第20回画像センシングシンポジウム（SSII2014）

1. 画像からの倍率色収差の自動推定補正
Automatic Estimation Correction of Lateral Chromatic Aberration
from a Single Image
松永 力
Chikara Matsunaga
株式会社朋栄アイ・ビー・イー
FOR-A IBE Co., Ltd.
E-mail: matsunaga@for-a.co.jp
Abstract
RGB カラー画像における倍率色収差を補正するため
に，RGB 画像間での画像全体のグローバル動きを推定
して，補正する．RGB 画像間は，画像内容によっては，
局所的にレベル反転しているので，予め前処理として，
方向エッジ二乗画像を局所正規化して，それらの差分
二乗総和（SSD）を最小化する補正パラメータを推定す
る．補正モデルとしては，相似変換，アフィン変換，射
影変換，擬似射影変換，多項式変換を用いる．動き推定
には，Lucas-Kanade アルゴリズム [14] を効率的に計算
する逆結合 Lucas-Kanade アルゴリズム [2] を基に，そ
の更新量を 1 次近似する．擬似射影変換や多項式変換
のような高次項を有する補正モデルにおいても，適用
できることを実験的に示す．補正モデルの妥当性につ
いても，幾何学的モデル選択 [13, 12] により検証する．
1 はじめに
近年のデジタル一眼レフカメラ（Digital Single Lens
Reflex camera，DSLR）の高解像度化や，次世代テレ
ビ放送へ向けて，地上デジタル放送における HD 画質
を越える解像度を持つ 4K ／ 8K （スーパーハイビジョ
ン）解像度が推進されているが 1
，そのような高解像度
の画像／映像の高画質化を阻む要因のひとつとして，色
収差と呼ばれる妨害が知られている．これは，画像／
映像における色ずれとして，物体境界に顕著に見られ
るが，高解像度化に伴い，レンズによる光学的な補正
だけでは十分とは言えなくなりつつある．
本論文では，RGB カラー画像における倍率色収差の
補正を，RGB 画像間のグローバル動き推定補正によっ
て行う．図 1 (a) は，倍率色収差推定補正処理のブロッ
ク図である．1 枚の RGB カラー画像を RGB 成分画像
に分解して，G 画像に対する B，R 画像の動きを推定
して，補正した後，再び合成する．
1 次世代放送推進フォーラム（Next Generation Television
& Broadcasting Promotion Forum, NexTV-F），http://www.
nextv-f.jp/
画像の動きの推定は大きく領域ベースによる手法と，
特徴ベースによる手法に分けられる．領域ベースの方
法としては，動画像圧縮符号化の国際標準規格 MPEG
[10] では，ブロックマッチングが用いられ，コンピュー
タビジョンではオプティカルフロー [7, 14] がよく用い
られるが，いずれも濃淡画素を直接処理するものであ
る．松永は，CMOS 動き歪み補正と映像の安定化のた
めに連続する 2 画像間の画像全体の 4 パラメータアフィ
ン変換を推定した [19]．特徴ベースの方法としては，ハ
リス作用素 [6] によって抽出したコーナー等の画像特徴
点や，ハフ変換 [8] によって検出した直線を用いるもの
がある．松永は，特徴点の対応から拡張 FNS 法により
2 次元/3 次元幾何学変換を統一的に最適に計算する方
法を示した [18]．松永は，海洋上の船舶から撮影される
映像に含まれる画像の回転と上下動を除去するために，
映像中の水平線を検出することにより動揺映像の安定
化を行った [17]．
Irani と Anandan は，赤外画像と可視光画像の異な
るセンサにより得られた画像間の位置合わせのために，
各々の方向エッジ二乗画像の局所正規化相関を最大化
する補正パラメータを推定した [9]．医用画像では，CT
画像と MRI 画像の異なるセンサにより得られた画像間
の位置合わせのために，相互情報量を最大化する補正
パラメータを推定する方法が用いられている [15, 21]．
画像の幾何学的な変換による色収差補正を最初に提
唱したのは，Boult と Wolberg であるが [3]，その補正
のための変換モデルを推定する具体的な方法は示され
ていない．Johnson と Farid は，倍率色収差によりデジ
タル画像の改竄の検出を試みた [11]．倍率色収差の補正
モデルとしては，相似変換を用いて，相互情報量を最大
化する補正パラメータを推定した．Mallon と Whelan
は，市松パタン画像中の格子特徴点を抽出することに
より倍率色収差の推定を行った [16]．吉村らは，内視
鏡における色順次時系列画像に生じる色収差を結合エ
ントロピーによる非剛体変形モデルとして局所推定を
行った [25]．Chung らは，エッジ情報に基づく画像処
理により倍率色収差補正を行った [5]．

2. (a) (b) (c)
図 1 (a) 倍率色収差推定補正処理ブロック図．1 枚の RGB カラー画像を RGB 成分画像に分解して，G 画像に対す
る B，R 画像の動きを推定し，補正した後，再び合成する．(b) 軸上色収差，(c) 倍率色収差．
本論文では，RGB カラー画像における倍率色収差を
補正するために，RGB 画像間での画像全体のグローバ
ル動きを推定して，補正する．RGB 画像間は，画像内
容によっては，局所的にレベル反転しているので，予
め前処理として，方向エッジ二乗画像を局所正規化し
て，それらの差分二乗総和（SSD）を最小化する補正
パラメータを推定する．補正モデルとしては，相似変
換，アフィン変換，射影変換，擬似射影変換，多項式変
換を用いる．動き推定には，Lucas-Kanade アルゴリズ
ム [14] を効率的に計算する逆結合 Lucas-Kanade アル
ゴリズム [2] を基に，その更新量を 1 次近似する．擬似
射影変換や多項式変換のような高次項を有する補正モ
デルにおいても適用できることを実験的に示す．補正モ
デルの妥当性についても，幾何学的モデル選択 [13, 12]
により検証する．
本論文の構成は，2 章でレンズの色収差について説明
する．3 章で補正モデルを示した後，Lucas-Kanade ア
ルゴリズム，逆結合 Lucas-Kanade アルゴリズムによ
る動きの推定，そして，前処理として方向エッジ二乗
画像を局所正規化した“ 近似逆結合 Lucas-Kanade ア
ルゴリズム ”による倍率色収差補正の手順を示す．4 章
で画像シミュレーションにおける実験方法と評価方法
について説明し，結果を示す．5 章で纏める．
2 色収差
レンズの屈折率は光の波長によって異なるため，焦
点距離も光の波長によって異なり，像の大きさと位置
に差が生じる．これをレンズの色収差と言う．色収差
は軸上色収差と倍率色収差に分けられる．
軸上色収差とは，レンズの焦点距離が波長によって
違うために，色によって像面の位置が前後にずれるこ
とである（図 1 (b)）．白色点光源を撮影したとき点像の
周りに色づいたボケをまとっているように見える．倍
率色収差は色によって像の倍率が異なり，像の大きさ
が異なることである（図 1 (c)）．白色点光源を撮影し
たとき，特に画面の周辺部において虹色に色づいて放
射方向に伸びるように見える．倍率色収差は絞りこみ
を行っても抑制できないが，軸上色収差は絞りこみに
よってある程度抑制することが可能である [23]．
一方，色に依らず単色でも発生する収差として単色
収差がある．これは，いわゆるレンズ収差と呼ばれる
ものであり，カメラ校正として古くから多くの研究が
あるが [20, 22, 24]，本論文では，倍率色収差を扱う．
3 倍率色収差補正パラメータの推定
3.1 倍率色収差補正モデル
G 画像を基準として，B，R 画像を次の補正モデルで
座標変換することにより G 画像に位置合わせする．
• 相似変換補正モデル（自由度 4）
xB/R = (1 + a1)xG − a2yG + a3,
yB/R = a2xG + (1 + a1)yG + a6. (1)
• アフィン変換補正モデル（自由度 6）
xB/R = (1 + a1)xG + a2yG + a3,
yB/R = a4xG + (1 + a5)yG + a6. (2)
• 射影変換補正モデル（自由度 8）
xB/R =
(1 + a1)xG + a2yG + a3
a7xG + a8yG + 1
,
yB/R =
a4xG + (1 + a5)yG + a6
a7xG + a8yG + 1
. (3)
• 擬似射影変換（Ψ 変換 [1]）補正モデル（自由度 8）
xB/R = (1 + a1)xG + a2yG + a3 + a7x2
G + a8xGyG,
yB/R = a4xG + (1 + a5)yG + a6 + a7xGyG + a8y2
G.
(4)
• 多項式変換補正モデル（自由度 16）
xB/R = (1 + a1)xG + a2yG + a3xGyG + a4x2
G
+a5y2
G + a6x2
GyG + a7xGy2
G + a8,
yB/R = a9xG + (1 + a10)yG + a11xGyG + a12x2
G
+a13y2
G + a14x2
GyG + a15xGy2
G + a16.
(5)
3.2 近似逆結合 Lucas-Kanade アルゴリズム
画像間の位置合わせには，Lucas-Kanade アルゴリズ
ム [14] を用いる．Lucas-Kanade アルゴリズムは画素を

3. 直接処理する領域ベースの手法であり，何らの画像特
徴や対応付けを必要としない．入力画像 I(x) を基準と
なるテンプレート画像 T(x) に合わせる．ここで，x =
(x, y)⊤
は画素座標である 2
．W (x; a) は画像の幾何学
変換であり，a = (a1, . . . , an)⊤
は変換パラメータであ
る．例えば，相似変換の場合，
W (x; a) =



1 + a1 −a2 a3
a2 1 + a1 a6
0 0 1






x
y
1


 , (6)
である 3
．したがって，Lucas-Kanade アルゴリズムは，
テンプレート画像 T とテンプレート画像の座標に変換
した入力画像 I の間の次のような差分二乗総和（Sum
of Squared Difference, SSD）を最小化するものである．
x
I(W (x; a))−T(x)
2
. (7)
いま，a → a + ∆a と変化したとすると，
x
I(W (x; a+∆a))−T(x)
2
, (8)
であり，これをテイラー展開すると，次のようになる．
x
I(W (x; a)) + ∇I
∂W
∂a
∆a − T(x)
2
. (9)
∇I = (Ix, Iy) は画像 I の W (x; a) での勾配であり，
∂W /∂aはヤコビ行列と呼ばれ，W (x; a) = Wx(x; a),
Wy(x; a)
⊤
とすると，
∂W
∂a
=





∂Wx
∂a1
. . .
∂Wx
∂an
∂Wy
∂a1
. . .
∂Wy
∂an





, (10)
である．相似変換の場合には，次のようになる．
∂W
∂a
=
x −y 1 0
y x 0 1
. (11)
式（9）を ∆a について微分すると，
x
∇I
∂W
∂a
⊤
I(W (x; a))+∇I
∂W
∂a
∆a−T(x) ,
(12)
であり，∆a は次のように解くことができる．
∆a=H−1
x
∇I
∂W
∂a
⊤
T(x)−I(W (x; a)) . (13)
ここで，H は次のようなヘッセ行列である．
H =
x
∇I
∂W
∂a
⊤
∇I
∂W
∂a
. (14)
2 倍率色収差補正の場合，G 画像を基準とするため，補正モデ
ルの表記に合わせると，xG = (xG, yG)⊤ であるが，以降，x =
(x, y)⊤ と略記する．
3 これは，同次座標形式であるが，後の（逆）変換の合成を行う
際の計算の都合から，この形式を用いる．
Lucas-Kanade アルゴリズム
Iterate:
(1) I(W (x; a)) を計算するために入力画像 I を
パラメータ W (x; a) で変換する．
(2) 誤差画像 T(x)−I(W (x; a)) を計算する．
(3) 勾配 ∇I を W (x; a) で変換する．
(4) (x; a) でヤコビ行列 ∂W
∂a を評価する．
(5) 最急降下画像 ∇I ∂W
∂a を計算する．
(6) 次のヘッセ行列 H の逆行列を計算する．
H = x ∇I ∂W
∂a
⊤
∇I ∂W
∂a
(7) 次の最急降下画像と誤差画像の積和を計算する．
x ∇I ∂W
∂a
⊤
T(x)−I(W (x; a))
(8) 次の変化量 ∆a を計算する．
∆a=H−1
x ∇I ∂W
∂a
⊤
T(x)−I(W (x; a))
(9) パラメータを次のように更新する．
a ← a + ∆a
Until ∆a ≤ ε（微小しきい値）
図 2 Lucas-Kanade アルゴリズム手順 [2]．
したがって，a は適当な初期値から ∆a を反復的に解
くことによって，求めることができる．これは，ヘッセ
行列を計算するのに 2 階微分を行わずに近似する「ガ
ウス・ニュートン法」である．Lucas-Kanade アルゴリ
ズムの手順 [2] を図 2 に示す．
Lucas-Kanade アルゴリズムの問題は，反復毎に更新
した補正パラメータにより変換した入力画像のヘッセ
行列 H を計算しなければならないことである．そこで，
テンプレート画像と入力画像の役割を交換する．
x
T(W (x; ∆a))−I(W (x; a))
2
. (15)
これをテイラー展開すると，次のようになる．
x
T(W (x; 0))+∇T
∂W
∂a
∆a−I(W (x; a))
2
. (16)
W (x; 0) は ∆a = 0 とした恒等変換であるとして，一
般性を失わない．したがって，変化量 ∆a は，
∆a=H−1
x
∇T
∂W
∂a
⊤
I(W (x; a))−T(x) , (17)
であり，テンプレート画像 T(x) のヘッセ行列は，
H =
x
∇T
∂W
∂a
⊤
∇T
∂W
∂a
, (18)
となる．ヤコビ行列 ∂W /∂a は (x; 0) で評価する．これ
はパラメータによらず，予め計算しておくことができる．
反復毎に入力画像 I を変換して，テンプレート画像の最
急降下画像 ∇T∂W /∂a と誤差画像 T(x)−I(W (x; a))
の積和を計算する．そして，予め計算しておいたテン
プレート画像のヘッセ行列の逆行列 H−1
を掛けたもの
を変化量とするが，その更新方法が異なる．

4. 変化量を加算により更新するのではなく，変化量による
変換行列（の逆行列）を合成することにより更新する．
W (x; a) ← W (x; a) ◦ W (x; ∆a)−1
. (19)
これは，逆結合 Lucas-Kanade アルゴリズム（Inverse
Compositional Algorithm）と呼ばれ，Lucas-Kanade
アルゴリズムの効率的な方法として提案されている [2]．
しかし，変換の合成結果を 1 次近似しても，通常は
問題ないことが確認できる．例えば，相似変換による
補正の場合，その逆変換は次のようになる．
W (x; a)−1
=
1
(1 + a1)2 + a2
2



1 + a1 a2 −a2a6 − (1 + a1)a3
−a2 1 + a1 −(1 + a1)a6 + a2a3
0 0 1


 . (20)
これを，高次の積項を無視する 1 次近似すると，次の
ようになる．
W (x; a)−1
≈



1 − a1 a2 −a3
−a2 1 − a1 −a6
0 0 1


 . (21)
したがって，相似変換の合成による更新は式（22）の
ようになる 4
．
すなわち，パラメータの更新は逆方向の加算，つま
り減算によってなされる．逆結合 Lucas-Kanade アルゴ
リズムは，逆変換が存在して，変換の結合則が成り立
つような変換にしか適用できないとされている [2]．し
かし，擬似射影変換や多項式変換のような高次項を有
する補正モデルにおいても，1 次近似による更新が可能
なことが実験的に確認できる．このような逆結合の 1
次近似によって，Lucas-Kanade アルゴリズムの効率化
が図れることから，これを“ 近似逆結合 Lucas-Kanade
アルゴリズム ”と呼ぶことにする．
3.3 前処理
Irani と Anandan は，赤外画像と可視光画像の位置
合わせのために，各々の方向エッジ二乗画像の局所正規
化相関（Local Normalized Cross Correlation, LNCC）
を最大化する補正パラメータを推定した [9]．局所正規
化相関は次のようになる．
x d
Id(W (x; a)) − ¯Id
σ[Id(W (x; a))]
Td(x) − ¯Td
σ[Td(x)]
. (23)
ここで，
¯Id =
1
N[B]
x∈B
Id(W (x; a)), (24)
¯Td =
1
N[B]
x∈B
Td(x), (25)
4 ここでもさらに，パラメータ同士の積項を無視する 1 次近似を
行った（次頁）．
σ[Id(W (x; a))]
=
1
N[B]
x∈B
Id(W (x; a)) − ¯Id
2
, (26)
σ[Td(x)] =
1
N[B]
x∈B
Td(x) − ¯Td
2
, (27)
であり，N[B] は，注目画素 x を含む近傍の局所領域 B
の画素数である．入力画像，テンプレート画像ともに，
方向 d によるエッジを二乗したものを用いており，エッ
ジには，水平，垂直，斜め 2 方向の合計 4 方向を用い
ている [9]．d = 1, . . . , 4 であるから，相関値は −4 か
ら 4 までの範囲を取り，4 に近ければ近いほど類似度が
高い．
これは，局所領域 B の画素値の平均値を引いて，標
準偏差値によりレベル変換したもの同士の積であるが，
次のような局所正規化 SSD（Local Normalized Sum of
Suqared Difference, LNSSD）と本質的に等価である．
x d
Id(W (x; a)) − ¯Id
σ[Id(W (x; a))]
−
Td(x) − ¯Td
σ[Td(x)]
2
. (28)
これを，次のように略記する．
x d
Id − ¯Id
σId
−
Td − ¯Td
σTd
2
. (29)
差分二乗の形であれば，（近似）逆結合 Lucas-Kanade
アルゴリズムが適用できる．局所領域の平均と標準偏
差によるレベル変換である局所正規化関数を次のよう
に定義する．
S[X] ≡
X − ¯X
σX
. (30)
すると，局所正規化 SSD は次のようになり，
x d
S[Id] − S[Td]
2
, (31)
a → a + ∆a としたとき，テイラー展開により 1 次近
似すると，次のように書ける．
x d
S[Id] + ∇S[Id]∇Id
∂W
∂a
∆a − S[Td]
2
. (32)
ここで，局所正規化関数 S[X] が平均，標準偏差も X
の関数であることに注意すると，
∇S[Id] =
1 −
1
N[B]
σId
−
1
N[B]
(Id − ¯Id)2
σId
σ2
Id
, (33)
であり，N[B] が十分大きい場合，∇S[Id] ≈ 1/σId
と近
似する．∇Id は方向エッジ二乗画像の勾配であり，∇Id
= Idx , Idy である．式（32）を ∆a で微分すると，
x d
∇S[Id]∇Id
∂W
∂a
⊤
S[Id] + ∇S[Id]∇Id
∂W
∂a
∆a − S[Td] , (34)

5. W (x; a) ◦ W (x; ∆a)−1
≈



1 + a1 −a2 a3
a2 1 + a1 a6
0 0 1






1 − ∆a1 ∆a2 −∆a3
−∆a2 1 − ∆a1 −∆a6
0 0 1



=



(1 + a1)(1 − ∆a1) + a2∆a2 (1 + a1)∆a2 − a2(1 − ∆a1) −(1 + a1)∆a3 + a2∆a6 + a3
a2(1 − ∆a1) − (1 + a1)∆a2 a2∆a2 + (1 + a1)(1 − ∆a1) −a2∆a3 − (1 + a1)∆a6 + a6
0 0 1



≈



1 + (a1 − ∆a1) −(a2 − ∆a2) a3 − ∆a3
a2 − ∆a2 1 + (a1 − ∆a1) a6 − ∆a6
0 0 1


 = W (x; a − ∆a). (22)
であり，∆a について解くと，次のようになる．
∆a=H−1
x d
∇S[Id]∇Id
∂W
∂a
⊤
S[Id] − S[Td] . (35)
ここで，H は次のようなヘッセ行列である．
H =
x d
∇S[Id]∇Id
∂W
∂a
⊤
∇S[Id]∇Id
∂W
∂a
. (36)
しかし，この場合，反復毎に入力画像の局所正規化
処理を行わなければならない．そこで，（近似）逆結合
Lucas-Kanade アルゴリズムにおいて予めヘッセ行列を
計算するのと同様に，予め前処理として，方向エッジ
二乗画像を局所正規化して，それを反復更新された補
正パラメータにより補正する．すなわち，局所正規化
された入力画像とテンプレート画像をそれぞれ，˜Id, ˜Td
とすると，
x d
˜Id − ˜Td
2
, (37)
であり，a → a + ∆a としたときのテイラー展開によ
る 1 次近似は，
x d
˜Id + ∇˜Id
∂W
∂a
∆a − ˜Td
2
, (38)
となり，変化量 ∆a とヘッセ行列は次のようになる．
∆a = H−1
x d
∇˜Id
∂W
∂a
⊤
˜Id − ˜Td , (39)
H =
x d
∇˜Id
∂W
∂a
⊤
∇˜Id
∂W
∂a
. (40)
ここで，
˜Id ≡ S[Id] =
Id − ¯Id
σId
, (41)
˜Td ≡ S[Td] =
Td − ¯Td
σTd
, (42)
∇˜Id = ˜Idx , ˜Idy , (43)
である．図 3 に近似逆結合 Lucas-Kanade アルゴリズ
ムによる倍率色収差推定処理の手順を示す．
4 画像シミュレーション
4.1 実験方法
相似変換は 2 点の対応から，アフィン変換は 3 点の
対応から，射影変換，擬似射影変換は 4 点の対応から，
多項式変換は 8 点の対応から一意に決まる．画像中の
適当な基準点の画素座標に正規乱数誤差を加えて移動
した点との対応から，それぞれの変換補正モデルを計
算する．そのようにして計算した変換パラメータを真
の補正パラメータとして，適当な色ずれのない RGB カ
ラー画像における B あるいは R 画像を変換して倍率色
収差画像とする．変換画像の生成には，逆変換が必要と
なるが，高次項を含む擬似射影変換，多項式変換は逆変
換が解析的に求まらない．そこで，数値計算により逆変
換を求める．生成した倍率色収差画像から，G 画像を基
準画像として，B あるいは R 画像の各々を，予め前処
理として，方向エッジ二乗画像を近傍 3 × 3 画素領域に
より局所正規化して，それらの差分二乗総和（SSD）を
最小化する補正パラメータを近似逆結合 Lucas-Kanade
アルゴリズムによって推定して，補正する．
4.2 評価方法
シミュレーションにより生成した倍率色収差画像の
補正結果を次のような方法で評価する．
1. 変換パラメータにより B あるいは R 画像を変換
し，変換した B あるいは R 画像を推定した補正パ
ラメータにより補正する．そして，元の B あるい
は R 画像との平均二乗誤差を理論的下界（変換し
た B あるいは R 画像を真の補正パラメータにより
補正した結果との平均二乗誤差）と比較する．
2. 推定した補正パラメータにより補正した B あるい
は R 画像と基準となる G 画像の間の相互情報量
[15, 21] を理論的下界（真の補正パラメータにより
補正した B あるいは R 画像と基準となる G 画像
との間の相互情報量）と比較する．

6. 倍率色収差推定処理
Pre-compute:
(0) 基準画像 IG
d (x), 入力画像 I
B/R
d (x) の
方向エッジ二乗画像を局所正規化する．
(3) 局所正規化された基準画像 S[IG
d (x)] の
勾配 ∇S[IG
d (x)] を評価する．
(4) (x; 0) でヤコビ行列 ∂W
∂a を評価する．
(5) 最急降下画像 ∇S[IG
d (x)]∂W
∂a を計算する．
(6) 次のヘッセ行列 H の逆行列を計算する．
H = x d ∇S[IG
d (x)]∂W
∂a
⊤
∇S[IG
d (x)]∂W
∂a
Iterate:
(1) S[I
B/R
d (W (x; a))] を計算するために
局所正規化された入力画像 S[I
B/R
d (x)] を
パラメータ W (x; a) で変換する．
(2) 誤差画像 S[I
B/R
d (W (x; a))] − S[IG
d (x)]
を計算する．
(7) 次の最急降下画像と誤差画像の積和を計算する．
x d ∇S[IG
d (x)]∂W
∂a
⊤
S[I
B/R
d (W (x; a))] − S[IG
d (x)]
(8) 次の変化量 ∆a を計算する．
∆a=H−1
x d ∇S[IG
d (x)]∂W
∂a
⊤
S[IG
d (x)] − S[I
B/R
d (W (x; a))]
(9) パラメータを次のように更新する．
a ← a − ∆a
Until ∆a ≤ ε（微小しきい値）
図 3 近似逆結合 Lucas-Kanade アルゴリズムによ
る倍率色収差推定処理の手順．手順の番号は，図 2 の
Lucas-Kanade アルゴリズムと対応している．手順（0）
の前処理としての方向エッジ二乗画像の局所正規化と
手順（9）のパラメータ更新の式に注意する．
3. 画像中の局所領域における画素値データを 2 次元
G-B あるいは G-R 平面上にプロットし，それらの
画素値データに直線を最適に当てはめる．B あるい
は R 画像の推定した補正パラメータにより補正し
た結果の局所領域における画素値データへの直線
の当てはめ残差を理論的下界（真の補正パラメー
タにより補正した B あるいは R 画像の同局所領域
における画素値データへの直線当てはめ残差）と
比較する．
シミュレーションではない実際の倍率色収差が生じて
いる自然画像においても，補正前後で，画像の相互情
報量，2 次元 G-B あるいは G-R 平面上の画素値データ
への直線当てはめ残差を比較することによって，倍率
色収差補正処理の客観的な評価が可能となる．併せて，
各種変換による補正モデルの妥当性の幾何学的モデル
選択 [13, 12] による検証結果も示す．
補正モデル 平均反復回数
相似 23.4 (±3.2)
アフィン 31.0 (±4.6)
射影 39.6 (±9.0)
擬似射影 50.8 (±9.7)
多項式 201.7 (±70.7)
図 4 相似変換補正モデルによる残差結果．それぞれ
10 回の試行の結果である．横軸は反復回数である．表
は，各補正モデルの平均反復回数（括弧内は標準偏差）．
4.3 結果
図 4 は，色ずれのない RGB カラー画像 5
を用いて，
相似変換補正モデルによる擬似的な倍率色収差画像を
生成して，本論文の近似逆結合 Lucas-Kanade アルゴリ
ズムによる倍率色収差の推定を行った残差 J（式（37）
の値）の収束の様子をプロットした結果である．横軸は
反復回数である．同一の RGB カラー画像を用いて，誤
差を変えて推定した 10 回の試行を重ねて表示した．各
補正モデルにおける平均反復回数も表に示す．いずれの
変換による補正モデルも急速に減少するが，補正モデ
ルの自由度の高いモデルほど，収束に要する反復回数が
増加しているのがわかる．推定結果は，Lucas-Kanade
アルゴリズムによる推定結果と数値計算上の誤差の範
囲で一致した．
図 5 は，射影変換を真の補正モデルとして B 画像を
変換することにより生成した擬似的な倍率色収差画像
と，その補正パラメータを推定した結果で補正した画
像の一例である．画像中白枠の領域を拡大した結果と
その中央 1 ラインの G/B 画素値をグラフ表示した結果
も示す．画像の周辺部ほど物体の境界部等に色ずれが
顕著であるが，補正により色ずれが除去されているの
がわかる．図 9 は，図 5 の基準となる G 画像と射影変
換した B 画像と各方向エッジ二乗画像である．
図 6 は，図 5 の補正前後の画像中白枠の領域におけ
る画素値データを 2 次元 G-B 平面上にプロットして，
最適に直線を当てはめた結果である．直線の当てはめ
には，FNS 法 [4] を用いた．補正前の画素の分布が広
がっているのに対して，補正後の画素の分布は小さく
なっているのがわかる．
図 7 に補正前後における B 画像の平均二乗誤差（画像
残差）と G-B 画像間の相互情報量 [15, 21]，2 次元 G-B
平面における画素値データへの直線当てはめ残差の結
果を各々の理論的下界とともに示す．補正結果は，い
ずれの評価方法においても理論的下界に近づいている．
5 Kodak Lossless True Color Image Suite, http://r0k.us/
graphics/kodak/

7. 図 5 倍率色収差補正結果の一例．上段左側が補正前，右側が補正後．下段は，補正前後の画像中，白枠領域の拡大画
像とその中央 1 ラインの G/B 画素値のグラフ表示の結果．
(a) (b)
図 6 倍率色収差補正前後の同一の局所領域における
画素値データと最適直線当てはめ結果．(a) 補正前，(b)
補正後．
画像残差 相互情報量 直線当てはめ残差
補正前 66.455569 1.954950 37.736468
補正後 40.543593 2.042143 9.100606
理論的下界 39.945062 2.057682 7.050623
図 7 倍率色収差補正前後の画像残差，相互情報量お
よび直線当てはめ残差の結果．
図 8 に真の補正モデルが射影変換として B 画像を変
換することにより生成した擬似的な倍率色収差画像に
各補正モデルを当てはめたときの残差と幾何学的 AIC
（G-AIC），幾何学的 MDL （G-MDL）[13, 12] による
補正モデルの選択結果の一例を示す．表中，下線が選ば
れたモデルを示しており，G-AIC，G-MDL ともに真の
補正モデルである射影変換が最小である．残差は，多
項式，擬似射影，射影変換でほとんど変わらないが，真
の補正モデルである射影変換の残差が最も小さい．注
目すべきは，自由度が高く，残差が小さい多項式変換
モデルよりも，自由度が低く，残差の大きい擬似射影
変換モデルの方が G-AIC，G-MDL いずれも，僅かで
補正モデル 残差 G-AIC G-MDL
相似（4） 4.116211 9.664075 71.925386
アフィン（6） 4.062097 9.609996 71.871698
射影（8） 2.767532 8.315466 70.577558
擬似射影（8） 2.773804 8.321738 70.583830
多項式（16） 2.773757 8.321828 70.585454
図 8 倍率色収差補正モデルの選択結果の一例．各補
正モデルにおける括弧内の数値は補正モデルの自由度
である．下線は選ばれたモデル．
はあるが小さいことである．これは，残差の大小では
なく，幾何学的モデル選択により当てはまりのよさと
自由度がバランスされたモデルが選ばれる可能性を示
唆している．
5 まとめ
RGB カラー画像における倍率色収差を補正するため
に，RGB 画像間での画像全体のグローバル動きを推定
して，補正した．RGB 画像間は，画像内容によっては，
局所的にレベル反転しているので，予め前処理として，
方向エッジ二乗画像を局所正規化して，それらの差分
二乗総和（SSD）を最小化する補正パラメータを推定
した．補正モデルとしては，相似変換，アフィン変換，
射影変換，擬似射影変換，多項式変換を用いた．動き
推定には，Lucas-Kanade アルゴリズムを効率的に計算
する逆結合 Lucas-Kanade アルゴリズムを基に，その
更新量を 1 次近似した．擬似射影変換や多項式変換の
ような高次項を有する補正モデルにおいても適用でき
ることを実験的に示した．補正モデルの妥当性につい
ても，幾何学的モデル選択により検証した．

8. 図 9 方向エッジ二乗画像結果．上段が基準となる G 画像，下段が真の補正モデルを射影変換として変換した B 画像．
左から順に，原画像および水平方向，垂直方向，斜め方向 1，2 の各方向のエッジ二乗画像である．
謝辞： 本研究の機会を与えて下さった朋栄アイ・ビー・
イー和田社長に感謝します．有益なコメントを頂いた
金谷健一岡山大学名誉教授に感謝します．
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