1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ตรีโกณมิติ
(เนื้อหาตอนที่ 1)
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
โดย
รองศาสตราจารย์ จิตรจวบ เปาอินทร์
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
12. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อ ง ตรีโกณมิติ
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของ
คู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตรีโกณมิติ (อัตราส่วนตรีโกณมิติ)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1 / 8)
หัวข้อย่อย 1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ
3. อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจในทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ พร้อมทั้งนาไปใช้ในการแก้ปัญหาได้
2. เข้าใจความหมายของอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบ
3. สามารถหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกาหนดความยาว
ด้านบางด้านของรูปสามเหลี่ยมมาให้
4. รู้วิธีการหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60 และนาค่าต่าง ๆ ที่ได้ไปใช้แก้ปัญหาได้
ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถ
1. ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้
2. ตรวจสอบได้ว่ารูปสามเหลี่ยมที่กาหนดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
3. หาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกาหนดความยาวด้าน
บางด้านของรูปสามเหลี่ยมมาให้
4. ใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ ในการหาความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
และทฤษฎีบทพีทาโกรัส
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
เราเริ่มด้วยการทบทวนสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกันก่อน
อธิบายเพิ่มเติมจากสื่อการสอนว่า
ด้านตรงข้ามมุมที่ใหญ่กว่าของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ย่อมยาวกว่า ด้านตรงข้ามมุมที่เล็กกว่า เสมอ
ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ย่อมยาวกว่า ด้านที่เหลือ
กล่าวคือ สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก
A
c b ca และ cb
B a C
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเราจะศึกษา ความสัมพันธ์ของความยาวด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อธิบายเพิ่มเติมจากสื่อการสอนว่า
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อาจกล่าวได้อีกแบบหนึ่งว่า
ถ้ารูปสามเหลี่ยมใด เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้ว
กาลังสองของความยาวด้านที่ยาวสุด จะเท่ากับ ผลบวกของกาลังสองของความยาวด้านที่เหลือ
และบทแย้งสลับที่ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งก็คือ
สาหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ
ถ้ากาลังสองของความยาวด้านที่ยาวสุด ไม่เท่ากับ ผลบวกของกาลังสองของความยาวด้านที่เหลือ
แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้น ย่อมไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะเป็นจริงตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้วย
ในตอนแรก จะนาทฤษฎีบทพีทาโกรัส ไปใช้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และหาความยาวด้านใดด้าน
หนึ่ง เมื่อกาหนดความยาวอีก 2 ด้านมาให้
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากนักเรียนได้เห็นตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 4 ตัวอย่าง แล้ว
ต่อไปจะให้นักเรียนได้เห็นตัวอย่างการแก้ปัญหาในโลกจริง
ตัวอย่าง ในการเล่นว่าวนั้น ถ้าต้องการหาว่าวลอยอยู่สูงจากพื้นดินเท่าไร เราสามารถหาคาตอบ จากการใช้
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ดังนี้
กาหนด A เป็นตาแหน่งของว่าวบนท้องฟ้า
B เป็นตาแหน่งของปลายสายป่านที่มือผู้เล่น
C เป็นตาแหน่งเหนือพื้นดินแนวเดียวกับที่ว่าวลอยอยู่
แล้ว AB2  AC2  BC2 จะได้ AC  AB2  BC2
เราจะได้ความสูงของว่าว มีค่าประมาณ AC + ความสูงของผู้เล่น
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากที่กล่าวมาแล้วว่า บทแย้งสลับที่ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นจริง กล่าวคือ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงนั่นเอง
สาหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ
ถ้ากาลังสองของความยาวด้านที่ยาวสุด ไม่เท่ากับ ผลบวกของกาลังสองของความยาวด้านที่เหลือ
แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นจะไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ซึ่งในตอนต่อไป เราจะนาไปใช้ในการตรวจสอบว่า
รูปสามเหลี่ยมใด ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
กล่าวคือ สาหรับรูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ
A ถ้า a มีค่ามากสุด และ a 2  b 2  c 2
แล้ว ABC ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
c b
แต่ถ้า a มีค่ามากสุด และ a 2  b 2  c 2
แล้ว ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือไม่
B a C
หรือกล่าวง่าย ๆ ว่า บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นจริงหรือไม่นั่นเอง
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเราจะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และบทกลับในการตรวจสอบว่า
รูปสามเหลี่ยมที่กาหนดความยาวด้านทั้งสามมาให้ จะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
โดยคานวณว่า กาลังสองของความยาวด้านยาวที่สุด ? ผลบวกของกาลังสองของความยาวด้านที่เหลือ

ถ้าเท่ากัน สรุปได้ว่า เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้าไม่เท่ากัน สรุปได้ว่า ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ต่อไปเป็นตัวอย่างที่ตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมที่กาหนดความยาวด้าน 3 ด้านมาให้ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
หรือไม่
เหตุผลที่ต้องมีการตรวจสอบก่อนว่ารูปสามเหลี่ยมที่กาหนดให้ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือไม่
เนื่องจาก ต่อไปจะมีการนิยาม อัตราส่วนตรีโกณมิติ ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่านั้น
ถ้ารูปสามเหลี่ยมใด ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ตรวจสอบได้) ก็จะต้องสร้างความสัมพันธ์
กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากให้ได้เสียก่อน แล้วค่อยใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกันต่อไป
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
สมบัติของรูปสามเหลียมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
่
1. สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก
ถ้ากาหนดความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมดังนี้ จงหาความยาวด้านที่เหลือ
A
1.1 a=7 , b = 11 , c=?
1.2 a = 5.5 , c = 14.3 , b=? c c b
1.3 b= 4 3 , c= 5 3 , a=?
B a C
2. กาหนดความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ABC มาให้ดังนี้
จงตรวจสอบว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
2.1 a = 1.5 , b = 2 และ c = 2.5 A
2.2 a=6 , b=9 และ c = 12
2.3 a=7 , b = 10 และ c = 13
2.4 a= 2 , b= 3 และ c= 5 c b
2.5 a = 3.5 , b = 8.4 และ c = 9.1
2.6 a=2 , b= 5 และ c= 3
2.7 a= 5 , b=7 และ c= 3 6 B a C
2.8 a=3 , b= 6 และ c= 5
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. อะตอมอยากปีนกาแพงซึ่งสูง 2 เมตรครึ่ง เพื่อเปลี่ยนหลอดไฟ แต่ฐานของกาแพงมีรางปลูกต้นไม้
ขวางอยู่ โดยรางมีความกว้าง 120 เซนติเมตร ดังนั้นเขาจึงต้องใช้บันไดพาดกับกาแพง โดยปลายล่าง
ของบันไดห่างจากกาแพง 130 เซนติเมตร อยากทราบว่าเขาต้องหาบันไดยาวอย่างน้อยเท่าใด
4. แมวตัวหนึ่งขึ้นไปติดอยู่บนต้นไม้ มันลงเองไม่ได้ อัลฟ่าอยากช่วยแมว แต่ก่อนจะปีนขึ้นไปช่วยมัน
เธออยากรู้ว่ามันอยู่สูงจากพื้นดินเท่าไร เธอจึงนาบันไดซึ่งยาว 3 เมตร มาพาดกับต้นไม้ โดยปลายบนของ
บันไดอยู่ที่แมวพอดี ปลายล่างของบันไดห่างจากโคนต้นไม้ในแนวเดียวกับที่แมวอยู่เท่ากับ 1.5 เมตร
จงหาว่าแมวสูงจากพื้นดินเท่าไร
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ
ในหัวข้อนี้จะนิยามอัตราส่วนของด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และก่อนที่จะมีการนิยาม
จะทบทวนเรื่อง ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมกันก่อน
ถ้ารูปสามเหลี่ยมคู่ใด ๆ มีมุมเท่ากันทุกมุม จะกล่าวว่า รูปสามเหลี่ยมคู่นั้น คล้ายกัน
สมบัติของความคล้าย
ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป ABC และ DEF คล้ายกัน
D e
A b
C F
c f
d
a
B E
กล่าวคือ ˆ ˆ ˆ ˆ
ABC  DEF , BCA  EFD และ ˆ ˆ
CAB  FDE
แล้วจะได้ c

a

b
f d e
หรือกล่าวว่า อัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากัน ย่อมมีค่าเท่ากัน นั่นเอง
หมายเหตุ ถ้าทราบว่ารูปสามเหลี่ยมคู่ใดมีมุมเท่ากัน 2 มุม จะได้ว่ามุมที่เหลือย่อมเท่ากันด้วย
นั่นคือ มุมเท่ากันทุกมุม ฉะนั้นรูปสามเหลี่ยมคู่นั้นย่อมคล้ายกัน
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเราจะพิจารณาเฉพาะรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกันก่อน พร้อมทั้งใช้สมบัติคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก และใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จะนิยามอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งขึ้นอยู่กับมุมแหลมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
และในสื่อการสอน มุมมุมนั้นคือ มุม A
เนื่องจาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวกว่าด้านตรงข้ามมุม A ดังนั้น 0 < sin A < 1
และ เนื่องจาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวกว่าด้านประชิดมุม A ดังนั้น 0 < cos A < 1
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื่องจาก 0 < sin A < 1 ดังนั้น cosec A > 1
และ เนื่องจาก 0 < cos A < 1 ดังนั้น sec A > 1
หลังจากการนิยามอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบไปแล้ว จะหาความสัมพันธ์ของ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ โดยเริ่มจากการหาความสัมพันธ์ของไซน์ กับ โคไซน์ กันก่อน
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ
เพิ่มเติมตัวอย่างการหาความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกาหนดอัตราส่วนตรีโกณมิติมาให้
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก
1
1. ถ้าด้าน AC ยาว 5 หน่วย และ sin B = จงหาความยาวด้าน AB
3
AC
วิธีทา A เรามี sin B =
AB
AC 5
5 ดังนั้น AB = 
1
= 15 หน่วย
sin B
3
B C
2
2. ถ้าด้าน AB ยาว 5 หน่วย และ cos B = จงหาความยาวด้าน AC และ BC
5
BC
วิธีทา A เรามี cos B =
AB
2
5 ดังนั้น BC = AB cos B = 5 = 2 หน่วย
5
และ AC = AB2  BC2  52  22  21 หน่วย
B C
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างต่อไปจะใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส และความสัมพันธ์ของไซน์กับโคไซน์
ตัวอย่าง กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี A เป็นมุมฉาก และ AD ตั้งฉากกับ BC
2
ถ้า AB ยาว 6 หน่วย และ sin B = จงหาความยาวของ BD, AC และ DC
3
วิธีทา เขียนรูป ABC อย่างคร่าว ๆ
A
6
B D C
AD
เนื่องจาก AB เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ sin B = ดังนั้นเราจะหาความยาวของ AD
AB
2
ได้ AD = AB sin B = 6  = 4 หน่วย
3
หา BD จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส , BD = AB2  AD2  62  42  36  16  20  2 5 หน่วย
BD 2 5 5
จากความสัมพันธ์ของไซน์กับโคไซน์ sin C = cos(90 – C) = cos B =  
AB 6 3
AD AD 4 12
แต่ sin C = เราได้ AC =   หน่วย
AC sin C  5  5
 
 3 
144 8
หา DC จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส , DC = AC2  AD 2   16  หน่วย
5 5
หมายเหตุ เราสามารถใช้สมบัติคล้ายของรูปสามเหลี่ยมหาคาตอบได้เช่นกัน
โดยหา AD = 4 หน่วย และ BD = 2 5 หน่วย ได้ก่อน แล้วหาความยาว AC และ DC ดังนี้
AD BD 4 2 5
พิจารณา ABC กับ ABD ,  แทนค่าได้ 
AC AB AC 6
24 12
แล้ว AC =  หน่วย
2 5 5
DC AC
พิจารณา ADC กับ ABD ˆ ˆ
, CAD  ABD ได้ 
AD AB
DC 12 48 8
ฉะนั้น  ได้ DC =  หน่วย
4 56 56 5
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ที่ผ่านมาจะเห็นว่า เราหาอัตราส่วนตรีโกณมิติจากการกาหนดความยาวของด้านมาให้อย่างน้อย 2 ด้าน
1) ถ้ากาหนดความยาวของด้าน 3 ด้าน เราหาอัตราส่วนตรีโกณมิติได้เลย
2) ถ้ากาหนดความยาวของด้าน 2 ด้าน เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ช่วยก่อน
แต่ถ้าไม่กาหนดความยาวด้านมาให้ เพียงกาหนดอัตราส่วนตรีโกณมิติบางค่ามาให้
แล้วเราจะสามารถหาอัตราส่วนตรีโกณมิติที่เหลือได้หรือไม่ เช่น
กาหนด sin A หรือ cos A หรือ tanA แล้วให้หาอัตราส่วนตรีโกณมิติที่เหลือ
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ถ้ากาหนดความยาวด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมาให้ โดยรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่ใช่รูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก เราจะหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้น อย่างไร ?
จากบทนิยามของอัตราส่วนตรีโกณมิติ มุมที่พิจารณาต้องเป็นมุมแหลม (เพราะมุมที่นอกจากมุมฉากของ
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ต้องเป็นมุมแหลมเท่านั้น) เราจึงต้องหาความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูป
สามเหลี่ยมมุมฉากกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเสียก่อน
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เพิ่มเติมตัวอย่าง
1
ตัวอย่าง จงพิจารณา ABC ซึ่ง sin A = ด้านประชิดมุม A ยาว 4 และ 7 หน่วย
3
จงหาพื้นที่ของ ABC
วิธีทา เขียนรูป ABC อย่างคร่าว ๆ โจทย์ไม่ระบุว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
AC ยาว 4 หน่วย C จากจุด C ลากเส้นตั้งฉากไปพบ AB ที่จุด D
AB ยาว 7 หน่วย ดังนั้น CD เป็นส่วนสูงของ ABC
CD
จาก sin A = ดังนั้น CD = AC sin A = 4 หน่วย
AC 3
1
A D B ฉะนั้น พื้นที่ = AB  CD
2
1 4 14
= 7  ตารางหน่วย
2 3 3
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
1. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ต่อไปนี้ จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบของมุม A และมุม B
1.1 A 1.2 A
8 5
5 2
B 39 C B 1 C
1.3 1.4
C C
A
7 6 8
9
A B
B
1.5 B
1.6
A C
5 11 10
B
C 4 A
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก และ a, b, c เป็นความยาวด้านตรงข้าม
มุม A, B, C ตามลาดับ
1
2.1 sin A = a=3 จงหา c
4
5
2.2 cos A = c = 21 จงหา a
7
2.3 tan B = 5 b= 2 5 จงหา c
2.4 cosec A = 2 c= 4 3 จงหา tan B
3. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 รูปต่อไปนี้
A
3.1 ถ้า AG = 12 , AE = 15 และ FG = 8 จงหา DE
F G 3.2 ถ้า BC = 9 , DE = 6 และ AB = 15 จงหา BD
3
D E
3.3 ถ้า sin A = และ DE = 9 จงหา AE
5
3
3.4 ถ้า cos C = และ AC = 6 จงหา AB
5
B C
4. จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติอีก 5 แบบของมุม A เมื่อกาหนด
2
4.1 sin A =
3
12
4.2 cos A =
13
4.3 tan A = 7
5
4.4 cosec A =
2
6
4.5 sec A =
2
1
4.6 cot A =
3
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม
30 40 และ 60
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
ในการหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 จะเลือกใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมหนึ่งมีขนาดเท่ากับ
30 จะเห็นว่ามุมที่เหลือมีขนาด 180 – 90 – 30 = 60 ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เลือกใช้ จะมีมุมแหลม
เท่ากับ 30 และ 60 แต่เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีมุมเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมหนึ่งมีขนาด
180
 60 ถ้าเราแบ่งครึ่งมุม 60 จะได้มุม 30 ดังนั้นเราจึงพิจารณารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และลากเส้น
3
แบ่งครึ่งมุมนั้นย่อมตั้งฉากและแบ่งครึ่งด้านตรงข้ามด้วย จึงได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป ซึ่งมีมุมแหลมเท่ากับ
30 และ 60 ตามต้องการ ต่อไปเรากาหนดความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นด้วยค่าที่เป็นจานวน
เต็มน้อย ๆ โดยเลือกเป็น 2 หน่วยจะได้อีกด้านยาว 1 หน่วย (ดังรูป) และใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพื่อหา
ความยาวด้านที่เหลือ และเมื่อได้ความยาวด้านครบทั้ง 3 ด้าน ทาให้เราหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบได้
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เขียนตารางแสดงค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 และ 60 ดังนี้
หมายเหตุ นักเรียนสามารถจาขนาดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ไปใช้ในการหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ทั้ง 6 แบบ ของมุม 30 และ 60 ได้โดยง่าย
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป จงหาความยาวด้านตรงข้ามมุม A
C BC BC
วิธีทา เนื่องจาก sin 30 = 
AC 10
1
10 ? ดังนั้น BC = 10 sin 30 = 10 × = 5 หน่วย
2
30
A B
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน AC และ BC
BC BC
C วิธีทา เนื่องจาก tan 60 = 
AB 7
ดังนั้น BC = 7 tan 60 = 7 3 หน่วย
AB 7
? ? และเนื่องจาก cos 60 = 
AC AC
ดังนั้น AC = 7 sec 60 = 7 × 2 = 14 หน่วย
60
A BC 7 B
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเราจะเลือกรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมมุมหนึ่งมีขนาด 45 จะเห็นว่ามุมที่เหลือมีขนาด
180 – 90 – 45 = 45 ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เลือกใช้จะมีมุมเท่ากัน 2 มุม นั่นคือรูปสามเหลี่ยม
หน้าจั่วนั่นเอง และเนื่องจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีด้านเท่ากัน 2 ด้านด้วย ดังนั้นเราจะกาหนดความยาว
ด้านที่เท่ากันนี้ด้วยค่าที่เป็นจานวนเต็มน้อย ๆ โดยเลือกเป็น 1 หน่วย ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือ
ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส แล้วจึงค่อยหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบ สรุปเป็นตารางต่อไปนี้
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน AB และ BC
AC 3
A วิธีทา เนื่องจาก sin 45 = 
AB AB
ดังนั้น AB = 3cosec 45 =
3 2 หน่วย
3 และ เนื่องจาก tan 45 = AC  3
BC BC
ดังนั้น BC = 7 cot 45 = 3 × 1 = 3 หน่วย
45
B C
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปเป็นตารางแสดงค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 6 แบบของมุม 30 45 และ 60 ดังนี้
ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน BC และ AC
A
วิธีทา พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD ก่อน
หาความยาว BD และ AD
3 BD BD
เนื่องจาก cos 60 = 
AB 3
3
ดังนั้น BD = 3 cos 60 = หน่วย
60 45 2
B D C
AD AD 3 3
เนื่องจาก sin 60 =  ดังนั้น AD = 3 sin 60 = หน่วย
AB 3 2
พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC เพื่อหาความยาว DC และ AC
AD 3 3
เนื่องจาก tan 45 =  ดังนั้น DC = 3 3 cot 45 = 3 3 หน่วย
DC 2 DC 2 2
และเนื่องจาก sin 45 = AD  3 3 ดังนั้น AC = 3 3 cosec 45 = 3 3 2 = 3 6 หน่วย
AC 2 AC 2 2 2
จะได้ BC = BD + DC = 3  3 3 = 3(1  3) หน่วย
2 2 2
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอนตอนที่ 1 ยังไม่ได้กล่าวถึงการประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ เนื่องจากตอนนี้
เราได้ทราบแต่เพียงค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมบางมุมเท่านั้น (มุม 30 45 และ 60)
สาหรับคู่มือประกอบสื่อการสอนนี้ จะกล่าวถึง การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติพอสังเขป
เพื่อให้นักเรียนได้เห็นประโยชน์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติในการแก้ปัญหาในชีวิตจริง โดยจะจากัด
ตัวอย่างและโจทย์ต่าง ๆ ให้ใช้เพียงมุมบางมุมเท่านั้น
การแก้ปัญหาเกี่ยวกับ การหาระยะทางและความสูง ที่ไม่สามารถวัดจริงได้ เช่น การวัด
ความกว้างของแม่น้า การวัดความสูงของตึก หรือของภูเขา เราจะอาศัยความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ช่วยในการแก้ปัญหาดังกล่าว
ก่อนอื่นมาทาความรู้จัก มุมก้ม (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation)
ทั้งมุมก้มและมุมเงยต่างเป็นมุมที่เกิดจากแนวเส้นระดับสายตา และแนวเส้นจากตาไปยังวัตถุ โดยที่
ถ้าวัตถุอยู่ใต้แนวเส้นระดับสายตา มุมนั้นเรียกว่า มุมก้ม
ถ้าวัตถุอยู่เหนือแนวเส้นระดับสายตา มุมนั้นเรียกว่า มุมเงย
ตา มุมก้ม
แนวระดับ วัตถุ
วัตถุ มุมเงย
ตา แนวระดับ
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง น้าฝนอยากทราบว่าบ้านที่เธอกาลังยืนมองอยู่ มีความสูงเท่าไรโดยจะใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วน
ตรีโกณมิติช่วย แต่มีข้อจากัดว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติที่ทราบ ในตอนนี้เป็นอัตราส่วนตรีโกณมิติของ
มุม 30 45 และ 60 เท่านั้น น้าฝนจึงเดินห่างออกจากตัวบ้านนี้ไประยะหนึ่ง แล้วหันกลับไปมองขึ้นไป
บนหลังคาบ้าน ถ้าเธอเดินห่างจากตัวบ้านไป 11 เมตร แล้วมุมเงยที่มองหลังคาบ้านเท่ากับ 60
จากข้อมูลทั้งสองนี้ ทาให้เธอหาความสูงของบ้านหลังนี้ได้ดังนี้
ให้ A เป็นตาแหน่งหลังคาบ้านที่น้าฝนมองอยู่
B เป็นตาแหน่งตัวบ้านแนวเดียวกับระดับสายตาของน้าฝน
C เป็นตาแหน่งที่น้าฝนหยุดมองหลังคาบ้าน

แล้ว BC = 11 เมตร และ BCA = 60
AB
จากความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ ได้ว่า tan 60 =
BC
นั่นคือ AB = BC tan 60 = 11 3 เมตร
จึงสรุปได้ว่าบ้านนี้สูงประมาณ 11 3 + ความสูงของน้าฝน = 19.05 + 1.62 เมตร
= 20.67 เมตร
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง พราวยืนอยู่บนหน้าผาแห่งหนึ่ง เธอมองไปยังทะเลข้างล่าง เห็นเรือลาหนึ่งกาลังแล่นเข้าใกล้
หน้าผาในแนวตั้งฉากกับหน้าผา ตอนแรกมุมก้มของเธอที่มองเรือลานี้เท่ากับ 30 แต่พอเรือแล่นต่อไปอีก
40 เมตร เธอจะมองเห็นเรือลานี้เป็นมุมก้มเท่ากับ 45
จงหาว่าหน้าผาสูงจากระดับน้าทะเลเท่าไร (เนื่องจากหน้าผาสูงมาก เราจะไม่คิดความสูงของพราว)
วิธีทา ให้ A เป็นตาแหน่งบนหน้าผาที่พราวยืนอยู่
B เป็นตาแหน่งที่หน้าผาตรงระดับน้าทะเล
C เป็นตาแหน่งของเรือที่เธอมองเห็นในครั้งแรก
D เป็นตาแหน่งของเรือที่เธอมองเห็นในครั้งหลัง
แล้ว BCA = 30
ˆ และ BDA = 45
ˆ และ DC = 40 เมตร
AB
แล้วพิจารณา ABD , tan 45 = แล้ว BD = AB
BD
AB
แล้วพิจารณา ABC , tan 30 = แล้ว BD + 40 = AB 3
BD  40
40 40
ดังนั้น AB + 40 = AB 3 แล้ว AB =   54.65 เมตร
3  1 0.732
นั่นคือ หน้าผาสูงกว่าระดับน้าทะเล ประมาณ 54.65 เมตร
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
1. จงหาค่า a และ b จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ต่อไปนี้
1.1 C 1.2 1.3
A B
a 5 2
b a
b
30 45
2
60
B a C C b A
A 3 B
2. จงหาค่าของ 2.1 2 sin 30 – cos 45
2.2 cosec 45 + tan 60
2.3 4 sec 30 + 3 cot 45
3. พิจารณารูป หนดให้ AB ยาว 4 หน่วย
A จงหาความยาว AC
45
60
B D C
4. พิจารณารูป กาหนดให้ CD ยาว 3 หน่วย
A
จงหาความยาว BC
30
D
B C
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. เกื้อยืนอยู่บนฝั่งแม่น้าแห่งหนึ่ง เขาอยากทราบความกว้างของแม่น้าช่วงนั้น เขาจะใช้ต้นไม้ที่อยู่บนฝั่ง
ตรงข้ามของแม่น้าเป็นจุดสังเกต แล้วเดินเป็นเส้นตรงตามแนวฝั่งแม่น้าไประยะหนึ่ง แล้วหันกลับไปมอง
ต้นไม้นั้น ถ้ามุมมองต้นไม้ที่ทากับแนวฝั่งแม่น้าเท่ากับ 60 เมื่อเขาเดินไป 5 เมตร จงหาความกว้าง
ของแม่น้าช่วงนั้น
6. อะตอมอยากปีนกาแพงขึ้นไปเปลี่ยนหลอดไฟ แต่ฐานของกาแพงมีรางปลูกต้นไม้ขวางอยู่ โดยราง
มีความกว้าง 120 เซนติเมตร ดังนั้นเราจึงต้องใช้บันไดพาดกาแพง แล้วปีนบันไดขึ้นไป ถ้าปลายล่างของ
บันไดทามุม 60 กับพื้นดิน และอยู่ห่างจากกาแพงเท่ากับ 130 เซนติเมตร จงหาว่ากาแพงสูงเท่าใด
(ดูรูปในหน้า 13)
7. กอล์ฟยืนมองเสาธงของโรงเรียนแห่งหนึ่ง ถ้าเขายืนอยู่ห่างเสาธงเป็นระยะทาง 10 เมตร มุมเงยไปยัง
ยอดเสาธงเท่ากับ 30 จงหาว่ายอดเสาธงสูงกว่าเขาเท่าไร
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีมุม B เป็นมุมฉาก
C
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A ทั้ง 6 แบบมีดังนี้
a b
sin A = cosec A =
b b a
a c b
cos A = sec A =
b c
a a
tan A = cot A =
A c B c c
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด / เนื้อหาเพิ่มเติม
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ จงหาความยาวด้าน BC
5
C ก.
4 2
5
E ข.
2
3
ค. 5
30
A D B ง. 5 2
2. จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมซึ่งมีรัศมี 3 หน่วย จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC
C 3 3
ก. 9 3 ข.
2
9 3
A
3

60
B ค. 3 3 ง.
2
3. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 2 3 ตารางนิ้ว จงหาความยาวด้าน AC
C
ก. 4 นิ้ว
ข. 2 นิ้ว
ค. 3 นิ้ว
30
A B ง. 1 นิ้ว
4. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ จงหาความยาวด้าน AC
C
ก. 10 3
10 3
15
5
ข.
3
75
ค. 5 3
A D B ง. 5
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ จงหาความยาวด้าน CD
A ก. 5 3
D
ข. 5 2
20 5 3
10 3 ค.
2
5
ง.
B C 2
6. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ 18 ตารางหน่วย
C
จงหาความยาวด้าน AB
ก. 12 ข. 6
ค. 2 3 ง. 3
45
A B
7. ถ้ากาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ จงหาค่าของ 3 cosec A – 2 sec A
13
ก.
C 30
169
13 ข.
30
ค. 1
1
A 12 B ง.
2
8. ถ้ากาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ จงหาค่าของ cos (B – A)
4
ก.
5
C
3
5 ข.
5
1
ค.
A B 2
3 3
ง.
2
40

42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังนี้ จงหาพื้นที่ของ ABC
A
ก. 2 3
ข. 2 3 1
2
ค. 2 32
30 45
B D C ง. 3 1
1
10 ถ้า sin A – cos A = จงหา sin A cos A
5
1 24
ก. ข.
5 25
12 4
ค. ง.
25 25
41

43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
42

44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
1. 1.1 170 1.2 13.2 1.3 3 3
2. 2.1 เป็น 2.2 ไม่เป็น 2.3 ไม่เป็น 2.4 เป็น
2.5 เป็น 2.6 เป็น 2.7 เป็น 2.8 ไม่เป็น
3. 2.8178 เมตร
4. 2.5981 เมตร
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ
1.
ข้อ 1.1 1.2 1.3
มุม A B A B A B
sin 39 5 1 2 6 7
8 8 5 5 85 85
cos 5 39 2 1 7 6
8 8 5 5 85 85
tan 39 5 1 2 6 7
5 39 2 7 6
cosec 8 8
5 5 85 85
39 5 2 6 7
sec 8 8 5 5 85 85
5 39 2 7 6
cot 5 39 2 1 7 6
39 5 2 6 7
43

45. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ข้อ 1.4 1.5 1.6
มุม A B A B A B
sin 8 17 5 4 10 21
9 9 41 41 11 11
cos 17 8 4 5 21 10
9 9 41 41 11 11
tan 8 17 5 4 10 21
17 8 4 5 21 10
cosec 9 9 41 41 11 11
8 17 5 4 10 21
sec 9 9 41 41 11 11
17 8 4 5 21 10
cot 17 8 4 5 21 10
8 17 5 4 10 21
2. 2.1 12 2.2 15 2.3 2 6 2.4 3
3. 3.1 10 3.2 10 3.3 15 3.4 2 5
4.
ข้อ 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
sin A 2 5 7 2 1 3
3 13 5 2 5 3 10
cos A 5 12 1 1 2 1
3 13 5 2 5 6 10
tan A 2 5 7 2 1 3
5 12 2
cosec A 3 13 5 2 5 3 10
2 5 7 2 3
sec A 3 13
5 2 5 6 10
5 12 2
cot A 5 12 1 1
2
1
2 5 7 2 3
44