ดังนั้นเราจะกาหนดความยาว
ด้านที่เท่ากันนี้ด้วยค่าที่เป็นจานวนเต็มน้อย ๆ โดยเลือกเป็น 1 หน่วย ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือ
ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส แล้วจึงค่อยหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบ สรุปเป็นตารางต่อไปนี้
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน AB และ BC
AC 3
A วิธีทา เนื่องจาก sin 45 =
AB AB
ดังนั้น AB = 3cosec 45 =
3 2 หน่วย
3 และ เนื่องจาก tan 45 = AC 3
BC BC
ดังนั้น BC = 7 cot 45 = 3 × 1 = 3 หน่วย
45
B C
28
30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปเป็นตารางแสดงค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบของมุม 30 45 และ 60 ดังนี้
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน BC และ AC
A
วิธีทา พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD ก่อน
หาความยาว BD และ AD
3 BD BD
เนื่องจาก cos 60 =
AB 3
3
ดังนั้น BD = 3 cos 60 = หน่วย
60 45 2
B D C
AD AD 3 3
เนื่องจาก sin 60 = ดังนั้น AD = 3 sin 60 = หน่วย
AB 3 2
พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC เพื่อหาความยาว DC และ AC
AD 3 3
เนื่องจาก tan 45 = ดังนั้น DC = 3 3 cot 45 = 3 3 หน่วย
DC 2 DC 2 2
และเนื่องจาก sin 45 = AD 3 3 ดังนั้น AC = 3 3 cosec 45 = 3 3 2 = 3 6 หน่วย
AC 2 AC 2 2 2
จะได้ BC = BD + DC = 3 3 3 = 3(1 3) หน่วย
2 2 2
29
32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง น้าฝนอยากทราบว่าบ้านที่เธอกาลังยืนมองอยู่ มีความสูงเท่าไรโดยจะใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วน
ตรีโกณมิติช่วย แต่มีข้อจากัดว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติที่ทราบ ในตอนนี้เป็นอัตราส่วนตรีโกณมิติของ
มุม 30 45 และ 60 เท่านั้น น้าฝนจึงเดินห่างออกจากตัวบ้านนี้ไประยะหนึ่ง แล้วหันกลับไปมองขึ้นไป
บนหลังคาบ้าน ถ้าเธอเดินห่างจากตัวบ้านไป 11 เมตร แล้วมุมเงยที่มองหลังคาบ้านเท่ากับ 60
จากข้อมูลทั้งสองนี้ ทาให้เธอหาความสูงของบ้านหลังนี้ได้ดังนี้
ให้ A เป็นตาแหน่งหลังคาบ้านที่น้าฝนมองอยู่
B เป็นตาแหน่งตัวบ้านแนวเดียวกับระดับสายตาของน้าฝน
C เป็นตาแหน่งที่น้าฝนหยุดมองหลังคาบ้าน
แล้ว BC = 11 เมตร และ BCA = 60
AB
จากความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ ได้ว่า tan 60 =
BC
นั่นคือ AB = BC tan 60 = 11 3 เมตร
จึงสรุปได้ว่าบ้านนี้สูงประมาณ 11 3 + ความสูงของน้าฝน = 19.05 + 1.62 เมตร
= 20.67 เมตร
31
33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง พราวยืนอยู่บนหน้าผาแห่งหนึ่ง เธอมองไปยังทะเลข้างล่าง เห็นเรือลาหนึ่งกาลังแล่นเข้าใกล้
หน้าผาในแนวตั้งฉากกับหน้าผา ตอนแรกมุมก้มของเธอที่มองเรือลานี้เท่ากับ 30 แต่พอเรือแล่นต่อไปอีก
40 เมตร เธอจะมองเห็นเรือลานี้เป็นมุมก้มเท่ากับ 45
จงหาว่าหน้าผาสูงจากระดับน้าทะเลเท่าไร (เนื่องจากหน้าผาสูงมาก เราจะไม่คิดความสูงของพราว)
วิธีทา ให้ A เป็นตาแหน่งบนหน้าผาที่พราวยืนอยู่
B เป็นตาแหน่งที่หน้าผาตรงระดับน้าทะเล
C เป็นตาแหน่งของเรือที่เธอมองเห็นในครั้งแรก
D เป็นตาแหน่งของเรือที่เธอมองเห็นในครั้งหลัง
แล้ว BCA = 30
ˆ และ BDA = 45
ˆ และ DC = 40 เมตร
AB
แล้วพิจารณา ABD , tan 45 = แล้ว BD = AB
BD
AB
แล้วพิจารณา ABC , tan 30 = แล้ว BD + 40 = AB 3
BD 40
40 40
ดังนั้น AB + 40 = AB 3 แล้ว AB = 54.65 เมตร
3 1 0.732
นั่นคือ หน้าผาสูงกว่าระดับน้าทะเล ประมาณ 54.65 เมตร
32
34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
1. จงหาค่า a และ b จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ต่อไปนี้
1.1 C 1.2 1.3
A B
a 5 2
b a
b
30 45
2
60
B a C C b A
A 3 B
2. จงหาค่าของ 2.1 2 sin 30 – cos 45
2.2 cosec 45 + tan 60
2.3 4 sec 30 + 3 cot 45
3. พิจารณารูป หนดให้ AB ยาว 4 หน่วย
A จงหาความยาว AC
45
60
B D C
4. พิจารณารูป กาหนดให้ CD ยาว 3 หน่วย
A
จงหาความยาว BC
30
D
B C
33
38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีมุม B เป็นมุมฉาก
C
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A ทั้ง 6 แบบมีดังนี้
a b
sin A = cosec A =
b b a
a c b
cos A = sec A =
b c
a a
tan A = cot A =
A c B c c
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
37