סיכום קצר של הקורס מתמטיקה דיסקרטית מאת ד"ר ערן לונדון.
בין השאר הסיכום כולל: קומבינטוריקה, תורת הקבוצות, יחסים, מחלקות שקילות, הגדרות בסיסיות בלוגיקה, עיקרןו שוב היונים, חלוקה למחלקות שקילות.
הסיכום כולל תקציר של כל הדברים ולפעמים מספר דוגמאות.
ניתן למצוא סיכומים נוספים באתר: http://www.letach.net
עדכון אחרון -
27.1.2014.
1. סמסטר א' ־ תשע"ג
מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון
מתמטיקה דיסקרטית ־ תשע"ג
־ ד"ר ערן לונדון
P־ עבור כל שני מספרים אי־זוגיים.
Q־ ההפרש שלהם הוא זוגי.
איך מוכיחים את המשפט?
1. ישירות ־ מראים ש־ .P → Qמניחים ש־ Pנכון ומראים
שגם Qנכון.
¯
¯
2. Contra P osotive־ מראים ש־ .Q → P
¯
¯
3. בדרך השלילה ־ מראים שהפסוק P ∧ Q → Pהוא נכון
)ואז בסוף מגיעים לסתירה... ]כדאי לנסות על משפט פשוט
כדי לראות את זה[(.
3.1
חלק
I
הגדרה: קבוצה של קשרים היא שלמה אם לכל פסוק Aקיים
פסוק Bאשר מופיעים בו רק קשרים מהקבוצה השלמה ומתקיים
־ .A ≡ B
לוגיקה
1
קבוצות שלמות של קשרים
הגדרות
4.1
ביטויים בולאנים ־ ביטויים שיכולים לקבל רק שני ערכים ־ אמת
) (Tאו שקר)) .(Fאך לא שניהם!!!(.
ניתן לכנות ביטוי בולאני בתור פסוק.
תחשיב הפסוקים ־ עוסק בדרך בה ניתן לבנות פסוקים חדשים
)מתוך פסוקים אחרים( באמצעות קשרים לוגיים )או, גם...(.
תחשיב היחסים ־ מטפל בפסוקים יותר מורכבים אשר כוללים
גם את המילים "לכל" או "קיים".
משתנה פסוקי ) פסוק אטומי(־ ) P,Q,R,Sאו כל אות לטינית
אחרת ]אבל גדולה[(.
קבוע פסוקי ־ T־ אמת, F־ שקר. גם קבוע פסוקי נחשב
ל־פסוק אטומי.
השמה ־ פונקציה fהקובעת לכל משתנה פסוקי ערך Tאו .F
סימון ערך הפסוק ־ ) f (A־ ערך הפסוק Aלפי ההשמה .f
אם f (A) = Tאזי אומרים כי השמה fמספקת את פסוק .A
השמה מספקת ־ היא השמה שערך האמת שלה הוא .T
יהיו A, Bשני פסוקים. אם ) f (A) = f (Bעבור כל השמה ,f
אזי אומרים ש־ Aו־ Bשקולים לוגית ומסמנים: . A ≡ B
טאוטולוגיה ־ פסוק Aהוא טאוטולוגיה אם ערך האמת שלו הוא
Tלכל השמה.
סתירה ־ פסוק Aהוא סתירה אם ערך האמת שלו הוא Fלכל
השמה.
1.1
חוקי דה־מורגן
1.4.1
פסוק DN F
הגדרה: פסוק לוגי הוא פסוק בצורת DN Fאם הוא מהצורה
הבאה:
D1 ∨ D2 ∨ · · · ∨ Dnכשאר כל Diהוא מהצורה ־ = Di
,Ai1 ∧ Ai2 ∧ · · · ∧ Aikכאשר כל Ajהוא או משתנה או שלילתו.
פסוק CN F
2.4.1
הגדרה: פסוק לוגי הוא פסוק בצורת CN Fאם הוא מהצורה
הבאה:
C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Cnכאשר כל Ciהוא מהצורה ־ ∨ A1i ∨ A2i
,· · · ∨ Akiכאשר כל Ajהוא משתנה פסוקי או שלילתו
2
טבלאות של קשרים לוגיים
הקשר ־ ∨ ־ "או"
Q P∨Q
F
T
F
T
F
T
T
T
P
F
F
T
T
הקשר ־ ∧ ־ "וגם"
Q P∧Q
F
F
F
T
הקשר ־ → ־ "גרירה"
P Q P→Q
1. .P ∧ Q ≡ P ∨ Q
2. .P ∨ Q ≡ P ∧ Q
2.1
פסוקי DN Fופסוקי CN F
הוכחה מתמטית
משפט מתמטי הוא משפט מהצורה: .P → Qלמשל, ניקח את
המשפט הבא: ההפרש בין כל שני מספרים )שלמים( אי־זוגיים
הוא זוגי. אזי:
1
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
P
F
F
T
T
F
T
F
T
הקשר ־ ⊕ ־ "XOR
Q
F
T
F
T
P⊕Q
F
T
T
F
"
P
F
F
T
T
הקשר ־ ↔ ־ "גרירה" )אם"ם(
P Q
P↔Q
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
¯
ויש גם את קשר השלילה: עבור פסוק P ,Pהינו הערך ההפוך
שלו )אם היה Tנהפך להיות Fואם היה Fנהפך להיות .(T
2. סמסטר א' ־ תשע"ג
מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון
הפרש בין קבוצות
})AB = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B
/
קסור
})A ⊕ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ⊕ (x ∈ B
הקבוצה המשלימה
¯
)A = {x ∈ Ω; (x ∈ A)} = x ∈ Ω; (x ∈ A
/
1.4
דה מורגן )קבוצות(
¯ ¯
¯ ¯
.A ∪ B = A ∩ B ,A ∩ B = A ∪ B
2.4
חלק
II
ניתן להמיר פעולות על קבוצה לפוסקים לוגיים, למשל:
) ,P = (x ∈ A) , Q = (x ∈ Bלכן:
¯
למשל: ,A ∩ B = P ∧ Qאו: .AB = P ∧ Q
תורת הקבוצות
3
הגדרות בסיסיות
5
הגדרה:
קבוצה היא אוסף של איברים )האמת היא שאי אפשר
ממש להגדיר קבוצה, אבל אנחנו נותנים כאן מעין הגדרה
אינטואיטיבית...(
}♣ ,A = {♥, 1, 2, ℵ
a ∈ A־ פירושו ש־ aנמצא ב־ ,Aלמשל: .1 ∈ A
a ∈ A־ פירושו ש־ aלא נמצא ב־ ,Aלמשל: .4 ∈ A
/
/
הצגת קבוצה באמצעות תכונה:
}A = {x; x > 12, x ∈ N
הקבוצה הריקה: }{ = ∅.
A ⊆ B־ Aמוכלת ב־ Bכלומר: כל איבר ב־ Aנמצא ב־.B
).(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B
A B־ Aמוכלת ב־ Bאבל לא שווה לה, כלומר קיים לפחות
איבר אחד ב־ Bשאינו נמצא ב־.A
A = B־ שוויון בין קבוצות: A ⊆ Bוגם: .B ⊆ Aאו:
).(x ∈ A) ⇔ (x ∈ B
Aו־ Bקבוצות זרות אם לא קיים בניהן אף איבר משותף, למשל:
} ,1{ ו־}.{ , b
Ω־ הקבוצה האוניברסלית.
}) A = {x ∈ Ω; x ∈ Aצורת כתיבה נוספת של קבוצה .(A
סימון: אומרים ש־ a) a | bמחלק את (bאם קיים k ∈ Zכך
שמתקיים .a · k = b
ומנגד ־ c) c dאינו מחלק את .(dלמשל: 6 | 2 כי 6 = 3 · 2,
אבל: 2 6.
פעולות על קבוצות )רשימה מקוצרת(
יחסים
זוג סדור:
יהיו A, Bקבוצות, כאשר ,a ∈ A, b ∈ Bאזי לצירוף )(a, b
קוראים זוג סדור.
חשוב לזכור ־ ).(a, b) = (b, a
R⊆A×B
יחס Rנקרא יחס מקבוצה Aלקבוצה Bאשר מורכב מזוגות
מהצורה ) (a, bכך ש־ a ∈ Aו־.b ∈ B
∅ ⊆ A × B־ היחס הריק ־ יחס בלי שום זוג סדור.
A×B ⊆ A×B־ היחס המלא ־ כל הזוגות הסדורים האפשריים
) (a, bכך ש־ a ∈ Aו־.b ∈ B
הגדרה:
R ⊆ A × Aיקרא יחס על הקבוצה .A
סימון:
עבור a, b ∈ Aויחס Rעל הקבוצה .Aאם הזוג הסדור )(a, b
נמצא ב־ Rניתן לסמן זאת בשתי דרכים:
(a, b) ∈ Rאו ,aRbוכאשר רוצים לשלול: (a, a) ∈ Rאו .a
Ra
/
1.5
סוגי יחסים
עבור קבוצה Aויחס Rעל הקבוצה:
1.1.5
רפלקסיבי
Rהוא רפלקסיבי אם לכל a ∈ Aמתקיים: ) (a, a) ∈ Rאו:
.(aRa
2.1.5
4
המרה לפסוקים לוגיים
אנטי־רפלקסיבי
Rהוא אנטי רפלקסיבי אם לכל a ∈ Aמתקיים: (a, a) ∈ R
/
)או: .( a
Ra
איחוד
})A ∪ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∨ (x ∈ B
חיתוך
})A ∩ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B
3.1.5
סימטרי
Rהוא יחס סימטרי אם לכל a, b ∈ Aמתקיים: .aRb ⇒ bRa
2
3. מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון
4.1.5
סמסטר א' ־ תשע"ג
5.2.5
אנטי־סימטרי
יחס מושרה
הגדרה: תהא Sחלוקה של קבוצה .Aנגדיר יחס Rsעל הקבוצה
Aבאופן הבא: (x, y) ∈ Rsאם)ם( xו־ yשייכים לאותה קבוצה
ב־ .Sליחס Rsנקרא היחס המושרה מהחלוקה .S
Rהוא יחס אנטי־סימטרי אם לכל a, b ∈ Aאם
.aRb ∧ bRa ⇒ a = b
משפט: Rsהוא יחס שקילות.
5.1.5
טרנזיטיבי
Rהוא יחס טרנזיטיבי אם לכל a, b, c ∈ Aמתקיים:
6
פונקציות
aRb ∧ bRc ⇒ aRc
תזכורת: R ⊆ A × Bנקרא יחס מקבוצה Aלקבוצה .B
2.5
יחס שקילות
תהי ∅ = Aקבוצה ויהי Rיחס על הקבוצה .Aאם Rהוא
רפלקסיבי, סימטרי, וטרנזיטיבי אזי Rהוא יחס שקילות.
1.2.5
הגדרה: f ⊆ A × Bתקרא פונקציה מ־ Aל־ Bאם לכל a ∈ A
קיים b ∈ Bיחיד כך ש־ .(a, b) ∈ f
אם fהיא פונקציה ו־ (a, b) ∈ fאזי מסמנים ,f (a) = bוגם:
.f : A → B
לקבוצה Aקוראים התחום של הפונקציה .f
דוגמא: יחס שקילות מודולו m
הטווח של fיסומן: ) Range (fאו ) Im (fוהוא מוגדר כך:
})Im (f ) = Range (f ) = {b ∈ B, ∃a ∈ A, b = f (a
הגדרה: יהא 2 ≥ ,m ∈ N ,mנגדיר יחס Rm ⊆ Z × Zבאופן
הבא:
) ,∃a ∈ A, b = f (aפירושו: קיים a ∈ Aכך ש־).b = f (a
}).Rm = {(x, y) ; x, y ∈ Z, m | (x − y
לפעמים מסמנים את הטווח ב־).f (A
משפט: לכל 2 ≥ ,mהיחס Rmהוא יחס שקילות.
סימון מקובל: אם (x, y) ∈ Rmאזי מסמנים: .x ≡m y
1.6
1.1.6
למשל: 6 4≡ 2.
2.2.5
מחלקת שקילות
פונקציות מסוימות
פונקצית הזהות
תהא ∅ = Aקבוצה כלשהי.
הגדרה: יהא Rיחס שקילות על קבוצה ,Aו־ .x ∈ Aמחלקת
השקילות של xתחת היחס Rתסומן: ,[x]Rותוגדר באופן הבא:
הפונקציה IA : A → Aהמוגדרת ע"י IA (x) = xלכל x ∈ A
נקראת: פונקצית הזהות על הקבוצה .A
}.[x]R = {y ∈ A; (x, y) ∈ R
חשוב לזכור ־ מחלקת שקילות היא לא קבוצה של זוגות סדורים,
אלא של איברים מהקבוצה המקורית שנמצאים באותה מחלקת
שקילות. מה שמעניין אותנו אלו האיברים שמקיימים את היחס
עם ,xכלומר, כל ה־y־ים שהיחס שלהם עם xהוא יחס שקילות.
למשל, ביחס 4≡ יש לנו ארבע מחלקות שקילות:
}. . . ,01 ,6 ,2 ,2− , . . .{ = })[2]≡4 = {y ∈ Z; 4 | (2 − y
וכמו־כן: 4≡]3[ , 4≡]1[ , 4≡]0[ )את 2 הבאתי באופן מלא רק
כדוגמא(.
4≡]6−[ = 4≡]01[ = 4≡]2[.
3.2.5
2.1.6
1 x∈X
0 otherwise
= )∀x ∈ A; fX (x
אם שמים לב, זוהי פונקציה שממיינת את כל האיברים ב־ Aלמה
שב־) Xבמקרה הזה היא מחזירה 1( ולמה שלא ב־) Xבמקרה
הזה היא מחזירה 0(.
זוהי פונקציה שיכולה להחזיר רק ־ 0 או 1 )עבור תנאי מסוים(.
אם אלו שני ערכים אחרים מ־0 ו־1 אזי זאת פונקציה בולאנית
ולא מציינת )כל פונקציה מציינת היא פונקציה בולאנית, אבל לא
כל פונקציה בולאנית היא פונקציה מציינת(.
חלוקה של קבוצה
3.1.6
הגדרה: תהא ∅ = Aקבוצה של קבוצות. }... , 2S = {S1 , S
תקרא חלוקה של הקבוצה Aאם מתקיימים התנאים הבאים:
א. ∅ = Siלכל .i
ב. Si = A
פונקציה חד־חד־ערכית
הגדרה: תהא f .f : A → Bהיא פונקציה חד־חד־ערכית אם
מתקיים התנאי הבא: לכל :s, t ∈ Aאם ) f (s) = f (tאזי
.s = t
.
ג. ∅ = Si ∩ Sjלכל .i = j
4.2.5
פונקציה מציינת של קבוצה
4.1.6
המשפט המרכזי של יחסי השקילות
תהא ∅ = Aו־ R ⊆ A × Aיחס שקילות. קבוצת מחלקות
השקילות של Rהיא חלוקה של .A
3
פונקציה על
הגדרה: תהא f .f : A → Bהיא על Bאם לכל b ∈ Bקיים
a ∈ Aכך ש־ .f (a) = bבמילים אחרות: ) .B = Im (f
√
דוגמא: אם הפונקציה שנתונה לנו היא 1 + f (x) = xכאשר:
,f : N → Zאזי ניתן לראות שהיא איננה על, מכיוון
4. סמסטר א' ־ תשע"ג
מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון
שמסתכלים על הטווח )מה שנמצא בריבוע( ורואים שלמשל,
Zלא קיים aכך ש־ ,f (a) = bכלומר:
עבור 5− = b
] Im (f ) = B [= Zולכן הפונקציה איננה על.
5.1.6
תהא )≤ , (Aקס"ח המקיימת את תכונת המינימליות.
) P (aטענה לגבי איבר .a ∈ A
הרכבה של פונקציות ופונקציות הפיכות
הגדרה: .h : A → C ,g : B → C ,f : A → B
הפונקציה hהמוגדרת ע"י )) h (x) = g (f (xלכל x ∈ Aנקראת
1
ההרכבה של fו־ gומסומנת: .h = g ◦ f
הגדרה: f : A → Bהיא פונקציה הפיכה אם קיימת g : B → A
כך שלכל g (f (a)) = a ,a ∈ Aולכל .f (g (b)) = b ,b ∈ B
הפונקציה gתקרא הפונקציה ההופכית של ) .fבמילים אחרות:
g ◦ f = IAו־ .(f ◦ g = IB
משפט: f : A → Bהיא פונקציה הפיכה אםם היא חח"ע ועל.
7
1.7
יחס סדר חלקי
1. הטענה ) P (aנכונה לכל איבר מינימלי aשל .A
2. לכל ,a ∈ Aנכונות הטענה ) P (bלכל האיברים b ∈ Aכך
ש־ ,b = a, b ≤ aגוררת את נכונות הטענה ).P (a
אז הטענה ) P (aנכונה לכל .a ∈ A
III
אינדוקציה
יחס סדר חלקי וקבוצה סדורה חלקית
איבר מקסימלי ואיבר מינימלי
8 משפט האינדוקציה השלמה )על המספרים
הטבעיים 2(:
תהא ) P (nטענה לגבי האיבר .n ∈ Nאם מתקיימים שני
התנאים הבאים:
1. )בסיס האינדוקציה( הטענה ) 0 P (nנכונה )עבור .(n0 ∈ N
2. )צעד האינדוקציה( לכל n0 ≤ n ∈ Nנכונות הטענה )P (m
לכל m ∈ Nהמקיים n0 ≤ m < nגוררת את נכונות
הטענה ).P (n
אזי הטענה ) P (nנכונה לכל ) .n0 ≤ n ∈ Nהערה: חשוב לסיים
כל הוכחה במשפט הזה, כי אחרת בעצם לא אמרנו כלום...(.
R ⊆ A × Aהוא יחס סדר חלקי.
a ∈ Aהוא איבר מקסימלי אם .a = x ⇐ aRx
b ∈ Aהוא איבר מינימלי אם .b = x ⇐ xRb
3.7
תהא
אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
חלק
הגדרה: תהא Aקבוצה. R ⊆ A × Aהוא יחס סדר חלקי אם
הוא: רפלקסיבי, אנטי־סימטרי, וטרנזיטיבי.
לזוג ) (A, Rקוראים בשם קבוצה סדורה חלקית. )קס"ח(.
למשל: )≤ ,.(N
הגדרה: R ⊆ A × Aהוא יחס סדר חלקי על ,Aאם לכל
a, b ∈ Aמתקיים aRbאו bRaאזי Rהוא יחס סדר מלא.
)הערה: כל יחס סדר מלא הוא גם יחס סדר חלקי, אבל ההפך
לא נכון(. ול־) (A, Rקוראים קבוצה סדורה לינארית.
הגדרה: אם aוגם bאזי aו־ bהם איברים שאינם ניתנים
Ra
Rb
להשוואה.
אם אין זוג איברים בלתי ניתנים להשוואה אז ) (A, Rהיא קבוצה
סדורה לינארית ו־ Rהוא יחס סדר מלא.
2.7
4.7 משפט האינדוקציה על קבוצה סדורה חלקית
המקיימת את תכונת המינימליות
הערה: משפט האינדוקציה השלמה הוא מסקנה מהמשפט הקודם
העוסק בקס"ח המקיימת את תכונת המינימליות.
קבוצה סדורה היטב
הערה: בחלק הזה נסמן יחס סדר חלקי ב־ ≤ )חשוב לזכור שהוא
לא בהכרח יחס סדר מלא למרות הסימן המטעה...(
)≤ , (Aקבוצה סדורה חלקית.
a ∈ Aהוא איבר מינימלי אם .a = x ⇐ a ≤ x
a ∈ Aהוא איבר מקסימלי אם .a = x ⇐ a ≥ x
הגדרה: )≤ , (Aהיא קבוצה סדורה היטב אם )≤ , (Aהיא קס"ח
ולכל B = ∅ ,B ⊆ Aקיים איבר מינימלי אחד בדיוק.
משפט: כל קבוצה סדורה היטב היא קבוצה סדורה לינארית.
)ההפך אינו נכון(.
הגדרה: )≤ , (Aהיא קבוצה סדורה חלקית המקיימת את תכונת
המינימליות אם לכל B = ∅ ,B ⊆ Aקיים איבר מינימלי )אחד
לפחות(. ]וזה בניגוד להגדרה של "קבוצה סדורה היטב" שבה
צריך שיהיה רק אחד בדיוק. כאן אפשר גם יותר[.
1הסבר יותר מפורט כולל דוגמאות נמצא בסיכום של הקורס "כלים מתמטיים
למדעי המחשב" של ד"ר לור ברתל.
4
9 משפט האינדוקציה הרגילה )על המספרים
הטבעיים(:
תהא ) P (nטענה לגבי האיבר .n ∈ Nאם מתקיימים שני
התנאים הבאים:
1. הטענה )0( Pנכונה.
2. לכל ,1 ≤ n ,n ∈ Nנכונות הטענה )1 − P (nגוררת את
נכונות הטענה ).P (n
אזי הטענה ) P (nנכונה לכל .n ∈ N
2בעיקרון, לא צריך לציין זאת, היות ומשפטי האינדוקציה שנלמד מדברים רק
על המספרים הטבעיים.
5. מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון
חלק
סמסטר א' ־ תשע"ג
IV
3. תהיינה Aו־ Bקבוצות סופיות, אזי: A × Bהיא קבוצה
סופית ומתקיים:
|.|A × B| = |A| × |B
קומבינטוריקה
2.11
הכללות )של טענות 1 ו־3(
1. אם A1 , A2 , . . . , Anהן קבוצות זרות בזוגות )כלומר, לכל
i = jמתקיים: ∅ = ,(Ai ∩ Ajאזי:
n
| |Ai
n
= Ai
1=i
1=i
2. לכל B1 , B2 , . . . , Bnמתקיים:
01
n
הקדמה
= | |B1 × · · · × Bn
| |Bi
1=i
)חלק זה בעיקרון לא נכלל בקומבינטוריקה, אבל שמתי אותו כאן
מכיוון שהוא מעין "הקדמה" לקומבינטוריקה(.
3. מסקנה שנובעת מן ההכללות: = 2n
1.01
n
}1 ,0{
עוצמה של קבוצה
)סוף קטע ההכללות...(
הגדרה: נגדיר את יחס השיקלות ≡Iעל קבוצה של קבוצות
באופן הבא: A ≡I Bאם קיימת f : A → Bהפיכה.
מחלקות השקילות של היחס הזה נקראות העוצמה של Aונסמן
זאת ע"י: |.|A
משפט: יהא R ⊆ A × Bכך שלכל a ∈ Aמתקיים:
|{b ∈ B, (a, b) ∈ R}| = tאזי: ||R| = t · |A
משפט: תהא ,|A| = nאזי:
n
2 = |).|P (A
הגדרה: קבוצה Aהיא סופית אם ∅ = Aאו אם קיים
0 < n ∈ Nכך ש־}.A ≡I {1, 2, . . . , n
21
בחירה של kאיברים מתוך n
אם ∅ = Aאז נאמר ש־ 0 = |.|A
בחלק הבא ידבר על איך לפתור בעיה כאשר אנחנו צריכים לבחור
kאיברים מתוך קבוצה בת nאיברים עם כל מיני אילוצים שונים.
אם } A ≡I {1, 2, . . . , nאז נאמר ש־ .|A| = n
בכל מקרה אחר: Aהיא קבוצה אינסופית.
2.01
בכלל הדוגמאות נתייחס לקבוצה הבאה: }5 ,4 ,3 ,2 ,1{ = A
אלא אם יאמר אחרת.
עקרון שובך היונים
לכל k ∈ Nלא קיימת פונקציה חח"ע מ־
טענה:
}1 + {1, 2, . . . , kל־}.{1, 2, . . . , k
1.0.21 כמה מושגים לפני הצגת המקרים ־ איברים שונים
וחשיבות לסדר:
זהו עיקרון שובך היונים ]עיקרון .[Dirichlet
11
קומבינטוריקה
הערה: בכל הפרק כאן ידובר על קבוצות סופיות אלא אם יוזכר
אחרת.
1.11
1.1.0.21 איברים שונים/חזרות אם מותרות חזרות, כלומר
שלא בהכרח מדובר באיברים שונים אזי הכוונה היא שאותו
איבר יכול לחזור פעמיים או יותר, למשל, במקרה של 5 = k
אזי הקבוצות: }3 ,4 ,3 ,5 ,1{ ו־}4 ,2 ,2 ,2 ,1{ מותרות, אבל אם
מדובר על kאיברים שונים, כלומר, אסור שיהיו חזרות אזי
הקבוצות הנ"ל פסולות.
כדאי לזכור שבמקרה הזה, אם k > nאזי התשובה היא שיש לנו
0 אפשרויות, מכיוון שאם אסורות חזרות ואנחנו צריכים לבחור
יותר מ־ nאיברים אזי זה בלתי אפשרי.
טענה על קבוצות )ללא הוכחות(
1. תהיינה Aו־ Bקבוצות סופיות וזרות )כלומר: ∅ = ,(A ∩ B
אזי: A ∪ Bהיא קבוצה סופית ומתקיים:
|.|A ∪ B| = |A| + |B
2. תהיינה Cו־ Dקבוצות סופיות ו־ ,C ⊆ Dאזי: DCהיא
קבוצה סופית ומתקיים:
|.|DC| = |D| − |C
5
2.1.0.21 חשיבות לסדר בחשיבות לסדר הכוונה היא שמיקום
האיברים בקבוצה משנה )במידה ויש חשיבות לסדר(, לכן, במקרה
כזה וכאשר 3 = :k
}5 ,1 ,2{ = }5 ,2 ,1{, לעומת זאת, אם אין חשיבות לסדר אזי
הקבוצות הנ"ל שוות...
6. סמסטר א' ־ תשע"ג
מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון
1.21 בחירה של kאיברים שונים מתוך קבוצה בת n
איברים עם חשיבות לסדר
4.21 בחירה של kאיברים עם חזרות מתוך קבוצה
בת nאיברים ללא חשיבות לסדר
ניקח למשל את הקבוצה ,Aאזי אם מדובר על kערכים שונים
עם חשיבות לסדר אזי:
במקרה כזה ־ . . . = }2 ,1 ,2 ,3{ = }2 ,3 ,1 ,2{ = }3 ,2 ,2 ,1{
וכמות האפשרויות היא:
1−n+k
}1 ,2{ = }2 ,1{ )במקרה של 2 = .(kכמו־כן, לפי ההגדרות לא
תתכן קבוצה כמו }3 ,3{ שכן, אסור שיהיו חזרות.
במקרה כזה, היות וכל פעם יורדת לנו אפשרות, אזי סך־כל
האפשרויות הינו:
))1 − n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − (k
הערה: במקרה ו־ k = nאזי מה שנקבל הוא ! ,nוזה גם מה
שמכונה תמורה.
2.21 בחירה של kאיברים שונים מתוך קבוצה עם n
איברים ללא חשיבות לסדר
במקרה, כזה, בניגוד לסעיף הקודם, הסדר איננו משנה, כלומר:
. . . = }3 ,4 ,1{ = }4 ,1 ,3{ = }4 ,3 ,1{ ־ כלומר, כל הקבוצות
הללו נספרות כקבוצה אחת, לכן במקרה כזה יורדות מספר
האפשרויות, לכן סך האפשרויות הינו:
))1 − n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − (k
!k
ניתן לכפול את הביטוי הנ"ל
!n
!). k!(n−k
!)(n−k
ב־ !)(n−k
)כי זה שווה אחד( ונקבל:
סימון:
!n
!)k! (n − k
=
n
k
ומכנים את זה " nמעל ."k
במקרים הבאים: 0 < kאו k > nאו 0 < nאזי נאמר
ש־0 = . n
k
אחד השימושים של הסעיף הזה הוא שהוא מאפשר לנו לדעת,
עבור קבוצה עם עוצמה ,nכמה תת־קבוצות בגודל kקיימות
בקבוצת החזקה שלה.
21
4
)למשל: אם 21 = | ,|Aכלומר ב־ Aיש 21 איברים, אזי
יתן לנו כמה תת־קבוצות בגודל 4 יש בקבוצת החזקה של A
]ב־).([P (A
3.21 בחירה של kאיברים עם חזרות מתוך קבוצה
בת nאיברים עם חשיבות לסדר
במקרה כזה נקבל את המספר הרב ביותר של הקבוצות מהסיבה
שגם ישנה אפשרות לחזרה וגם ישנה חישבות לסדר, לכן גם
יכולים להופיע לנו קבוצות עם חזרה, וגם אם הסדר שונה אזי
מדובר בקובוצות שונות.
במקרה כזה מספר האפשרויות הינו: . nk
1−n
מדוע?
בשביל להבין את הרעיון כאן, אפשר להסתכל על דוגמא ספציפית
ומכך להבין את הרעיון שעומד מאחורי הנוסחא:
נניח ואנחנו רוצים לחשב כמה כדורים ) (kניתן להכניס ל־n
תאים.
אזי הדבר ייראה כך:
אם למשל אנחנו רוצים להכניס שישה כדורים לשלושה תאים ישנן
מספר אפשרויות, נקח רק אחת שתמחיש את הרעיון:
•
•
•
• • •
3 2 1
נניח שיש תולעת שנכנסת לתוך התאים ומשדרת את מה שהיא
רואה אלינו:
ד=דופן
מ=מחיצה
כ=כדור
אזי בדוגמא שלנו מה שהיא תשדר הוא:
דככמכמכככד. ניתן לשים לב שלא משנה איך נסדר את הכדורים
בתאים בכל סידור תמיד תהיה ד' אחת בהתחלה וד' אחת בסוף,
לכן ניתן להשמיט אותן...
סה"כ, מה שנקבל הוא: ככמכמכככ.
ניתן לשים לב שכמות ה־מ־ים היא כמו כמות התאים פחות אחד
)1 − (nו־מספר ה־כ־ים הוא בדיוק כמו מספר הכדורים ).(k
סה"כ קיבלנו סדרה בעלת ) n + k − 1 (= n − 1 + kאיברים.
כעת בשביל שיהיה פתרון תקין כל מה שעלינו לבחור הוא היכן
נמקם את ה־מ־ים )סה"כ 1 − nאיברים( והנותרים יהיה כ־ים.
אזי צריך לבחור תת־קבוצה בגודל 1 − nמתוך קבוצה בגודל
1−) n+kהסבר: אותה תת־הקבוצה שנבחר תסמל את המקומות
שבהם נשים את המ־ים, וסה"כ יש לנו 1 − nכאלה(.
לכן, מה שנקבל הוא:
1−n+k
1−n
באותו אופן היינו יכולים לבחור גם היכן לשים את ה־כ־ים ואז
מה שהיינו מקבלים היה:
1−n+k
k
31
זהויות קומבינטוריות )ללא הוכחות(
1.31 זהות קומבינטורים של סכום תת־הקבוצה של
קבוצה עם nאיברים
= 2n
6
n
k
n
0=k
7. סמסטר א' ־ תשע"ג
מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון
n
0
1.1.41
הערה: לכל 0 ≤ nמתקיים: 1 =
. n =n
1
2.31
, וגם ־ לכל 1 ≤ nמתקיים:
טענה סימטרית ביחס ל־
n
k
n
n−k
3.31
n
k
זהות פסקל
לכל 0 ≤ k ≤ nמתקיים:
1−n
1−n
+
1−k
k
בחירה של ספרה אחת שתופיע ב־ mמקומות
נניח שיש לנו מספר עם 01 ספרות, ואנחנו רוצים לבחור ספרה
אחת שתופיע רק ב־4 מקומות מתוך ה־01.
אזי, ניתן לנסח את הבעיה הזאת בצורה הבאה:
בגלל עקרון שובך היונים אנחנו יודעים שקיימת התאמה חח"ע ועל
בין מיקום הספרות במספר לבין הקבוצה:
}01 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1{, כעת, נצטרך לבחור תת־קבוצה
בגדול 4 )למשל: }9 ,6 ,5 ,1{( ואיברי הקבוצה יסמנו היכן אנחנו
שמים את אותה הספרה )במקרה שלנו, אותה ספרה תמוקם
01
במקום הראשון, החמישי, השישי והתשיעי(, סה"כ יש לנו 01· 4
אפשרויות )ה "01·" הוא בגלל שיש לנו 01 ספרות שניתן לבחור,
שזה בדיוק 01 ־ כלומר, לבחור תת־קבוצה בגודל 1 מתוך 01
1
)שתייצג את הספרה((.
לכל 0 ≤ k ≤ nמתקיים:
=
1.41
kספרות בתוך מספר בעל nספרות
=
n
k
51
עקרון ההכלה וההדחה
)בגלל שנתעסק בזה יותר בסמסטר הבא, אני לא אדבר על
העיקרון הזה בהרחבה, אלא רק אציג אותו(
4.31
משולש פסקל )רק כמה שורות לדגומא...(
1.51
| 2|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A
0
0
2.51
1
0
1
1
2
2
עבור 2 = n
2
1
עבור 3 = n
2
0
3
2
3
3
3
0
3
1
| 3|Ai ∩ Aj |+|A1 ∩ A2 ∩ A
3<1≤i<j
1
1
1
1
1
5.31
3
4
3.51
1
4
1
תהיינה A1 , . . . , Anקבוצות סופיות, אזי:
|Ai1 ∩ Ai2 |
יהיו (x, y = 0) x, y ∈ Rו־ .1 ≤ n ∈ N
אזי מתקיים:
41
1=i
משפט ההכלה וההדחה באופן כללי
משפט הבינום של ניוטון
n k n−k
x ·y
k
1=i
1
3
6
= Ai
הערה: ניתן להוריד את הסוגריים. הן רק בשביל לעשות סדר
ושיהיה יותר ברור על מה סימן המינוס.
1
2
3
|Ai |−
3
|Ai | −
1≤i1 <i2 ≤n
n
n
= Ai
1=i
n
n
= )(x + y
|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 |
1=i
+
1≤i1 <i2 <i3 ≤n
0=k
הרחבה של פתרון בעיות קומבינטוריות
בחלק הזה ינתנו כל מיני דוגמאות לבעיות קומבינטוריות ופתרונן.
היות וחלק מההבנה בפתרון בעיות קומבינטוריות באה מהבנה
של דגמאות...
הערה: בכל הדוגמאות ידובר על ספרות עשרוניות.
7
|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ Ai4 |
−
1≤i1 <i2 <i3 <i4 ≤n
| |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An
1−n
)1−( · · · ±
מכיוון שיש לנו רק n־יה אחת, כלומר, יש לנו
לבסוף אין לנו
רק אפשרות סידור אחת....