كتاب منهجي لاساتذة الصف الثالث المتوسط في جمهورية العراق

1. ‫العراق‬ ‫جمهورية‬
‫التربية‬ ‫وزارة‬
‫للمناهج‬ ‫العامة‬ ‫املديرية‬
‫الرياضيات‬ ‫مدرس‬ ‫دليل‬
‫املتوسط‬ ‫الثالث‬ ‫للصف‬
‫تأليف‬
‫رجب‬ ‫شعبــان‬ ‫طارق‬ . ‫د‬ ‫اجلواهري‬ ‫الغفور‬ ‫عبد‬ ‫محمد‬
‫حمـزة‬ ‫محمد‬ ‫هاشم‬ . ‫د‬ ‫فتــــاح‬ ‫عـــادل‬ ‫سديــــل‬ . ‫د‬
‫عــلوان‬ ‫حـسيــن‬ ‫مـنـعــم‬ ‫مــكــي‬ ‫اهلل‬ ‫مـــال‬ ‫مـــهـــدي‬
‫م‬ 2012 / ‫3341هـ‬ ‫االولى‬ ‫الطبعة‬

2. ‫اللغوي‬ ‫اخلبير‬
‫طاهر‬ ‫اهلل‬ ‫عبد‬ ‫هاشم‬
‫مكي‬ ‫اهلل‬ ‫مال‬ ‫مهدي‬
‫الطبع‬ ‫على‬ ‫العلمي‬ ‫املشرف‬
‫الطبـع‬ ‫على‬ ‫الفني‬ ‫املشرف‬
‫سعــــيد‬ ‫غــانـــم‬ ‫زيــد‬

3. ‫الرحيم‬ ‫الرحمن‬ ‫اهلل‬ ‫بسم‬
:‫ة‬ّ‫م‬‫مقد‬
‫املدرسة‬ ‫اختي‬ ..... ‫املدرس‬ ‫اخي‬
‫املرشد‬ ‫لكم‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫آملني‬ ‫املتوسط‬ ‫الثالث‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملادة‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫ايديكم‬ ‫بني‬ ‫نقدم‬ ‫ان‬ ‫يسرنا‬
. ‫الرياضيات‬ ‫تدريس‬ ‫من‬ ‫املنشودة‬ ‫االهداف‬ ‫لتحقيق‬ ‫رسالتكم‬ ‫اداء‬ ‫في‬ ‫ويساعدكم‬
‫تبدعوا‬ ‫كي‬ ‫لكم‬ ‫مفتوح‬ ‫واملجال‬ ‫الطالب‬ ‫كتاب‬ ‫في‬ ‫املقدمة‬ ‫االنشطة‬ ‫ودعم‬ ‫لتعزيز‬ ً‫ا‬‫عون‬ ‫جاء‬ ‫انه‬ ‫على‬ ‫ونؤكد‬
. ‫طالبكم‬ ‫ملستويات‬ ً‫ا‬‫وفق‬ ‫التدريس‬ ‫في‬ ‫مايعينكم‬ ‫كل‬ ‫وتقدموا‬
:‫على‬ ‫ويشتمل‬ ‫الطالب‬ ‫كتاب‬ ‫في‬ ‫الدروس‬ ‫ترتيب‬ ‫وفق‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫ترتيب‬ ‫مت‬ ‫وقد‬
‫والتعميمات‬ ‫واحلقائق‬ ‫واملصطلحات‬ ‫املفاهيم‬ ‫يتضمن‬ ‫الذي‬ ‫العلمي‬ ‫احملتوى‬ :ً‫ال‬‫او‬
‫فصل‬ ‫لكل‬ ‫السلوكية‬ ‫واالهداف‬
‫علمية‬ ‫خلفية‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬
‫والعرض‬ ‫التمهيد‬ ‫وتتضمن‬ ‫الدرس‬ ‫سير‬ ‫خطوات‬ :ً‫ا‬‫ثالث‬
‫معاجلتها‬ ‫وكيفية‬ ‫الشائعة‬ ‫االخطاء‬ ‫وبعض‬ ‫االثرائية‬ ‫االنشطة‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ : ً‫ا‬‫رابع‬
‫والتمرينات‬ ‫التدريبات‬ ‫حل‬ :ً‫ا‬‫خامس‬
‫التقومي‬ : ً‫ا‬‫سادس‬
:‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫بأجناز‬ ‫ساهم‬ ‫الذي‬ ‫غازي‬ ‫اياد‬ ‫الدكتور‬ ‫العلمي‬ ‫اخلبير‬ ‫جهود‬ ‫نثمن‬ ‫كما‬
‫وتشجعوهم‬ ‫بأنفسهم‬ ‫الرياضية‬ ‫القواعد‬ ‫يكتشفوا‬ ‫كي‬ ‫طلبتكم‬ ‫امام‬ ‫املجال‬ ‫تفسحوا‬ ‫ان‬ ‫منكم‬ ‫نأمل‬ ً‫ا‬‫وختام‬
‫تعليم‬ ‫بعملية‬ ‫الرقي‬ ‫سبيل‬ ‫في‬ ‫ومقترحاتكم‬ ‫مالحظاتكم‬ ‫لنا‬ ‫تقدموا‬ ‫ان‬ ‫ونرجو‬ ‫تدريسكم‬ ‫طرائق‬ ‫في‬ ‫وتنوعوا‬
. ‫االفضل‬ ‫نحو‬ ‫الرياضيات‬ ‫وتعلم‬
.‫والسؤدد‬ ‫التوفيق‬ ّ‫ولي‬ ‫واهلل‬
‫املؤلفون‬

4. ‫املتوسط‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬ ‫لرياضيات‬ ‫السنوية‬ ‫اخلطة‬
‫الفصل‬‫احلصص‬ ‫عدد‬
‫فصل‬ ‫لكل‬
‫فصل‬ ‫بكل‬ ‫املفردات‬‫احلصص‬ ‫عدد‬
‫مفردة‬ ‫لكل‬
1‫االول‬ ‫الفصل‬15
‫التطبيق‬
‫التطبيق‬ ‫انواع‬
‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
5
5
5
2‫الثاني‬ ‫الفصل‬15
‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬
‫التربيعية‬ ‫اجلذور‬
‫التكعيبية‬ ‫اجلذور‬
5
5
5
3‫الثالث‬ ‫الفصل‬15
‫احلدوديات‬
‫الثالثية‬ ‫احلدوديات‬ ‫حتليل‬
‫الكامل‬ ‫املربع‬ ‫حتليل‬
5
5
5
4‫الرابع‬ ‫الفصل‬19
‫املتباينات‬
‫الرياضية‬ ‫اجلمل‬
‫مبتغيرين‬ ‫االولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫املعادلة‬
‫الكسرية‬ ‫املعادالت‬
5
5
5
4
5‫اخلامس‬ ‫الفصل‬10
‫الهندسة‬
‫املثلث‬
5
5
6‫السادس‬ ‫الفصل‬15
‫الدائرة‬
‫االقواس‬
‫التماس‬
3
6
6
7‫السابع‬ ‫الفصل‬10
‫االحداثية‬ ‫الهندسة‬
‫في‬ ‫مستقبم‬ ‫قطعة‬ ‫منتصف‬ ‫نقطة‬ ‫احداثيات‬
‫االحداثي‬ ‫مستوى‬
5
5
8‫الثامن‬ ‫الفصل‬15
‫االنعكاس‬
‫الدوران‬
‫التكبير‬
5
5
5
9‫التاسع‬ ‫الفصل‬6
‫املثلثات‬
‫املثلثية‬ ‫النسب‬
‫اخلاصة‬ ‫للزوايا‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬
2
2
2
10‫العاشر‬ ‫الفصل‬5‫االحصاء‬5
‫املجموع‬125125

5. ‫املتوسط‬ ‫الثالث‬ ‫املدرس‬ ‫كتاب‬
-: ‫مقدمة‬
‫علمي‬ ‫تقدم‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الزاوية‬ ‫حجر‬ ‫عدت‬ ‫بحيث‬ ‫املعاصرة‬ ‫حياتنا‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫كبير‬ ً‫ا‬‫دور‬ ‫احلديثة‬ ‫الرياضيات‬ ‫تؤدي‬
‫ان‬ ‫علينا‬ ‫لزاما‬ ‫فكان‬ ، ‫بتطوره‬ ‫ونتأثر‬ ‫بتقدمه‬ ‫نحس‬ ‫العصر‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫جزء‬ ‫اننا‬ ‫ومبا‬ .‫العصر‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫وتقني‬
‫ولنقوم‬ ، ‫العاملية‬ ‫التطورات‬ ‫مع‬ ‫لتتماشى‬ ‫خاصة‬ ‫بصورة‬ ‫والرياضيات‬ ‫عامة‬ ‫بصورة‬ ‫الدراسية‬ ‫مناهجنا‬ ‫نغير‬
‫لتقبل‬ ً‫ا‬‫استعداد‬ ‫اكثر‬ ‫ليكون‬ ‫احلديثة‬ ‫العلمية‬ ‫للتطورات‬ ‫واملتفهم‬ ‫والتفكير‬ ‫االبتكار‬ ‫على‬ ‫القادر‬ ‫املواطن‬ ‫بتهيئة‬
.‫املجتمع‬ ‫في‬ ‫املشكالت‬ ‫حلل‬ ‫الرياضي‬ ‫واالسلوب‬ ‫العلمي‬ ‫التفكير‬ ‫على‬ ‫وليعتمد‬ ‫وتطبيقاتها‬ ‫تطوراتها‬
-:‫التعليمية‬ ‫املواد‬ ‫اعداد‬ ‫في‬ ‫اساسيه‬ ‫مبادئ‬
‫الكثير‬ ‫يعي‬ ‫ان‬ ‫البد‬ ) ‫الثالث‬ ( ‫املتوسطة‬ ‫املرحله‬ ‫لصفوف‬ ‫الرياضيات‬ ‫مادة‬ ‫بتدريس‬ ‫يقوم‬ ‫الذي‬ ‫املدرس‬ ‫ان‬
‫الى‬ ‫وترشده‬ ‫حديثة‬ ‫نظر‬ ‫وجهة‬ ‫من‬ ‫ومناهجها‬ ‫الرياضيات‬ ‫مادة‬ ‫حول‬ ‫باملعرفة‬ ‫تزوده‬ ‫التي‬ ‫االساسيه‬ ‫املبادئ‬ ‫من‬
.‫طالبه‬ ‫تعليم‬ ‫في‬ ‫والتقوميية‬ ‫التدريسية‬ ‫والطرائق‬ ‫الوسائل‬
:‫الرئيسة‬ ‫املبادئ‬ ‫اهم‬ ‫من‬ ‫ان‬
‫فيبدأ‬ ‫الطالب‬ ‫بأعمار‬ ‫مقارنة‬ ‫العقلي‬ ‫النمو‬ ‫مراحل‬ ‫حيث‬ ‫من‬ ‫املتعلمني‬ ‫عند‬ ‫التفكير‬ ‫تطور‬ ‫مراحل‬ ‫مراعاة‬ - 1
. ‫املجردات‬ ‫الى‬ ‫لينتقل‬ ‫احملسوسات‬ ‫شبه‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫احملسوسات‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬ ‫املدرس‬
.)‫مهارية‬ ، ‫وجدانية‬ ، ‫(معرفية‬ ‫االهداف‬ ‫مبجاالت‬ ‫االهتمام‬ - 2
‫الى‬ ‫بهم‬ ‫نرتقي‬ ‫االمر‬ ‫لزم‬ ‫واذا‬ ) ‫تطبيق‬ ، ‫استيعاب‬ ، ‫معرفة‬ ( ‫باملستويات‬ ‫نهتم‬ ‫املعرفي‬ ‫املجال‬ ‫مستويات‬ ‫ففي‬
‫كذلك‬ .‫الرياضيات‬ ‫نحو‬ ‫االيجابية‬ ‫الطالب‬ ‫واجتاهات‬ ‫مبيول‬ ‫فنهتم‬ ‫الوجداني‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫اما‬ . ‫اعلى‬ ‫مستويات‬
.‫كبير‬ ‫بشكل‬ ‫وتنميته‬ ) ‫املهاري‬ ( ‫العملي‬ ‫واملجال‬ ‫الوجداني‬ ‫اجلانب‬ ‫على‬ ‫التأكيد‬ ‫الضروري‬ ‫من‬
‫تراكمية‬ ‫الرياضية‬ ‫املعرفة‬ ‫وان‬ ‫الطالب‬ ‫قبل‬ ‫من‬ ‫اكتسابها‬ ‫على‬ ‫والتأكيد‬ ‫الرياضية‬ ‫باملفاهيم‬ ‫االهتمام‬ - 3
.‫اكبر‬ ‫لبناء‬ ‫اساسية‬ ‫االولية‬ ‫فاملفاهيم‬ )‫هرمية‬ (
‫التوصل‬ ‫في‬ ‫والرئيسة‬ ‫االساسية‬ ‫اجلوانب‬ ‫على‬ ‫التركيز‬ ‫مع‬ ‫باملفاهيم‬ ‫االهتمام‬ ‫بقدر‬ ‫باملهارات‬ ‫االهتمام‬ - 4
.‫جيدة‬ ‫مهارات‬ ‫الى‬
‫تتناول‬ ‫التي‬ ‫املسائل‬ ‫بعض‬ ‫تقدم‬ ‫حيث‬ . ‫السليم‬ ‫التفكير‬ ‫لتنمية‬ ‫رئيسة‬ ‫اداة‬ ‫النها‬ ‫املسائل‬ ‫بحل‬ ‫االهتمام‬ - 5
.‫رياضية‬ ‫مسألة‬ ‫بحل‬ ‫اخلاصة‬ ‫االستراتيجيات‬ ‫على‬ ‫التأكيد‬ ‫مع‬ ‫موضوع‬ ‫كل‬ ‫بعد‬ ‫حياتية‬ ‫مواقف‬
‫ضمن‬ ‫وضروري‬ ‫مهم‬ ‫جزء‬ ‫النها‬ ‫العناية‬ ‫من‬ ‫نستحقه‬ ‫ما‬ ‫واعطائها‬ ‫الهندسية‬ ‫واملهارات‬ ‫باملفاهيم‬ ‫االهتمام‬ - 6
.‫ومفرداتها‬ ‫الرياضيات‬ ‫مناهج‬
‫التفكير‬ ‫درجة‬ ‫وفي‬ ‫للمادة‬ ‫تقبلهم‬ ‫سرعة‬ ‫في‬ ‫مختلفون‬ ‫النهم‬ ‫املتعلمني‬ ‫بني‬ ‫الفردية‬ ‫الفروق‬ ‫مراعاة‬ - 7
.‫وامكاناته‬ ‫قدراته‬ ‫حسب‬ ‫كل‬ ‫والعمل‬ ‫للمشاركه‬ ‫الطالب‬ ‫جلميع‬ ‫الكافية‬ ‫الفرص‬ ‫اتاحة‬ ‫املدرس‬ ‫وعلى‬ ‫والذكاء‬

6. .‫املعقد‬ ‫الى‬ ‫البسيط‬ ‫ومن‬ ‫الصعب‬ ‫الى‬ ‫السهل‬ ‫من‬ ‫التعليم‬ ‫في‬ ‫التدرج‬ - 8
:‫خالل‬ ‫من‬ ‫للمدرس‬ ‫الالزمة‬ ‫املساعدة‬ ‫تقدمي‬ - 9
‫موضوع‬ ‫لكل‬ ‫السلوكية‬ ‫االهداف‬ ‫حتديد‬ - ‫أ‬
‫االفكار‬ ‫لتعميق‬ ‫للموضوعات‬ ‫علمية‬ ‫خلفية‬ ‫اعطاء‬ - ‫ب‬
‫املناسبة‬ ‫التعليمية‬ ‫الوسائل‬ ‫حتديد‬ - ‫جـ‬
‫املوضوعات‬ ‫لتدريس‬ ‫متنوعة‬ ‫تدريسية‬ ‫طرائق‬ ‫اعطاء‬ - ‫د‬
‫الطالب‬ ‫حتصيل‬ ‫لتقومي‬ ‫اسئلة‬ ‫حتديد‬ - ‫هـ‬
‫عامة‬ ‫توجيهات‬
‫مساعدة‬ ‫وسيلة‬ ‫واليكون‬ ‫والتوجيهات‬ ‫املعلومات‬ ‫من‬ ‫لالستفادة‬ ‫املتوسط‬ ‫الثالث‬ ‫ملدرس‬ ‫مقدم‬ ‫الكتاب‬ - 1
.‫للطالب‬
‫والوسائل‬ ‫تدريسها‬ ‫وطرائق‬ ‫الرياضيات‬ ‫مادة‬ ‫في‬ ‫حديث‬ ‫ماهو‬ ‫وتقدمي‬ ‫العلمية‬ ‫املدرس‬ ‫خلفية‬ ‫اثراء‬ - 2
.‫والتقوميية‬ ‫التعليمية‬
‫بشكل‬ ‫وانشطته‬ ‫الدرس‬ ‫اجزاء‬ ‫جميع‬ ‫في‬ ‫ومشاركته‬ ‫التعليمية‬ ‫العملية‬ ‫في‬ ‫اساسي‬ ‫محور‬ ‫الطالب‬ ‫اعتبار‬ - 3
.‫للطالب‬ ‫واملوجه‬ ‫املرشد‬ ‫هو‬ ‫واملدرس‬ ‫وايجابي‬ ‫وفعال‬ ‫نشط‬
‫اسابيع‬ ‫على‬ ‫بأكملها‬ ‫املادة‬ ‫مفردات‬ ‫توزع‬ ‫حيث‬ )‫سنوية‬ ‫(خطة‬ ‫عام‬ ‫بشكل‬ ‫للموضوع‬ ‫بالتخطيط‬ ‫االهتمام‬ - 4
.‫اخلامتة‬ ‫الى‬ ‫املقدمة‬ ‫من‬ ‫الدرس‬ ‫موضوع‬ ‫تقدمي‬ ‫وكيفية‬ ‫اليومية‬ ‫باخلطة‬ ‫االهتمام‬ ‫كذلك‬ . ‫الدراسية‬ ‫السنة‬
‫وامثلة‬ ‫واجهزة‬ ‫ومصورات‬ ‫ادوات‬ ‫من‬ ‫الدرس‬ ‫ملوضوع‬ ‫املناسبة‬ ‫التربوية‬ ‫واملعينات‬ ‫الوسائل‬ ‫اختيار‬ - 5
.‫حياتية‬
‫املستوي‬ ‫في‬ ‫ومختلفة‬ ‫متنوعة‬ ‫وامثلة‬ ‫وانشطة‬ ‫وسائل‬ ‫بتقدمي‬ ‫وذلك‬ ‫الطالب‬ ‫بني‬ ‫الفردية‬ ‫الفروق‬ ‫مراعاة‬ - 6
.)‫صعب‬ ،‫متوسط‬ ،‫(بسيط‬
-:‫ومنها‬ ً‫ا‬‫مناسب‬ ‫يكون‬ ‫ومبا‬ ‫الدرس‬ ‫وموضوع‬ ‫تتالئم‬ ‫متنوعة‬ ‫تدريسية‬ ‫طرائق‬ ‫اتباع‬ - 7
. )‫(اخلامتة‬ ‫الدرس‬ ‫نهاية‬ ‫وفي‬ )‫(مقدمة‬ ‫املوضوع‬ ‫تقدمي‬ ‫بداية‬ ‫في‬ ‫تستخدم‬ : ‫احملاضرة‬ ‫طريقة‬ -‫أ‬
‫فاملدر‬ ‫الدرس‬ ‫ملوضوع‬ ‫املناسبة‬ ‫واللفظية‬ ‫العددية‬ ‫واالمثلة‬ ‫االسئلة‬ ‫طرح‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫الطالب‬ ‫محاورة‬ :‫املناقشة‬ -‫ب‬
. ‫يجيب‬ ‫وآخر‬ ‫يسأل‬ ‫طالب‬ ‫او‬ ‫العكس‬ ‫يحدث‬ ‫ورمبا‬ ‫يجيب‬ ‫والطالب‬ ‫يسأل‬ ‫س‬
‫القاعدة‬ ‫الى‬ ‫التوصل‬ ‫الطالب‬ ‫فيستطيع‬ ‫املعلومة‬ ‫هو‬ ‫يكتشف‬ ‫كي‬ ‫للطالب‬ ً‫ا‬‫فرص‬ ‫املدرس‬ ‫يهيء‬ : ‫االكتشاف‬ -‫جـ‬
.‫له‬ ‫املدرس‬ ‫يقدمها‬ ‫التي‬ ‫اخلاصة‬ ‫واحلاالت‬ ‫احمللولة‬ ‫االمثلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫القانون‬ ‫او‬
‫التعلم‬ ‫على‬ ‫لتشجعهم‬ ،‫االسئلة‬ ‫عن‬ ‫واالجابة‬ ‫املقرر‬ ‫للكتاب‬ ‫الطالب‬ ‫استخدام‬ ‫خالل‬ ‫من‬ :‫الفردي‬ ‫التعليم‬ -‫د‬
.‫الفردية‬ ‫الفروق‬ ‫مبدأ‬ ‫يراعي‬ ‫الذي‬ ‫الفردي‬

7. .‫الرياضي‬ ‫التفكير‬ ‫تنمي‬ ‫النها‬ ‫الرياضية‬ ‫املشكالت‬ ‫حلل‬ ً‫ا‬‫اساس‬ ‫:تعد‬ ‫املشكالت‬ ‫حل‬ -‫هـ‬
‫طالب‬ ‫املدرس‬ ‫يقسم‬ ‫الطالب‬ ‫بني‬ ‫والتعاون‬ ‫املساعدة‬ ‫روح‬ ‫وتنمية‬ ‫تعاوني‬ ‫بشكل‬ ‫للعمل‬ -: ‫التعاوني‬ ‫التعلم‬ -‫و‬
.‫حلولها‬ ‫الى‬ ‫ويتوصلون‬ ‫بها‬ ‫يؤدونها‬ ‫أعمال‬ ‫لهم‬ ‫تعطى‬ ‫طالب‬ )3-5( ‫صغيرة‬ ‫مجموعات‬ ‫الى‬ ‫الصف‬
.ً‫ا‬‫مسبق‬ ‫محددة‬ ‫قواعد‬ ‫وفق‬ ‫على‬ ‫وااللغاز‬ ‫االلعاب‬ ‫استخدام‬ ‫منها‬ ‫متنوعة‬ ‫اخرى‬ ‫واساليب‬ ‫طرائق‬ ‫وهناك‬ -‫ز‬
‫في‬ )‫(قبلي‬ ‫تقومي‬ ‫الى‬ ‫التقومي‬ ‫ويقسم‬ ‫الطالب‬ ‫حتصل‬ ‫مستوى‬ ‫تقيس‬ ‫التي‬ ‫التقومي‬ ‫وسائل‬ ‫استخدام‬ - 8
‫الدرس‬ ‫خالل‬ ‫يكون‬ )‫(تكوين‬ ‫.وتقومي‬ ‫املوضوع‬ ‫على‬ ‫معلومات‬ ‫من‬ ‫الطالب‬ ‫مالدى‬ ‫مقدار‬ ‫ملعرفة‬ ‫الدرس‬ ‫بداية‬
‫مدى‬ ‫يحدد‬ ‫والذي‬ ‫الدرس‬ ‫نهاية‬ ‫في‬ ‫يكون‬ )‫(البعدي‬ ‫التقومي‬ ‫اما‬ . ‫الشرح‬ ‫وخالل‬ ‫الدرس‬ ‫وقت‬ ‫طيلة‬ ‫ومستمر‬
.‫السلوكية‬ ‫االهداف‬ ‫حتقيق‬
‫التعرف‬ ‫في‬ ‫ايجابية‬ ‫وقيم‬ ‫سليمة‬ ‫واجتاهات‬ ‫ميول‬ ‫تنمية‬ ‫في‬ ‫يساعد‬ ‫الذي‬ ‫اجليد‬ ‫بالسلوك‬ ‫املدرس‬ ‫التزام‬ - 9
-:‫املدرس‬ ‫سلوك‬ ‫خصائص‬ ‫ومن‬ ‫الرياضيات‬ ‫مادة‬ ‫نحو‬ ‫سليمة‬ ‫واجتاهات‬ ‫والسلوك‬
‫بني‬ )‫والتعاون‬ ‫والعطف‬ ‫(احملبة‬ ‫االنسانية‬ ‫والعالقات‬ ‫املتبادل‬ ‫االحترام‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫دميوقراطية‬ ‫قيادة‬ ‫اعتماد‬ -
.‫وطالبه‬ ‫املدرس‬
.‫للمدرس‬ ‫الالئق‬ ‫واملظهر‬ ‫االنفعالي‬ ‫واالتزان‬ ‫القوية‬ ‫الشخصية‬ -
.‫التخطيط‬ ‫ويعتمد‬ ‫خيال‬ ‫وسعة‬ ‫وابتكار‬ ‫واالمانة‬ ‫واالخالص‬ ‫العلمية‬ ‫الكفاية‬ -
‫الطالب‬ ‫جلميع‬ ‫شاملة‬ ‫نظرة‬ ‫ولديه‬ ‫الصف‬ ‫ادارة‬ ‫من‬ ‫ومتمكن‬ ‫سليم‬ ‫ونطق‬ ‫مسموع‬ ‫واضح‬ ‫صوت‬ ‫للمدرس‬ -
.‫مناسبة‬ ‫وحركته‬
.‫واالجهزة‬ ‫الرسومات‬ ‫مثل‬ ‫التربوية‬ ‫التقنيات‬ ‫ويستخدم‬ ‫منظم‬ ‫بشكل‬ ‫السبورة‬ ‫يستخدم‬ -
‫بيان‬ ‫او‬ ‫حياتي‬ ‫مثال‬ ‫اعطاء‬ ‫او‬ ‫ايضاح‬ ‫وسيلة‬ ‫عرض‬ ‫مثل‬ ‫للموضوع‬ ‫مثيرة‬ ‫مقدمة‬ ‫باعطاء‬ ‫طالبه‬ ‫انتباه‬ ‫يجذب‬ -
.‫احلياة‬ ‫في‬ ‫واستخداماته‬ ‫اهميته‬
.‫مختلفة‬ ‫بأساليب‬ ‫عالجها‬ ‫على‬ ‫التأكيد‬ ‫ومحاوله‬ ‫الطالب‬ ‫عند‬ ‫املوجودة‬ ‫التعلم‬ ‫في‬ ‫الصعوبات‬ ‫تشخيص‬ -

8. ‫املتوسطة‬ ‫باملرحلة‬ ‫الرياضيات‬ ‫تدريس‬ ‫أهداف‬
‫املتوسط‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
‫املعرفي‬ ‫املجال‬ ‫اهداف‬ : ً‫ال‬‫او‬
: ‫معرفة‬ ‫في‬ ‫املتمثلة‬ ‫الرياضياتية‬ ‫املعلومات‬ ‫بعض‬ ‫اكتساب‬ .‫أ‬
. ‫التطبيقات‬ .1
. ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ .2
. ‫االصغر‬ ‫املشترك‬ ‫واملضاعف‬ ‫االكبر‬ ‫املشترك‬ ‫والعامل‬ ‫وحتليلها‬ ‫باحلدوديات‬ ‫املتعلقة‬ ‫املفاهيم‬ .3
. ‫اجلبرية‬ ‫باملقادير‬ ‫متعلقة‬ ‫مفاهيم‬ .4
. ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫واملتباينات‬ ‫املعادالت‬ ‫حل‬ .5
.‫ومتثيله‬ ‫البياني‬ ‫باحلل‬ ‫متصلة‬ ‫اولية‬ ‫مفاهيم‬ .6
. ‫املستوية‬ ‫الهندسية‬ ‫االشكال‬ ‫بعض‬ .7
. ‫والدائرة‬ ‫باملثلث‬ ‫اخلاصة‬ ‫املبرهنات‬ ‫بعض‬ .8
. ‫االحداثي‬ ‫املستوي‬ ‫في‬ ‫باملسافة‬ ‫اخلاصة‬ ‫الهندسية‬ ‫املفاهيم‬ ‫بعض‬ .9
.)‫التشابه‬ ، ‫التكبير‬ ، ‫الدوران‬ ، ‫االنسحاب‬ ، ‫(االنعكاس‬ ‫املستوي‬ ‫على‬ ‫الهندسية‬ ‫التحويالت‬ ‫بعض‬ .10
. ‫املثلثات‬ ‫حساب‬ .11
. ‫االحصائية‬ ‫املفاهيم‬ ‫بعض‬ .12
: ‫الرياضي‬ ‫التفكير‬ ‫اساليب‬ ‫بعض‬ ‫اكتساب‬ - ‫ب‬
. ‫بأسلوبهم‬ ‫والقوانني‬ ‫القواعد‬ ‫وصياغة‬ ‫والتعميم‬ ‫والتجريد‬ ‫االكتشاف‬ ‫على‬ ‫الطلبة‬ ‫تدريب‬ .1
، ‫االستقراء‬ : ‫مختلفة‬ ‫اساليب‬ ‫استعمال‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫الطلبة‬ ‫منو‬ ‫مع‬ ‫يتناسب‬ ‫مبا‬ ‫الرياضي‬ ‫التفكير‬ ‫استخدام‬ .2
. ‫البرهان‬ ، ‫التخطيط‬ ، ‫التقدير‬ ‫التصنيف‬ ، ‫االستدالل‬ ، ‫االستنتاج‬
. ‫الرياضياتية‬ ‫واحلجج‬ ‫الرياضياتي‬ ‫احلدس‬ ‫وتقومي‬ ‫تكوين‬ .3
. ‫الصحيح‬ ‫احلل‬ ‫الى‬ ‫للتوصل‬ ‫املتسلسل‬ ‫املنطقي‬ ‫التفكير‬ ‫على‬ ‫القدرة‬ ‫امناء‬ .4
. ‫واملطلوب‬ ‫املعطيات‬ ‫لتحديد‬ ‫املوقف‬ ‫حتليل‬ .5
. ‫احلل‬ ‫الى‬ ‫تؤدي‬ ‫التي‬ ‫الرياضياتية‬ ‫العالقات‬ ‫انتقاء‬ .6
. ‫احلل‬ ‫الى‬ ‫للوصول‬ ‫املناسبة‬ ‫الرياضياتية‬ ‫العمليات‬ ‫اختيار‬ .7
. ‫ومعقوليته‬ ‫احلل‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬ .8
.‫الرياضياتية‬ ‫املسائل‬ ‫حلل‬ ‫جديدة‬ ‫اساليب‬ ‫ابتكار‬ .9
. ‫جديدة‬ ‫ومشكالت‬ ‫مواقف‬ ‫في‬ ‫الطالب‬ ‫تعلمها‬ ‫التي‬ ‫واالستراتيجيات‬ ‫احللول‬ ‫تعميم‬ .10

9. 10
:‫الرياضياتي‬ ‫التواصل‬ -‫ج‬
:‫الطلبة‬ ‫يستطيع‬ ‫بحيث‬ ‫الرياضيات‬ ‫بلغة‬ ‫للتواصل‬ ً‫ا‬‫فرص‬ ‫يتضمن‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫املرحلة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫الرياضيات‬ ‫تعليم‬
‫بالرموز‬ ‫او‬ ‫البيانية‬ ‫بالرسوم‬ ‫او‬ ‫بالصور‬ ‫او‬ ‫احملسوسات‬ ‫بأستخدام‬ ‫او‬ ‫كتابة‬ ‫او‬ ‫شفاهة‬ ‫املواقف‬ ‫منذجة‬ .1
.‫اجلبرية‬
.‫بوضوح‬ ‫رياضياتية‬ ‫مواقف‬ ‫من‬ ‫الطلبة‬ ‫فيه‬ ‫مايفكر‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ .2
.‫املسائل‬ ‫في‬ ‫منة‬ َ‫املتض‬ ‫الرياضية‬ ‫لالفكار‬ ‫الطلبة‬ ‫استيعاب‬ ‫منو‬ .3
‫االفكار‬ ‫وتقومي‬ ‫تفسير‬ ‫في‬ ‫والتبصير‬ ‫والفحص‬ ‫واملشاهدة‬ ‫واالستماع‬ ‫القراءة‬ ‫مهارات‬ ‫توظيف‬ .4
.‫الرياضياتية‬
. ‫ومقنعة‬ ‫حدسية‬ ‫وبراهني‬ ‫حجج‬ ‫وتكوين‬ ‫الرياضياتية‬ ‫االفكار‬ ‫مناقشة‬ .5
.‫الرياضية‬ ‫االفكار‬ ‫تطوير‬ ‫في‬ ‫ودورها‬ ‫الرموز‬ ‫اهمية‬ ‫توضيح‬ .6
: ‫الرياضياتية‬ ‫واالساليب‬ ‫املهارات‬ ‫اكتساب‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬
. ‫خواصها‬ ‫ودراسة‬ ‫التطبيقات‬ ‫متثيل‬ .1
. ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ ‫اجراء‬ .2
. ‫اجلبرية‬ ‫والتطبيقات‬ ‫املقادير‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ ‫اجراء‬ .3
. ً‫ا‬‫وجبري‬ ً‫ا‬‫بياني‬ ‫االولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫واملتباينات‬ ‫املعادالت‬ ‫حل‬ .4
. ً‫ا‬‫اني‬ ‫مبتغيرين‬ ‫االولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتني‬ ‫حل‬ .5
. ً‫ا‬‫جبري‬ ‫الواحد‬ ‫املجهول‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادالت‬ ‫حل‬ .6
. ‫والدائرة‬ ‫باملثلث‬ ‫اخلاصة‬ ‫املبرهنات‬ ‫بعض‬ ‫اثبات‬ .7
. ‫وبالعكس‬ ‫الرموز‬ ‫لغة‬ ‫الى‬ ‫الرياضياتية‬ ‫اللفظية‬ ‫التعابير‬ ‫ترجمة‬ .8
. ‫الرموز‬ ‫باستخدام‬ ‫عالقة‬ ‫او‬ ‫قاعدة‬ ‫صياغة‬ .9
. ‫احلياتية‬ ‫واملشكالت‬ ‫اللفظية‬ ‫املسائل‬ ‫حل‬ .10
. ‫االحداثي‬ ‫املستوي‬ ‫في‬ ‫نقطتني‬ ‫بني‬ ‫املسافة‬ ‫ايجاد‬ .11
. ‫املثلث‬ ‫نوع‬ ‫لبيان‬ ‫املسافة‬ ‫قانون‬ ‫استخدام‬ .12
. ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫التناظر‬ ‫الثبات‬ ‫االنعكاس‬ ‫استخدام‬ .13
. ‫التحويالت‬ ‫بهندسة‬ ‫اخلاصة‬ ‫املعلومات‬ ‫باستخدام‬ ‫حقائق‬ ‫برهنة‬ .14
. ‫للزوايا‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ ‫ايجاد‬ .15
. ‫احلسابية‬ ‫املتوسطات‬ ‫وحساب‬ ‫ومتثيلها‬ ‫وجدولتها‬ ‫االحصائية‬ ‫البيانات‬ ‫بعض‬ ‫تنظيم‬ .16
. ‫واملكاني‬ ‫الهندسي‬ ‫احلس‬ ‫تنمية‬ .17

10. 11
: ‫في‬ ‫ويتمثل‬ ‫الوجداني‬ ‫اجلانب‬ ‫وتنمية‬ ‫االنفعالي‬ ‫املجال‬ : ً‫ا‬‫ثالث‬
. ‫نحوها‬ ‫ايجابية‬ ‫اجتاهات‬ ‫وتكوين‬ ‫الرياضيات‬ ‫دراسة‬ ‫في‬ ‫الرغبة‬ .1
. ‫وتطويرها‬ ‫الرياضياتية‬ ‫للمعرفة‬ ‫واالجتماعي‬ ‫احلضاري‬ ‫الدور‬ ‫تقدير‬ .2
. ‫االخرى‬ ‫املعرفة‬ ‫ميادين‬ ‫خدمة‬ ‫في‬ ‫الرياضيات‬ ‫دور‬ ‫تقدير‬ .3
‫اخلدع‬ ، ‫واملغالطات‬ ‫االلغاز‬ ‫مثل‬ ‫للرياضيات‬ ‫الترفيهية‬ ‫اجلوانب‬ ‫تناول‬ ‫في‬ ‫الرياضياتي‬ ‫بالتفكير‬ ‫االستمتاع‬ .4
. ‫احلسية‬
. ‫الرياضيات‬ ‫تطوير‬ ‫في‬ ‫واملسلمني‬ ‫العرب‬ ‫العلماء‬ ‫دور‬ ‫5.تقدير‬
. ‫والتقني‬ ‫العلمي‬ ‫التقدم‬ ‫في‬ ‫الرياضيات‬ ‫دور‬ ‫تقدير‬ .6
. ‫وتاريخها‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫احلرة‬ ‫للقراءة‬ ‫امليل‬ .7
.‫املتنوعة‬ ‫الهندسية‬ ‫واالشكال‬ ‫الرياضياتية‬ ‫للبنية‬ ‫اجلمالية‬ ‫النواحي‬ ‫تذوق‬ .8
. ‫التعبير‬ ‫او‬ ‫الكتابة‬ ‫عند‬ ‫وااليجاز‬ ‫والوضوح‬ ‫والدقة‬ ‫القرارات‬ ‫اتخاذ‬ ‫في‬ ‫بالنفس‬ ‫والثقة‬ ‫املوضوعية‬ .9
.‫واملشكالت‬ ‫املسائل‬ ‫حل‬ ‫عند‬ ‫واالرتياح‬ ‫بالرضا‬ ‫الشعور‬ .10

11. 12

12. 13
‫العلمي‬ ‫احملتوى‬ ‫حتليل‬ - 1
‫والرموز‬ ‫واملصطلحات‬ ‫املفاهيم‬
‫التطبيق‬ -
‫املجال‬ -
‫املقابل‬ ‫املجال‬ -
‫التطبيق‬ ‫مدى‬ -
‫الشامل‬ ‫التطبيق‬ -
‫املتباين‬ ‫التطبيق‬ -
‫املتقابل‬ ‫التطبيق‬ -
‫للتطبيق‬ ‫البياني‬ ‫املخطط‬ -
gof ‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬ -
‫والتعميمات‬ ‫احلقائق‬
x,y( )∈r ‫ان‬ ‫بحيث‬ y∈ B ‫وحيد‬ ‫عنصر‬ ‫يوجد‬ x∈ A ‫لكل‬ -
‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫املدى‬ -
‫كان‬ ‫اذا‬ ً‫ال‬‫شام‬ ‫التطبيق‬ ‫يكون‬ -
‫املقابل‬ ‫املجال‬ = ‫املدى‬
‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫مختلفة‬ ‫صور‬ ‫لها‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫املختلفة‬ ‫العناصر‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫متباين‬ ‫التطبيق‬ ‫يكون‬ -
ً‫ا‬‫ومتباين‬ ً‫ال‬‫شام‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫تقابل‬ ‫التطبيق‬ -
f,g ‫التطبيقني‬ ‫تركيب‬ -
fog( ) x( )
gof( ) x( )
fog( ) x( ) = f g x( )( )
gof( ) x( ) = g f x( )( )
‫واملهارات‬ ‫اخلوارزميات‬
‫التطبيق‬ ‫يعرف‬ -
‫التطبيق‬ ‫مجال‬ ‫على‬ ‫يتعرف‬ -
‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫يجد‬ -
‫للتطبيق‬ ‫السهمي‬ ‫املخطط‬ ‫يرسم‬ -
‫التطبيق‬ ‫انواع‬ ‫بني‬ ‫مييز‬ -
‫للتطبيق‬ ‫البياني‬ ‫املخطط‬ ‫يرسم‬ -
‫تطبيقني‬ ‫تركيب‬ ‫يجد‬ -

13. 14
‫السلوكية‬ ‫االهداف‬ - 2
: ‫ان‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫قادر‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫ينبغي‬ ‫الفصل‬ ‫نهاية‬ ‫في‬
‫التطبيق‬ ‫يعرف‬ - 1
‫مرتبة‬ ‫ازواج‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫التطبيق‬ ‫يكتب‬ - 2
‫سهمي‬ ‫مبخطط‬ ‫التطبيق‬ ‫ميثل‬ - 3
‫التطبيق‬ ‫مجال‬ ‫على‬ ‫يتعرف‬ - 4
‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫يجد‬ -
‫الشامل‬ ‫التطبيق‬ ‫مييز‬ - 6
‫املتباين‬ ‫التطبيق‬ ‫مييز‬ - 7
‫املتقابل‬ ‫التطبيق‬ ‫مييز‬ - 8
‫التطبيق‬ ‫انواع‬ ‫بني‬ ‫مييز‬ - 9
‫للتطبيق‬ ‫البياني‬ ‫املخطط‬ ‫يرسم‬ - 10
‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬ ‫يعرف‬ - 11
‫تطبيقني‬ ‫تركيب‬ ‫يجد‬ - 12
‫للمدرس‬ ‫علمية‬ ‫خلفية‬ - 3
y ، ‫االول‬ ‫املسقط‬ x ‫حيث‬ ) x,y( ‫املرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫مجموعة‬ ‫وهي‬ ) Relation( ‫العالقة‬ ‫درسنا‬ ‫وان‬ ‫سبق‬
: ‫التالي‬ ‫بالشكل‬ B ‫الى‬ A ‫املجموعة‬ ‫من‬ r ‫العالقة‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬ ‫رياضية‬ ‫وبصورة‬ ‫الثاني‬ ‫املسقط‬
r = { ) x , y ( : x ∈ A , y ∈ B }
. ً‫ا‬‫أعداد‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫بالضرورة‬ ‫ليست‬ y , x ‫ان‬ ‫مالحظة‬ ‫مع‬
.)‫انواعه‬ ، ‫تعريفه‬ ( » ‫التطبيق‬ « ّ‫مي‬ ُ‫م‬‫س‬ ‫العالقة‬ ‫من‬ ‫خاص‬ ‫نوع‬ ‫على‬ ‫المرحلة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫مناسب‬ ‫بشكل‬ ‫سنتعرف‬
)Doman( A ‫المجال‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫لكل‬ ‫يعني‬ f : A B ‫التطبيق‬ : ‫كمايلي‬ ‫وعرفناه‬
: ‫رياضي‬ ‫بشكل‬ ‫او‬ )Codomain( ‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫عنصر‬
f = { ) x , y ( : x ∈ A , y ∈ B , y= f)x( }
: ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫متثل‬ f ‫العالقة‬ ‫ان‬ ‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫في‬ ‫موضح‬ ‫كما‬
‫المجال‬ = { 1 , 2 , 3 } ،‫المقابل‬ ‫المجال‬ = { a , b , c }
f = { ) 1 , a ( , ) 2 , c ( ,) 3 , b ( }
‫املجال‬
a
b
c
1
2
3
‫املقابل‬ ‫املجال‬
f

14. 1
:‫النه‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫ميثل‬ ‫فال‬ g ‫للعالقة‬ ‫املجاور‬ ‫املخطط‬ ‫اما‬
‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫عناصر‬ ‫باي‬ ‫يرتبط‬ ‫لم‬ 3 )*(
. c,a ‫بالعنصرين‬ ‫ارتبط‬ 1 )*(
‫بشكل‬ ‫صحيح‬ ‫غير‬ ‫والعكس‬ ‫عالقة‬ ‫هو‬ ‫تطبيق‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫يتوضح‬ ‫سبق‬ ‫مما‬
.‫عام‬
a
b
c
1
2
3
4
g
‫املرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫جميع‬ ‫مجموعة‬ : ‫التطبيق‬ ‫بيان‬
‫التطبيق‬ ‫لبيان‬ ‫املكونة‬ ‫املرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫جلميع‬ ‫االولى‬ ‫املساقط‬ ‫مجموعة‬ : ‫التطبيق‬ ‫مجال‬
‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫وهو‬ ‫االقتران‬ ‫قاعدة‬ ‫تأثير‬ ‫حتت‬ ‫املجال‬ ‫عناصر‬ ‫صور‬ ‫مجموعة‬ : )Range( ‫التطبيق‬ ‫مدى‬
Ran ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫من‬
: ‫التطبيق‬ ‫انواع‬
) onto mapping (‫ا‬ Surjective mapping ‫الشامل‬ ‫التطبيق‬ ) 1
‫من‬ ‫اكثر‬ ‫او‬ ‫واحد‬ ‫لعنصر‬ ‫صورة‬ ‫هو‬ B ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ً‫ال‬‫شام‬ ‫التطبيق‬ ‫يكون‬
A ‫املجال‬ ‫عناصر‬
‫املقابل‬ ‫املجال‬ = ‫املدى‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫أخرى‬ ‫بعبارة‬ ‫او‬
A
a
b
c
d
1
2
3
4
B
f
1 2 3 4
a
b
c
d
ً‫ا‬‫سهمي‬ f ‫التطبيق‬ ‫متثيل‬ ‫بيانيا‬ f ‫التطبيق‬ ‫متثيل‬
‫شامل‬ ‫تطبيق‬ f
a
b
c
d
1
2
3
g
‫الن‬ ‫شامل‬ ‫غير‬ ‫تطبيق‬ g
‫املقابل‬ ‫املجال‬ ≠ ‫املدى‬
{ a , b , c , d } ≠ { a , b , c }

15. 16
)one - to - one mapping (‫ا‬ Injective mapping ‫املتباين‬ ‫التطبيق‬ ) 2
‫من‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫لعنصر‬ ‫صورة‬ ‫هو‬ B ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ً‫ا‬‫متباين‬ f ‫التطبيق‬ ‫يكون‬
‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫مختلفة‬ ‫صور‬ ‫لها‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫املختلفة‬ ‫العناصر‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫او‬ A ‫املجال‬ ‫عناصر‬
∀x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 fx1 ()≠fx2 ()⇐x1≠x2 f x1( ) ≠ f x2( ) :‫اي‬
x1 = x2
‫فان‬ f x1( ) ≠ f x2( )x1 = x2f x2( ) : ‫كان‬ ‫اذا‬ : ‫اخرى‬ ‫بصورة‬ ‫او‬
)one - to - one ,‫و‬onto mapping (‫و‬Bijective mapping ‫املتقابل‬ ‫التطبيق‬ )3
ً‫ا‬‫ومتباين‬ ً‫ال‬‫شام‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫تقابل‬ ‫تطبيق‬ f ‫يكون‬
Inverse mapping ) ‫النظير‬ ( ‫العكسي‬ ‫التطبيق‬
f −1
( ) ‫له‬ ‫يرمز‬ f ‫الى‬ ‫العكسي‬ ‫التطبيق‬ ‫فان‬ )one - to - one mapping( ً‫ا‬‫متباين‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ f ‫كان‬ ‫اذا‬
:‫ان‬ ‫اي‬ ‫له‬ ‫املكونة‬ ‫املرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫جميع‬ ‫عكس‬ ‫من‬ ‫الناجت‬ ‫التطبيق‬ ‫هو‬
f −1
= y,x( ):∀ x,y( )∈ f{ }f −1
= y,x( ):∀ x,y( )∈ f{ }
1
f
≠ f −1
:‫ان‬ ‫الحظ‬ *
A = 1,2,3,4{ } , B = 2,3,4,5{ } ‫حيث‬ B ‫الى‬ A ‫من‬ ‫تطبيق‬ f ‫ليكن‬ ً‫ال‬‫فمث‬
f x( ) = x +1 : ‫حيث‬
)‫متباين‬ f ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫(يكفي‬ f −1
( ) ‫العكسي‬ ‫التطبيق‬ ‫وجود‬ ‫شرط‬ ٍ‫مستوف‬ f ‫ان‬ ‫اي‬ ‫تقابل‬ ‫تطبيق‬ f ‫ان‬ ‫واضح‬
g: B → A , g x( ) = x −1 ‫حيث‬ g ً‫ا‬‫جديد‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫نعرف‬ ‫سوف‬ ‫اي‬ ‫االسهم‬ ‫لوعكست‬ ‫احلالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬
: ‫فان‬ ‫لذلك‬ f ‫الى‬ ‫املكونة‬ ‫املرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫عكس‬ ‫اي‬ g = 2,1( ), 3,2( ), 4,3( ), 5,4( ){ } :‫فان‬
g = f −1
)‫(احملايد‬ ‫الذاتي‬ ‫التطبيق‬ h ‫يسمى‬
g = f −1
f h x( ) = x

16. 17
:‫اآلتي‬ ‫باملخطط‬ ‫اعاله‬ ‫الشرح‬ ‫نلخص‬ ‫ان‬ ‫ميكن‬
x
y
f −1
f
f x( )
f −1
y( )
Df
Ranf
D f −1Ran f −1
Constant mapping ‫الثابت‬ ‫التطبيق‬
x∈ A ‫لكل‬ ‫انه‬ ‫بحيث‬ b∈ B ‫وحيد‬ ‫عنصر‬ ‫وجد‬ ‫اذا‬ ‫وفقط‬ ‫اذا‬ ً‫ا‬‫ثابت‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ f : A → B ‫التطبيق‬ ‫يسمى‬
f x( ) = b ‫فان‬
b
A B
x ∈ A b∈ B
f
Equality of mappings : ‫التطبيقات‬ ‫تساوي‬
:‫اآلتية‬ ‫الشروط‬ ‫جميع‬ ‫حتققت‬ ‫اذا‬ f = g ‫فان‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ g: A1 → B2g: A1 → B2, f : A → B ‫ليكن‬
(*)A1 = A (*)B1 = B (*) f x( ) = g x( ) , ∀x∈ A
Dg = Df( )
: )‫للمدرس‬ ( ‫اآلتية‬ ‫االمثلة‬ ‫الحظ‬
: ‫مالحظة‬
x2
= x =
x , x ≥ 0
−x , x 0
⎧
⎨
⎩
1) f : 1,−1,2,−2{ }→ 1,2{ } , f x( ) = x
g: 1,−1,2,−2{ }→ 1,2{ } , g x( ) = x2
)f=g( ‫متساويان‬ ‫تطبيقان‬ g,f : ‫ان‬ ‫الحظ‬

17. 18
2) f : 0,1{ }→ 1,2{ } , f x( ) = 2− x
g: 0,1{ }→ 1,2{ } , g x( ) = x +1
f ≠ g ‫بان‬ ‫االستنتاج‬ ‫ميكن‬ ‫بسهولة‬
3) f : 1,−1,2{ }→ 1,4{ } , f x( ) = x2
g: 1,2{ }→ 1,4{ } , g x( ) = x2
Df ≠ Dg
‫الن‬ f ≠ g
Composition of mappings : ‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
: ‫من‬ ‫كل‬ ‫وكانت‬ ‫خالية‬ ‫غير‬ ‫مجموعة‬ C,B,A ‫من‬ ‫كل‬ ‫لتكن‬
f : A → B
g: B → C
‫كما‬ gof( ) ً‫ا‬‫ورمزي‬ g circle f ‫او‬ f ‫بعد‬ g ‫يقرأ‬ C ‫الى‬ A ‫من‬ ‫جديد‬ ‫تطبيق‬ ‫ايجاد‬ ‫ميكن‬ ‫فانه‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬
:‫املجاور‬ ‫املخطط‬ ‫يوضحه‬
f
x
f x( )
f x( )
g
gof( ) x( ) = g f x( )( )
f x( )∈ Dg , x∈ Df : ‫ان‬ ‫مالحظة‬ ‫مع‬
: ‫عام‬ ‫وبشكل‬ ‫انه‬ ‫اي‬ ‫ابدالية‬ ‫عملية‬ ‫ليست‬ ‫تطبيقني‬ ‫تركيب‬ ‫بان‬ ‫املقرر‬ ‫الكتاب‬ ‫في‬ ‫مبثال‬ ‫وضحنا‬ ‫وكما‬
‫اآلتيني‬ ‫املثالني‬ ‫في‬ ‫كما‬ ‫العناصر‬ ‫من‬ ‫محدودة‬ ‫ملجموعة‬ ‫ذلك‬ ‫حدث‬ ‫لو‬ ‫حتى‬ fog( ) ≠ gof( )
:‫اآلتيني‬ ‫املثالني‬ ‫الحظ‬
:ً‫ال‬‫او‬f : N → N , f x( ) = x +1
g: N → N , g x( ) = x2
fog( ) 0( ) = f g 0( )( ) = f 0( ) = 1
fog( ) 1( ) = f g 1( )( ) = f 1( ) = 2
fog( ) 3( ) = f g 3( )( ) = f 9( ) = 10
gof( ) 0( ) = f g 0( )( ) = f 0( ) = 1
gof( ) 1( ) = f g 1( )( ) = f 2( ) = 4

18. 19
...
gof( ) 0( ) = g f 0( )( ) = f 1( ) = 1
gof( ) 1( ) = g f 1( )( ) = f 2( ) = 4
gof( ) 3( ) = g f 3( )( ) = f 4( ) = 16
gof( ) 0( ) = g f 0( )( ) = f 1( ) = 1
gof( ) 1( ) = g f 1( )( ) = f 2( ) = 4
gof( ) 3( ) = g f 3( )( ) = f 4( ) = 16
...
fog( ) ≠ gof( ) ‫ظ‬‫الح‬
:ً‫ا‬‫ثاني‬
f : N → N , f x( ) = x
g: N → N , g x( ) = x2
fog( ) 0( ) = f g 0( )( ) = f 0( ) = 0
fog( ) 1( ) = f g 1( )( ) = f 1( ) = 1
fog( ) 2( ) = f g 2( )( ) = f 4( ) = 4
gof( ) 0( ) = f g 0( )( ) = f 0( ) = 0
gof( ) 1( ) = f g 1( )( ) = f 1( ) = 1
gof( ) 2( ) = f g 2( )( ) = f 2( ) = 4
...
gof( ) 0( ) = g f 0( )( ) = f 0( ) = 0
gof( ) 1( ) = g f 1( )( ) = f 1( ) = 1
gof( ) 2( ) = g f 2( )( ) = f 2( ) = 4
gof( ) 0( ) = g f 0( )( ) = f 1( ) = 1
gof( ) 1( ) = g f 1( )( ) = f 2( ) = 4
gof( ) 3( ) = g f 3( )( ) = f 4( ) = 16
...
fog( ) = gof( ) ‫ظ‬‫الح‬
.‫ابدالية‬ ‫عملية‬ ‫التركيب‬ ‫ان‬ ‫اليعني‬ ‫هذا‬ ‫لكن‬
: ً‫ال‬‫مث‬
‫تقابل‬ ، ‫ومتباين‬ ‫شامل‬ ‫هو‬ f x( ) = x +1 ‫حيث‬ f : N → N
‫تقابل‬ ، ‫ومتباين‬ ‫شامل‬ ‫هو‬ ‫كذلك‬ g x( ) = 2x +1 ‫حيث‬ g: N → N
fog( ) x( ) = f g x( )( )
= f 2x +1( )
= f 2x +1( )+1
fog( ) x( ) = 2x + 2

19. 20
‫تقابل‬ ، ‫ومتباين‬ ‫شامل‬ ‫نالحظ‬ ‫كما‬ ‫وهو‬
f,g ‫من‬ ‫كل‬ ‫ويشبه‬
‫اآلتي‬ ‫اجلدول‬ ‫مالحظه‬ ‫ميكن‬ ‫عرضه‬ ‫سبق‬ ‫مما‬
fog g ffog g ffog g f
‫متباين‬‫متباين‬‫متباين‬
‫شامل‬‫شامل‬‫شامل‬
‫تقابل‬‫تقابل‬‫تقابل‬
: Real Functions ‫احلقيقية‬ ‫الدوال‬
- ‫املقابل‬ ‫املجال‬ - ‫املجال‬ ( ‫الثالثة‬ ‫بعناصرها‬ ‫فالدالة‬ ‫التطبيقات‬ ‫ملوضوع‬ ‫واكمال‬ ‫أمتداد‬ ‫هو‬ ‫املوضوع‬ ‫هذا‬
‫اقتصرت‬ ‫املرحلة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫دراستنا‬ ‫الن‬ ‫الالحقة‬ ‫املراحل‬ ‫في‬ ‫االساسي‬ ‫املوضوع‬ ‫تكون‬ ‫سوف‬ )‫االقتران‬ ‫قاعدة‬
.‫فقط‬ ‫للمدرس‬ ‫وهو‬ ‫للمناقشة‬ ‫أفضل‬ ‫بحرية‬ ‫يسمح‬ ‫بتفاصيلها‬ ‫الدالة‬ ‫دراسة‬ ‫لكن‬ ‫التطبيقات‬ ‫موضوع‬ ‫على‬
f x( ) = x3 :‫يلي‬ ‫كما‬ ‫معرف‬ R ‫الى‬ R ‫من‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ f ‫ليكن‬ :1 ‫مثال‬
‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫من‬ ‫االحداثي‬ ‫المستوي‬ ‫في‬ ‫التطبيق‬ ‫لهذا‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬
‫متباين‬ ‫تطبيق‬ ‫انه‬ ‫وبسهولة‬ ‫نالحظ‬
f x1( ) ≠ f x2( ) ⇐ x1 ≠ x2
‫الن‬
‫متساويان‬ ‫مكعباهما‬ ‫مختلفان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫اليوجد‬ ‫أخرى‬ ‫بصورة‬ ‫او‬
x1 ≠ x2
x1 ≠ x2
f x1( ) = f x2( )
f x1( ) = f x2( )
y
x
f x1( ) = f x2( ) ‫ان‬ ‫فرضنا‬ ‫لو‬ ‫اخرى‬ ‫اوبطريقة‬
∴ x1
3
= x2
3
⇒ x1 = x2
f x( ) = x2
‫حيث‬ f : R R : ‫اآلتي‬ ‫التطبيق‬ ‫في‬ ‫بينما‬
‫متباين‬ ‫غير‬ f x1( ) = f x2( ) ‫لكن‬f x1( ) ≠ f x2( ) ⇐ x1 ≠ x2 : ‫ان‬ ‫نالحظ‬
‫شامل‬ ‫غير‬ ‫فانه‬ ‫ذلك‬ ‫الى‬ ‫باالضافة‬x1 ≠ x2x1 ≠ x2
f x1( ) = f x2( )f x1( ) = f x2( )
x
y
y : y∈ R , y ≥ 0{ } = ‫املدى‬ ‫الن‬
)‫املقابل‬ ‫(املجال‬ R≠

20. 21
f
x(
)=
x
,
x
0
f
x(
)=
x+1
,
x ≥
0
1
y =
1
2
x
y : ‫يلي‬ ‫كما‬ ‫معرف‬ f : R → R ‫لتكن‬ : 2 ‫مثال‬
f x( ) =
x +1 , ∀x ≥ 0
x , ∀x 0
⎧
⎨
⎩
)Graph( ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫يسمى‬ f ‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫التمثيل‬
≠ ‫(املدى‬ ‫شاملة‬ ‫ليست‬ f ‫بان‬ ‫وبسهولة‬ ‫االستنتاج‬ ‫ميكن‬
‫(عدد‬ ‫االقل‬ ‫في‬ ‫واحد‬ ‫عنصر‬ ‫لوجود‬ ‫وذلك‬ )‫املقابل‬ ‫املجال‬
‫الي‬ ‫صورة‬ ‫الميثل‬ y =
1
2
‫وليكن‬ ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫حقيقي‬
. )‫املجال‬ ‫في‬ x ‫عنصر‬
f x( ) =
1
2
‫ان‬ ‫بحيث‬ x∈ R ‫التوجد‬ : ‫آخر‬ ‫بشكل‬ ‫أي‬
g x( ) = x2
+1 , f x( ) = 3− x ‫لتكن‬:3‫مثال‬
‫قيمة‬ ‫جد‬ fog( ) a( ) = gof( ) a( )− 4 ‫وكانت‬
a ∈ R
/‫احلل‬
fog( ) x( ) = f g x( )( ) ‫قانون‬
........(1)
= f x2
+1( )
= 3− x2
+1( )
= 2− x2
fog( ) a( ) = 2− a2
gof( ) x( ) = g f x( )( )
gof( ) x( ) = g 3− x( )
= 3− x( )2
+1
= x2
− 6x +10
= f x2
+1( )
= 3− x2
+1( )
= 2− x2
fog( ) a( ) = 2− a2
gof( ) x( ) = g f x( )( )
gof( ) x( ) = g 3− x( )
= 3− x( )2
+1
= x2
− 6x +10
........(2)gof( ) a( ) = a2
− 6a +10
2− a2
= a2
− 6a +10 − 4
2− a2
= a2
− 6a + 6
⇒ 2a2
− 6a + 4 = 0 ⇒ a2
− 3a + 2 = 0
⇒ a −1( ) a − 2( ) = 0
a = 1 :‫اما‬
a = 2 :‫او‬

21. 22
‫املقترحة‬ ‫واالنشطة‬ ‫التعليمية‬ ‫املعينات‬ - 4
: ‫الطلبة‬ ‫تهيئة‬
‫من‬ ‫عدد‬ ‫مناقشة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫العالقات‬ ‫موضوع‬ ‫حول‬ ‫املتوسط‬ ‫الثاني‬ ‫الصف‬ ‫في‬ ‫الطالب‬ ‫درسه‬ ‫ملا‬ ‫مبراجعة‬ ‫البدء‬ -
.‫املقابل‬ ‫واملجال‬ ‫باملجال‬ ‫والتذكير‬ ‫واالبناء‬ ‫االباء‬ ‫بني‬ ‫العالقة‬ ‫مثل‬ ‫احلياتية‬ ‫االمثلة‬
‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫يقترن‬ ‫بحيث‬ ‫السهمية‬ ‫باملخططات‬ ‫ووضحها‬ ‫اخرى‬ ‫الى‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫العالقات‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫اعط‬ -
‫العنصر‬ ‫يكون‬ ‫حوار‬ ‫صورة‬ ‫في‬ ‫العرض‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫وحيد‬ ‫عنصر‬ ‫مع‬ ‫املجال‬ ‫عناصر‬
.‫انفسهم‬ ‫الطلبة‬ ‫فيه‬ ‫الفاعل‬
.‫درسنا‬ ‫موضوع‬ ‫وهو‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫العالقات‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫بأن‬ ‫للطلبة‬ ‫وضح‬ ‫السهمية‬ ‫املخططات‬ ‫خالل‬ ‫من‬ -
‫املوضوع‬ ‫تدريس‬ -
. ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫ميثل‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫ملعرفة‬ ‫االمثلة‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫التطبيق‬ ‫مفهوم‬ ‫تقدمي‬ -
.‫اجاباتهم‬ ‫يجمع‬ ‫قائد‬ ‫لديها‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫مجموعات‬ ‫الى‬ ‫الطلبة‬ ‫تقسيم‬ -
.‫اليه‬ ‫ماتوصلت‬ ‫املجموعات‬ ‫تعرض‬ -
.‫لهم‬ ‫املناسبة‬ ‫الراجعة‬ ‫التغذية‬ ‫وتقدمي‬ ‫التطبيق‬ ‫ملعرفة‬ ‫الطلبة‬ ‫توصل‬ ‫من‬ ‫املدرس‬ ‫يتأكد‬ -
:‫املقرر‬ ‫الكتاب‬ ‫في‬ ‫املعطاة‬ ‫االمثلة‬ ‫او‬ ‫اآلتية‬ ‫االمثلة‬ ‫استخدام‬ ‫وميكن‬
70
100
220
‫بالدينار‬ ‫السعر‬
1 ‫الشكل‬
1
2
3
‫التفاح‬ ‫كيلو‬ ‫عدد‬
‫احمد‬
‫محمد‬
‫خالد‬
‫الشخص‬
‫انكليزي‬
‫فرنسي‬
‫يدرسها‬ ‫التي‬ ‫اللغة‬
2 ‫الشكل‬
‫سناء‬
‫عادل‬
‫نادية‬
‫اهلل‬ ‫عبد‬
‫فاطمة‬
‫بالل‬
‫عبير‬
‫الشخص‬
34
4
38
‫وزنه‬
3 ‫الشكل‬
‫اآلباء‬‫األبناء‬
‫عالء‬
‫مهند‬
‫وسام‬
‫ايهاب‬
4 ‫الشكل‬

22. 23
.‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫واحد‬ ‫بعنصر‬ ‫ارتبط‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫الن‬ ‫تطبيق‬ ‫ميثل‬ )1( ‫الشكل‬
.‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫بعنصرين‬ ‫ارتبط‬ )‫محمد‬ ( ‫الن‬ ‫تطبيق‬ ‫الميثل‬ )2( ‫الشكل‬
.‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫واحد‬ ‫بعنصر‬ ‫ارتبط‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫الن‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫ميثل‬ )3( ‫الشكل‬
.‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫بعنصر‬ ‫يرتبط‬ ‫لم‬ ‫املجال‬ ‫في‬ )‫(إيهاب‬ ‫عنصر‬ ‫هناك‬ ‫الن‬ ‫تطبيق‬ ‫الميثل‬ )4( ‫الشكل‬
.‫تطبيق‬ ‫تكون‬ ‫عالقة‬ ‫كل‬ ‫ليس‬ ‫ولكن‬ ‫عالقة‬ ‫هو‬ ‫تطبيق‬ ‫كل‬ ‫بأن‬ ‫للطالب‬ ‫وضح‬ *
.‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫املدى‬ ‫ان‬ ‫وضح‬ *
{a,b} ≠ )a,b( ‫حيث‬ {a,b} ‫الثنائية‬ ‫واملجموعة‬ )a,b( ‫املرتب‬ ‫الزوج‬ ‫بني‬ ً‫ا‬‫فرق‬ ‫هناك‬ ‫بأن‬ ‫وضح‬ *
‫ومعاجلتها‬ ‫الشائعة‬ ‫األخطاء‬
‫تكون‬ ‫قد‬ ‫أي‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫قرين‬ ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫لكل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫الضروري‬ ‫من‬ ‫ليس‬ ‫انه‬ ‫الطلبة‬ ‫تنبيه‬ ‫عليك‬
.)4 ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫(كما‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫لعنصر‬ ‫صورة‬ ‫ليست‬ ‫هي‬ ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫عناصر‬ ‫بعض‬
‫التقومي‬
‫وملاذا؟‬ B ‫الى‬ A ‫من‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫متثل‬ ‫اآلتية‬ ‫السهمية‬ ‫املخططات‬ ‫من‬ ‫ايأ‬ ‫بني‬
2
3
7
A
1
4
6
B
2
7
A
1
4
6
B
2
3
A
1
4
7
B

23. 24
:‫اآلتية‬ ‫الطرق‬ ‫احدى‬ ‫بأستخدام‬ ‫التطبيق‬ ‫انواع‬ ‫توضيح‬ ‫املمكن‬ ‫من‬ : ‫التطبيق‬ ‫نوع‬
:ً‫ال‬‫او‬
‫السهمي‬ ‫املخطط‬ ‫بواسطة‬ ‫التطبيقات‬ ‫متييز‬
a
b
c
A
3
2
1
B
a
b
A
1
2
3
B
‫متباين‬‫شامل‬‫تقابل‬
a
b
c
d
A
1
2
3
B
‫املجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫لكل‬ ‫وصل‬ ‫إذا‬
ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫يسمى‬ ‫أقل‬ ‫او‬ ‫سهم‬ ‫املقابل‬
.ً‫ا‬‫متباين‬
‫لها‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫املختلفة‬ ‫العناصر‬ ‫او‬
.‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫مختلفة‬ ‫صور‬
‫املجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫لكل‬ ‫وصل‬ ‫إذا‬
ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫يسمى‬ ‫أكثر‬ ‫او‬ ‫سهم‬ ‫املقابل‬
.ً‫ال‬‫شام‬
‫املقابل‬ ‫املجال‬ = ‫املدى‬ : ‫اي‬
‫املجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫لكل‬ ‫وصل‬ ‫إذا‬
‫يسمى‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫سهم‬ ‫املقابل‬
.ً‫ال‬‫تقاب‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬
:ً‫ا‬‫ثاني‬
‫البياني‬ ‫املخطط‬ ‫بواسطة‬ ‫التطبيقات‬ ‫متييز‬
Y
X
1
2
3
a b c
Y
X
1
2
3
a b c
Y
X
1
2
3
a b c d
‫متباين‬‫شامل‬‫تقابل‬

24. 25
‫بديلة‬ ‫تدريس‬ ‫خطة‬ : ً‫ا‬‫ثالث‬
‫التطبيقات‬‫بتشبيه‬‫للتوضيح‬‫القصصي‬‫االسلوب‬‫استخدم‬‫التطبيق‬‫انواع‬‫بني‬‫التمييز‬‫في‬‫صعوبة‬‫الطلبة‬‫وجد‬‫اذا‬
.‫للدرس‬ ً‫ا‬‫حماس‬ ‫أكثر‬ ‫ويجعلهم‬ ‫الطالب‬ ‫انتباه‬ ‫يثير‬ ‫االسلوب‬ ‫فهذا‬ ‫بالعوائل‬
.‫البعض‬ ‫بعضهم‬ ‫زيارة‬ ‫أفرادها‬ ‫يحب‬ ‫بعوائل‬ ‫التطبيقات‬ ‫تشبيه‬ ‫املمكن‬ ‫فمن‬
‫واحد‬ ‫ضيف‬ ‫باستقبال‬ ‫الواحد‬ ‫الفرد‬ ‫يقوم‬ ‫وبالعادة‬ ‫الضيوف‬ ‫من‬ ‫الكثير‬ ‫التستقبل‬ : ‫املتباين‬ ‫التطبيق‬ ‫عائلة‬ -
. ‫أحد‬ ‫اليستقبل‬ ً‫ا‬‫واحيان‬ ‫االيام‬ ‫بعض‬ ‫في‬ ‫االكثر‬ ‫على‬
‫الواحد‬ ‫الفرد‬ ‫أن‬ ‫لدرجة‬ ‫إليها‬ ‫يأتي‬ ‫من‬ ‫بكل‬ ‫وترحب‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫الضيوف‬ ‫استقبال‬ ‫حتب‬ :‫الشامل‬ ‫التطبيق‬ ‫عائلة‬ -
.)‫أكثر‬ ‫أو‬ ‫سهم‬ ( ...... ‫ضيف‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫يستقبل‬ ً‫ا‬‫أحيان‬
‫ضيف‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫الواحد‬ ‫الفرد‬ ‫اليستقبل‬ ‫حيث‬ ‫بنظام‬ ‫ولكن‬ ‫الضيوف‬ ‫استقبال‬ ‫حتب‬ :‫التقابل‬ ‫تطبيق‬ ‫عائلة‬ -
.)‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫سهم‬ ( ..... ‫واحد‬
‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
‫املمكن‬ ‫من‬ ‫االقتران‬ ‫قاعدة‬ ‫بفعل‬ ‫املجال‬ ‫عناصر‬ ‫صور‬ ‫ايجاد‬ ‫كيفية‬ ‫وتعلم‬ ‫التطبيق‬ ‫تعريف‬ ‫الطالب‬ ‫درس‬ ‫ان‬ ‫بعد‬
:‫اآلتي‬ ‫البسيط‬ ‫املثال‬ ‫في‬ ‫كما‬ . ‫متتالني‬ ‫تطبيقني‬ ‫بفعل‬ ‫عناصر‬ ‫مجموعة‬ ‫صور‬ ‫أيجاد‬ ‫اآلن‬ ‫له‬
‫بغداد‬ ‫جامعة‬ ‫في‬ ‫يدرسون‬ ‫عرب‬ ‫طالب‬ ‫مجموعة‬ A ‫لتكن‬ : ‫مثال‬
A = {‫اهلل‬ ‫عبد‬ ، ‫محمد‬ ، ‫احمد‬ }
‫الطلبة‬ ‫هؤالء‬ ‫لها‬ ‫ينتمي‬ ‫التي‬ ‫العربية‬ ‫املدن‬ ‫مجموعة‬ : B
B = {‫القاهرة‬ ، ‫بيروت‬ ، ‫بغداد‬ }
‫كل‬ ‫أقترن‬ ‫فاذا‬ )‫لبنان‬ ، ‫مصر‬ ، ‫العراق‬ ( B ‫عناصر‬ ‫مجموعة‬ ‫اليها‬ ‫ينتمي‬ ‫التي‬ ‫العربية‬ ‫الدول‬ ‫مجموعة‬ : C
:‫ان‬ ‫اي‬ f ‫وليكن‬ ‫التطبيق‬ ‫بواسطة‬ B ‫من‬ ‫مبدينة‬ A ‫من‬ )‫(عنصر‬ ‫طالب‬
A f
⎯ →⎯ B
f : A → B
f : ‫احمد‬ → ‫بيروت‬
f : ‫محمد‬ → ‫القاهرة‬
f : ‫اهلل‬ ‫عبد‬ → ‫بغداد‬
f = { )‫احمد‬ ، ‫(بيروت‬ ، )‫محمد‬ ، ‫(القاهرة‬ ، )‫اهلل‬ ‫عبر‬ ، ‫(بغداد‬ }
:‫ان‬ ‫اي‬ C ‫من‬ ‫العربية‬ ‫بالدولة‬ )‫املدينة‬ ( B ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫يقرن‬ ‫سوف‬ g ‫والتطبيق‬
B g
⎯ →⎯ C
g: B → C
g: ‫بيروت‬ → ‫لبنان‬
g: ‫القاهرة‬ → ‫مصر‬
g: ‫بغداد‬ → ‫العراق‬

25. 26
‫التركيب‬ ‫هذا‬ ‫يعرف‬ C ‫اجملموعة‬ ‫من‬ ‫بالدولة‬ A ‫اجملموعة‬ ‫من‬ ‫طالب‬ ‫كل‬ ‫يربط‬ f , g ‫من‬ ‫جديد‬ ‫تركيب‬ ‫ايجاد‬ ‫باالمكان‬ ‫ان‬ ‫اعاله‬ ‫من‬ ‫يظهر‬
‫اخملطط‬ ‫في‬ ‫كما‬ )f ‫بعد‬ g ( ‫وتقرأ‬ gof ‫اجلديد‬
‫احمد‬
‫محمد‬
‫اهلل‬ ‫عبد‬
f
‫بيروت‬
‫القاهرة‬
‫بغداد‬
‫لبنان‬
‫مصر‬
‫العراق‬
g
gof
gof = { )‫احمد‬ ، ‫(لبنان‬ ، )‫محمد‬ ، ‫(مصر‬ ، )‫اهلل‬ ‫عبد‬ ، ‫(العراق‬ }
ً‫ال‬‫مث‬ ‫التطبيق‬ ‫موضوع‬ ‫في‬ ‫الخصوص‬ ‫بهذا‬ ‫ماطرح‬ ‫استرجاع‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫اخر‬ ً‫ال‬‫مثا‬ ‫المدرس‬ ‫يقدم‬
g: 1,2,3{ }→ N , g x( ) = 2x
f : 2,4,6{ }→ Z , f x( ) = x + 5
fog( ) x( ) ‫إيجاد‬ ‫والمطلوب‬
‫التطبيق‬ ‫موضوع‬ ‫ودرسوا‬ ‫سبق‬ ‫كونهم‬ g x( ) ‫بايجاد‬ ‫الطلبة‬ ‫يكلف‬
:‫كاالتي‬ ‫وعرضها‬ ‫للنتائج‬ ‫الطلبة‬ ‫توصل‬ ‫من‬ ‫المدرس‬ ‫يتأكد‬g 1( ) = 2×1 = 2
g 2( ) = 2×2 = 4
g 3( ) = 2×3 = 6 ً‫ا‬‫ايض‬ ‫بالمخطط‬ ‫النتائج‬ ‫ويثبت‬ f x( ) ‫ايجاد‬ ‫يطلب‬ ‫الطريقة‬ ‫وبنفس‬
f 2( ) = 2+ 5 = 7
f 4( ) = 4 + 5 = 9
f 6( ) = 6 + 5 = 11
7
9
11
f
2
4
6
1
2
3
g
fog
g ‫بعد‬ f ‫التطبيق‬ ‫تركيب‬ ‫تعني‬ fog ‫بان‬ ‫المدرس‬ ‫يوضح‬
‫ان‬ ‫المخطط‬ ‫من‬ ‫الطلبة‬ ‫ينبه‬ -

26. 27
fog( ) 1( ) = 7
fog( ) 2( ) = 9
fog( ) 3( ) = 11
‫تركيب‬ ‫بأن‬ ‫للطلبة‬ ‫ويشرح‬ fog( ) x( ) = f g x( )( ) ‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬ ‫تعريف‬ ‫لكتابة‬ ‫املدرس‬ ‫ينتقل‬
‫يكون‬ ‫وعليه‬ ‫باخلارج‬ f ‫وابقاء‬ x ‫على‬ ‫القريبة‬ g ‫وادخال‬ ‫التركيب‬ ‫بفتح‬ ‫يكون‬ ‫التطبيق‬
‫فان‬ ‫وعليه‬ fog( ) x( ) = f g x( )( )
fog( ) 1( ) = 2×1+ 5 = 7
fog( ) 2( ) = 2×2+ 5 = 9
fog( ) 3( ) = 2×3+ 5 = 11
‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬ ‫فهم‬ ‫الى‬ ‫الطلبة‬ ‫يصل‬ ‫ان‬ ‫يتوقع‬ ‫وعليه‬ ‫املخطط‬ ‫من‬ ‫النتائج‬ ‫نفس‬ ‫أي‬
.‫حلولهم‬ ‫ومالحظة‬ ‫التمارين‬ ‫حل‬ ‫منهم‬ ‫يطلب‬ -
‫ومعاجلتها‬ ‫الشائعة‬ ‫االخطاء‬
‫ابدالية‬ ‫عملية‬ ‫ليست‬ ‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬ ‫بأن‬ ‫التوضيح‬ ‫املدرس‬ ‫على‬ fog( ) = gof( ) ‫ان‬ ‫الطلبة‬ ‫يعتقد‬
.‫اعاله‬ ‫املثال‬ ‫عكس‬ ‫ويفضل‬ ‫مبثال‬ ‫عامة‬ ‫بصورة‬

27. 28

28. 29
‫التمرينات‬ ‫حل‬ - 6
1-1 ‫متارين‬ ‫حلول‬
B = { 3 , 4 , , 6 , 7} ، A = { a , b , c } ‫وكانت‬ r : A B ‫كان‬ ‫اذا‬ /1‫س‬
r = { ) a , 4 ( , ) b , 7 ( , ) c , 3 ( }
r = { ) a , 3 ( , ) b , 3 ( , ) c , 3 ( }
‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫ارسم‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬ ‫ولماذا؟‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ r ‫هل‬ :ً‫ال‬‫او‬
/ ‫احلل‬
: ً‫ال‬‫او‬
‫وحيدة‬ ‫صورة‬ ‫له‬ A ‫املجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫ألن‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫متثل‬ r = { ) a , 4 ( , ) b , 7 ( , ) c , 3 ( }
B ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬
‫بعنصر‬ ‫ارتبط‬ A ‫املجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫ألن‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫متثل‬ r = { ) a , 3 ( , ) b , 3 ( , ) c , 3 ( }
3 ‫العدد‬ ‫وهو‬ B ‫املقابل‬ ‫املجال‬ ‫في‬ ‫واحد‬
: ً‫ا‬‫ثاني‬
A
3
4
6
7
a
b
c
B
)1(
A
3
4
6
7
a
b
c
B
)2(
7 ‫من‬ ‫األصغر‬ ‫الزوجية‬ ‫الطبيعية‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ A ‫كانت‬ ‫اذا‬ /2‫س‬
8 ‫من‬ ‫األصغر‬ ‫الفردية‬ ‫الطبيعية‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ B ‫وكانت‬
f)x( = x + 1 ‫حيث‬ B ‫الى‬ A ‫من‬ ‫عالقة‬ f
‫؟‬ ‫لماذا‬ , ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫يمثل‬ f :ً‫ا‬‫ثاني‬ ‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫أرسم‬ :ً‫ال‬‫أو‬
/ ‫احلل‬
A = { 0 , 2 , 4 , 6} ، B = { 1 , 3 , , 7 } : ً‫ال‬‫او‬

29. 30
f )x ( = x +1
f )0 ( = 0 +1 = 1
f )2 ( = 2 +1 = 3
f )4 ( = 4 +1 =
f )6 ( = 6 +1 = 7
A
1
3
7
0
2
4
6
B
B ‫من‬ ‫واحد‬ ‫بعنصر‬ ‫ارتبط‬ A ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫الن‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬
g : A Z ‫وكان‬ A = { 1 , 2 , -2 , -3 } ‫كانت‬ ‫س3/اذا‬
. g )x( = x - 3 ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫جد‬
/ ‫الحل‬
g )x ( = x -3
g ) 1 ( = )1 (-3 = 2
g ) 2 ( = )2 (-3 = 7
g )-2( = )-2 (-3 = -13
g )-3( = )-3 (-3 = -18
{ 2 , 7 , -13 , -18 } = ‫التطبيق‬ ‫مدى‬
‫ولتكن‬ A = {‫الملوية‬ ، ‫الحضر‬ ، ‫عشتار‬ ‫}باب‬ ‫حيث‬ .‫العراق‬ ‫في‬ ‫االثرية‬ ‫المناطق‬ ‫مجموعة‬ A ‫لتكن‬ /4‫س‬
. B = { ‫بغداد‬ ، ‫بابل‬ ، ‫الدين‬ ‫صالح‬ ، ‫قار‬ ‫ذي‬ ، ‫البصرة‬ ، ‫الموصل‬ ، ‫كركوك‬ }
.‫تختاره‬ ‫سهمي‬ ‫بمخطط‬ ‫عراقية‬ ‫محافظة‬ ‫لكل‬ ‫االثرية‬ ‫المناطق‬ ‫انسب‬ r : A B ‫وان‬
.‫سهمي‬ ‫مخطط‬ ‫منها‬ ‫يختار‬ ‫ثم‬ ‫لطلبته‬ ‫السهمية‬ ‫بالمخططات‬ ‫يذكر‬ ‫ان‬ ‫المدرس‬ ‫على‬ / ‫مالحظة‬
/‫الحل‬
‫عشتار‬ ‫باب‬
‫احلضر‬
‫امللوية‬
r
‫كركوك‬
‫بابل‬
‫البصرة‬
‫املوصل‬
‫قار‬ ‫ذي‬
‫الدين‬ ‫صالح‬
‫بغداد‬

30. 31
f )x ( = 2 x + 8 ‫حيث‬ f : N Q ‫كان‬ ‫اذا‬ /‫س‬
. ‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫اكتب‬ :ً‫ال‬‫او‬
. x ‫قيمة‬ ‫فجد‬ f ) x ( = 16 ‫كان‬ ‫اذا‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
.‫التطبيق‬ ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫المرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫مجموعة‬ ‫اكتب‬ :ً‫ا‬‫ثالث‬
/ ‫الحل‬
f )x ( = 2x +8
f )0 ( = )2 ()0 ( +8 = 8
f )1 ( = )2 ()1 ( +8 = 10
f )2 ( = )2 ()2 ( +8 = 12
f )3 ( = )2 ()3 ( +8 = 14
...
... { 8 , 10 , 12 , 14 , ... } = ‫المدى‬ : ً‫ال‬‫او‬
: ً‫ا‬‫ثاني‬
f )x ( = 16
2x +8 = 16
2x =16 - 8 [ ÷2]
x = 4 ∈ N
f = { ) 0 , 8 ( , ) 1 , 10 ( , ) 2 , 12 ( , ) 3 , 14 ( , ... } : ً‫ا‬‫ثالث‬
r = { ) 1 , a ( , ) 2 , b ( , )3 , c( , ) 4 , d ( , ) , a (} ‫كانت‬ ‫/اذا‬ 6‫س‬
r : A B ‫حيث‬
. B , A ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬ )1
.‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫أكتب‬ )2
.‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫ارسم‬ )3
/ ‫الحل‬
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , }
B = { a , b , c , d }
‫المدى‬ = { a , b , c , d }
1
2
3
4
A
a
b
c
d
Br

31. 32
f ) x ( = 2x 2
- x + 3 ، f : A Q ‫كان‬ ‫اذا‬ / 7‫س‬
A = { 1 , -1 , 0 } ‫حيث‬
.‫المدى‬ ‫أكتب‬ )1
.‫التطبيق‬ ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫المرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫مجموعة‬ ‫اكتب‬ )2
.‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫أرسم‬ )3
) 1 / ‫الحل‬
f )x ( = 2x2
- x +3
f )1 ( = 2 )1 (2
-1 +3 = 4
f )-1 ( = 2) -1 (2
-)-1 ( +3 = 6
f )0 ( = 2 )0 (2
- 0 +3 = 3
{ 3 , 4 , 6 } = ‫المدى‬ )2
f = { ) 1 , 4 ( , ) -1 , 6 ( , ) 0 , 3 ( } )3
A
.
6
4
3
.
1
-1
0
Q

32. 33

33. 34
1-2 ‫تمارين‬ ‫حلول‬
g (x) = x2
+ 3 ‫حيث‬ g : Z N ‫كان‬ ‫اذا‬ /1‫س‬
. ‫مرتبة‬ ‫ازواج‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫عناصرها‬ ‫بذكر‬ g ‫اكتب‬ )1
.‫المدى‬ ‫اكتب‬ )2
.‫التطبيق‬ ‫نوع‬ ‫بين‬ )3
)1 / ‫الحل‬
g (x ) = x2
+3
...
g (-3 ) = (-3 )2
+3 = 12
g (-2 ) = ( -2 )2
+3 = 7
g (-1 ) = (-1 )2
+3 = 4
g (0 ) = (0 )2
+3 = 3
g (1 ) = ( 1 )2
+3 = 4
g (2 ) = (2 )2
+3 = 7
g (3 ) = (3 )2
+3 = 12
...
g = { .. , (-3 , 12) , (-2 , 7) , (-1 , 4) , (0 , 3) , (1 , 4) , (2 , 7) , (3 , 12) , .. }
} 3 , 4 , 7 , 12 ، .... { = ‫المدى‬ ) 2
‫المقابل‬ ‫المجال‬ ≠ ‫المدى‬ ‫ألن‬ ً‫ال‬‫شام‬ ‫ليس‬ *) 3
‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫تمثل‬ N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } ‫بأن‬ ‫يوضح‬ : ‫للمدرس‬ ‫مالحظة‬
g (-3) = g (3) ⇒12 =12 ‫ولكن‬ 3≠-3 ‫ألن‬ ً‫ا‬‫متباين‬ ‫ليس‬ *
‫نفس‬ ‫لهما‬ ‫المجال‬ ‫في‬ ‫مختلفين‬ ‫عنصرين‬ ‫االقل‬ ‫على‬ ‫وجد‬ ‫اذا‬ ‫لطلبته‬ ‫المدرس‬ ‫يوضح‬ : ‫للمدرس‬ ‫مالحظة‬
.‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫في‬ ‫الصورة‬
‫الشرطين‬ ‫اليحقق‬ ‫ألنه‬ ً‫ال‬‫تقاب‬ ‫ليس‬ ‫التطبيق‬ ‫اي‬

34. 35
f (x) = 5x + 2 ‫حيث‬ f : N N ‫كان‬ ‫اذا‬ /2‫س‬
g (x) = x + 3 ‫حيث‬ g : N N
. ‫المرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫بذكر‬ fog ‫اكتب‬ *
. fog ‫مدى‬ *
.fog ‫التطبيق‬ ‫نوع‬ ‫بين‬ *
/ ‫الحل‬
(fog) (x) = f [ g(x)] ...... ‫قانون‬
(fog) (0) = f [ g(0)]
= f [ 0+3] = f(3) = 5(3) +2 = 17
(fog) (1) = f [ g(1)] = f [ 1+3] = f(4) = 5(4) +2 = 22
(fog) (2) = f [ g(2)] = f [ 2+3] = f(5) = 5(5) +2 = 27
* (fog) = { (0 , 17) , (1 , 22) , (2 , 27) , .. }
} 17 , 22 , 27 , .... { = ‫المدى‬
‫المقابل‬ ‫المجال‬ ≠ ‫المدى‬ ‫الن‬ ً‫ال‬‫شام‬ ‫ليس‬ )fog( ‫التطبيق‬
fog( ) x( ) = f x + 3( ) = 5 x + 3( )+ 2 = 5x +17 ‫الن‬ ً‫ا‬‫متباين‬ )fog( ‫التطبيق‬
ً‫ال‬‫تقاب‬ ‫ليس‬ )fog( ‫التطبيق‬
f (x) = 6x - 1 ‫حيث‬ f : Q Q ‫كان‬ ‫س3/اذا‬
g (x) = 1
2
x2
+ 1 ‫حيث‬ g : Q Q
. ) fog ) (x) = 17 ‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ x ‫قيمة‬ ‫جد‬
/ ‫الحل‬
(fog) (x) = f [ g(x)]
= f ( 1
2
x2
+ 1)
= 6 ( 1
2
x2
+ 1) -1
= 3 x2
+ 6 -1 = 3 x2
+ 5
∴ 3 x2
+ 5 = 17
3 x2
= 17 - 5
3 x2
= 12 [ ÷3]
x2
= 4 ⇒ x = ±2 ∈ Q

35. 36
f (x) = x 3
‫حيث‬ f : Z Z ‫كان‬ ‫اذا‬ /4 ‫س‬
g (x) = 7 ‫حيث‬ g : Z Z
-49 ، 343 ، -7 ، 7 : ‫يساوي‬ )fog)(-1( :‫فأن‬
1 ، -1 ، -7 ، 7 : ‫يساوي‬ )gof)(-1(
/ ‫الحل‬
(fog)(-1) = f [ g(-1)] = f (7) = (7)3
= 343
(gof)(-1) = g [ f(-1)] = g (-1) = 7
f (x) = 3x + 4 ‫حيث‬ f : Q Q ‫كان‬ ‫اذا‬ /5 ‫س‬
g (x) = 1-2 x ‫حيث‬ g : Q Q
(gog)(x) , )fog( )3( ‫جد‬ -
. x ‫قيمة‬ ‫فجد‬ (gof)(x)= -43 ‫كان‬ ‫اذا‬ -
/ ‫الحل‬
(fog)(3) = f [ g(3)] = f [1-(2)(3)] = f (-5) = 3(-5)+ 4 = -15+4 = -11
(gog)(x) = g [ g(x)] = g (1-2x) = 1-2 (1-2x) = 1-2-4x = -1-4x
(gof)(x) = g [ f(x)] = g (3x+4) = 1-2(3x+4) =-6x-7 = -43 ⇒ 6x=36
x=6 ∈ Q
f (x) = 4 x -3 ‫حيث‬ f : { 1 , 2 , 3 ,.... } Z ‫كان‬ ‫اذا‬ /6 ‫س‬
. ‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫اكتب‬ )1
. ‫عناصره‬ ‫بذكر‬ f ‫التطبيق‬ ‫بيان‬ )2
.‫التطبيق‬ ‫نوع‬ )3
. x ‫قيمة‬ ‫جد‬ f(x) = 53 ‫كان‬ ‫اذا‬ )4
. x ‫قيمة‬ ‫)جد‬f of) (x) = 1 ‫كان‬ ‫اذا‬ )5
/ ‫الحل‬
f (x ) = 4x - 3
f (1) = 4 (1) - 3 = 1
f (2) = 4 (2) - 3 = 5
f (3) = 4 (3) - 3 = 9
...
} 1 , 5 , 9 , ... { = ‫المدى‬ ) 1
f = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 9 ) , ... } ) 2

36. 37
ً‫ال‬‫تقاب‬ ‫ليس‬ ، ً‫ا‬‫متباين‬ ، ً‫ال‬‫شام‬ ‫ليس‬ ) 3
4 ) f (x ) = 4x - 3
4x -3 = 53
4x = 53+3
4x = 56 [ ÷ 4]
x=14 ∈ Z
5 ) (fof)(x) = 1
f (f(x ) ) = 1
f (4 x -3) =1
4 (4 x -3)-3 =1
16x-15=1
16x =1+15
16x =16 [ ÷ 16]
x=1 ∈ Z
‫أسئلة‬ ‫أو‬ ‫امثلة‬ ‫من‬ ‫العلمية‬ ‫اخللفية‬ ‫في‬ ‫ماورد‬ ‫كل‬
‫فقط‬ ‫للمدرس‬
‫التقومي‬ - 7
:‫فقط‬ ‫للمدرس‬ ‫أثرائية‬ ‫متارين‬ *
fof( ) x( ) = x : ‫ان‬ ‫بني‬ ، ‫ثابت‬ A , f x( ) = A − x : ‫لتكن‬ - 1
.b∈ N‫قيمة‬ ‫جد‬ gof( ) b( ) = b−1 ‫وكانت‬ g x( ) = x −1 , f x( ) = x2
− x :‫كانت‬ ‫اذا‬ - 2
b = 0,2 : ‫اجلواب‬ . b,x∈Qg: N → Z, f : N → N , g: N → Z, f : N → N ‫حيث‬
‫ذلك‬ ‫بني‬ ، ‫تقابل‬ gof( ) x( )‫ان‬ ‫هل‬ g x( ) = x +1g x( ) = x2
+1 , f x( ) = 3− x : ‫كانت‬ ‫اذا‬ - 3
‫:تقابل‬ ‫اجلواب‬ g:Z → Z, f :Z → Z
fog( ) a( ) = −aa2
: ‫كانت‬ ‫اذا‬ a ∈ RZ ‫جد‬ g x( ) = x2
, f x( ) =1− 2x3− 2x : ‫كانت‬ ‫اذا‬ - 4
a = −
1
2
,1±1 : ‫اجلواب‬ . g:Z → Z, f :Z → Z
‫للطالب‬ ‫حتصيل‬ ‫اسئلة‬ *
g:Z → Zg:Q → Q , f x( ) = x2
− 2 ‫حيث‬ f :Z → Z ‫لتكن‬ - 1
a ∈Z ‫جد‬ gof( ) a( ) = 3 ‫وكانت‬ g x( ) = 2− x ‫حيث‬
‫ان‬ ‫اثبت‬ g x( ) = 2+ x , f x( ) = x2
‫حيث‬ g:Q → Q , f :Q → Q ‫لتكن‬ - 2
fog( ) −1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= gof( ) −1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

37. 38

38. 39
‫العلمي‬ ‫احملتوى‬ ‫حتليل‬ - 1
‫والرموز‬ ‫واملصطلحات‬ ‫املفاهيم‬
.Q ‫النسبية‬ ‫االعداد‬ -
H ‫النسبية‬ ‫غير‬ ‫االعداد‬ -
.R ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ -
.‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫خواص‬ -
.‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ -
.‫التربيعية‬ ‫اجلذور‬ -
.‫التكعيبية‬ ‫اجلذور‬ -
‫والتعميمات‬ ‫احلقائق‬
.‫املستقيم‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫بنقطة‬ ‫ثل‬ ُ‫م‬‫ي‬ ‫ان‬ ‫ميكن‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ -
‫اجلمع‬ ‫عملية‬ ‫مع‬ ‫االنغالق‬ ‫خاصية‬ .... ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫أي‬ ‫مجموع‬ -
.‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫مع‬ ‫االنغالق‬ ‫خاصية‬ ....‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫أي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ -
.‫اجلمع‬ ‫عملية‬ ‫مع‬ ‫االبدال‬ ‫خاصية‬ .... a+b = b+a ‫فأن‬ a,b ‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫الي‬ -
‫اجلمعي‬ ‫النظير‬ ‫خاصية‬ .... a-b=a+(-b( ‫فأن‬ a,b ‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫الي‬ -
. ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫مع‬ ‫االبدال‬ ‫خاصية‬ .... a.b = b.a ‫فأن‬ a,b ‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫الي‬ -
)Identity Element( .‫الصفر‬ ‫هو‬ ‫اجلمعي‬ ‫احملايد‬ ‫العنصر‬ a+0 = 0+a = a ‫فأن‬ a ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الي‬ -
.1 ‫هو‬ ‫الضربي‬ ‫احملايد‬ ‫العنصر‬ a.1=1.a = a ‫فأن‬ a ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الي‬ -
a+(-a)=(-a)+a = 0 ‫حيث‬ - a ‫هو‬ a ‫للعدد‬ ‫اجلمعي‬ ‫النظير‬ -
1a)
a
1
()
a
1
(a =×=× ‫حيث‬
a
1 ‫هو‬ a ، a≠0 ‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ -
a ,b ,c ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫الي‬ -
)‫التجميعية‬ ‫(اخلاصية‬ )a+b)+c = a+(b+c(
)‫التجميعية‬ ‫(اخلاصية‬ )a.b).c = a.(b.c(
)‫التوزيعية‬ ‫(اخلاصية‬ a.(b+c) = (a.b)+(a.c(
)‫التوزيعية‬ ‫(اخلاصية‬ a.(b-c) = (a.b)-(a.c(
b ≠ 0 , c ≠ 0 , a,b,c ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫الي‬ -
a
b
=
a.c
b.c
a
b
=
a ÷c
b÷ c

39. 40
. 0b = ‫او‬ 0a = ‫فأن‬ 0b.a = ‫كان‬ ‫اذا‬ : ‫الصفري‬ ‫العامل‬ ‫خاصية‬ -
b ≥ 0 , a ≥ 0 ‫حيث‬ ‫صحيح‬ ‫والعكس‬ ab = a. b a,b ‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫الي‬ -
‫صحيح‬ ‫والعكس‬ b0 ،a ≥ 0 ،
b
a
b
a
=
‫صحيح‬ ‫والعكس‬ a ≥ 0، aa.a =
−a3
= − a3 ‫فأن‬ a 0 ‫كان‬ ‫اذا‬ -
‫واملهارات‬ ‫اخلوارزميات‬
.‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫يجمع‬ -
.‫اخر‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫حقيقي‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫يطرح‬ -
.‫اخر‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫حقيقي‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫يضرب‬ -
.‫اخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫حقيقي‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫يقسم‬ -
.‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫لعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫اجلذر‬ ‫يعني‬ -
.‫حقيقي‬ ‫لعدد‬ ‫التكعيبي‬ ‫اجلذر‬ ‫يعني‬ -
‫السلوكية‬ ‫االهداف‬ - 2
:‫ان‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫قادر‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫ينبغي‬ ‫الفصل‬ ‫هذا‬ ‫نهاية‬ ‫في‬
.‫النسبي‬ ‫العدد‬ ‫على‬ ‫يتعرف‬ -
.‫احلقيقي‬ ‫العدد‬ ‫على‬ ‫يتعرف‬ -
.‫السالب‬ ‫احلقيقي‬ ‫والعدد‬ ‫املوجب‬ ‫احلقيقي‬ ‫العدد‬ ‫بني‬ ‫مييز‬ -
‫النسبية‬ ‫وغير‬ ‫النسبية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫بني‬ ‫مييز‬ -
.‫االعداد‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫احلقيقي‬ ‫العدد‬ ‫ميثل‬ -
.‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫يجمع‬ -
.‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫اجلمع‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬ ‫يذكر‬ -
.‫اكثر‬ ‫او‬ ‫اعداد‬ ‫ثالثة‬ ‫جمع‬ ‫ناجت‬ ‫اليجاد‬ ‫والتجميع‬ ‫االبدال‬ ‫خاصيتي‬ ‫يوظف‬ -
.‫احلقيقي‬ ‫للعدد‬ ‫اجلمعي‬ ‫النظير‬ ‫يعني‬ -
.‫اخر‬ ‫من‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫طرح‬ ‫قاعدة‬ ‫يذكر‬ -
.‫اخر‬ ‫من‬ ‫حقيقيا‬ ‫عددا‬ ‫يطرح‬ -
.‫اخر‬ ‫في‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ضرب‬ ‫قاعدة‬ ‫يذكر‬ -
.‫اخر‬ ‫في‬ ‫حقيقيا‬ ‫عددا‬ ‫يضرب‬ -
.‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫في‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬ ‫يذكر‬ -
.‫العمليات‬ ‫نواجت‬ ‫اليجاد‬ ‫والتوزيع‬ ‫والتجميع‬ ‫االبدال‬ ‫خواص‬ ‫يوظف‬ -

40. 41
.‫احلقيقي‬ ‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫يعني‬ -
.‫اخر‬ ‫على‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫قسمة‬ ‫قاعدة‬ ‫يذكر‬ -
.‫اخر‬ ‫على‬ ‫حقيقيا‬ ‫عددا‬ ‫يقسم‬ -
.‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫لعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫اجلذر‬ ‫يعني‬ -
.‫حقيقي‬ ‫لعدد‬ ‫التكعيبي‬ ‫اجلذر‬ ‫يعني‬ -
‫للمدرس‬ ‫علمية‬ ‫خلفية‬ - 3
‫املعادلة‬ ً‫ال‬‫فمث‬ ‫املعادالت‬ ‫حل‬ ‫ومنها‬ ‫املتنوعة‬ ‫الرياضية‬ ‫العمليات‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫احلقيقية‬ ‫لالعداد‬ ‫احلاجة‬ ‫ظهرت‬
. N ‫الطبيعية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫وهي‬ 5 ‫هي‬ ‫املعادلة‬ ‫حتقق‬ ‫التي‬ x − 5 = 0‫قيمة‬ x − 5 = 0
.Z‫الصحيحة‬‫االعداد‬‫مجموعة‬‫الى‬‫تنتمي‬‫بل‬N‫الى‬‫التنتمي‬‫وهي‬ x = −5 ‫قيمة‬‫فان‬ x + 5 = 0 ‫املعادلة‬‫بينما‬
‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬ ‫بل‬ Z ‫او‬ N ‫الى‬ ‫التنتمي‬ ‫وهي‬ x =
7
3
‫حيث‬ 3x −7 = 0 ‫املعادلة‬ ‫على‬ ‫ذلك‬ ‫وينطبق‬
Q =
a
b
,a,b∈Z,b ≠ 0
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
‫النسبية‬ ‫االعداد‬
.‫السابقة‬‫املجموعات‬‫من‬‫اي‬‫الى‬‫التنتمي‬x = ± 3 ‫ان‬ ‫ومعلوم‬ x = ± 3 ‫قيم‬ ‫حيث‬ x2
− 3 = 0 ‫املعادلة‬‫اما‬
. R ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫فكان‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫اليها‬ ‫ينتمي‬ ‫مجموعة‬ ‫لوجود‬ ‫احلاجة‬ ‫ظهرت‬ ‫هنا‬
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R : ‫ان‬ ‫نستنتج‬ ‫ذلك‬ ‫من‬
‫دورية‬ ‫او‬ ‫دورية‬ ‫او‬ ‫منتهية‬ ‫عشرية‬ ‫بكسور‬ ‫عنها‬ ‫التعبير‬ ‫ميكن‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫بأنها‬ ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫تعريف‬ ‫ميكن‬
.‫النسبية‬ ‫غير‬ ‫باالعداد‬ ‫فتدعى‬ ‫نسبية‬ ‫باعداد‬ ‫عنها‬ ‫التعبير‬ ‫والميكن‬ R ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫اما‬ .‫منتهية‬ ‫غير‬
. ‫النسبية‬ ‫وغير‬ ‫النسبية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعتي‬ ‫احتاد‬ ‫هي‬ ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫فان‬ ‫ذلك‬ ‫من‬
‫صفحة‬ )2-2-2( ‫بند‬ ‫املقرر‬ ‫الكتاب‬ ‫في‬ ‫ذكرت‬ ‫احلقل‬ ‫هذا‬ ‫وخواص‬ ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫حقل‬ ‫ميثل‬ R,+,×( )
.)34(
.‫اخلواص‬ ‫لهذه‬ ‫برهان‬ ‫سنعطي‬ ‫اخللفية‬ ‫هذه‬ ‫في‬ . ‫االشارات‬ ‫ضرب‬ ‫قواعد‬ )35( ‫صفحة‬ ‫في‬
:‫البرهان‬
1) − −a( ) = a
a ∈ R ⇒ −a ∈ R
-)-a( ‫هو‬ )-a( ‫للعدد‬ ‫اجلمعي‬ ‫النظير‬ ‫فان‬ ‫لذا‬
−a( )+ − −a( )( ) = 0 .........(1)
−a( )+ a( ) = 0 .........(2)
− −a( ) = a ‫ان‬ ‫جند‬ )2(‫و‬ )1( ‫من‬

41. 42
2) a −b( ) = − ab( )
‫البرهان‬
a −b( ) = a −1( )b( )
= −1( ) ab( )
∴a −b( ) = − ab( )
3) −a( ) −b( ) = ab
: ‫البرهان‬
‫للمدرس‬ ‫البرهان‬ ‫يترك‬
‫احلقيقية‬ ‫لالعداد‬ ‫املطلقة‬ ‫القيمة‬
:‫كاالتي‬ ‫وتعرف‬ a ‫لها‬ ‫يرمز‬ a ‫للعدد‬ ‫املطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫فان‬ a ∈ R ‫كان‬ ‫اذا‬
a =
a,∀ a ≥ 0
−a,∀ a 0
⎧
⎨
⎩
a =
a,∀ a ≥ 0
−a,∀ a 0
⎧
⎨
⎩
a =
a,∀ a ≥ 0
−a,∀ a 0
⎧
⎨
⎩
‫حيث‬ ‫آخر‬ ‫بشكل‬ a2
‫نضع‬ ‫ان‬ ‫وميكن‬
a2
= a =
a,∀ a ≥ 0
−a,∀ a 0
⎧
⎨
⎩
a =
a,∀ a ≥ 0
−a,∀ a 0
⎧
⎨
⎩
a =
a,∀ a ≥ 0
−a,∀ a 0
⎧
⎨
⎩
−2( )2
= 4 = 2 ‫بينما‬ −2( )2
≠ −2 ‫ان‬ ‫الحظ‬
∀a ≥ 0 , a ≥ 0 ‫عامة‬ ‫بصورة‬
a = ±3 ‫قيمة‬ ‫فان‬ a2
= 9 ‫بينما‬ ‫فقط‬ )3( ‫يساوي‬ ‫الذي‬ 9 ‫بني‬ ‫التمييز‬ ‫يجب‬ ‫املدرس‬ ‫زميلنا‬
:‫فإن‬ ‫الفردية‬ ‫اجلذور‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫اما‬
433
= 4 , −3( )33
= −3 , −2( )55
= −2
−a3
= − a3 ‫فإن‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ ‫وهكذا‬
‫فهي‬ ‫للجذور‬ ‫العامة‬ ‫القاعدة‬ ‫اما‬
ann
=
a , n =
a, n =
⎧
⎨
⎩
‫زوجي‬ ‫عدد‬
‫فردي‬ ‫عدد‬
:‫الصفر‬ ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫مسألة‬ ‫في‬ ‫اخلوض‬ ‫عدم‬ ‫يجب‬ Q ‫النسبية‬ ‫االعداد‬ ‫ملجموعة‬ ‫التطرق‬ ‫عند‬
‫فقط‬ ‫للمدرس‬ ‫وهي‬ ‫فيها‬ ‫الصفر‬ ‫يدخل‬ ‫حاالت‬ ‫ثالث‬ ‫االن‬ ‫سنناقش‬ ‫احلالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬
. 0 ‫يساوي‬ ‫الناجت‬ ‫فيكون‬ a ‫في‬ ‫يضرب‬ ‫الذي‬ ‫الوحيد‬ ‫العدد‬ ‫هو‬ 0 ‫حيث‬*
O
a
= 0
O
a
= 0
..... a ≠ 0( )
a ‫الناجت‬ ‫يكون‬ 0 ‫في‬ ‫يضرب‬ ‫عدد‬ ‫اليوجد‬*
a
0

42. 43
)‫معرفة‬ ( ‫محددة‬ ‫غير‬
a
0
‫وتدعى‬
‫عدد‬ ‫ليس‬ ∞ ‫(للتأكيد‬ ‫فقط‬ ‫رمز‬ ) ∞( ‫ان‬ ‫التأكيد‬ ‫مع‬ ) ∞( ‫او‬
*
O
O
O
a
= 0
O
a
= 0 . 0 ‫يساوي‬ ‫الناجت‬ ‫كان‬ 0 ‫في‬ ‫ضربت‬ ‫اذا‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫محددة‬ ‫غير‬ ‫مجموعة‬ ‫توجد‬ ‫هنا‬
)Inderminate ( ‫معينة‬ ‫غير‬ ‫اي‬
‫املقترحة‬ ‫واالنشطة‬ ‫التعليمية‬ ‫املعينات‬ - 4
:‫الطلبة‬ ‫تهيئة‬
‫مجموعة‬ ‫وكل‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫جديدة‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫دعت‬ ‫واجهتنا‬ ‫حسابية‬ ‫مشكلة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫املدرس‬ ‫يوضح‬ ‫البدء‬ ‫في‬
.‫قبلها‬ ‫التي‬ ‫حتوي‬
:‫االتي‬ ‫املثال‬ ‫ويقدم‬
‫ماطول‬ ‫مربع‬ ‫متر‬ 23 ‫مساحتها‬ ‫صغيرة‬ ‫ارض‬ ‫قطعة‬ ‫بجانبها‬ ‫مربع‬ ‫متر‬ 400 ‫مساحتها‬ ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫ارض‬ ‫قطعة‬
‫االرض؟‬ ‫قطعتي‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ضلع‬
‫بدفاترهم‬ ‫السؤال‬ ‫حل‬ ‫الطلبة‬ ‫من‬ ‫يطلب‬ -
‫ويناقشها‬ ‫السبورة‬ ‫على‬ ‫الطلبة‬ ‫نتائج‬ ‫يكتب‬ -
23 ‫هو‬ ‫الثانية‬ ‫القطعة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫اما‬ ً‫ا‬‫متر‬ 20 ‫اي‬ 400 ‫هو‬ ‫االولى‬ ‫القطعة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫للطلبة‬ ‫يذكر‬ -
‫نسبي‬ ‫غير‬ ‫عدد‬ ‫فهو‬ 23 ‫اما‬ ‫نسبي‬ ‫عدد‬ 23 ‫ان‬ ‫املدرس‬ ‫يوضح‬ ‫هنا‬
‫النسبي‬ ‫العدد‬ ‫تعريف‬ ‫الطلبة‬ ‫من‬ ‫يطلب‬ -
‫النسبية‬ ‫غير‬ ‫االعداد‬ ‫لتعريف‬ ‫املدرس‬ ‫يتطرق‬ -
‫ع‬‫املوضو‬ ‫تدريس‬ - 5
‫والنسبية‬ ‫والصحيحة‬ ‫الطبيعية‬ ‫االعداد‬ ‫ان‬ ‫املدرس‬ ‫يوضيح‬
‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ضمن‬ ‫متداخلة‬ ‫مجموعات‬ ‫النسبية‬ ‫وغير‬
.‫احلقيقية‬
‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫احتاد‬ ‫هي‬ ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬
.‫النسبية‬ ‫غير‬ ‫االعداد‬ ‫ومجموعة‬ ‫النسبية‬
‫نتيجة‬
‫وحقيقي‬ ‫ونسبي‬ ‫صحيح‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫طبيعي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ -
‫وحقيقي‬ ‫نسبي‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫صحيح‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ -
‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫نسبي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ -
‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫نسبي‬ ‫غير‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ -

43. 44
‫ملعلوماتك‬
‫198هـ‬ - 815( ‫امليالدي‬ ‫عشر‬ ‫اخلامس‬ ،‫الهجري‬ ‫التاسع‬ ‫القرن‬ ‫علماء‬ ‫أبرز‬ ،‫القلصادي‬ ‫احلسن‬ ‫أبي‬
‫الرياضيات‬ ‫علم‬ ‫في‬ ‫القلصادي‬ ‫أفضال‬ ‫ومن‬ ،‫وفقيه‬ ‫باحلساب‬ ‫عالم‬ ‫وهو‬ .)‫6841م‬ - 1412 ،
.‫واملجاهيل‬ ‫واملعادالت‬ ‫واجلبر‬ ‫احلساب‬ ‫في‬ ‫الرموز‬ ‫على‬ ‫واعتماده‬ ‫االختزال‬ ‫ظاهرة‬ ‫إيجاده‬
،‫املجال‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫فزاد‬ )‫2151م‬ - 1477 ، ‫919هـ‬ - 841( ‫املكناسي‬ ‫غازي‬ ‫بن‬ ‫أحمد‬ ‫أثره‬ ‫في‬ ‫مضى‬ ‫ثم‬
‫نستعمله‬ ‫ما‬ ‫وهو‬ ،)‫(س‬ ‫بعده‬ ‫ليغدو‬ ‫اختزاله‬ ‫مت‬ ‫الذي‬ ‫شيء‬ = ‫ش‬ ‫بحرف‬ ‫املجهول‬ ‫العدد‬ ‫وهو‬ ‫للشيء‬ ‫رمز‬ ‫وهكذا‬
‫وهو‬ ‫ل‬ ‫بحرف‬ ‫للمجموع‬ ‫رمز‬ ‫كما‬ ‫مكعب‬ = ‫ك‬ :‫والرمز‬ ،X ‫ أو‬S ‫حرف‬ ‫مقابله‬ ‫الغرب‬ ‫واستعمل‬ ،‫اليوم‬ ‫إلى‬
‫اجلذر‬ = ‫ج‬ ‫حرف‬ ‫اتخذ‬ ‫كذلك‬ .‫العرب‬ ‫العلماء‬ ‫عند‬ ‫اجلمع‬ ‫حصيلة‬ ‫يعني‬ ‫الذي‬ )‫(املال‬ ‫اصطالح‬ ‫من‬ ‫مختصر‬
‫فرنسا‬ ‫إلى‬ ‫انتقل‬ ‫أن‬ ‫بعد‬ ،‫اجلذر‬ ‫رمز‬ ‫أي‬ ‫جـ‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫تعديل‬ ‫طرأ‬ ‫ثم‬ .‫العدد‬ ‫أعلى‬ ‫في‬ ‫يوضع‬ ‫وكان‬ ،‫التربيعي‬
‫الرمز‬ ‫هذا‬ ‫استقر‬ ‫وبذلك‬ ‫النحو‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫أفقي‬ ً‫ا‬‫خط‬ ‫عليه‬ ‫وزاد‬ ‫األعلى‬ ‫إلى‬ ‫زاويته‬ ‫الغرب‬ ‫علماء‬ ‫ل‬َّ‫فحو‬
.ً‫ا‬‫عاملي‬ ‫وغدا‬
‫اجلذور‬ ‫خواص‬
‫بأنفسهم‬ ‫اجلذور‬ ‫خواص‬ ‫يكتشفون‬ ‫الطلبة‬ ‫دع‬ -
‫الناجت‬ ‫الطلبة‬ ‫ليجد‬ ‫االتي‬ ‫املثال‬ ‫اعط‬ -
0.49×0.81 )2 ، 0.81×0.49 )1
: ‫االول‬ ‫املثال‬ ‫حل‬
0.81×0.49 = 0.9( )2
× 0.7( )2
= 0.9×0.7( )2
= 0.9×0.7 = 0.63
: ‫الثاني‬ ‫املثال‬ ‫حل‬ ‫وعند‬
0.49 × 0.81 = 0.7 ×0.9 = 0.63
‫للخاصية‬ ‫ليتوصلوا‬ ‫النتائج‬ ‫تساوي‬ ‫يالحظون‬ ‫الطلبة‬ ‫ودع‬ ‫مشابهة‬ ‫امثلة‬ ‫اعط‬ -
a,b ‫حقيقيني‬ ‫عددين‬ ‫الي‬
. b ≥ 0 , a ≥ 0 ‫حيث‬ ‫صحيح‬ ‫والعكس‬ ab = a. b
‫اخلواص‬ ‫لبقية‬ ‫يتوصلون‬ ‫الطلبة‬ ‫دع‬ ‫الطريقة‬ ‫وبنفس‬

44. 45
‫ومعاجلتها‬ ‫الشائعة‬ ‫االخطاء‬
‫الطالب‬ ‫يخطأ‬ ً‫ا‬‫احيان‬ 0.16 ً‫ال‬‫مث‬ ‫لدينا‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ -
‫الى‬ ‫العشري‬ ‫الكسر‬ ‫بتحويل‬ ‫يكون‬ ‫احلل‬ ‫بأن‬ ‫للطالب‬ ‫توضيحه‬ ‫يفضل‬ ‫لذلك‬ 0.04 ‫او‬ 0.8 ‫الناجت‬ ‫ويكتب‬
:‫كاالتي‬ ‫صحيحة‬ ‫بصورة‬ ‫اجلذر‬ ‫قيمة‬ ‫وايجاد‬ 2 ‫لالس‬ ‫مرفوعأ‬ ‫ومقام‬ ‫بسط‬ ‫صورة‬
0.16 =
16
100
=
4
100
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
=
4
10
= 0.4
‫ان‬ ‫أي‬ ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫ابدالية‬ ‫ليست‬ ‫الطرح‬ ‫عملية‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫التأكيد‬ -
3 − 2 ≠ 2 − 3
‫يلي‬ ‫كما‬ ‫والطرح‬ ‫اجلمع‬ ‫عمليتي‬ ‫على‬ ‫التكعيبي‬ ‫او‬ ‫اجلذرالتربيعي‬ ‫توزيع‬ ‫اليجوز‬ -
a +b = a + b
a −b = a − b
a +b3
= a3
+ b3
a −b3
= a3
− b3
3 − 2 ≠ 2 − 3
3 − 2 ≠ 2 − 3
3 − 2 ≠ 2 − 3
3 − 2 ≠ 2 − 3
‫للطلبة‬ ‫ذلك‬ ‫لتوضيح‬ ‫االمثلة‬ ‫بعض‬ ‫حل‬ ‫وميكن‬
:ً‫ال‬‫مث‬
9 +16 ≠ 9 + 16
25 ≠ 9 + 16
5 ≠ 3+ 4
5 ≠ 7

45. 46

46. 47
‫التمرينات‬ ‫حل‬ - 6
2-1 ‫متارين‬ ‫حلول‬
:‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫في‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ضع‬ :1‫س‬
:‫الحل‬
a) 2 3 + 5 2 + 3 − 2 2
= 2 3 + 3( )+ 5 2 − 4 2( )
= 3 3 + 2
4
b) 1
4
7 −
3
2
5 +
3
4
7
=
1
4
7 +
3
4
7
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−
3
2
5
=
1
4
+
3
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 7 −
3
2
5
=
4
4
7 −
3
2
5
= 7 −
3
2
5
:‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫في‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ضع‬ :2‫س‬
:‫الحل‬
a) 3 2(4 2 − 3)
= 12( ) 2( )− 3 6
= 24 − 3 6 = 3 8 − 6( )
b) 2 3 + 5( )+ 3 3 − 2 5( )
= 6( ) 3( )− 4 15 + 3 15 − 2( ) 5( )
=18 − 15 −10
= 8 − 15
c) 4 6 − 3( )
2
= 4 6 − 3( ) 4 6 − 3( )
= 16( ) 6( )− 4 18 − 4 18 + 3

47. 48
= 99 − 8 18
= 99 − 8 9( ) 2( )
= 99 − 8( ) 9. 2
= 99 − 8( ) 3( ) 2
= 99 − 24 2 = 3 33− 8 2( )
‫اخرى‬ ‫بطريقة‬ ‫السؤال‬ ‫حل‬ ‫ممكن‬
4 6 − 3( )
2
= 4 6( )
2
− 2( ) 4( ) 6. 3 + 3( )
2
= 16( ) 6( )− 8 18 + 3
= 96 − 8 9( ) 2( ) + 3
= 99 − 8( ) 3( ) 2
= 99 − 24 2
.... ‫الحل‬ ‫نكمل‬
d) 1− 2( )
3
= 1− 2( )
2
1− 2( )
= 1− 2 2 + 2( )
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1− 2( )
= 1− 2 2 + 2( ) 1− 2( )
= 3− 2 2( ) 1− 2( )
= 3− 3 2 − 2 2 + 4
= 7 − 5 2
e) 3 + 2( )
2
3 − 2( )
= 3 + 2( ) 3 + 2( ) 3 − 2( )⎡
⎣
⎤
⎦
= 3 + 2( ) 3− 2[ ]......... a − b( ) a + b( )= a −b
= 3 + 2
:‫الحل‬ ‫واكمال‬ ‫االقواس‬ ‫فك‬ ‫يمكن‬ : ‫آخر‬ ‫حل‬
3+ 2 3 2 + 2( ) 3 − 2( )= 5 + 2 6( ) 3 − 2( )

48. 49
‫اآلتية‬ ‫العبارات‬ ‫خطأ‬ ‫أو‬ ‫صحة‬ ‫بين‬ : 3‫س‬
a) 3 + 3 = 6 ×
b) 8 + 2 = 3 2 ✓
c) 2 3( ) 3 3( )= 6 3 ×
d) 12 = 2 6 ×
ً‫ا‬‫نسبي‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫المقام‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ a2
b,
a2
b
,b ≠ 0 ‫حيث‬ ، a2
‫جد‬ : 4‫س‬
: ‫الحل‬
a) a = 2 2 , b = 3
a2
b
=
2 2( )
2
3
=
4( ) 2( )
3
.
3
3
=
8 3
3
a2
b = 2 2( )
2
. 3 = 4( ) 2( ) 3
= 8 3
b) a = −4 3 , b = − 2
a2
b
=
−4 3( )
2
− 2
=
16( ) 3( )
− 2
.
− 2
− 2
=
−48 2
2
= −24 2
a2
b = −4 3( )
2
. − 2( )= 16( ) 3( ). − 2( )
= −48 2
c) a = 2 − 2 , b = 3
a2
b
=
2 − 2( )
2
3
=
2 − 4 2 + 4
3
.
3
3
=
6 − 4 2( ) 3
3
a2
b = 2 − 2( )
2
. 3( )= 2 − 4 2 + 4( ) 3( )= 6 − 4 2( ) 3
=
2 3 3− 2 2( )
3
= 2 3 3− 2 2( )

49. 50
:‫اآلتية‬ ‫المقادير‬ ‫اختصر‬ : 5‫س‬
:‫الحل‬
a) 48 − 3 75 − 2 12
= 16( ) 3( ) − 3 25( ) 3( ) − 2 4( ) 3( )
= 16. 3 − 3 25. 3 − 2 4. 3
= 4 3 − 3( ) 5( ) 3 − 2( ) 2( ) 3
= 4 3 −15 3 − 4 3
= −15 3
b) 20 −12 5 − 5
1
5
= 4( ) 5( ) −12 5 − 5
1
5
.
5
5
= 2 5 −12 5 −
5 5
5
= 2 5 −12 5 − 5
= −11 5
c) 63 −7
1
7
− 3 28
= 9( ) 7( )7
1
7
.
7
7
− 3 4( ) 7( )
= 3 7 −7
7
7
− 6. 7
= 3 7 − 7 − 6 7
= −4 7
= 9( ) 7( )7
1
7
.
7
7
− 3 4( ) 7( )
= 3 7 −7
7
7
− 6. 7
= 3 7 − 7 − 6 7
= −4 7
= 9( ) 7( )7
1
7
.
7
7
− 3 4( ) 7( )
= 3 7 −7
7
7
− 6. 7
= 3 7 − 7 − 6 7
= −4 7
−
= 9( ) 7( )7
1
7
.
7
7
− 3 4( ) 7( )
= 3 7 −7
7
7
− 6. 7
= 3 7 − 7 − 6 7
= −4 7
= 9( ) 7( )7
1
7
.
7
7
− 3 4( ) 7( )
= 3 7 −7
7
7
− 6. 7
= 3 7 − 7 − 6 7
= −4 7
d) 5
3
10
+ 2
5
6
−
15
32
= 5
3
10
− 2
5
6
−
15
32
= 5
3
10
.
10
10
−
5
6
.
6
6
−
15
4 2
.
2
2
5
3
10
+ 2
5
6
−
15
32
5
3
10
+ 2
5
6
−
15
32
= 5
3
10
− 2
5
6
−
15
32
= 5
3
10
.
10
10
−
5
6
.
6
6
−
15
4 2
.
2
2
= 5
3
10
− 2
5
6
−
15
32
= 5
3
10
.
10
10
−
5
6
.
6
6
−
15
4 2
.
2
2

50. 51
= 5
30
10
= 5
3. 10
10
+
2 30
6
−
30
8
=
30
2
+
2 30
6
−
30
8
=
17 30
24
= 5
3. 10
10
+
2 30
6
−
30
8
=
30
2
+
2 30
6
−
30
8
=
17 30
24
:‫هي‬ x ‫قيمة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ 4x2
− 2x + 5 ‫االتي‬ ‫المقدار‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ )a( : 6‫س‬
5 , 1− 2 ,
1
2
2 − 3( ) :‫الحل‬
x = 5
= 4 5( )
2
− 2 5( )+ 5
= 4( ) 5( )− 2 5 + 5
= 20 − 2 5 + 5 = 25 − 2 5
x =1− 2
4 1− 2( )
2
− 2 1− 2( )+ 5
= 3 5 − 3 2( )
4 1− 2( )
2
− 2 1− 2( )+ 5
= 4 1− 2 2 + 2( )− 2 + 2 2 + 5
= 4 3− 2 2( )− 2 + 2 2 + 5
=12 − 8 2 − 2 + 2 2 + 5
=15 − 6 2
x =
1
2
2 − 3( )
4
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
2
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4
1
4
4 − 4 3 + 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4 − 4 3 + 3− 2 + 3 + 5
=10 − 3 3
4
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
2
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4
1
4
4 − 4 3 + 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4 − 4 3 + 3− 2 + 3 + 5
=10 − 3 3
4
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
2
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4
1
4
4 − 4 3 + 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4 − 4 3 + 3− 2 + 3 + 5
=10 − 3 3
4
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
2
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4
1
4
4 − 4 3 + 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4 − 4 3 + 3− 2 + 3 + 5
=10 − 3 3
4
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
2
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4
1
4
4 − 4 3 + 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4 − 4 3 + 3− 2 + 3 + 5
=10 − 3 3
4
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
2
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4
1
4
4 − 4 3 + 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
1
2
2 − 3( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + 5
= 4 − 4 3 + 3− 2 + 3 + 5
=10 − 3 3

51. 52
‫حيث‬ 14cm2 ‫تساوي‬ ABCD ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ x ‫قيمة‬ ‫جد‬ )b(
x 2
A B
CD x + 2( )
x − 2( )
:‫الحل‬
‫العرض‬ × ‫الطول‬ = ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬
x − 2( ) x + 2( ) =
x + 2 x − 2 x =14
x − 2 =14
∴x =14 + 2
x =16
x + 2 x − 2 x =14
x − 2 =14
∴x =14 + 2
x =16
x + 2 x − 2 x =14
x − 2 =14
∴x =14 + 2
x =16
ABC ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬ )c(
‫االرتفاع‬ × ‫القاعدة‬ 1
2
= ‫المثلث‬ ‫مساحة‬
1
2
5 − 3( ). 5 + 3( ) = ‫المثلث‬ ‫مساحة‬
A
B C
5 − 3( )
5 + 3( )
1
2
5 + 15 − 15 − 3( )=
1
2
2( ) = 1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬

52. 53
‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫اختصر‬ : 1‫س‬
a) 813
− −243
− 3
−1
9
3
813
+ 243
+ 3
1
9
.
3
3
3
= 3 33
+ 2 33
+ 3
3
27
3
= 5 33
+
3 33
3
= 6 33
b) 7 543
− −163
+ 4 −1283
= 7 27( ) 2( )3 + 8( ) 2( )3 − 4 64( ) 2( )3
= 21 23
+ 2 23
−16 23
= 6 23

53. 54
7 543
− −163
+ 4 −1283
= 7 27( ) 2( )3 + 8( ) 2( )3 − 4 64( ) 2( )3
= 21 23
+ 2 23
−16 23
= 6 23
7
c) 323
+ 2
1
2
3 − −2( )23
( )
2
= 8( ) 4( )3 + 2
1
2
.
4
4
3 − 43
( )
2
= 2 43
+ 2.
43
83
− 163
= 2 43
+ 43
− 2 23
= 43
23
+1( ) 43
− 23
+1( ) ‫ناتج‬ ‫جد‬ : 2‫س‬
:‫الحل‬
23
+1( ) 43
− 23
+1( )
= 23
. 43
− 23
. 23
+ 23
+ 43
− 23
+1
= 83
− 43
+ 23
+ 43
− 23
+1
= 2 +1 = 3
‫الكلية‬ ‫ومساحته‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬ 2 33 cm ‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ : 3‫س‬
:‫الحل‬
)‫الضلع‬ ‫طول‬ (× )‫الضلع‬ ‫طول‬ ( × )‫الضلع‬ ‫طول‬ ( = ‫المكعب‬ ‫حجم‬
8 3( )33 = 2 33
( ) 2 33
( ) 2 33
( ) =
24cm3
= 8( ) 3( ) =
‫واحد‬ ‫وجه‬ ‫مساحة‬ × 6 = ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
24 93 cm2
= 2 33
( ) 2 33
( )⎡
⎣
⎤
⎦
6 =
‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫في‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬ 6
3( )3
,
5
43
,
3
23
‫ابعاده‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ : 4‫س‬
:‫الحل‬
3
23
.
5
43
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟.
6
33
=
3
23
.
5
43
.
6
33
= ‫الحجم‬
15
2
.
6 93
273
= 15
83
.
6
33
.
93
93
15
83
.
6
33
.
93
93
15
83
.
6
33
.
93
93
=
‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ 15 93 =
15
2
.
6 93
3
=