Black-Scholesの面白さ
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4/14にhttps://connpass.com/event/82142/ で話した内容です。 Black-Scholes公式と数理ファイナンスについてです。
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Black-Scholesの面白さ
- 2. 自己紹介 ●名前：いとう ●所属：東京大学大学院経済学研究科 M2 ●Twitter：@k1ito (follow me!) 今回のセミナーとのつながり ●東大数学科卒(≒破門された) → 数学・佐野さん(???) ●Y!でバイトしてる → 佐野さん(???) ●アクチュアリー(を破門された) → 松森さん(???) ●Φカフェ(ココ)によくいる → (???) ●◎自分が好きな数学の話を聞いてほしい 2
- 3. 本日のお話 Black-Scholesは面白い C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t 3
- 4. 具体的に言うと Black-Scholesは面白い C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t ココ！が面白い 4 ココ！ ココ！ ココ！ ココ！ ココ！
- 5. Black-Scholes公式とは [仮定] ●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 :時刻tでの株価 ●𝐵𝑡 = 𝐵0 exp 𝑟𝑡 : 時刻tでの無リスク債券価格 ●𝐶𝑡 : 時刻tでの満期T,行使価格KのEuropean Callオプションの価格 ●市場はこの２資産からなり・売り買いが手数料なしで何回でもできる [結論] C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t where 𝑑± = log 𝑆 𝑡 𝐾 + 𝑟± 𝜎2 2 𝑇−𝑡 𝜎 𝑇−𝑡 , 𝑁 𝑥 = 1 2𝜋 −∞ 𝑥 𝑒− 𝑦2 2 𝑑𝑦 5
- 6. Black-Scholes公式とは [仮定] ●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 :時刻tでの株価 ●𝐵𝑡 = 𝐵0 exp 𝑟𝑡 : 時刻tでの無リスク債券価格 ●𝐶𝑡 : 時刻tでの満期T,行使価格KのEuropean Callオプションの価格 ●市場はこの２資産からなり・売り買いが手数料なしで何回でもできる [結論] C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t where 𝑑± = log 𝑆 𝑡 𝐾 + 𝑟± 𝜎2 2 𝑇−𝑡 𝜎 𝑇−𝑡 , 𝑁 𝑥 = 1 2𝜋 −∞ 𝑥 𝑒− 𝑦2 2 𝑑𝑦 6
- 7. 目次 「Black-Scholesが面白い」 ● 株価のモデルが面白い ● 公式の解釈・使い方が面白い ● 公式の発展が面白い 7
- 8. [概観]株価について考える ●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 とは。。。 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 →𝑆𝑡 = 𝑆0exp 𝜇𝑡 8
- 9. [概観]株価について考える ●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 とは。。。 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 →𝑆𝑡 = 𝑆0exp 𝜇𝑡 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 →ノイズが加わっている 𝑊𝑡:はブラウン運動 9
- 10. [概観]株価について考える ●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 とは。。。 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 →𝑆𝑡 = 𝑆0exp 𝜇𝑡 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 →ノイズが加わっている 𝑊𝑡:はブラウン運動 [復習](1)𝑊0 = 0 (2) 𝑊𝑡+𝑢 – 𝑊𝑡と 過去の情報𝑊𝑠 𝑠 < 𝑡 は独立 (3) 𝑊𝑡+𝑢 – 𝑊𝑡は平均0,分散uに従うrandom variable (4) 事象を１つ固定すると、𝑊𝑡はtの関数として連続 10
- 11. [概観]株価について考える ●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 とは。。。 11
- 12. この章で考えたいこと そもそも なぜ𝒅𝑺 𝒕 = 𝝁𝑺 𝒕 𝒅𝒕 + 𝝈𝑺 𝒕 𝒅𝑾 𝒕 としてよいのか？ 12
- 13. この章で考えたいこと [主張] 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 としてよい。 13
- 14. この章で考えたいこと [主張] 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 としてよい。 [証明] 𝑆 𝑡+Δ𝑡−𝑆𝑡 𝑆𝑡 = 𝜇Δ𝑡 + 𝜎 𝑊𝑡+Δ𝑡 − 𝑊𝑡 を示せば良い 𝑊𝑡はブラウン運動なので 𝑊𝑡+Δ𝑡 − 𝑊𝑡 は正規分布𝑁(0, Δt)に従う (左辺)= 𝑁(𝜇Δ𝑡, 𝜎 Δt)を示せばよい。 14
- 18. もっとシンプルなモデルを考える それを多期間に渡って繰り返すと、 →リターンは正規分布になる。 → 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 18
- 19. [おまけ]大切なp １つの考え方＝同値マルチンゲール測度＝50% ● →現在の値と期待値が一致する。 同値マルチンゲール測度ってどうなの？ ● 株価＝売りたい人と買いたい人が出会った値 ● →上がる・下がると思っている人＝50:50 ● →現実的 Remark:[資産価格付の基本定理] 市場が無裁定⇔同値マルチンゲール測度が存在 19
- 20. 目次 「Black-Scholesが面白い」 ● 株価のモデルが面白い ○ 株価の過程が面白い ○ マルチンゲール測度が面白い ● 公式の解釈・使い方が面白い ● 公式の発展が面白い 20
- 21. Black-Scholes公式 C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t 21 なにこれ
- 22. コールオプションとは コールオプション＝ ●あらかじめ決められた日(限月)までに ●あらかじめ決められた価格(行使価格)で ●ある資産・指数を買う権利 →いわば、株価が上がるか下がるかの賭け 22
- 42. 整理すると 42 -200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 20000 20500 21000 21500 22000 22500 23000 23500 コールオプションを買ったときの利得 株価が上がったら 得する 株価が下がっても 損しない
- 45. コールオプションの価格とは。 ●もしあなたがコールオプションを発行する側だったら、 →損はしたくないので買う人にいくらかチャージさせる。 →一方でチャージ料金が高すぎると誰も買ってくれない。 45
- 47. コールオプションの価格とは。 ●もしあなたがコールオプションを発行する側だったら、 →損はしたくないので買う人にいくらかチャージさせる。 →一方でチャージ料金が高すぎると誰も買ってくれない。 →公平な価格を知らないといけない C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t 47
- 48. コールオプションの価格とは。 ●もしあなたがコールオプションを発行する側だったら、 →損はしたくないので買う人にいくらかチャージさせる。 →一方でチャージ料金が高すぎると誰も買ってくれない。 →公平な価格を知らないといけない C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t 48 本当に？
- 50. 思い出す ●買った人の目線で 50 -200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 20000 20500 21000 21500 22000 22500 23000 23500 コールオプションを買ったときの利得 株価が上がったら 得する 株価が下がっても 損しない
- 51. 逆に考える ●売った人の目線で 51 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 20000 20500 21000 21500 22000 22500 23000 23500 コールオプションを売ったときの利得
- 52. また買った人目線で考える C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t 52 得したときに発生する得 の期待値 損したときに発生する損 の期待値
- 53. Black-Scholesの面白さ① C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t ① 単純な賭けの発想から オプションの価格が求まる 53 得したときに発生する得 の期待値 損したときに発生する損 の期待値
- 54. Black-Scholesの面白さ② C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t ②公正な価格である ＝売り手にも買い手にも公平な価格 ＝経済学（平衡）な考え方もできる 54 得したときに発生する得 の期待値 損したときに発生する損 の期待値
- 55. Black-Scholesの面白さ③ C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t ③S=株価、Ke−r T−t =Kの現在価値 55 得したときに発生する得 の期待値 損したときに発生する損 の期待値
- 56. Black-Scholesの面白さ③ C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t ③S=株価、Ke−r T−t =Kの現在価値 →右辺は株をN d+ 個かって、 債券をN d− 個売っている。 56 株 債券オプション
- 58. Black-Scholesの面白さ⑤ C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t ④オプションを売ったら、 株と債券を持って相殺すればいい →ヘッジの考え方 58 株 債券オプション
- 59. Black-Scholesの面白さ⑤ C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t ⑤それぞれの数字を動かしてみると 面白い 59 得したときに発生する得 の期待値 損したときに発生する損 の期待値
- 60. Black-Scholesの面白さ⑤数値を動かしてみる 株価の初期値：S=100, 行使価格 ：K=100, 満期時刻 ：T=1, 利率 ：r=0.01 を考える 60
- 61. 行使価格Kを動かしてみる 61 0 5 10 15 20 25 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 C K Kを上昇させたときのC C
- 62. ボラティリティ(σ)を動かしてみる 62 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 C σ σを上昇させたときのC
- 63. 時刻tを動かしてみる 63 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 C t tを動かしたときのC
- 64. 目次 「Black-Scholesが面白い」 ● 無裁定価格理論が面白い ○ 株価の過程が面白い ○ マルチンゲール測度が面白い ● 公式の解釈・使い方が面白い ○ シンプルな公式だが解釈をして見ると面白い ● 公式の発展が面白い 64
- 72. まとめ Black-Scholesは面白い C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t 72 オプション が面白い オプション ＝株＋債券 が面白い 株価との 感応度 がわかる 株価の モデル が面白い 複利計算 が面白い
- 75. 参考文献 ●Notes on Stochastic Finance Nicolas Privault(著) http://www.ntu.edu.sg/home/nprivault/indext.html 無料で手に入る講義ノート 丁寧かつ大量に書いてあって感動する コードや動画なども埋め込まれている。 75
- 76. 参考文献 ●Python for Finance: Analyze Big Financial Data Yves Hilpisch (著) エンジニア・Pythonかける人向け コード・手を動かしてファイナンスを理解できる 新しいめの内容も多い 理論的なことはあまり書いてない 76
- 81. おまけ①今回話せなかった数理ファイナンスの妙味 ●裁定がないとすると何が良いのか？ [資産価格の第一基本定理] 市場に裁定はない ⇔ 同値マルチンゲール測度が存在する 絶対に儲かる話はない ⇔ だれにでも公平な価格がきめれる 81
- 82. おまけ①今回話せなかった数理ファイナンスの妙味 ●裁定がないとすると何が良いのか？ [資産価格の第一基本定理] 市場に裁定はない ⇔ 同値マルチンゲール測度が存在する 絶対に儲かる話はない ⇔ だれにでも公平な価格がきめれる [資産価格の第二基本定理] 市場に裁定はない・任意のペイオフが複製可能（完備） ⇔ 同値マルチンゲール測度が一意に定まる ⇔ だれにでも公平な価格が一意に定まる 82