Olasılık Dağılımları

BÖLÜM 5:
OLASILIK DAĞILIMLARI
Hazırlayan
GülĢah BaĢol
TOKAT - 2013
T.C.
GAZĠOSMANPAġAÜNĠVERSĠTESĠ
EĞĠTĠMFAKÜLTESĠ

Konu BaĢlıkları
• 5.1. Olasılık Dağılımları
• 5.1.1. Kesikli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları
• 5.1.1.1. Bernoulli Dağılımı
• 5.1.1.2. Binom Dağılımı
• 5.1.1.3. Poisson Dağılımı
• 5.1.1.3. Hipergeometrik Dağılımı
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI

Konu BaĢlıkları
• 5.1.2. Sürekli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları
• 5.1.2.1. Üstel Dağılım
• 5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım
• 5.1.2.3. Normal Dağılım
• 5.1.4. Standart Normal Dağılım
• 5.1.5. Merkezi Limit Teoremi
• 5.1.6. Normal Dağılıma Yakınsamalar

• Olasılık dağılımlarını bilir.
• Kesikli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını söyler.
• Bernoulli dağılımını bilir.
• Binom dağılımını bilir.
• Poisson dağılımını bilir.
• Hipergeometrik dağılımı bilir.
• Sürekli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını bilir.
• Üstel dağılımı bilir.
• Tekdüze (Uniform) dağılımı bilir.
• Normal dağılımı bilir.
• Standart normal dağılımı bilir.
Kazanımlar

• Sürekli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını bilir.
• Üstel dağılımı bilir.
• Tekdüze (Uniform) dağılımı bilir.
• Normal dağılımı bilir.
• Standart normal dağılımı bilir.
• Merkezi Limit Teoremini bilir.
• Kesikli ve sürekli dağılımların belli koĢullarda normal
dağılıma yakınsama özellikleri olduğunu bilir.
Kazanımlar

Sürekli
Olasılık
Dağılımları
Binom
Hipergeometrik
Poisson
Olasılık
Dağılımları
Kesikli Olasılık
Dağılımları
Normal
Uniform
Üstel
Bernoulli
5.1. Olasılık Dağılımları

5.1. 1. Kesikli Olasılık Dağılımları
Binom
Hipergeometrik
Poisson
Kesikli Olasılık
Dağılımları
Bernoulli

5.1.1.1. Bernoulli Dağılımı
• Ġsviçreli bilim adamı Jacob Bernoulli tarafından bulunmuĢtur. En basit
kesikli olasılık dağılımdır., tek denemede gerçekleĢen iki çıktılı
(geçme/kalma, doğru yapma/yanlıĢ yapma, atanma/atanamama)
(Bernoulli deneyi) olayların olasılığının hesaplanmasında kullanılır.
• Olayın olma olasılığı p, olmama olasılığı 1-p ,
• Beklenen olasılık değeri E(X),
• Beklenen varyans p.(1-p)‟dir.
• E(X)= =p
n = 0 ise p(n) = 1-p,
n = 1 ise p(n) = p,
Olasılık fonksiyonunun gösterimi:
• f(x) = P(X=x)=px . (1-p) 1-x , x=0,1

5.1.1.2. Binom Dağılımı
• Bernoulli denemelerinin n kez tekrarlandığı düĢünülsün.
Bu denemelerde baĢarılı sonuçların sayısı X raslantı
değiĢkeni kadardır. Bir deney
• Ġki çıktılı sonuç veriyorsa,
• Deney boyunca yapılan denemeler (n), aynı koĢullar
altında gerçekleĢtiriliyorsa,
• Tek deneme için baĢarılı olma olasılığı p ve baĢarısızlık
olasılığı q ise ve bu olasılık her deneme için aynıysa,
• Denemeler birbirinden bağımsızsa,
• n deney boyunca sabitse deney binom dağılımındadır.

5.1.1.2. Binom Dağılımına Örnekler
• BeĢ çocuklu bir ailede belli bir sayıda kız veya erkek
çocuğa sahip olma olasılığı,
• Bir paranın 4 kez atılmasında belli bir sayıda yazı veya
tura gelmesi olasılığı,
• Belli sayıda gruplarda olasılık bilindiğinde farklı senaryolar
için bir olayın olması ve olmaması olasılığı.
•

5.1.1.2.1. Binom Dağılımının Elde Edilmesi
• Örnek1 : Bir lokantada servislerden memnuniyetsizliğin
oranı 0,20‟dur. 4‟er kiĢilik masalarda servilerden
memnuniyetsizliğin dağılımını oluĢturunuz.
• Bu olayda karĢılaĢılacak olan sonuçlar, X raslantı
değiĢkeninin değerleri ve olasılıkları aĢağıda verilmiĢtir:

ġġġġ 4 =1
1[0,204 0,800]=0,0016
ġġġM 3 4[0,203 0,801]=0,0064
ġġMġ
ġMġġ
Mġġġ
ġġMM 2 6[0,202 0,802]=0,1536
ġMġM
ġMMġ
MġġM
MġMġ
MMġġ
SONUÇLAR X
ras.değ.
X ras.değ.alma
sayısı
Olasılık
4
4
4
3
4
6
2
4

MMMġ 1 4[0,201 0,803]=0,4096
MMġM
MġMM
ġMMM
MMMM 0 1[0,200 0,804]=0,4096
SONUÇLAR X ras.değ.
X ras.değ.alma
sayısı Olasılık
1
4
0
4
ġ: Ģikayet
M: memnuniyet

Sonuç olarak
Masalardaki ortalama kiĢi sayısı n,
ġikayet sayısı x,
X=x‟in olasılık fonksiyonu;
n,...,3,2,1x,)p1(p
x
n
)xX(P
xnx
Yani n‟in x‟li kombinasyonu çarpı bir olayın tekrarlı
olma ve olmama olasılıklarının çarpımı
n,...,3,2,1x,qp
)!xn(!x
!n
)xX(P
xnx
Ģeklinde verilebilir.

Örnek2:
• Dört kiĢilik masalarda iki kiĢinin Ģikayet etme olasılığı,
1536.0256..680,020,0
)!24(!2
!4
)2(
242
XP

n.pE(x)μ
n.p.qσVar(X)
2
n.p.qσ
Ortalama
Binom Dağılımının Karakteristikleri
Varyans ve standart sapma

Binom Olasılık Tablosu
n = 10
x p=.15 p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1969
0.3474
0.2759
0.1298
0.0401
0.0085
0.0012
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.1074
0.2684
0.3020
0.2013
0.0881
0.0264
0.0055
0.0008
0.0001
0.0000
0.0000
0.0563
0.1877
0.2816
0.2503
0.1460
0.0584
0.0162
0.0031
0.0004
0.0000
0.0000
0.0282
0.1211
0.2335
0.2668
0.2001
0.1029
0.0368
0.0090
0.0014
0.0001
0.0000
0.0135
0.0725
0.1757
0.2522
0.2377
0.1536
0.0689
0.0212
0.0043
0.0005
0.0000
0.0060
0.0403
0.1209
0.2150
0.2508
0.2007
0.1115
0.0425
0.0106
0.0016
0.0001
0.0025
0.0207
0.0763
0.1665
0.2384
0.2340
0.1596
0.0746
0.0229
0.0042
0.0003
0.0010
0.0098
0.0439
0.1172
0.2051
0.2461
0.2051
0.1172
0.0439
0.0098
0.0010
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
p=.85 p=.80 p=.75 p=.70 p=.65 p=.60 p=.55 p=.50 x
n = 10, p = .25, x = 4: P(x = 4|n =10, p = .25) = .1460
n = 10, p = .70, x = 3: P(x = 3|n =10, p = .70) = .0090

Örnek3:
• 5 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısına iliĢkin dağılımı
oluĢturunuz ve aĢağıdaki soruları cevaplayınız. (X, erkek
çocuk sayısı, ailede erkek çocuğu olma olasılığı
p=1/2‟dir.)
• 2 ve daha az erkek çocuk olma olasılığı nedir?
• 3 den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir?

xnx
qp
)!xn(!x
!n
)xX(PErkek Çocuk Sayısı (X)
0 0313,0
2
1
2
1
0
5
50
1 1563,0
2
1
2
1
1
5
41
2 3125,0
2
1
2
1
2
5
32
3 3125,0
2
1
2
1
3
5
23
4 1563,0
2
1
2
1
4
5
14
5
0313,0
2
1
2
1
5
5
05

b- P(X>3)= P(X=4)+ P(X=5)
= 0,1563+0,0313=0,1876
a- P(X 2)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)
= 0,0313+0,1563+0,3125=0,5001
a- 2 ve daha az erkek çocuk olma olasılığı nedir? P(X 2)
b- 3’den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir? P(X>3)

5.1.1.3. Poisson Dağılımı
• Belli bir zaman aralığında, belli bir alanda nadir
rastlanan olayların olasılık dağılımları Poisson
dağılımı ile modellenebilir. Poisson dağılımı
ortalaması ve varyansı aynı olan tek parametreli (
lambda) bir dağılımdır.
Örnekler
• Bir bölgede görülen Kırım Kongo Kanamalı AteĢi vaka
sayısı,
• Postanede bir iĢ gününde belli bir bankoya gelen müĢteri
sayısı,
• Bir kavĢakta bir ayda gerçekleĢen trafik kazalarının sayısı,
• Boğaz köprüsünden bir saatte geçen araç sayısı.

!
)(
)(
x
et
xXP
tx
Ģeklindedir.
e=2,71828
x=t birim zaman içinde ilgilenilen olay sayısı,
t=t birim zaman içinde ilgilenilen olayın ortalama oluĢ sayısı.
Genellikle t= 1 alınır. Bu durumda Poisson dağılımının olasılık fonksiyonu
aĢağıdaki Ģekildedir.
!x
e)(
)xX(P
x
X Poisson raslantı değiĢkeninin olasılık fonksiyonu,
Lambda‟nın beklenen değerinin gerçekleĢme olasılığı
)( XP

Yukarıdaki eĢitliğe karĢılık gelen
doğal logaritma değeri e‟dir. e=
2.71828
Eular numarası (2.71828) N
sonsuza ulaĢırken yukarıdaki
eĢitliğin limitidir.
a’ nın alacağı pek çok değer için f(x) = ax. e
x=0 iken ax = 1, f(x)=e‟dir. Mavi eğri ex‟i
gösterir. KarĢılaĢtırma amaçlı noktalı eğri 2x ve
kesik çizgili eğri ise 4x„ü göstermektedir.

Poisson Dağılımının Karakteristikleri
• Dağılıma iliĢkin ortalama:
• Dağılıma iliĢkin varyans:
• Dağılıma iliĢkin standart sapma:
Var(X)
E(X)
2
σ

• Örnek4 : Muhtarlığa bir yılda baĢvuran yardıma muhtaç
mahalle sakini sayısı 40 olsun. Burada raslantı değiĢkeni X
bir Poisson dağılımı göstersin. Üç ayda gelecek ortalama
yoksulluk baĢvuru sayısı ve üç ayda 1 hasta gelme olasılığı
nedir?
• Burada 3 aylık zaman diliminin [t=12 (1/4)=3] yani, ¼‟ü
kullanılmıĢtır.
• t=1 yıl iken =10,
• t=1/4 ay iken t=40 1/4=10 olur.
• 3 ayda1 yoksulluk baĢvurusu olma olasılığı,
•
• Yoksulluk baĢvuru sayısı ise bu oranın 40 ile çarpımının
sonucudur.
• 40*.
000045.
!1
)10(
)1(
101
e
XP

Bir üniversitede yılda 3000 öğrencinin notları girilmekte ve
puan giriĢi yapılırken gerçekleĢen ortalama hata sayısı =0,2
olan Poisson dağılımına sahiptir. X raslantı değiĢkeni hata
sayısı olup, X raslantı değiĢkeninin olasılık fonksiyonu;
...3,2,1,0,
!
)2,0(
)(
2,0
x
x
e
xXP
x
dir.

Örnek5
• Üniversitenin öğrenci bilgi sisteminde bir yılda hiç
hata yapmayan, 1 öğrencinin notunu yanlıĢ giren, 2
öğrencinin notunu yanlıĢ giren ve 3 öğrencinin
notunu yanlıĢ giren öğretim üyesi olması
olasılıklarını ve 3000 dosyada kaç adet hatalı giriĢ
bulunacağını hesaplayınız.
8187.
!0
)2,0(
)(
2,00
e
içermemehataHiçP
. 8187 3000 …2456.1 adet

1637.
!1
)2,0(
)1(
2,01
e
içermehataP
.1637 3000 491.1 adet
0164.
!2
)2,0(
)2(
2,02
e
içermehataP
.0164 3000 49.2 adet
0011.
!3
)2,0(
)3(
2,03
e
içermehataP
.0011 3000 3.3 adet

X
t
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90
0
1
2
3
4
5
6
7
0.9048
0.0905
0.0045
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.8187
0.1637
0.0164
0.0011
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.7408
0.2222
0.0333
0.0033
0.0003
0.0000
0.0000
0.0000
0.6703
0.2681
0.0536
0.0072
0.0007
0.0001
0.0000
0.0000
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000
0.5488
0.3293
0.0988
0.0198
0.0030
0.0004
0.0000
0.0000
0.4966
0.3476
0.1217
0.0284
0.0050
0.0007
0.0001
0.0000
0.4493
0.3595
0.1438
0.0383
0.0077
0.0012
0.0002
0.0000
0.4066
0.3659
0.1647
0.0494
0.0111
0.0020
0.0003
0.0000
.0072
2!
e(0.40)
!
)(
)2(
0.402
x
et
xP
tx
Örneğin: t = .40 için P(x = 3)

5.1.1.4.Hipergeometrik Dağılım
Hipergeometrik olasılık dağılımı binom olasılık
dağılımına benzer.
Ġkisinin arasındaki temel fark hipergeometrik olasılık
dağılımında denemelerin bağımsız olmasıdır. Bu
nedenle de “baĢarılı” sonucu elde etme olasılığı her
deneme için farklı olacaktır.

5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılımın Özellikleri
1. N sayıda sonlu popülasyondan seçilen n sayıda
örnek söz konusudur.
2. Örnekler yerine konmadan elde edilir.
3. Ġki çıktılıdır. Geçti/Kaldı, BaĢarılı/BaĢarısız gibi.
4. Denemeler birbirinden bağımsızdır.
pn.OrtalamaAritmetik
)
1
).(1.(.
N
nN
ppnVaryans

5.1.1.4.Hipergeometrik Dağılımın Formülü
N büyüklükteki bir örneklemden seçilen n nesne veya kiĢinin ilgilenilen yani gelmesi
istenen sonucun sayısı ise x ile gösterilir. Aise istenen x‟in örneklemdeki sayısıdır. N-
A diğer sonucun sayısı, n-x ise kalan seçimlerin sayısıdır. Olasılık değeri 0 ile 1
arasında bulunur. 0<P(X)<1. 0 ve 1 aralığında elde edilen olasılıkların toplamı 1‟e
eĢittir. Hipergeometrik olasılılıkları hesaplama formülü:
n
N
xn
AN
x
A
xXP
.
)(
n: Örnek gözlem sayısı,
N: Popülasyon üye sayısı,
A: Popülasyondaki üye sayısı,
X: Örnekteki baĢarılı sonuç sayısı
Burada olasılık değerini elde etmek için iki adet payda bir adet paydada
olmak üzere toplam üç adet kombinasyon değeri hesaplanır.

5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler
Örnek6:
Bir kavanozda4‟ü kırmızı, 7‟si sarı olmak üzere11 Ģeker vardır. Kavanoza
tekrariade edilmeksizin 4 Ģeker çekiliyor.X hipergeometrik değiĢken olmak
üzereçekilen Ģekerlemelerin 3‟ünün sarı olması olasılığı nedir? P(x=3)
4
11
34
711
.
3
7
)37(P

Örnek7:
Bir malzeme kutusunda 12‟si 3mm‟lik 8‟i 5mm‟lik 20 adet vida bulunmaktadır.
Bu kutudan iade edilmeksizin 4 vida seçildiğinde X hipergeometrik değiĢken
olmak üzere çekilen vidaların 4‟ünün de 3 mm‟lik olması olasılığı nedir? P(x=4)
4
20
44
1220
.
4
12
)412(P

Örnek8:
Bir kreĢte 30‟u kız 20‟si erkek olmak üzere 50 bebek bulunmaktadır.Bu kreĢte
kıĢ aylarında bebeklersık sık hastalanmaktadır.5 bebek hastalanıp kreĢe
gelemediğinde X hipergeometrik değiĢken olmak üzere bu bebeklerden 2‟sinin
kız olması olasılığı nedir? P(x=2)
5
50
25
3050
.
2
30
)230(P

Örnek9:
Bir kreĢte 30‟u kız 20‟si erkek olmak üzere 50 bebek bulunmaktadır. Bu kreĢte
kıĢ aylarında bebekler sık sık hastalanmaktadır. 5 bebek hastalanıp kreĢe
gelemediğinde X hipergeometrik değiĢken olmak üzere bu bebeklerden 3‟
ünün erkek olması olasılığı nedir? P(x=3)
5
50
35
2050
.
3
20
)320(P

Örnek10:
Bir sınıftaki 20 öğrenciden 16‟sı sınavın tekrar edilmesini geriye kalan 4 öğrenci
ise notlarından memnun olduklarını ifade etmektedir. X hipergeometrik
değiĢken olmak üzere bu sınıftan seçilecek 10 kiĢiden 5‟ inin sınavın tekrar
edilmesini isteyen öğrencilerden oluĢmasıolasılığı nedir? P(x=5)
10
20
510
1620
.
5
16
)516(P
Bu çocuklardanen az ikisinin sınavın tekrarınıistemesi olasılığı nedir?
P(X=>2)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5)

5.1.2. Sürekli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık
Dağılımları
Sürekli
Olasılık
Dağılımları
Olasılık
Dağılımları
Uniform
Üstel
Normal

5.1.2.1. Üstel Dağılım
• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir
baĢka ifadeyle ilgilenilen olayın bir kere daha olması için
geçen sürenin dağılımıdır. Sırada bekleme sorunlarının
çözmede kullanılır.
Örnek:
• Bir bankada veznede yapılan iĢlemler arasındaki geçen
süre,
• Bir taksi durağında gelen müĢteriler arasındaki bekleme
süresi,
• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki
geçen süre,
• Bir kumaĢta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk
(metre).

40
Belirli bir zaman aralığında sırada bekleyen yolcu
sayılarının dağılımı Poisson Dağılımındadır.
Yolcuların durağa geliĢlerinden otobüse biniĢlerine kadar
geçen sürenin dağılımı ise Üstel Dağılıma göredir. Üstel
Dağılımın parametresi a‟dır. Üstel ve Poisson Dağılımlarının
parametreleri arasındaki iliĢki:
1
a

41
Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
iki durumun gözlenmesi için gereken ortalama süre
x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya çıkması için
gereken süre ya da uzaklık.
, 0
0
a x
a e x
f x
d ig er d u ru m la rd a
0a
f(x) x üstel dağılan değiĢkeninin üstel dağılım fonksiyonudur.
Üstel dağılımın parametresi a’dır.

42
Üstel Dağılımın Beklenen Değeri ve Varyansı
E(X)
Var (X)
1
a
2
2
1
a
Parametreleri:

( ) 1
ax
P X x e
( ) 1 (1 )
ax ax
P X x e e
Örnek11: Bir telefon operatörüne yapılan bir aramada telefon
görüĢmesi için ortalama bekleme süresinin 5 dakika olduğu
belirtilmektedir. Bir arayanın 10 dakikadan çok beklemesi
olasılığı nedir?
P(X>10)=? 5
1 1
5
a

5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım
• Eğer bir rassal değiĢken için olası değerlerin ortaya çıkma
olasılıkları eĢitse, bu rassal değiĢken ayrık tekdüze dağılıma
sahiptir denir. Bu Ģekilde herhangi bir olay için
olasılık Tekdüze olur. Hilesiz bir zar atıldığında ortaya çıkan
sonuçların olasılığı buna örnek verilebilir. Her bir değer için
(1,2,3,4,5,6) olasılık 1/6‟dır. Hatasız bir paranın yazı veya
tura gelmesi de buna örnek olabilir.
• a ile b sayıları arasında tanımlanmıĢ tekdüze bir dağılımın
E(X)=: (a+b)/2
Var(X)= (b-a)^2/12
Parametreleri:C

5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım

5.1.2.3. Normal Dağılım
• Tüm dağılımların en önemlisidir diyebiliriz. Ġlk olarak
1733’te Moivre tarafından p baĢarı olasılığı değiĢmemek
koĢulu ile binom dağılımının limit Ģekli olarak ele alınmıĢtır.
1774’te Laplace üzerinde çalıĢmıĢ, 19. yüzyılın ilk
yıllarında Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım
istatistikte yerini almıĢtır.
• Dağılım doğada çıkan olası sonuçları ifade ettiği için normal
olarak adlandırılmıĢtır.
• Pek çok kesikli veya sürekli dağılım belli koĢullar
oluĢtuğunda normale dönüĢür bu nedenle de normal
dağılım sıklıkla kullanılmaktadır.

47
5.1.4.Standart Normal Dağılım
Puanlar standart değerlere dönüĢtürülerek tek bir
tabloda olasılık değerlerine ulaĢmak ve farklı
örneklemleri karĢılaĢtırmak mümkün olur.
Standart normal dağılım ortalaması 0 , varyans ise
1 olan simetrik bir dağılımdır. Standart normal
dağılımda z değerlerinin dağılımı ele alınır. Bu
yüzden z dağılımı da denir. Ortalaması 0 varyansı
1‟dir.

48
Normal Dağılımın Özellikleri
Çan eğrisi Ģeklindedir. Normal dağılım çarpıklık
katsayısı basıklık katsayısı 3 olan simetrik bir
dağılımdır.
• Normal dağılım eğrisinin fonksiyonu:
xexf
x
,
2
1
)(
2
2
1
...
e = 2,71828
= popülasyon standart
sapması
= popülasyon ortalaması

49
)(xE
2
)( xVar
f(x )
xOrtalama=Mod=Medyan
Olasılık dağılım fonksiyonu P(a), X değiĢkeninin aldığı
değiĢik a değerlerinin olasılığını veren fonksiyondur.
Parametreleri:
Olasılık Dağılım Fonksiyonu

Rastsal DeğiĢkenler için Beklenen Değer ve
Varyans
• Beklenen Değer ortalamaya eĢittir.
( )
x
E X xP x
• Varyans
22
X
E X E X

Rastsal DeğiĢkenin Lineer Fonksiyonu
• Fonksiyon:
• Ortalama:
Y a bX
E Y a bE X

Normal eğri altındaki alan 1‟e eĢittir. Normal dağılımda
herhangi bir X sürekli değiĢkeninin nokta tahmini sıfırdır.
Çünkü normal eğri altında sonsuz sayıda X noktası
olduğundan aralık tahmini yapılır. Evren aritmetik
ortalaması ve standart sapması kullanılarak z değerleri
bulunur ve bu değerlere karĢılık gelen alan hesaplanır.
Normal Dağılım Tablosunun Kullanırken:
• Öncelikle örneklem dağılımının aritmetik ortalaması ve standart
sapması kullanılarak ilgili puana karĢılık gelen z değeri bulunur.
• Standart normal dağılım tablosunda istenilen alan karalanır.
• Tablo değerine bakılarak eğri üzerinde uygun alan hesaplanır.

53
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı
?)()(
b
a
bxxfbxaP
Standart normal dağılımda
olasılık eğri altında kalan
alanı ifade eder.
1)()( bxxfxP

54
Standart Normal Dağılımda z Değeri
x
z
f(x )
x
f(z )
z
X ~ N ( , 2 )
Z ~ N ( 0 , 1)

55
NOT: Ġlk Sütunda z değerleri .10’luk açılımlarla
sıralanmıştır. SÜTUNLAR VĠRGÜLDEN SONRAKĠ
ĠKĠNCĠ RAKAMI GÖSTERMEKTEDĠR.

Standart Normal Dağılımda Alan ĠliĢkileri
 A+ B: Verilen bir z tablo değerinin yüzdelik karĢılığını verir.
 B: Verilen bir z değeri ile aritmetik ortalama arasında kalan bireylerin
yüzdesini verir.
 C: Belli bir z değerinin üzerinde puan alanların (sol tarafta ise altında puan
alanların) yüzdesini verir.

Standart Normal Dağılım
Aritmetik Ortalama
Tepe Değer
Ortanca
)0()0( zaPazP

Standart Normal Dağılımla Olasılık Hesabı

Çarpıklık ve Basıklık Katsayılarının
Hesaplanması
• Dağılımları yorumlamada sıklıkla baĢvurulan bir diğer ölçü
de çarpıklık ve basıklık katsayılarıdır.

Çarpıklık Katsayısı
Puanlar x ekseninde küçükten büyüğe sıralanırken, bazı
durumlarda solda, bazen de sağda yığılma gösterirler.
Standart normal bir dağılımda aritmetik ortalama, ortanca
ve tepe değer aynı noktadadır ve çarpıklık 0 dır.
Çarpıklığın pozitif olması dağılımın sağa çarpık olduğu,
negatif olması ise dağılımın sola çarpık olduğu anlamına
gelir.

Basıklık Katsayısı
Basıklık katsayısı dağılımın sivrilik ya da yayvanlık
derecesinin bir ölçüsüdür. Basıklık katsayısı dağılımın
aritmetik ortalama etrafında yığılma veya aritmetik
ortalamadan uzaklaĢma eğilimi gösterir. Puanların az
çeĢitlilik gösterdiği, herkesin yaklaĢık benzer notlar aldığı
bir dağılım sivridir, puanların çeĢitlendiği bir dağılım ise
basıktır.
Basıklık katsayısı 0‟dan büyükse dağılım sivri, 0‟dan
küçükse dağılım basıktır.

63
Parametre DeğiĢikliklerindeki Farklar
2222
CBDADCBA

64
Standart Normal Dağılım Tablosunu
Kullanarak Olasılık Hesaplama
3413.)10( zP
f(z )
z
0 1

65
1587.)3413.50(.)10(50.
1587.)1(
zP
zP

66
Normal dağılım eğrisi simetriktir. Bu nedenle aynı değerler için iĢaretler farklı
da olsa olasılıklar eĢittir. z ile ifade edilen değerler normal dağılım için
kullanılır.

Olasılığın Ġfade Edilmesi

68
f(z )
z-1 10
?)11( zP
( 1 1) ( 1 0) (0 1)
2 * (0 1) 2(0.3413) 0.6826
P z P z P z
P z
Ġstenen bölge tarandıktan sonra düĢük değer önce olmak üzere (negatif
değerler için düĢük değer sayısal değeri büyük olan değer olacaktır) z
değerinin istenen aralığı yazılır.

69
?)25.15.1( zP
0388.3944.4332.
)025.1()05.1()25.15.1( zPzPzP

70
?)65.165.1( zP
95.475.475.
)65.10()065.1()65.165.1( zPzPzP

71
?)58.258.2( zP
99.485.485.
)58.20()058.2()58.258.2( zPzPzP

 μ ± 1σ arasında puanların %68.26’sı i bulunur.
 μ ± 2σ arasında puanların %95.44’ü bulunur.
 μ ± 3σ arasında puanların %99.7’si bulunur.
xμ
2σ 2σ
xμ
3σ 3σ
95.44% 99.72%
x
%68.26
1σ 1σ
μ

5.1.5.Merkezi Limit Teoremi
• Merkezi limit teoremi, evrene ait dağılım bilinmediğinde ya da
evren dağılımı normal olmadığında, normal dağılımdan
yararlanarak olasılık hesaplamak için kullanılan bir teoremdir.
• Bu teoremin fonksiyonu:
• Bu teoreme göre aritmetik ortalaması (µ) ve varyansı
• olan sonlu olan bir evren dağılımı örneklem büyüklüğü arttıkça
örneklemin aritmetik ortalaması (µ) ve varyansı
olan normal bir dağılıma dönüĢeceği varsayılır.
• Böylelikle örneklem büyüklüğü 30‟un üzerindeyken elimizdeki
dağılımla ilgili olarak normal dağılımın özelliklerinden
yararlanılarak yorumlarda bulunulabilir.
);(~)(lim
2
nNXf
n
)(
2
n
)(
2

Örneklemden hesaplanan her değer evren ortalaması olan
μ’nün bir tahminidir. Buna göre örneklem değiştikçe tahmin
değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Parametre
değerinden olan sapmalara örnekleme hatası denir.
Örnekleme hatası aritmetik ortalamaların dağılımının standart
sapmasıdır. Aşağıdaki formülle örnekleme hatasını
hesaplayabiliriz:
Örnekleme Hatası
)(
2
nX

Aritmetik Ortalamanın Alt ve Üst Sınırı
Aritmetik ortalamanın örneklem hatası aritmetik ortalamaya
bir kere eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların %68
alt ve üstü sınırını verir.
X
X
X
X
.1
.1
1.96 oranında eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların
%95 alt ve üstü sınırını verir.
X
X
X
X
.96.1
.96.1
X
X
X
X
.58.2
.58.2
2.58 oranında eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların
%99 alt ve üstü sınırını verir.

5.1.6.Normal Dağılıma Yakınsamalar
• Normal koĢullarda örneklem büyüklüğü 30‟un üzerine
çıktığında dağılımlar normale dönüĢür.

Binom Dağılımının Normal Dağılıma
Yakınsaması
• Büyük n değerleri için yaklaĢık olarak standart normal
• Dağılıma dönüĢür.

Poisson Dağılımının Normal Dağılıma
Yakınsaması
• Beklenen değer büyüdükçe Poisson olasılık dağılımı
normal dağılıma yaklaĢır.

Olasılık Dağılımları

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Más de Gülşah Başol

Más de Gülşah Başol (6)

Olasılık Dağılımları