Mat 9

Caderno
Caderno Material do professor

educacional
educacional
Material do professor
Material do professor

Ciências
MATEMÁTICA
ciências

9
Material de apoio
Material de apoio

o
ano

Expediente
Marconi Ferreira Perillo Júnior
Governador do Estado de Goiás

Thiago Mello Peixoto da Silveira
Secretário de Estado da Educação

Erick Jacques Pires
Superintendente de Acompanhamento de Programas Institucionais

Raph Gomes Alves
Chefe do Núcleo de Orientação Pedagógica

Valéria Marques de Oliveira
Gerente de Desenvolvimento Curricular

Gerência de Desenvolvimento Curricular
Elaboradores
Abadia de Lourdes da Cunha
Alexsander Costa Sampaio
Aline Márcia dos Santos
Carlos Roberto Brandão
Deusite Pereira dos Santos
Inácio de Araújo Machado
Júnior Marques Carneiro
Lidiane Rodrigues da Mata
Márcio Dias de Lima
Marlene Aparecida Faria
Mônica Martins Pires
Regina Alves Costa Fernandes
Silma Pereira do Nascimento Vieira

Sumário
Apresentação...............................................................................................................................................5
Aula 01 Conjunto dos Números Naturais (N )........................................................................7
Aula 02 Conjunto dos números inteiros (Z ) – Operações............................................10
Aula 03 Conjunto dos Números Racionais (Q ) – Frações..............................................14
Aula 04 Conjunto dos números racionais (Q ) Números
Decimais – Operações..................................................................................................19
Aula 05 Conjunto dos números racionais (Q ): Equivalência de frações..................23
Aula 06 Conjunto dos números racionais (Q ) – Conversão..........................................27
Aula 07 Conjunto dos Números Irracionais.........................................................................30
Aula 08 Conjunto dos Números Reais (R ) ..........................................................................32
Aula 09 Os números racionais na reta numérica...............................................................35
Aula 10 Potenciação: Definição................................................................................................37
Aula 11 Potenciação: Propriedades........................................................................................41
Aula 12 Potência com expoente negativo...........................................................................43
Aula 13 Potenciação: expressões numéricas.......................................................................46
Aula 14 Decomposição em fatores primos..........................................................................48
Aula 15 Radiciação: Definição / Extração de raiz...............................................................50
Aula 16 Radiciação (propriedades).........................................................................................55
Aula 17 Radiciação inexata .......................................................................................................58
Aula 18 Relacionando potências e radicais..........................................................................60
Aula 19 Resolução de situações problema envolvendo números R .........................62
Aula 20 Exercícios – números Reais........................................................................................64
Aula 21 Rotação de polígonos – Propriedades..................................................................66
Aula 22 Reflexão de polígonos – Propriedades..................................................................70
Aula 23 Translação de polígonos – Propriedades.............................................................75
Aula 24 Plano Cartesiano Ortogonal......................................................................................79
Aula 25 Construção de polígonos no plano cartesiano..................................................83
Aula 26 Exercícios envolvendo polígonos............................................................................88
Aula 27 Circunferência e círculo: Definição e diferenças...............................................90
Aula 28 Razão I................................................................................................................................94
Aula 29 Razão II (situações problema envolvendo razões em porcentagens) ��100
Aula 30 Proporção ......................................................................................................................104

Aula 31 Proporção – Propriedade..........................................................................................111
Aula 32 Exercícios envolvendo razão e proporção.........................................................117
Aula 33 Perímetro de polígonos diversos...........................................................................118
Aula 34 Área de polígonos: quadrados e retângulos....................................................123
Aula 35 Área de polígonos – Triângulos.............................................................................126
Aula 36 Área de polígonos: paralelogramo.......................................................................131
Aula 37 Área de polígonos: trapézio....................................................................................135
Aula 38 Área de polígonos: pentágono e hexágono.....................................................138
Aula 39 Área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro
e paralelepípedo..........................................................................................................142
Aula 40 Exercícios envolvendo a área de superfície de figuras não planas:
cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externas........146
Aula 41 Leitura de gráficos e tabelas...................................................................................150
Aula 42 Construir tabelas de dados estatísticos..............................................................155
Aula 43 Construir gráficos de frequência de dados estatísticos – coluna.............161
Aula 44 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – barra ��166
Aula 45 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos
– setores..........................................................................................................................172
Aula 46 Conclusões com base na leitura de gráficos.....................................................177
Aula 47 Relacionar gráficos com tabelas............................................................................181
Aula 48 Relacionar tabelas com gráficos............................................................................187
Aula 49 Conclusões com base na leitura de tabelas......................................................195

Apresentação
O Governo do Estado de Goiás, por meio da Secretaria de Estado da Edu-
cação (SEDUC), criou o “Pacto pela Educação com o objetivo de avançar na
”
oferta de um ensino qualitativo às crianças, jovens e adultos do nosso Estado.
Assim, busca-se adotar práticas pedagógicas de alta aprendizagem.
Dessa forma, estamos desenvolvendo, conjuntamente, várias ações, dentre
elas, a produção deste material de apoio e suporte. Ele foi concebido tendo por
finalidade contribuir com você, professor, nas suas atividades diárias e, tam-
bém, buscando melhorar o desempenho de nossos alunos. Com isso, espera-se
amenizar o impacto causado pela mudança do Ensino Fundamental para o
Médio, reduzindo assim a evasão, sobretudo na 1ª série do Ensino Médio.
Lembramos que a proposta de criação de um material de apoio e suporte
sempre foi uma reivindicação coletiva de professores da rede. Proposta esta
que não pode ser viabilizada antes em função da diversidade de Currículos que
eram utilizados. A decisão da Secretaria pela unificação do Currículo para
todo o Estado de Goiás abriu caminho para a realização de tal proposta.
Trata-se do primeiro material, deste tipo, produzido por esta Secretaria,
sendo, dessa forma, necessários alguns ajustes posteriores. Por isso, contamos
com a sua colaboração para ampliá-lo, reforçá-lo e melhorá-lo naquilo que for
preciso. Estamos abertos às suas contribuições.
Sugerimos que este caderno seja utilizado para realização de atividades den-
tro e fora da sala de aula. Esperamos, com sua ajuda, fazer deste um objeto de
estudo do aluno, levando-o ao interesse de participar ativamente das aulas.
Somando esforços, este material será o primeiro de muitos e, com certeza,
poderá ser uma importante ferramenta para fortalecer sua prática em sala de
aula. Assim, nós o convidamos para, juntos, buscarmos o aperfeiçoamento de
ações educacionais, com vistas à melhoria dos nossos indicadores, proporcio-
nando uma educação mais justa e de qualidade.
A proposta de elaboração de outros materiais de apoio continua e a sua
participação é muito importante. Caso haja interesse para participar dessas ela-
borações, entre em contato com o Núcleo da Escola de Formação pelo e-mail
cadernoeducacional@seduc.go.gov.br

Bom trabalho!

5

Matemática

Aula 01

Conjunto dos Números Naturais (N)
Objetivo geral
Relembrar as quatro operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão) do conjunto dos números naturais. O que devo aprender
nesta aula

Conceito básico u Reconhecer a aplicação
dos números naturais e suas
Os números naturais surgiram da necessidade de fazer diferentes formas de utilização
contagens, portanto, fica claro que tal conjunto é formado no cotidiano.
pelos números que utilizamos para contar. Representa-se u Reconhecer e aplicar as
o conjunto dos números naturais por N : propriedades das operações
N = "0, 1, 2, 3, ... , com números naturais e
percebê-las como facilitadoras
na compreensão das técnicas
A seguir faremos uma pequena revisão acerca das operatórias.
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
u Analisar, interpretar, formular
trabalhadas no conjunto N . e resolver situações problema
em diferentes contextos sociais
Adição: É a operação matemática que permite juntar e/ e culturais.
ou acrescentar quantidades. Tais quantidades são chama
das termos ou parcelas. A operação 2 936 + 4 652 = 7 588
indica uma adição.

Subtração: É a operação matemática que permite retirar certa quantidade de outra. Tais
quantidades, também, são chamadas termos ou parcelas. A operação 1527 – 1354 = 173 indica
uma subtração.

Multiplicação: É a operação matemática que permite adicionar quantidades iguais. O
resultado de uma multiplicação é chamado de produto. A operação 12 . 46 = 552 indica uma
multiplicação.

Divisão: É a operação matemática que permite repartir um número em quantidades iguais. A
operação 1554 ' 37 = 42 indica uma divisão.

Propriedades importantes da adição e da multiplicação
Quando trabalhamos com a adição ou a multiplicação de números naturais existem algumas
propriedades comuns que devem ser relembradas. São elas:

Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação.
Adição: a + b = b + a
Exemplo: 5 + 7 = 12 e 7 + 5 = 12, portanto, 5 + 7 = 7 + 5.

7

Matemática

Multiplicação: a . b = b . a
Exemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35.

Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.
Adição: (a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c)
Exemplo: (3 . 4) . 2 = 12 . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2)

Observação: Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primei
ramente as operações contidas em seu interior.

Expressão Numérica
Na expressão numérica, os sinais de associação devem seguir a ordem: os parênteses ( ) devem
ficar dentro dos colchetes [ ], e estes, dentro das chaves { }.
Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operações que estão entre parênteses, em seguida as
operações que estão nos colchetes e, finalmente, as que estiverem entre chaves.
Em relação as operações matemáticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicação e/
ou divisão e, em seguida, adição e/ou subtração. Por exemplo:

(I)
8+5.3=
8 + 15 =
23
( II )
15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] =
15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] =
15 + [16 - 7 + 1] =
15 + [9 + 1] =
15 + 10 =
25

Atividades
01 Efetue cada uma das operações a seguir:
a) 487 + 965
b) 1238 – 649

8

Matemática

c) 35 . 126
d) 9114 : 62
Sugestão de solução:
a) 1452; b) 589; c) 4410; d) 147.

02 Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:
a) 50 – {15 + [16 : (10 – 2) + 5 . 2]} =
b) 70 – [5 . (4 : 4) + 9] =
c) 25 + {27 : 9 + [9 . 5 – 3 . (8 – 5)]} =
d) 25 – [27 – (4 – 1 + 6 – 4)] =
a) 23; b) 56; c) 64; d) 3.

03 Resolva os probleminhas a seguir:
a) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3.216 selos de diversos países. Supondo uma divi-
são equilibrada, quantos selos caberão a cada filho?
(Desenvolva o algoritmo da divisão).
b) Antônio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 1 ano e meio?
c) Maria levou R$ 20, 00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$
9,00 com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?
d) Um funcionário precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas,
quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante?
a) 1 072 selos; b) R$ 630,00; c) R$ 6,00; d) 21 caixas.

Desafio
Sabendo que Tiago tem uma coleção composta por 396 figurinhas, responda:
a) Se Tiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantas
figurinhas terá cada um?
b) Se Tiago triplicar sua coleção a nova quantidade corresponderá a que valor?
c) Caso o pai de Tiago lhe dê mais 89 figurinhas qual será a nova quantidade obtida por ele?
d) Se Tiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobrarão?
a) 198; b) 1 188; c) 485; d) 267.

9

Matemática

AULA 02

Conjunto dos números
inteiros (Z) – Operações
Objetivo Geral
Interpretar e resolver situações problema envolvendo
operações com números inteiros. O que devo aprender
nesta aula
Conceitos Básicos u Reconhecer a importância
das operações que envolvem
O conjunto dos números inteiros ( Z ) encontra-se números reais, inclusive
presente em diversas situações do dia-a-dia, principalmente potenciação e radiciação, para
quando apresentam o envolvimento de números negativos. a resolução de problemas dos
mais variados contextos sociais
É formado pela união do conjunto dos números naturais
e culturais.
com os seus simétricos em relação ao zero. Portanto, é
u Utilizar as propriedades das
formado por números positivos e negativos:
operações com números reais
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} como facilitadoras da resolução
de situações problema.
u Criar e resolver situações
Dois números são ditos simétricos quando sua soma problema que envolvem
números reais ampliando e
for igual a zero. Portanto, dizemos que os números
consolidando os significados
negativos (-1, -2, -3, ...) são simétricos dos números das operações adição,
naturais, uma vez que: subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e
1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0 radiciação.

Operações com Números Inteiros
As operações que envolvem os números inteiros requerem a utilização de regras matemáticas
envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Para isso é necessário que fique claro que
operação matemática está sendo desenvolvida: adição ou multiplicação.

Adição de números inteiros
É importante perceber que a expressão adição de números inteiros é utilizada quando há a
sequenciação de números positivos e negativos sem que haja as operações de multiplicação e/ou
divisão. Para isso é importante observar se as parcelas à serem operadas possuem sinais iguais ou
diferentes. Assim:

10

Matemática

 as parcelas possuírem sinais iguais o resultado final terá o mesmo sinal das parcelas e
Se
será obtido a partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou
negativas. Observe:

a) - 20 - 25 = - 45

b) 32 + 17 =+ 32 + 17 = + 49 = 49

 as parcelas possuírem sinais diferentes o resultado final terá o sinal da parcela que
Se
possuir o maior valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe:

a) - 25 + 45 =+^ 45 - 25h =+ 20

b) 38 - 51 =- (51 - 38) = - 13

Multiplicação e ou divisão de números inteiros
Para operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição de
números inteiros inicialmente é necessário perceber o sinal das parcelas à serem operadas. Assim:

 produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal é um número
O
positivo.

a) (- 6) $ (- 18) =+ 108 = 108

b) (5) $ (9) = (+ 5) $ (+ 9) = + 45 = 45

c) (- 90) ' (- 15) =+ 6 = 6

d) (170) ' (17) = (+ 170) ' (+ 17) =+ 10 = 10

 produto ou quociente de dois números de sinais diferentes é um número negativo.
O

a) (- 8) $ (+ 9) =- 72

b) (+ 7) $ (- 13) =- 91

c) (- 45) ' (+ 5) =- 9

d) (+ 100) ' (- 10) =- 10

Atividades
01 Uma microempresa representou em um gráfico seus resultados do segundo semestre do ano.

11

Matemática

Atenção: Os números positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuízo da empresa.

Analisando os dados do gráfico responda:
a) Em quais meses a microempresa teve lucro?
b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?
c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?
d) Qual foi o lucro médio nesses semestre?
e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a
empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?
a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro.
b) Nos meses de julho, setembro e novembro.
c) No mês de novembro.
d) Lucro. 12 milhões.
e) 2 milhões.

12

Matemática

02 Observe o saldo bancário de Gabriel relativo aos meses de março a junho.
Mês Saldo
Março + R$ 800,00
Abril + R$ 250,00
Maio - R$ 150,00
Junho - R$ 950,00

Qual é o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses?
- 50 reais

03 Imagine uma sequência numérica onde o primeiro termo é o número (–8). Então:
a) Determine o segundo termo desta sequência sabendo que ele é o dobro do primeiro mais quatro.
b) Determine o terceiro termo desta sequência sabendo que ele é igual ao triplo do primeiro termo menos dez.
c) Determine o quarto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quádruplo do primeiro menos cinco.
d) Determine o sexto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quíntuplo do primeiro dividido por
menos quatro (-4).
a) -12; b) -34; c) -37; d) 10.

04 Em uma operação onde o resto é 0 e o dividendo é + 72 , o quociente é - 8. Qual é o divisor?
9

Desafio
Em um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critério de pontuação:

Vitória + 5 pontos
Empate + 3 pontos
Derrota - 2 pontos
Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitórias, 1
empate e 2 derrotas.
Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu
1 vitória, 2 empates e 3 derrota.

13

Matemática

Responda:
a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcançaram, respectivamente, ao final da 2ª fase do campeo-
nato?
b) Quem foi o ganhador?
a) Paulo 44 pontos e Marcos 37 pontos.
b) Paulo.

Aula 03

Conjunto dos Números Racionais (Q )
Frações
Objetivo Geral
Compreender a ideia de fração (parte-todo), razão e
divisão; O que devo aprender
Efetuar cálculos e resolver situações problema que nesta aula
envolvam as operações com números racionais na forma u Compreender as frações
fracionária. e utilizá-las em situações
diversas.

Conceito básico u Formular e resolver situações
problema que envolva a
Os números racionais são os que podem ser escritos na ideia de fração (parte-todo) e
forma de fração a , em que a e b são números inteiros e b também de razão e divisão.
b
! zero.

O conjunto dos números racionais (representado por
Q ) é definido por:

a
Q=$ a ! Z ; b ! Z e b ! 0.
b

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de
números inteiros a e b, em que b é não nulo. Exemplos:

3 (lê-se: três décimos) 0 (é o mesmo que 0 )
10 1

14

Matemática

4 (lê-se: quatro quintos) - 3 (é o mesmo que - 3 )
5 1

13 (lê-se: treze vinte avos) -
- 8 (é o mesmo que 8 )
20 5 5

Fração
Fração é a parte de um todo. Em sua representação há o numerador e o denominador.

Significado

Numerador
Número colocado acima do traço que indica quantas partes da
unidade foram tomadas.

Denominador
Número colocado abaixo do traço que indica em quantas partes
iguais a unidade foi dividida.

Exemplo 1:
Observe a figura:

Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaços iguais.

Cada pedaço representa uma fração da pizza, que é indicado
por 1 .
8
Como foram colocados em destaque dois pedaços, podemos
repre entá-los pela fração 2 .
s
8

Exemplo 2:
João pegou na biblioteca da escola um livro de 34 páginas para ler. Até o momento João leu
22 paginas.
Qual a fração que representa o número de páginas que João leu?

Para a resolução do problema, temos que identificar o conjunto universo, que neste caso é o
total de páginas do livro, ou seja, 34.
O total de páginas lidas por João é 22.
Logo a fração correspondente às páginas lida será: 22 .
34

15

Matemática

Operações com frações
Adiçao e subtração
Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa,
outras 3, conforme figura abaixo.

Nesta condição podemos dizer que 2 do hexágono está pintado de vermelho e 3 está pintado
de rosa. 6 6
Assim, observando a figura temos que das 6 partes do hexágono, 5 estão pintadas.

Logo podemos dizer que no total, 5 do hexágono está pintado.
6
2 +3 = 5
Concluímos que:
6 6 6
Na soma ou subtração de frações com denominadores iguais, basta conservar o denominador
e operar os numeradores (somar ou subtrair).

Exemplos:

a) 3 + 8 = 11 (ou seja, 1 inteiro) b) 2 + 7 = 9
11 11 11 17 17 17

c) - 2 + 3 = 1 d) 5 - 3 = 2
6 6 6 9 9 9

e) 3 - 4 =- 1
5 5 5

Multiplicação e divisão
Observe a figura a seguir:

16

Matemática

Considerando o triplo da área pintada da figura acima teremos:

2 6
Assim, a parte pintada corresponde a 6 do retângulo. Logo, 3 $ = .
8 8 8

3
Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de fração, assim 3 = .
1
Logo, 3 $ 2 = 6 , pois, 3 $ 2 = 6 .
1 8 8 1$8 8

O resultado de uma multiplicação entre duas frações é uma fração cujo numerador é o
produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.

Para dividir duas frações, temos que:

O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso
da segunda fração.

Exemplos:

3 '5 3 ' 4 = 12
&
2 4 2 5 10

2 '1 2 '3 = 6
&
5 3 5 1 5

Atividades
01 Observe as figuras abaixo
Que fração a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso.

Sugestão de soluçao:

17

Matemática

02 A mãe de Fabrício fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dúzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Que
fração representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa fração? E o numerador?
Sugestão de solução
12 – 4 = 8
A fração que representa os ovos que sobraram é: 8 .
12
O denominador é 12, e o numerador é 8.

03 Calcule
a) 1 2 = b) 2 3 = c) 3 5 =
$ $ '
5 4 3 5 2 6

3 6 = 18
a) 1 2 = 2
$ b) 2 3 = 6
$ c) $
5 4 20 3 5 15 2 5 10

04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima é 2 de sua idade.
5
Quantos anos tem a prima de Amanda?
2 de 15 = 15 : 5 = 3, 2 partes equivale a 6.
5
A prima de Amanda tem 6 anos.

05 Maurício leu 15 páginas de uma revista. Desse modo, Maurício leu 3 da revista. Quantas páginas tem a revis-
5
ta de Maurício?
A revista tem 25 páginas.

06 Efetue a seguinte operação:
' $ $ 8 - ` + jB. =
2 1 6 2 3
a)
3 2 7 7 7


' $ $ 8 - B. =
2 1 6 5
3 2 7 7

2 1 1
'$ $ . =
3 2 7

2 1 = 2 14 = 28
' $
3 14 3 1 3

18

Matemática

Desafio
Marina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou 2 comprando chocola-
5
tes. Do que sobrou, ela gastou 1 com pirulitos.
2
Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?

Sugestão de solução: 3
10

Aula 04

Conjunto dos números racionais (Q )
Números Decimais – Operações
Objetivo Geral
Operar com números decimais e resolver situações
problema do cotidiano envolvendo as operações com O que devo aprender
números decimais. nesta aula
u Reconhecer a importância
Conceito básico das operações que envolvem
Um número é dito decimal quando apresentar uma números reais, inclusive
potenciação e radiciação, para
vírgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 . a resolução de problemas dos
Para ler o número escrito na forma decimal mais variados contextos sociais
primeiramente faz-se a leitura do número como se e culturais.
não existe vírgula. Assim, no número 14,2 lê-se cento e u Utilizar as propriedades das
quarenta e dois. operações com números reais
O passo seguinte é especificação da parte decimal. Para como facilitadoras da resolução
isso basta seguir as seguintes orientações:
 Se houver apenas um número após a vírgula será problema que envolvem
usada a expressão décimos. números reais ampliando e
u 1,4 (lê-se: quatorze décimos)
das operações adição,
 Se houverem dois números após a vírgula será subtração, multiplicação,
usada a expressão centésimos. radiciação.
u 1,13 (lê-se: cento e treze centésimos)

19

Matemática

 Se houverem três números após a vírgula será usada a expressão milésimos.
u 2,075 (lê-se: dois mil e setenta e cinco milésimos).

É válido salientar que todo número escrito na forma de fração pode ser escrito como decimal.
Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos:

3 = - 11 =- 1, 22222.......
0, 3
10 9

4 = 71 =
0, 8 0, 71
5 100

13 = 8 =
0, 65 1, 6
20 5

Este processo é extremamente importante para auxiliar na localização de um número racional
na reta numérica.
Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escreve-se uma fração cujo
numerador é o numero decimal sem vírgula, o denominador será o algarismo um (1) seguido de
tantos zeros quanto forem as casas decimais do número decimal dado.
Exemplos:

= 122 13 3
1, 22 0, 013 = 0, 3 =
100 1000 10

duas casas dois zeros

Comparando dois números decimais
Para comparar dois números decimais é necessário, primeiramente, igualar as casas decimais
dos dois, acrescentando zeros á direita do número que possuir menor quantidade de algarismos.
Em seguida, é preciso eliminar a vírgula de ambos. Após o desenvolvimento destas duas etapas
faz-se a comparação dos produtos finais.

Exemplos:
Vamos comparar os números 0,197 e 0,0987, usando os sinais: < (menor), > (maior) ou =
(igual).

0, 0987 0, 1970
S S
4 casas acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro número

Elimina-se a vírgula dos dois números e os compara:
987 e 1970 " 987 < 1970.
Logo, 0,0987 < 0,197

20

Matemática

Operações com números decimais
Adição e subtração
Para somar ou subtrair dois números decimais, primeiramente, é preciso acrescentar quantos
zeros forem precisos para igualar o número de casas decimais de ambos:

2, 7 + 3, 0456

2, 7 + 3, 0456 " 2, 7 + 3, 0 456 2, 7 000 + 3, 0456
S S
"
3 casas a mais 3 casas completadas com o 0

Mesma quantidade de casas decimais
? 7 44 8
6 44 ?
4 4
2, 7000 + 3, 0456

O passo seguinte será a organização do algoritmo de forma que ambos fiquem com suas
respectivas vírgulas uma embaixo da outra.
Vírgula debaixo
de vírgula
.
2, 7000
+ 3, 0456

Desta forma realiza-se a operação identificada (adição ou subtração) colocando o resultado
com sua respectiva vírgula alinhada com as anteriores.
Vírgula debaixo
de vírgula
.
2, 7000
+ 3, 0456
5, 7456

Multiplicação
Para multiplicar dois números decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo a
vírgula do processo.
3, 21
# 2, 4
1284
642 +
7704

No resultado obtido coloca-se a vírgula na casa decimal correspondente ao resultado da soma
das casas decimais das parcelas da multiplicação.

21

Matemática

3, 21 " Duas casas após a vírgula
Total de três casas decimais
# 2, 4 " Uma casa após a vírgula
1284
642 +
7 704 3, 21
# 2, 4
1284
642 +
7, 704

Divisão
O procedimento inicial para dividir dois números decimais assemelha-se ao utilizado na adição
e subtração de números decimais uma vez que é necessário igualar as casas decimais das parcelas.
Assim, para dividir o número 4,7 pelo número 2,35 será necessário igualar a quantidade de
casas decimais do primeiro número com a quantidade de casas decimais do segundo.
Portanto,
Mesma quantidade
Uma casa Duas casas de casas decimais
decimal decimais
? ? ? ?
4, 7 2, 35 " 4, 7 2, 35 " 4, 70 2, 35 " 4, 70 2, 35

A etapa seguinte consiste em eliminar as vírgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) e
desenvolver o algoritmo da divisão.

4, 70 2, 35 " 470 235

Atividades
01 Efetue as operações a seguir:
a) 2,47 + 0,0165 e) 32,51 + 0,4
b) 3 – 1,276 f) 13,31 – 2,3
c) 4 x 2,195 g) 5,2 x 2,3
d) 66 : 2,2 h) 4,50 : 1,5
a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f) 11,01; g) 11,96; h) 3.

22

Matemática

02 Dona Ângela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custam
R$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarrão que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo.
a) Quanto ela gastou no supermercado?
b) Com o total do troco dona Ângela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro
desse tecido?
a) R$ 25,15; b) R$ 7,10.

03 Uma fábrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litros
cada uma. Quantas garrafas serão utilizadas em uma hora?
22 garrafas

Desafio
(UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões
de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia
1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8 L.
Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de:
a) 1,28
b) 1,40
c) 1,75
d) 1,90
Letra a

Aula 05

Conjunto dos números racionais (Q ):
Equivalência de frações
Objetivo geral
Relembrar o conceito de frações equivalentes.

23

Matemática

Conceito básico
Pode-se falar que duas ou mais frações são equivalentes
O que devo aprender
nesta aula
se estas representam a mesma quantidade de uma grandeza.
u Reconhecer a importância
números reais, inclusive
a resolução de problemas dos
e culturais.
como facilitadoras da resolução
problema que envolvem
Observe que nas duas figuras a parte pintada é a mesma. das operações adição,
subtração, multiplicação,
Daí, conclui-se que as frações 2 e 1 representam a divisão, potenciação e
4 2 radiciação.
mesma quantidade, logo, são frações equivalentes, e podem

ser indicadas como: 2 = 1 , ou, 2 + 1 .
4 2 4 2

Portanto, dizemos que duas ou mais frações são equivalentes quando corresponderem à
mesma quantidade.
Exemplo:
Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partes
iguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeu
mais pizza?

24

Matemática

A partir das ilustrações fica perceptível que 2 e 4 representam a mesma quantidade, logo,
4 8
as frações são equivalentes. Podemos concluir, então, que ambas comeram a mesma quantidade
de pizza.

Para saber se duas frações são equivalentes, há um método extremamente simples: basta
multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicar
o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Se os resultados obtidos
forem iguais conclui-se que as frações são equivalentes.

Exemplos:
Verifique se cada um dos pares de frações a seguir são equivalentes:

a) 2 e 4 .
4 8

2 4
4 8

2$8 = 4$4 " 16 = 16

Como os resultados foram iguais (16 = 16) temos que as frações são equivalentes.
Logo, 2 + 4 .
4 8

b) 9 e 6 .
12 8

9 6
12 8

9 $ 8 = 6 $ 12 " 72 = 72

Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as frações são equivalentes.

Logo, 9 + 6 .
12 8

c) 1 e 4 .
2 6

1 4
2 6

1$6 = 2$8 " 6=8

Como os resultados foram diferentes ( 6 ! 8 ) temos que as frações não são equivalentes.

25

Matemática

Simplificação de frações
Simplificar uma fração implica em dividir seus termos (numerador e denominador) por um
mesmo número diferente de zero. É importante perceber que haverá situações em que os termos
terão mais de um divisor comum. Por exemplo, a fração 18 onde tanto numerador como o
denominador são múltiplos de 2, 3 e 6. 24
Por conta disso é importante simplificar a fração até que ela fique na sua forma irredutível,
ou seja, até que não seja mais possível encontrar um número que divida seus termos ao mesmo
tempo.

Exemplos:
Simplifique as frações a seguir até sua forma irredutível:
a) 60 ' 2 = 30 ' 3 = 10 ' 5 = 2
90 ' 2 45 ' 3 15 ' 5 3

84 ' 2 = 42 ' 3 = 14 ' 7 = 2
b)
126 ' 2 63 ' 3 21 ' 7 3

Atividades
01 Simplifique cada uma das frações a seguir até torná-las irredutíveis.
a) 54 b) 150
81 180

c) 512 d) 125
600 175

a) a) 2 5 64 5
; b) ; c) ; d) .
3 6 75 7

02 Verifique quais dos pares de frações são equivalentes:
a) 36 36 b) 36 50
e e
24 24 60 70

c) 100
e
400 d) 7
e
84
125 500 5 60

a) não; b) não; c) sim; d) sim.

03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa.
a) ( ) A fração 30 encontra-se em sua forma irredutível.
35

26

Matemática

b) ( ) As frações 86 56 são equivalentes.
e
93 63

c) ( ) Se simplificar a fração 84 por 2 e o resultado obtido por 3, a nova fração será igual a 14 .
108 18

d) ( ) A forma irredutível da fração 136 é igual a 34 .
140 35
a) F; b) F; c) V; d) V.

Desafio
7
Determine três frações equivalentes à forma irredutível .
9
14 21 35
Sugestão de solução: ; ;
18 27 45

AULA 06

Conjunto dos números racionais (Q ) –
Conversão
Objetivo geral O que devo aprender
Compreender e transformar fração em números nesta aula
decimais e vice-versa. u Utilizar as propriedades das
como facilitadoras da resolução
Conceito básico de situações problema.
Em nosso dia a dia nos deparamos com números u Criar e resolver situações
escritos na forma de fração e precisamos transformá-los problema que envolvem
em números decimais para facilitar a resolução de diversas números reais ampliando e
situações problema. consolidando os significados
Exemplo 1:
Márcio passou R$10,00 para que seus 20 sobrinhos radiciação.
dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou?

27

Matemática

Total em dinheiro: R$ 10,00
Quantidade de sobrinhos: 20
100 20
100 0, 5
0
Portanto, cada sobrinho ganhará R$ 0,50.

Exemplo 2:
Efetue a divisão e escreva na forma decimal
32 = 125 =
a) 3, 2 b) 1, 25
10 100
5 = 28 =
c) 0, 005 d) 0, 028
1000 1000
5 =
e) 0, 005
1000

Atividades
01 Represente a fração decimal 121 na forma decimal.
100
1,21

02 Represente cada uma das frações na forma decimal.

a) 2 b) 35 c) 518
10 10 10

d) 3 148 e) 68 f) 448
10 100 100

g) 2 634 h) 538 i) 5 114
100 1 000 1 000

j) 8 356 l) 4 761 m) 15 832
1 000 10 000 10 000

a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.

28

Matemática

03 Represente os números decimais em frações:
a) 0,3 = b) 5,3 = c) 6,99 =
d) 0,654 = e) 4,336 =
a) 3 b) 53 c) 699
10 10 100

d) 654 e) 4 336
1 000 1 000

Desafio
Observe as frações e suas respectivas representações decimais.
I. 3 =
0, 003
1000

II. 2 367 =
23, 67
100

III. 129 =
0, 0129
10 000

267 =
IV. 10
2, 67

Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas.
a) I e II
b) I e IV
c) I, II e III
d) I, II, III e IV
Letra c.

29

Matemática

AULA 07

Conjunto dos Números Irracionais
Objetivo Geral
Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números O que devo aprender
irracionais bem como suas operações. nesta aula
u Reconhecer que a união dos

Conceito Básico números Racionais e Irracionais
constitui o conjunto dos
Os números irracionais são os números que não podem números Reais.
ser representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são u Reconhecer um número
números reais, mas não são racionais. O conjunto dos irracional.
números irracionais é representado por alguns autores u Criar e resolver situações
pelo símbolo I . problema que envolve
números irracionais.
Sendo assim, representando a ideia expressa ante ior
r
mente em forma de diagrama temos:

Exemplos de números irracionais.
r , { , p , onde p é um número primo.

Observação: a raiz quadrada de qualquer número primo é um número irracional.

Atividades
01 Observe os números escritos no quadro a seguir

30

Matemática

4 3600

3

36 17

Quais desses números são racionais e quais são irracionais?
Racionais: 4 = 2 ; 36 = 6 ; 3600 = 60 ;
Irracionais: 3 ; 17 , pois 3 e 17 são primos.

02 O número irracional r está compreendido entre os números:
a) 0 e 1 b) 1 e 2
c) 2 e 3 d) 3 e 4
d.

03 Considere a expressão: 3 2 -4 2 + 2 -3 3
Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expressão?
a) 0
b) 4 4 - 4 2 - 3 3
c) - 3 3
d) não tem como simplificar esta expressão
Letra c.

Desafio
Escreva quatro números irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10
Existem infinitos números irracionais entre 1 e 10, como exemplo, podemos citar um número bem famoso:
r , 3, 14 ; 3 ; 5 ; 7 ; e 8.

31

Matemática

AULA 08

Conjunto dos Números Reais (R )
Objetivo Geral
Conhecer a definição conceitual de números reais O que devo aprender
nesta aula
Conceito Básico u Reconhecer que a união dos
O conjunto dos números reais R é determinado números Racionais e Irracionais
pela união do conjunto dos números racionais com o constitui o conjunto dos números
Reais.
conjunto dos números irracionais.
u Identificar cada número real
Como já estudamos nas aulas anteriores:
com um ponto da reta e vice-
N " simboliza o conjunto dos Números Naturais versa.
N = "0, 1, 2, 3, 4, 5 ... , u Utilizar as propriedades das
Z " simboliza o conjunto dos Números Inteiros como facilitadoras da resolução
Z = "... , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3... , de situações problema.
Q " simboliza o conjunto dos Números Racionais problema que envolvem números
5 3 reais ampliando e consolidando
Q = '... , - 3, - , - 2, - 1, 0, , 1, 2, 3... 1
2 5 os significados das operações
adição, subtração, multiplicação,
Observação: usaremos o símbolo I para representar o divisão, potenciação e radiciação.
conjunto dos Números Irracionais
Assim, I é o conjunto formado pelos números que
não podem ser representados na forma de uma fração, ou seja, não podem ser obtidos pela divisão
de dois números inteiros. Então podemos falar que os irracionais são números decimais infinitos
e não periódicos.
Exemplos:
2 , 3 , e r.
R " simboliza o conjunto dos Números Reais
R = Q,I

Representando os conjuntos na forma
de diagrama temos:

32

Matemática

Na reta numérica o conjunto dos números reais pode ser representado da seguinte forma:

Quando trabalhamos com operações no campo dos números reais nos retratamos das operações
revisadas anteriormente no conjunto N, Z, I, Q e R .

Veja o seguinte exemplo que retrata operações no campo dos números reais:
Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operações:

a) 3 3 + 2 3 = b) 0 + 1 =

18 =
c) 3 $ 3 = d)
2
18 =
a) 5 3 b) 1 c) 9 =3 d) 2
9 =3

Atividades
01 Seja o conjunto B = " 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 , .
a) Quais desses números são naturais?
b) Quais desses números são racionais?
c) Quais desses números são irracionais?
d) Quais desses números são reais?
a) 16 , 25 , 64 , pois são raízes quadradas exatas.
b) 16 , 25 , 64 , pois todo número natural também é um número racional.
c) 3 , 13 , 30 , são irracionais, pois se trata de raiz quadrada não exata.
d) 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 , todo número racional ou irracional faz parte do conjunto dos números
reais.
02 O valor numérico da expressão x2 – 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita.
Faça os cálculos e descubra quantos anos a professora Rita tem.
Substituindo os valores de x e y na expressão temos:

33

Matemática

x2 – 3x + y + 9 = 62 – 3.6 + 5 + 9 = 36 – 18 + 5 + 9 = 32.
Portanto, a professora Rita tem 32 anos.

03 Indique corretamente a localização dos números reais a seguir na reta númérica:
3 r -3,4 - 1 -3
5 2

Distribuindo esses números na reta numérica temos:

04 O número 51 é um número pertencente ao conjunto dos números
a) naturais
b) inteiros
c) racionais
d) reais
Como já sabemos o número 51 não possui raiz quadrada exata, logo é um número irracional e todo número
irracional pertence ao conjunto dos números reais. Alternativa d.

Desafio
Determine o que se pede na tabela a seguir:
01 Escreva cinco números naturais ( N )
02 Escreva cinco números inteiros positivos ( Z+)
03 Escreva cinco números inteiros negativos ( Z- )
04 Escreva cinco números Racionais ( Q )
05 Escreva cinco números irracionais ( I )
06 Escreva cinco números Reais ( R )

34

Matemática

AULA 09

Os números racionais na reta numérica
Objetivo geral
Possibilitar ao estudante a ampliação sobre o conjunto dos números racionais, relacionando-
os com outros conjuntos e representando-os na reta numérica.

Conceito básico
Um número é dito racional quando puder ser escrito na O que devo aprender
nesta aula
forma fracionária a , sendo a (numerador) e b (denominador)
b u Identificar cada número real
números inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de com um ponto da reta e vice-
zero. Sendo assim, o quociente dessa divisão também será versa.
denominado número racional.
Portanto,
 Todo número natural ( N ) é um número racional uma vez que qualquer natural n é escrito
na forma n .
1

3
Ex: 3 = 1 e 15 = 15 .
1

 Todo número inteiro ( Z ) é um número racional uma vez que qualquer inteiro n é escrito
na forma n .
1
-7 - 26
7
Ex: - 7 = 1 =- 1 e - 26 = 1 =- 26 .
1

 Todo número escrito na forma decimal, também, é um número racional, uma vez que todo
número decimal pode ser escrito na forma ` a , com a e b ! Z, com b ! 0j .
b

Ex: 1, 8 = 18 e 0, 6 = 3 .
10
2

O conjunto dos números racionais é formado pelos números racionais positivos e negativos,
juntamente com o zero. Este conjunto é representado pela letra ( Q ), por ser a letra inicial da
palavra quociente.

35

Matemática

Atividades
01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns números no quadro, conforme mostra a figura a seguir.

Quais dos números escritos pela professora Raquel são racionais:
a) inteiros?
b) escritos na forma decimal?
c) escritos na forma fracionária?
a) 1, +4, +6 e 12 b) -2,1; 0,11 e +3,5 c) - 1
5
e+
3
5

02 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os números:
a) – 6 b) + 8 c) + 3 d) – 5,9 e) 32
5
a) Z e Q b) IN, Z e Q c) Q d) Q e) IN, Z e Q

03 Observe a reta numérica a seguir e indique:

a) O ponto que corresponde ao número + 3 .
4
b) O número racional que corresponde ao ponto N.
c) O número racional que corresponde ao ponto X.
d) O ponto que corresponde ao número - 1 2 .
4
e) O ponto que corresponde ao número – 3.
a) Z b) 7
ou 1
3 c) - 11 ou - 2
3 d) T e) X
4 4 4 4

36

Matemática

Desafio
Se necessário, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com números racionais, substituindo o
símbolo por números que tornam as igualdades verdadeiras.


AULA 10

Potenciação: Definição
Objetivo geral O que devo aprender
nesta aula
Recordar os conceitos de potenciação com expoente
inteiro não negativo e base real diferente de zero. u Reconhecer a importância das
operações que envolvem números
reais, inclusive potenciação e
Conceito básico radiciação, para a resolução de
problemas dos mais variados
a n = a $ a $ a $ ... $ a, a!R e n!Z contextos sociais e culturais.
1 44 2 44 3
4 4
n - vezes
A potenciação é a operação matemática que envolve o como facilitadoras da resolução de
situações problema.
produto de fatores iguais. Denominaremos por
a n ) potência a ) base n) problema que envolvem números
expoente. reais ampliando e consolidando os
significados das operações adição,
Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.
base será multiplicada.

37

Matemática

Note que o expoente n é um número inteiro. Iremos trabalhar inicialmente com valores
positivos para n.

Exemplo:
Calcular o valor de 54.

5 4 = 5 $ 5 $ 5 $ 5 = 625

Expoente maior que 1.
Vejamos o exemplo:
a) Calcular 25.
2 ) base 5 ) expoente 25 ) potência 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 ) fatores

25 = 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = 32

Perceba que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada.
b) Calcular ^- 5h3
^- 5h ) base 3 ) expoente ^- 5h3 ) potência ^- 5h $ ^- 5h $ ^- 5h ) fatores

^- 5h $ ^- 5h $ ^- 5h = - 125

Observação: Professor, lembre-se nesse momento da importância de relembrar as
operações com sinais.

Expoente igual a 1.
Como o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então se o expoente é igual a
1, a potência será igual à base.

Vejamos os exemplos:
71 = 7
7 ) base 1 ) expoente 71 ) potência

^- 12h1 =- 12

^- 12h ) base 1 ) expoente ^- 12h1 ) potência

Deste modo, podemos afirmar que todo número elevado a é igual ao próprio número.

Expoente igual a 0
Todo número não nulo elevado a zero é igual a 1.

38

Matemática

Exemplo: 20 = 1, 30 = 1 e 50 = 1.
Vejamos como isso acontece:

26 = 64 36 = 729 56 = 15 625
'2
25 = 32 35 = 243 55 = 3 125
'2
24 = 16 34 = 81 54 = 625
'2
23 = 8 33 = 27 53 = 125
'2
22 = 4 32 = 9 52 = 25
Observe que quando o expoente é igual a 1, o resultado é a própria base, que pode ser obtido
utilizando a mesma estratégia acima.
21 = 2 31 = 3 51 = 5
Seguindo o processo de divisão, concluímos que todo número não nulo elevado a zero é igual
a 1. Não podemos esquecer que a base tem que ser diferente de zero uma vez que 00 gera uma
indeterminação.
20 = 1 30 = 1 50 = 1

Atividades
01 Calcule as seguintes potências:
a) 24 b) (-3)2 c) (-5)1
d) 70 e) (-12)3 f) ` 3 j2
4

`- 2 j
4
`- 3 j
5
g) h) i) 1,24
5 10

j) -(-0,2)2

a) 16; b) 9; c) -5; d) 1; e) -1 728; f) 9 ; g) 16 ; h) - 243 ; i) 1,44 j) -0,04
16 625 100 000

02 Uma das maneiras de obter a medida da área do quadrado é através da fórmula l2, onde l indica a medida do
seu lado. Nessas condições, qual é a medida da área do quadrado, quando o lado mede
a) 3 cm. b) 2,5 m.
c) 3 km. d) 7 m.
e) 9,3 m.

39

Matemática

a) A = 9 cm2. b) A = 6,25 m2. c) A = 9 km2.
d) A = 49 m2. e) A = 86,49 m2.

03 Responda:
a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual será o sinal da potência?
b) Se a base tem sinal positivo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?
c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual será o sinal da potência?
d) Se a base tem sinal negativo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?
Base Expoente Potência
+ Par +
+ Ímpar +
– Par +
– Ímpar –

Desafio
Márcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro mês e iria dobrando esse
valor a cada mês, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por mês. Ao final de 9 meses, quem terá
recebido mais dinheiro? Quanto?
Pagamentos feitos a Gustavo por Márcio
1 mês 2 mês 3 mês 4o mês 5o mês
o o o
6o mês 7o mês 8o mês 9o mês
R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 4,00 R$ 8,00 R$ 16,00 R$ 32,00 R$ 64,00 R$ 128,00 R$ 256,00
Portanto, Márcio pagou R$ 511,00 para Gustavo.

Pagamentos feitos a Márcio por Gustavo
1 mês 2 mês 3 mês 4o mês 5o mês
o o o
6o mês 7o mês 8o mês 9o mês
R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00
Portanto, Gustavo pagou R$ 450,00 para Márcio.
Logo, Gustavo recebeu mais que Márcio R$ 61,00.

40

Matemática

AULA 11

Potenciação: Propriedades
Objetivo geral
Recordar as propriedades de potenciação com expoente inteiro não negativo e base real
diferente de zero.

Conceito básico O que devo aprender
Como podemos resolver 5 $ 5 $ 5 e apresentar o resulta o
3 2 4
d nesta aula
em forma de potência? u Reconhecer a importância
Vamos lá. números reais, inclusive
53 = 5 $ 5 $ 5 a resolução de problemas dos
52 = 5 $ 5 mais variados contextos sociais
54 = 5 $ 5 $ 5 $ 5 e culturais.

Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base será u Utilizar as propriedades das
multiplicada, então como facilitadoras da resolução
Portanto teremos nove vezes o valor 5, assim 5 $ 5 $ 5 = 5 .
3 2 4 9 números reais ampliando e
1ª propriedade: subtração, multiplicação,
Em um produto de potência de mesma base, devemos radiciação.
conservar a base e somar os expoentes.
Dado a ! R e n, m ! N , então a n $ a m = a n + m .

Observe o seguinte quociente: 5 4 ' 5 2

5$5$5$5
54 ' 52 =
5$5

Simplificando os fatores comuns,
5 $5 $5$5
54 ' 52 =
5 $5

Assim,
54 ' 52 = 54 - 2 = 52

41

Matemática

2ª propriedade:
Em uma divisão de potência de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes.
n
Dado a ! R* e n, m ! N , então a n ' a m = a n + m ou am = a n - m .
a

Uma outra situação é apresentada na propriedade a seguir:
Calcule (23)4

^23h4 = 23 $ 23 $ 23 $ 23 = 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = 212
SSSS
3 3 3 3
2 2 2 2

Assim, ^23h4 = 23 $ 4 = 212

3ª propriedade:
Em uma potência, onde a base é uma potência, devemos conservar a base e multiplicar os
expoentes.

Dado a ! R* e n, m ! N , então ^a nhm = a n - m .

Exercícios
01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.
a) 95 $ 93 b) ^- 4h2 $ ^- 4h $ ^- 4h3
c) 0, 5 $ 0, 52 $ 0, 53 d) `- 3 j3 $ `- 3 j2 $ `- 3 j5 $ `- 3 j1
5 5 5 5

a) 98 b) ^- 4h6
c) 0, 56 d) `- 3 j11
5

02 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.
3
a) 9 5 b) ^- 3h
2
9 ^- 3h2

`- 2 j
7

c) 5 d) 10
6

2 4 10 5
`- j
5
a) 93 b) -3 c) `- 2 j3 d) 10
5

42

Matemática

03 Resolva as seguintes expressões:
a) ^35h2 b) ^42h6 c) ^53h3 d) `` 2 j j
6 3

3

c) 59 d) ` 2 j
18
a) 310 b) 412 3

Desafio
Simplificando a expressão
; E
^0, 0001h4 $ 1027 $ ^0, 01h5
6
100 3 $ ^0, 1h

Obtemos como resultado:
a) 10-6 b) 10-3 c) 10-2
d) 10 e) 103
Alternativa d.

AULA 12

Potência com expoente negativo
Objetivo geral
Recordar os conceitos de potenciação com expoente
inteiro e base real diferente de zero.
O que devo aprender nesta aula
u Reconhecer a importância das
Conceito básico operações que envolvem números reais,
A professora Marina pediu para que seus alunos inclusive potenciação e radiciação, para
resolvessem o seguinte quociente: 53 ' 5 4 . a resolução de problemas dos mais
variados contextos sociais e culturais.
Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou a u Utilizar as propriedades das
professora qual era a maneira correta. operações com números reais como
facilitadoras da resolução de situações
Vejamos suas respostas. problema.
1º maneira: u Criar e resolver situações problema
53 5 $5 $5 que envolvem números reais ampliando
5 '5 = 4 =
3 4
=1 e consolidando os significados
5 5 $5 $5 $5 5
das operações adição, subtração,
2ª maneira: multiplicação, divisão, potenciação e
53 = -1 radiciação.
53 ' 5 4 = 5
54

43

Matemática

A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.
No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder
nesse caso:

23 = 8 33 = 27 53 = 125
'2
22 = 4 32 = 9 52 = 25
'2
21 = 2 31 = 3 51 = 5
'2
20 = 1 30 = 1 50 = 1
'2
1 = -1 1 1
2-1 = 2 31 = 5-1 =
2 3 5
'2
1 = -2 1 1
2-2 = 2 3-2 = 5-2 =
2-2 32 52
'2
1 1 1
2 = -3 = 2-3
-3
3-3 = 5-3 =
2 33 53

Assim quando o expoente é negativo e a base é um número real diferente de zero, então:
1 = ` 1 jn
a- n =
an a
Exemplo:
1) Calcule cada uma das potências a seguir:
2 -4
a) 3-3 b) c 3 m

d) `- 10 j
-2
c) -^- 4h 2
-

12

a) 3-3 = 13 = 27 ; b) c 3 m = ` 3 j = 16 ; c) -^- 4h 2 = c- 1 m =- 16 ; d) `- 10 j = `- 12 j = 144
1 2 -4 81 1
4 2 -2 2
-

3 2 4 12 10 100

Atividades
01 Calcule as potências a seguir:
b) `- 5 j c) 7-3
-2
a) - 4-2 2
1 -5
d) ` 10 j e) -^0, 3h-5
a) - 1 b) 4 c) 1
16 25 343

44

Matemática

d) 1000 000 e) -` 3 -5 = - 10 5 = - 100 000
j ` j
10 3 243

02 Determine o valor da expressão:
^- 2h-3 - `- 2 j
-3

5
124
8

03 Calcule o valor de ^5 -1
+ 3 -2h-2

2 025
196

Desafio
Os círculos a seguir estão empilhados formando um triângulo. Utilizando as propriedades da potenciação,
calcule os valores de x, y e z, sabendo que o produto de cada lado é igual .


45

Matemática

AULA 13

Potenciação: expressões numéricas
Objetivo geral
Trabalhar as propriedades da potenciação com expoente
inteiro e base real diferente de zero em expressões numéricas. O que devo aprender
nesta aula
Conceito básico u Reconhecer a importância
Em muitos casos as operações matemáticas se misturam. números reais, inclusive
Quando nos deparamos com tais situações devemos tomar potenciação e radiciação, para
cuidado com a ordem de resolução dessas operações. Assim, a resolução de problemas dos
primeiramente levamos em conta a ordem de resolução de e culturais.
parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo,
devemos respeitar a seguinte ordem: operações com números reais
1o resolvemos as potenciações e/ou radiciações; como facilitadoras da resolução
2o resolvemos as multiplicações e/ou divisões; u Criar e resolver situações
3 resolvemos as adições e/ou subtrações.
o
Exemplo: Calcule o valor da expressão numérica: das operações adição,
"5 2 + 6^- 3h5 ' ^- 3h4 @3 + ^10 - 4 2h2 , divisão, potenciação e
radiciação.

"25 + 6^- 3h5 - 4 @3 + ^10 - 16h2 ,
"25 + 6^- 3h1 @3 + ^- 6h2 ,
"25 + ^- 3h3 + 36 ,
"25 - 27 + 36 ,
"- 2 + 36 ,
34

Atividades
01 Resolva as expressões numéricas a seguir:
a) 32 - 25 ' 23
b) 28 $ 23 - 53 $ 32
c) ^10-3 $ 105h ' 52

46

Matemática

a) 5
b) 923
c) 4

02 Gustavo resolveu corretamente a expressão a seguir

;c m E
5 2 -1 -2
2 -3
2

Qual foi o resultado encontrado por ele?
a) 1
b) 25
c) 625
d) 1
25
e) 1
625

Alternativa C.

03 Simplifique a expressão x a-2
$ x - a + 3 $ x a + 1 $ x 2a - 5

x 3a - 3

Desafio
-3
2 +5 '5
4 3
Qual é o resultado da expressão E = 32
.

41
E=
72
.

47

Matemática

AULA 14

Decomposição
em fatores primos O que devo aprender
nesta aula
Objetivo Geral u Reconhecer a importância

Relembrar como decompor um número natural em das operações que envolvem
fatores primos. potenciação e radiciação, para
a resolução de problemas dos
Conceito Básico e culturais.
A princípio é válido ressaltar que todo número natural u Utilizar as propriedades das
maior que 1 pode ser escrito como produto de dois ou operações com números reais
mais fatores primos. Por exemplo, o número 50 pode ser como facilitadoras da resolução
escrito como o produto 2 x 5 x 5. de situações problema.
Assim, para se determinar os fatores primos de um u Criar e resolver situações

número natural, maior que 1, uma opção é proceder da problema que envolvem
seguinte forma: consolidando os significados
I) Divida o número especificado pelo menor número das operações adição,
primo que resulte em uma divisão exata. Escreva o valor subtração, multiplicação,
obtido da divisão imediatamente abaixo do número a ser
radiciação.
decomposto.

II) Repita o procedimento adotado no tópico anterior de forma iterativa (repetida) até chegar
ao resultado igual a 1(quociente igual a 1). Assim:

48

Matemática

III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita serão os fatores primos do número
em questão (300).

Assim, o número 300 pode ser escrito como produto dos fatores obtidos:
300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52

Atividades
01 Quais desses números abaixo são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 6?
a) 116 b) 30 c) 111
d) 60 e) 210 f) 405
116 (2 e 4); 30 (2, 3, 5 e 6); 111 (3); 60 (2, 3, 4, 5 e 6); 210 (2, 3, 5 e 6); 405 (3 e 5).

02 Determine os fatores primos dos números naturais a seguir:
a) 150 b) 93
c) 62 d) 768
a) 2 . 3 . 52; b) 3 . 31; c) 2 . 31; d) 28 . 3

03 Qual é o número cuja fatoração é:
a) 2 . 33 . 5 . 7
b) 11 . 13
c) 23 . 5 . 7 . 31
d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11
a) 1 890; b) 143; c) 8 680; d) 2 310.

49

Matemática

Desafio
No 8º ano da escola BOA NOTA há 35 alunos, e no 9º ano há 42 alunos. Para realizar uma gincana, os es-
tudantes serão organizados em grupos, todos com o mesmo número de alunos e com a condição de que
não se misturem (estudantes de anos diferentes).
A) Qual é o número máximo de alunos que podem haver em cada grupo?
B) Nesse caso, quantos grupos serão formados em cada ano?
A) 7
B) 5 e 6 respectivamente

AULA 15

Radiciação: Definição / Extração de raiz
Objetivo Geral
Extrair a raiz de números reais apresentados na forma
de radical. O que devo aprender
nesta aula
Conceito Básico u Reconhecer a importância

O termo radiciação define a operação inversa da poten- das operações que envolvem
ciação. O símbolo utilizado na radiciação é o radix ( ). potenciação e radiciação, para
Ele possui a seguinte estrutura: 9 512 = 2 a resolução de problemas dos
e culturais.
" radical
512 " radicando operações com números reais
9 " índice como facilitadoras da resolução
2 " raiz
É válido ressaltar que o radical que possui índice igual das operações adição,
a 2 omite tal índice de sua simbologia. Veja: subtração, multiplicação,
a) " lê-se: raiz quadrada (índice igual a 2); radiciação.

b) 3
" lê-se: raiz cúbica (índice igual a 3);
c) 4
" lê-se: raiz quarta (índice igual a 4).

50

Mat 9

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