Campos vectoriales conservativos
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Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
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- 1. CAMPOS VECTORIALES CRITERIOS PARA CAMPOS CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL FUNCIÓN POTENCIAL
- 2. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL El rotacional de 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑀𝒊 + 𝑁𝒋 + 𝑃𝒌 se define como: 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = ∇ × F( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = | 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑀 𝑁 𝑃 | = | 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑁 𝑃 | 𝒊 − | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝑀 𝑃 | 𝒋 + | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝑀 𝑁 | 𝒌 = ( 𝜕𝑃 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑧 ) 𝒊 − ( 𝜕𝑃 𝜕𝑥 − 𝜕𝑀 𝜕𝑧 ) 𝒋 + ( 𝜕𝑁 𝜕𝑥 − 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ) 𝒌 Ejercicio: Calcule rot F para el cambio vectorial 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧2 𝒊 + 𝑦2 𝒋 + 𝑥2 𝑧𝒌 El rotacional viene dado por 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = ∇ × F( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = ∇ × F( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = || 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑧2 𝑦2 𝑥2 𝑧 ||
- 3. = | 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑦2 𝑥2 𝑧 | 𝒊 − | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑧2 𝑥2 𝑧 | 𝒋 + | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝑥𝑧2 𝑦2 | 𝒌 = [ 𝜕 𝜕𝑦 (𝑥2 𝑧) − 𝜕 𝜕𝑧 𝑦2 ] 𝒊 − [ 𝜕 𝜕𝑥 (𝑥2 𝑧) − 𝜕 𝜕𝑧 (𝑥𝑧2 )] 𝒋 + [ 𝜕 𝜕𝑥 𝑦2 − 𝜕 𝜕𝑦 (𝑥𝑧2 )] 𝒌 = [0 − 0] 𝒊 − [2𝑥𝑧 − 2𝑥𝑧] 𝒋 + [0 − 0] 𝒌 = 0𝒊 − 0𝒋 + 0𝒌 = 𝟎 CRITERIOS PARA CAMPOS CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO Supongamos que M, N y P primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta R del espacio. El Campo Vectorial 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑀𝒊 + 𝑁𝒋 + 𝑃𝒌 es conservativo si, y sólo si su rotacional es igual a cero 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = 0 En otras palabras, F es conservativo sí y sólo sí, 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑧 , 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 𝜕𝑀 𝜕𝑧 , 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕𝑀 𝜕𝑦
- 4. Ejercicio: Hallar una función potencial para 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧) 𝒊 + ( 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) 𝒋 + (𝑥𝑦 + 𝑧)𝒌 1) Demostraremos que F es conservativo. 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = ∇ × F( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = || 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥𝑦 + 𝑧 || 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = | 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥𝑦 + 𝑧 | 𝒊 − | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥𝑦 + 𝑧 | 𝒋 + | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 | 𝒌 = [ 𝜕 𝜕𝑦 (𝑥𝑦 + 𝑧) − 𝜕 𝜕𝑧 (𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)] 𝒊 − [ 𝜕 𝜕𝑥 (𝑥𝑦 + 𝑧) − 𝜕 𝜕𝑧 (𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧)] 𝒋 + [ 𝜕 𝜕𝑥 (𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) − 𝜕 𝜕𝑦 (𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧)] 𝒌 = [ 𝑥 − 𝑥] 𝒊 − [ 𝑦 − 𝑦] 𝒋 + [( 𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) − (−𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑧)] 𝒌 = 0𝒊 − 𝟎𝒋 + 0𝒌 = 𝟎 ∴ Como 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = 0 el campo es conservativo.
- 5. 2) Para hallar la función potencial definimos: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 (1) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 (2) 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑧 (3) Luego integramos parcialmente (1) respecto de x 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫( 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧) 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝒈( 𝒚, 𝒛) Para determinar 𝒈( 𝒚, 𝒛) derivamos 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝑔( 𝑦, 𝑧) respecto de y e igualamos con la ecuación (2) 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝑔( 𝑦, 𝑧)] = 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 −𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑥𝑧 + 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)] = 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 Despejamos 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)]
- 6. 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)] = 0 Pero necesitamos 𝑔( 𝑦, 𝑧) así que se integra 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)] 𝑔( 𝑦, 𝑧) = ℎ(𝑧) Luego 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝒉( 𝒛) Para determinar ℎ(𝑧) derivamos 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + ℎ(𝑧) respecto de z e igualamos con la ecuación (3) 𝜕 𝜕𝑧 [ 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝒉(𝒛)] = 𝑥𝑦 + 𝑧 𝑥𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 [ℎ(𝑧)] = 𝑥𝑦 + 𝑧 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)] = 𝑧 ⟹ 𝒉( 𝒛) = 𝑧2 2 + 𝐶 Finalmente la función potencial será: 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒆 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒚𝒛𝒙 + 𝒛 𝟐 𝟐 + 𝑪
- 7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Larson, R y otros. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 2. Capítulo 14. 6ta. Edición Thomas, G. Calculus. Part Two, Multivariable. Chapter 16. 11th Edition. Leithold. El Cálculo. Capítulo 14. 7ma. edición