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z変換をやさしく教えて下さい (音響学入門ペディア)
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Shinnosuke Takamichi
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信号処理の基礎であるz変換について、ざっくり説明しています。信号処理の初学者向け。 twitter: @forthshinji
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z変換をやさしく教えて下さい (音響学入門ペディア)
1.
日本音響学会 音響学入門ペディア shinnosuke-t
[at] is.naist.jp 高道 慎之介 (奈良先端科学技術大学院大学,学生・若手フォーラム幹事会) 日本音響学会 2013年 秋季研究発表会 音響学入門ペディアセッション Q2. z変換をやさしく教えて下さい
2.
/12 はじめに 2 “時間信号 x(n) のz変換
X(z) は,….で与えれられる。” “z-1は時間遅れを表す” “零点と極” “伝達関数” “安定性” “フーリエ変換との関係” 本スライドではこれらの疑問に答えてきます! 色々なキーワードが出てくるけど,結局z変換って何なの? z変換した結果と実際の音波ってどんな関係があるの? z変換を学ぶ機会は少なからずあったはず
3.
Z変換って何なの? 3
4.
/12 z変換の前に: 波の足し合わせによる表現 4 おてもやん 音源 音波 マイクロホン 収音された時間波形 時間波形を”何かの波”の足し合わせで表現することで, その波形の特徴を解析することが可能 波1 波2
5.
/12 フーリエ変換 5 tjA 11
exp 時間波形 tx 波1 波2 tjA 22 exp 時間 周波数(振動の速さ)振幅(振動の大きさ) * 位相(振動の時間遅れ)もあるが省略 フーリエ変換とは・・・ 時間波形を の波の足し合わせで表現する方法 時間的に一定の振幅で周期振動する波 時間波形って振動するだけなのか? ラプラス変換の導入 tjexp 指数部が虚数だと、振動する波
6.
/12 ラプラス変換 6 tjA )0(exp
11 時間波形 tx 波1 波2 時間 波3 tjA )(exp 333 tjA )(exp 222 振動の周波数 増加 (σ>0) ・減衰 (σ<0)の周波数 ラプラス変換とは・・・ 時間波形を の波の足し合わせで表現する方法 時間的に振幅が増加/減衰しながら振動する波 デジタル計算機で処理できないか? tj )(exp 離散時間に対応する 手法が登場 指数部が複素数だと、振動・増加/減衰
7.
/12 手法の関係性 7 振動する波 振動・増加/減衰する波 連続時間 フーリエ変換 ラプラス変換 離散時間 離散フーリエ変換 サンプリング された点 z変換
8.
/12 z変換 8 n zzX 11)( 時間波形 nx 波1
波2 離散時間 波3 n zzX 33 )(n zzX 22 )( 振幅(・位相) z変換とは・・・ 離散時間波形を の波の足し合わせで表現する手法 時間的に振幅が増加/減衰しながら振動する波 z変換という呼び方は,連続時間のラプラス変換(s変換)に対応 nn jbaz njAjA jbaz n nn )(lnexp)exp( 増加/減衰 振動
9.
音波とZ変換の関係って? 9
10.
/12 収音された音波とそのz変換 10 以下の部屋で収音された音波のz変換を考えよう 音源 マイクロホン 直接到達する音波 収音後,反射してもう一度収音される音波 収音された時間波形をz変換してみよう 振幅 時間 1 1/2 1/4 1/8
1/16 ・・・ nx n ...)8( 4 1 )4( 2 1 1 nnnx 0 4 8 12 16 ... 4 1 2 1 1 84 zzzX z変換 *z変換がこうなる理由は省略 (少し後述)
11.
/12 収音された音波とそのz変換 (Cont’d) 11 式を変形してみよう
0 4 484 2 1 1 1 2 1 ... 4 1 2 1 1 n n z zzzzX X(z) (波zの振動の振幅(と位相))を解析してみよう 振幅が0となる波z (=> Q(z)=0となるz) 振幅が∞となる波z (=> P(z)=0となるz) 音波を繰り返し 収音した時の形 X(z)の一般式を考えてみよう )( )( zP zQ zX 例: 共振による反復的な収音により発生 例: 反射・散乱による信号の遅延により発生 零点と呼ばれ,波の打ち消しを表す 極と呼ばれ,波の増幅を表す
12.
/12 まとめ z変換についての疑問点について解説 疑問点①:
結局z変換って何なのか? – z = a + jbとは,離散時間における波を表す – z変換とは,時間波形を増加/減衰・振動する波(z)の足し合わせで 表現する手法 疑問点②: 音波とz変換の関係って何なのか? – 音波の挙動によって,式の形が変化 • 音波が反復的に収音されると,X(z)は分母を含む • (音波が遅れて収音されると,X(z)は分子を含む) 12
13.
/12
14.
FU☆RO ☆KU なぜZ-1は時間遅れを表すの? (なぜ時間遅れでZ-1が生じるの?)
15.
/12 波の遅れが生み出すもの 波の遅れがあると何が生み出されるのか? 時間 振幅 時間 振幅 T tsin
)sin()(sin tTt 時間遅れでθ = ωTが生じる フーリエ・z変換ではどうなる? 連続時間 T だけ遅れた時のフーリエ変換では・・・ 離散時間 N だけ遅れた時のz変換では・・・ Tの時間遅れ tjexp TjtjTtj expexpexp 時間遅れで生じる njAzn )(lnexp Nn zz NjAnjA NnjA )(lnexp)(lnexp ))((lnexp 時間遅れで生じる
16.
/12 Acknowledgement 貴重なご助言・ご指導を頂きました – 電気通信大学
羽田 陽一様 – NICT 岡本 拓磨様 – NTT 鎌土 記良様 – 音響学入門ペディア作成委員会,学生・若手フォーラムの皆様 16
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