Kirchhoffovi zakoni - zadaci

1. SPAJANJE OTPORNIKA U STRUJNOM
KRUGU
Učenik: Dino Cindrić 1.a.
e-mail:
dino.cindric@gmail.com

2. Paralelni spoj otpornika – I.
Kirchoffov zakon

3. • 1. Kirchoffov zakon ili zakon granjanja
struje glasi: Zbroj struja koje ulaze u neki
čvor jednak je zbroju struja koje izlaze iz
tog čvora.
I I I ...In 1 2   
Ili možemo zapisati ovako
0 1 2 I  I  I 
I  0

4. Ukupni otpor paralelnog spoja
• Kada imamo npr. 3 otpornika, ukupni otpor
izračunavamo na sljedeći način:
1
R  R 
R
1 2 3
R R R R R R
   ...

1 1 1
R R R R
uk 1 2
n 
 

1 2 2 3 3 1
Ruk
Općenito, za n otpornika vrijedi:

5. • Analiza paralelnog spoja može se provesti i
primjenom vodljivosti, tada vrijedi:
  
1 2
2
2
1
1
1
,
1
,
1
G G G
R
G
R
G
R
G
uk
uk
uk
 
Ukupna vodljivost paralelnog spoja jednaka je
zbroju pojedinih vodljivosti.

6. • Snage u paralelnom spoju
• Ukupna snaga koju daje izvor je jednaka:
I U P  
Daljnjim uvrštavanje dobiju se ostale dvije formule za snagu:
U
R
P I R
2
2   ;

7. • Zadatak 11. str 86.
• Zadana su četiri otpornika:
Zadani otpornici spojeni su paralelno na istosmjerni naponU=100V.
Izračunajte struje kroz otpornike i ukupni otpor.
 20, 180,  200,  400 1 2 3 4 R R R R
 20

 180

 200

 400

R
1
R
2
R
3
R
4
, , , , ? 1 2 3 4  uk I I I I R
A
U
 
U


  
U
  
U
R
I
A
R
I
A
R
I
A
V
R
I
0,25
100
100
100
100
400
0,5
200
0,555555
180
5
20
4
4
3
3
2
2
1
1
  
I I I I I
I
   
1 2 3 4
   
5 0,55555555 0,5 0,25
I 
6,3055555
A
U
 
100
6,305555
 15,8590322   15,86

uk
R
uk
A
V
I
R

8. • Karakteristike paralelnog spoja:
• U paralenom spoju na svim otpornicima vlada isti napon.
• Svakim otpornikom teče samo dio ukupne struje, tako da
otpornikom većeg otpora teče manja struja, a otpornikom
manjeg otpora veća struja.
• Ukupni otpor paralelnog spoja je manji od najmanjeg otpora
u nekoj grani.
• Ukupna vodljivost paralelnog spoja otpornika jednaka je
zbroju vodljivosti pojedinih otpora.
• Prekid u jednom otporniku ne ometa rad ostalih.
• Kratki spoj na jednom otporniku znači kratki spoj svih grana.

9. Serijski spoj otpornika- II.
Kirchoffov zakon
Primjer 3 serijski
spojena otpornika
na izvor napona
Primjer 4 serijski
spojena
otpornika

10. • II. Kirchoffov zakon glasi: U zatvorenoj
petlji napon izvora jednak je algebarskom
zbroju padova napona.
• II. Kirch. zakon može se izreći i ovako:
• Algebarski zbroj napona izvora i svih
padova napona u zatvorenoj petlji jednak
je nuli.
U  0

11. • Ukupni otpor serijskog spoja:
uk n R R R R ...R 1 2 3    
Ukupni otpor serijski spojenih otpornika jednak je zbroju otpora svih
otpornika u zatvorenoj petlji.
Struja je kroz sve otpornike u strujnom krugu jednaka i na svakom
otporniku stvara pad napona koji je određen Ohmovim zakonom.

12. • Zadatak 12. str. 99.
• Npr. Tri otpornika, R1=40 Ω ,R2=60Ω i R3 nepoznate vrijednosti otpora, su
serijski spojena na napon U=48 V. Izračunajte napon na otporniku R3 ako
krugom teče struja jakosti I=0,22 A.
V
48
, ? 3 3 R u 
U
   
uk
R  R  R 
R
R R R R
     
( ) 218.181818 (40 60)
3 1 2
 118.181818

218.181818
0,22
3
1 2 3
R
A
I
R
uk
uk
u I R
3 3

u 26
V
0,22 118,181818
3
   

13. • Dijeljenje napona u serijskom spoju
• Struja kroz sve otpornike je jednaka pa vrijedi:
2
U
R
2
1
U
R
1

Napon na serijski spojenim otpornicima dijeli se u omjeru njihova
otpora.
Serijski spoj otpornika dijeli napon izvora pa se za takav spoj kaže
da je djelilo napona.

14. • Snaga serijskog spoja
  Snaga izvora
2
P U I
P  I 
R
2
2
1
2
1
P  I 
R
Snage na
otpornicima
Zbroj snaga na serijski spojenim otpornicima jednak je snazi koju daje
izvor.
1 2 P  P  P

15. • Djelilo napona
• Promjenjivi otpornik- koristi se za reguliranje napona ili struje u strujnim
krugovima, izrađuje se tako da se na tijelo od izolacijskog materijala tijesno
namota otporna žica po kojoj klizi klizni kontakt, i ima 3 priključnice
• Otpor promjenjivog otpora:
• Mijenjanjem položaja kliznog 1 k2ontakta mijenja se omjer otpora R1 i R2 R R R p  

16. • Promjenjivi otpornici služe za regulaciju struje i dijeljenje
napona .
• Za regulaciju struje služi reostat,a za dijeljenje napona
potenciometar.
• Potenciometar služi kao npr. regulator glasnoće u audio
pojačalima (tzv.logaritamski pot.), a reostat kao regulator struje

17. Mješoviti spoj otpornika
• U strujnim krugovima otpornici su često spojeni djelomično
serijski, a djelomično paralelno. Takvi se spojevi nazivaju
mješoviti spojevi otpornika.
• Svaki spoj otpornika , ma kako složen bio, može se
nadomjestiti jednim otpornikom.
• Nadomjesni otpor složenog spoja otpornika se računa
postpunim rješavanjem serijskih i paralelnih spojeva.

18. Rješenje:
Snage na otpornicima:
P  I  R  10  5 
500
W
P  I  R  5  15 
375
W
P  I  R  5  3,5 
87,5
W
2
P I R 5 11,5 287.5
W
4
2
4 3
2
3
2
3 3
2
2
2
2 2
2
1
2
1
    
Računanje snage mješovitog spoja
otpornika
Ukupna snaga na otpornicima:
P P P P P
uk
       
500 375 87,5 287,5 1 2 3 4
P W
uk
1250

Snaga izvora: W I U Pi125 10 1250 1     
Snaga izvora jednaka je zbroju snaga na trošilima, što znači
da je izračun točan.
Napomena: Jakosti el. struje bile su zadane.

19. • Zadatak 22. str.120:
Za strujni krug prema slici je zadano:R1=10Ω, R2=R3=R4=15Ωi U=18 V Izračunajte
jakost struje I i jakosti struja . 1 2 I , I
 
R
1
R R R
   15

10
2 3 4
, , ? 1 2 I I I 
R R R
   15  15  30

 
30 
15
30 
15

34 3 4
R 
R
2 34
R 
R

10
2 34
   10  10  20

1 234
R
234
R R R
U
u 
u
2 34
u u V
 
9 3 4
  
u
2
  
u
18
9
9
uk 34
A
R
I
A
R
I
A
R
I
uk
0,3
30
0,6
15
0,9
20
34
2
2
1
  

20. Utjecaj voltmetra i ampermetra na napon i struju u strujnom
krugu
aR
Ampermetar unutarnjeg optora utječe na povećanje otpora u strujnom
krugu, a time i na smanjenje mjerene struje. Da bi se smanjio utjecaj
ampermetra na mjerenje struje, njegov otpor mora biti puno manji od
otpora otpornika čiju struju mjeri.
v R
Unutarnji otpor voltmetra smanjuje napon između točaka čiji napon se
mjeri. Da ne bi utjecao na mjerenje napona, unutarnji otpor voltmetra
mora biti puno veći od iznosa otpora otpornika čiji napon mjeri.

21. • Izvor stalnog napona
• Trošila se spajaju na različite izvore energije pa je
potrbno poznavati njihove karakteristike. U daljnoj
analizi će biti objašnjena razlika između idealnog i
stvarnog naponskog izvora, kako se izvori ponašaju kad
nisu opterećeni, a kako kada se na njih priključi trošilo,
te kako karakteristike izvora utječu na snagu predanu
trošilu.

22. • Idealni naponski izvor
• Na priključnicama idealnog izvora vlada
EMS(elektromotorna sila), bez obzira je li izvor
opterećen ili nije, i uvijek vrijedi U=E.
• Idealan naposnki izvor ima stalan napon, a struja
se mijenja ovisno o priključenom trošilu.
Naponsko-strujna
karakteristika idealnog
naponskog izvora

23. • Stvarni naponski izvor
• U praksi se pokazalo da opterećeni izvor ima manji
napon na priključnicama nego neopterećeni.
• Stvarni naponski izvor sastoji se od idealnog
naponskog izvora EMS iznosa E i unutarnjeg
otpora.(unutarnji otpor izvora treba biti što manji)
• Prazan hod izvora
• Kada na izvor nije spojeno trošilo, kaže se da je izvor
u praznom hodu. Tada je napon na priključnicama
izvora jednak EMS.

24. • Kratki spoj izvora
• Ako se priključnice izvora spoje kratkim vodičem zanemarivog
otpora, izvor se nalazi u kratkom spoju. Napon na priključnicama
jednak je nuli. Tada je jedini otpor u zatvorenoj petlji unutarnji
otpor izvora.
• Najveća struja koju izvor može dati je struja kratkog spoja.
• Napomena: U stvarnosti se takav spoj ne smije dopustiti jer bi
struja kratkog spoja uništila izvor.

25. • Opterećeni stvarni naponski izvor
• Kada se na priključnice izvora spoji trošilo otpora R, na napon E će u
zatvorenom strujnom krugu biti serijski spojena 2 otpora:
-unutarnji otpor izvora i otpor trošila.
Jednadžba II. Kirchoffovog zakona za opterećeni naponski izvor
glasi:
E U  I  R0
Da bi napon na trošilu bio što bliži EMS izvora napona, unutarnji otpor izvora
mora biti što manji.

26. • Naponsko- strujna karakteristika izvora
Naposnko-strujna
karakteristika
opterećenog stvarnog
izvora
U praksi, važno je znati kakav će napon
vladati na prilkjučnicama izvora uz
različita opterećenja. Zato nam služi
naponsko-strujna karakteristika izvora
U  E  IR0
Jednažba pravca nap.-str.
karakteristike izvora
Svaka točka pravca odgovara vrijednosti struje i
napona koji su zajednički izvoru i trošilu. Takve se
točke nazivaju radne točke.

27. • Prilagodba trošila na najveću snagu
• Snaga predana trošilu je manja od snage koju daje izvor, jer se
dio snage potroši na unutarnjem otporu izvora.
, pri čemu je snaga izvora.
P  P0 0P
Trošilo će dobiti najveću snagu iz izvora kada je njegov otpor jednak
unutarnjem otporu izvora.
E R
, daljnjim uvrštavanjem dobije se
 2
0
2
2
R R
P I R

  
2
4R
0
E
P  Ovo se naziva prilagodba trošila na
najveću snagu

28. • Zadatak 50. str. 123:
Izračunajte struju strujnog izvora ako je unutarnja vodljivost G=0,2S,
auz spojeno trošilo otpora R=2Ω napon na priključnicama izvora
iznosi U=8 V.
G 
0,2
S
 2

R
U 8
V
?
0
0


I
  
   
 
4
8
1 1
R
U
 
I R  R 
I R
 
I R I R R
0 0 0
I
5 4(2 5)
I
0
 
5 
28/ : 5
I A
R R
R R
I I
G
R
A
R
I
5,6
/
5
0,2
2
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0

 
 



29. • Energija izvora
• Izraz za energiju izvora glasi:
W  E I  t
Energija
izvora (J)
Elektromotorna sila
izvora (V) Jakost struje
(A)
Vrijeme (s)
Izvori električne energije

30. • Mosni spoj otpora
• Primjer mosnog spoja:
Uvjet ravnoteže mosnog spoja glasi:
1 4 2 3 R  R  R  R
Ovaj uvjet je iskoristio Wheatstone za izradu
uređaja za mjerenje električnog otpora koji se
zove Wheatstoneov mostić.
Spojevi mogu transformirati iz jednog
oblika u drugi, ako to doprinosi
pojednostavljenju rješenja.

31. • Transformacija trokut-zvijezda
Osnovni uvjet transformacije: strujno-naponski odnosi u
preostalom dijelu mreže ne smiju se mijenjati zbog
primjene transformacije.
R R
R R
31 2
R R
R R
R
R
tr tr tr R
R
3
12 23
2
12 31
1 ; ;







32. Literatura
• Furčić, Vasilj, Sertić : Osnove elektrotehnike 1
• Pinter: Osnove elektrotehnike
• www.fer.hr
• www.fesb.hr
• - sheme spojeva izrađene su u Electronics
Workbenchu