L’objective première de ce cours est d’introduire les notions de la géométrie différentielle à fin d’attaquer les mathématiques de la relativité générale. La géométrie différentielle est une grande partie dans les mathématiques et aussi plus riche par des outilles mathématique et c’est elle qui nous permet de relier l’Algèbre par la géométrie en une géométrie algébrique, calcul différentiel avec topologie générale et la géométrie avec la physique et plusieurs d’autres choses. La géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel pour étudier la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, La géométrie différentielle trouve sa principale application dans la physique surtout dans la relativité générale où elle permet de modéliser des courbures de l'espace-temps causent par la présence d’une masse énorme. L’objectif deuxième ce de ce cours est d’introduire le cadre mathématique de la relativité générale. On privilégie une approche géométrique et picturale basée sur l’algèbre linéaire à une approche basée sur les systèmes de coordonnées. Nous allons traiter quatre grandes parties de la géométrie : 1. Variétés différentiables : 2. Les espaces tangents et cotangent 3. Les formes différentielles 4. La géométrie riemannienne C’est 4 parties sont parfaitement relier,

1. Géométrie différentielle
élémentaire pour la physique
Mostafa Bousder

2. 1
2017
Géométrie différentielle élémentaire
Pour la physique
Auteur : Mostafa Bousder
LPHE-MS
Faculté des sciences Rabat

3. 2

4. 3
Introduction
L’objective première de ce cours est d’introduire les notions de la géométrie
différentielle à fin d’attaquer les mathématiques de la relativité générale.
La géométrie différentielle est une grande partie dans les mathématiques et
aussi plus riche par des outilles mathématique et c’est elle qui nous permet de
relier l’Algèbre par la géométrie en une géométrie algébrique, calcul différentiel
avec topologie générale et la géométrie avec la physique et plusieurs d’autres
choses.
La géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel pour
étudier la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles,
La géométrie différentielle trouve sa principale application dans la physique
surtout dans la relativité générale où elle permet de modéliser des courbures de
l'espace-temps causent par la présence d’une masse énorme.
L’objectif deuxième ce de ce cours est d’introduire le cadre mathématique de
la relativité générale. On privilégie une approche géométrique et picturale basée
sur l’algèbre linéaire à une approche basée sur les systèmes de coordonnées.
Nous allons traiter quatre grandes parties de la géométrie :
1. Variétés différentiables :
2. Les espaces tangents et cotangent
3. Les formes différentielles
4. La géométrie riemannienne
C’est 4 parties sont parfaitement relier,

5. 4
Sommaire réduite
1- Notions fondamentale -pg.8
2- Variétés différentiables -pg.14
3- Espaces tangents aux variétés -pg.34
4- Formes différentielles -pg.46
5- La géométrie Riemannienne -pg.71
6- Bibliographie.
Sommaire
Chapitre 1
Notions fondamentales…………………………………......8
1.1. Ensembles…………………………………………………………..8
1.2. Matrices……………………………………………………………..8
1.3. Espace et le dual…………………………………………………...9
1.4. Application……………………………………………………….…9
1.5. Produit tensoriel……………………………………………….…..10
1.6. Indice de sommation …………………………………………......10
1.7. Généralité ………………………………………………………….11
Schéma générale de travaille……………………………..…..13
Chapitre 2
Variétés différentiables …………………………………….14
2.1. Introduction………………………………………………………..14
2.2. Notion d’espace topologique……………………………………..15
2.3. Notion de la carte…………………………………………………16
2.4. Notion d’Atlas 𝐴…………………………………………………..16
2.5. Application difféomorphisme …………………………………..16
2.6. Variété différentiable…………………………………………….17
2.6.1 Notion de la variété différentiable……………………………17
2.6.2 Formes composées de des application………………………..18

6. 5
2.6.3 Produit de deux variétés différentiables………………….……20
2.7. Paramétrisation locale………………………………………….….20
2.7.1 Définition……………………………………………………….…..20
2.7.2 Définition……………………………………………………….…..21
2.8 Etude de la sphère : comme une variété différentielle………...21
2.9 Etude de plan projectif………………………………………….….22
2.10 Variété complexe…………………………………………………..24
2.10.1 Introduction sur Variété complexe…………………………...24
2.10.2 Fibration de Hopf……………………………………………….24
2.10.3 Tore……………………………………………………………….27
2.11 bouteille de Klein ………………………………………………...28
2.12 Théorèmes (à monter)……………………………………………28
Exercices corrigés……………………………………………………….30
Exemples des variétés………………………………………………….33
Chapitre 3
Espaces tangents et cotangent aux variétés…………….34
3.1 Fibré tangent et Fibré cotangent…………………………….…..34
3.1.1 Définition………………………………………………………….34
3.1.2 Espace tangent et Espace cotangent………………………….34
3.1.3 Application tangente…………………………………………….35
3.1.3.1 Définition………………………………………………………..35
3.1.3.1 Propriétés……………………………………………………….35
3.2 Champs de vecteurs…………………………………………….….35
3.2.1 Définition………………………………………………………….35
3.2.2 Lois de transformation………………………………………….37
3.2.3 Espace tangent muni d’un crochet de Lie…………………...38

7. 6
3.3 Groupe………………………………………………………………...40
3.3.1 Groupe de Lie……………………………………………………...40
3.3.2 Groupe avec un paramètre………………………………………41
3.3.2.1 Définition………………………………………………………...41
3.4 Applications des champs…………………………………………..42
3.4.1 Pull back et push forward de 𝜙…………………………………42
3.4.2 Flots………………………………………………………………...43
3.4.3 Dérivée de Lie……………………………………………………..44
Exercices ………...……………………………………………………….45
Chapitre 4
Formes différentielles……………………………………….46
4.1 p-forme différentielle………………………………………………47
4.2 Base de calculs des formes différentielles……………………...47
4.2.1 une seule itération Λ 𝑝
……………………………………………47
4.2.2 deux itérations Λ 𝑝
× Λ 𝑞
………………………………………….48
4.2.3 l’annihilation extérieure………………………………………..49
4.3 Diagrammes de géo-formes……………………………………….50
4.3.1 Proposition………………………………………………………..50
4.3.2 Diagrammes de géo-formes…………………………………….51
4.4 Produit intérieur…………………………………………………...53
4.5 Dérivée extérieure…………………………………………………54
4.6. Opérateur de Hodge………………………………………………57
4.7 Variété orientable………………………………………………….60
4.8 Intégration des formes différentielles…………………………..61
4.8.1 Pull back des Formes différentielles …………………………61
4.8.2 Intégration des 1-formes différentielles……………………...61

8. 7
4.8.3 Intégration volumique des formes différentielles……………62
4.9 formes différentielles exactes et fermées………………………..63
4.9.1 Définition : 𝜔 exacte……………………………………………...63
4.9.2 Définition : 𝜔 fermée……………………………………………..63
4.9.3 Proposition…………………………………………………………63
Exercices corrigés……………………………………………................65
Chapitre 5
La géométrie Riemannienne……………………………….71
4.1 Introduction…………………………………………………………71
4.2 Métrique……………………………………………………………..71
4.3 Connexion …………………………………………………………..74
4.4 La courbure………………………………………………………….76
4.4.1 Symboles de Christoffel ………………………………………...76
4.4.2 Le tenseur de torsion…………………………………………….77
4.4.3 Le tenseur de Riemann………………………………………….78
4.4.4 Le tenseur de Ricci ………………………………………………81
4.4.5 Le tenseur de d’Einstein………………………………………..81
4.5 Géodésiques…………………………………………………………81
4.5.1 Transport parallèle………………………………………………81
4.5.2 Définition………………………………………………………….81
4.5.3 Proposition………………………………………………………..82
4.5.4 Courbe paramétré sur une variété (𝑀, 𝑔)……………………82
4.5.5 Equation géodésique…………………………………………….82
4.6 Dérivation covariante d’un champ de vecteurs………………..83
Exercices corrigés………………………………………………………84
Bibliographie.

9. 8
Chapitre 1
Notions fondamentales
1.1- Ensembles
Ensemble est une collection d’éléments, noté par {, } ou E par exemple
{… , −2, −1,0,1,2,3, … } = ℕ.
Soit 𝐴, 𝐵 et 𝐶 deux parties de E (𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝐸)
On a les propriétés suivantes
L’union de 𝐴 et 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵⁄ }
L’intersection de 𝐴 et 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐵⁄ }
Autres propriétés :
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
𝐴 ∩ ∅ = ∅
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
1.2- Matrices
La matrice est le passage entre deux espaces différentes, est une connexion
ente deux vecteurs reliés par une application, la forme générale d’une
matrice :
[
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑚
⋮ ⋱ ⋮
𝑎2𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑚
]
Pour deux matrices A, B, les propriétés de transposé sont :
(𝐴𝑡) 𝑡
= 𝐴
(𝐴𝐵) 𝑡
= 𝐵 𝑡
𝐴𝑡
Une matrice symétrique vérifié 𝐴𝑡
= 𝐴, et pour une matrice antisymétrique
𝐴𝑡
= −𝐴
Le trace de la matrice A définit par la somme des élément diagonaux d’une
matrice A : 𝑡𝑟(𝐴) = ∑ 𝑎𝑖𝑖
𝑛
𝑖=1 , vérifiant les propriétés suivantes
𝑡𝑟(𝐴𝑡) = 𝑡𝑟(𝐴)
𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵)
𝑡𝑟(𝐴𝐵) = 𝑡𝑟(𝐵𝐴)
Le déterminant d’une matrice définit par det A
det 𝐴𝑡
= det 𝐴
A est inversible si et seulement si 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 ( on dit aussi dégénéré)

10. 9
𝐴−1
=
𝑐𝑜𝑚 𝑡
𝐴
det 𝐴
Le groupe linéaire générale des matrices carrées 𝑔 s’écrit
𝐺𝐿(𝑛, ℝ) = {𝑔 ∈ ℝ 𝑛×𝑛|det 𝑔 ≠ 0}
Exemple : le groupe linéaire spécial
𝑆𝐿(𝑛, ℝ) = {𝑔 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ)|det 𝑔 = 1}
Le groupe orthogonal des matrices carrées 𝑔 s’écrit
𝑂(𝑛, ℝ) = {𝑔 ∈ ℝ 𝑛×𝑛|𝑔 𝑡
𝑔 ≠ 0}
1.3- Espace et le dual
On définit un espace vectoriel E : soit deux vecteurs 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 et (𝑎, 𝑏) sont
des scalaires, on a
𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐸
𝑎(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
𝑎(𝑏𝑥) = (𝑎𝑏𝑥)
𝑒𝑥 = 𝑥
On note 〈𝑥, 𝑦〉 le produit scalaire entre les deux vecteurs x et y.
Soit E un espace vectoriel de dimension fini n sur 𝐾, E∗
est un espace dual
s’il contient des formes 𝜔 𝑥 linéaires et continus des vecteurs 𝑥 ∈ 𝐸
L’ensemble {𝑒𝑖}1≤𝑖≤𝑛 est la base de E, on note par {𝑒 𝑗
}1≤𝑗≤𝑛
la base de E∗
, le
produit scalaire entre de éléments de cette base vérifié
〈𝑒𝑖, 𝑒 𝑗〉 = 𝛿𝑖
𝑗
Soit 𝑥 ∈ 𝐸 et 𝜎 ∈ 𝐹 ⊂ 𝐸∗
si 〈𝑥, 𝜎〉 = 0
On dit alors que 𝑥 et 𝜎 sont orthogonaux.
Exercice.
Donner la définition de l'espace dual d'un espace vectoriel E de dimension fine.
Montrer qu'il est un espace vectoriel de 𝑑𝑖𝑚𝐸 = 𝑛, et que le dual du dual de E est
l'espace E.
1.4- Application
Une application f de E vers F (𝑓 ∶ 𝐸 → 𝐹), c’est une transformation d’un
élément de E vers un élément de F noté 𝑓(𝑥).
Le composé de deux applications 𝑓: 𝐸 → 𝐹 et 𝑔: 𝐹 → 𝐺 noté 𝑔𝑜𝑓 définit par
𝑔𝑜𝑓: 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

11. 10
L’identité 𝑖𝑑 𝐸: 𝐸 → 𝐸 est une application simple ne fait aucun changement
dans E définie par 𝑥 → 𝑥 .
1.5- Produit tensoriel
Exemple des tenseurs dans un espace de dimension 𝑛
Un tenseur d’ordre 0 est un scalaire noté 𝑇(0) = 𝑇 de dimension 𝑚0
= 1
Un tenseur d’ordre 1 est un vecteur noté 𝑇(1) = 𝑇𝑖 de dimension 𝑚1
= 𝑚
Un tenseur d’ordre n est une matrice noté 𝑇(𝑛) = 𝑇𝑖1 𝑖2…𝑖 𝑛
de dimension 𝑚 𝑛
On définit un produit tensoriel ⨂ par une opération qui nous laisse
passer de tenseurs d’ordre 𝑛 et 𝑚 vers un tenseur d’ordre 𝑛 + 𝑚
⨂: (𝑢, 𝑣) → 𝑢⨂𝑣
C’est-à-dire (𝑢, 𝑣) → 𝑢⨂𝑣 ∶ 𝐸 × 𝐹 → 𝐸⨂𝐹
Soit la base canonique {𝒆𝒊⨂𝒆𝒋}, une matrice s’écrit dans cette base 𝑀 =
𝑀𝑖𝑗 𝒆𝒊⨂𝒆𝒋
Exemple
Soit deux vecteur 𝑢 = (
𝑢1
𝑢2
𝑢3
) et 𝑣 = (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) d’un espace vectoriel de dimension 3,
le produit 𝑢⨂𝑣 est un résultat du produit entre colonne puis ligne :
𝑢⨂𝑣 = (
𝑢1
𝑢2
𝑢3
) ( 𝑣1 𝑣2 𝑣3) = (
𝑢1 𝑣1 𝑢1 𝑣2 𝑢1 𝑣3
𝑢2 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢2 𝑣3
𝑢3 𝑣1 𝑢3 𝑣2 𝑢3 𝑣3
)
1.6- Indice de sommation
Par définition on prend
𝑎𝑖
. 𝑏𝑖 = 𝑏𝑖. 𝑎𝑖
= ∑ 𝑎𝑖. 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
❖ Vecteur contra variante 𝑢 𝑖
= (
𝑢1
⋮
𝑢 𝑛
) dans l’espace E de dimension n.
❖ Vecteur covariante 𝑣𝑗 = ( 𝑣1 ⋯ 𝑣 𝑛) dans l’espace E de dimension n.

12. 11
❖ Le produit scalaire s’écrit
〈𝑢, 𝑣〉 = 𝑢 𝑖
. 𝑣𝑖 = (
𝑢1
⋮
𝑢 𝑛
) . ( 𝑣1 ⋯ 𝑣 𝑛) = ∑ 𝑢𝑖. 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
Ainsi on peut écrire
𝑢 𝑖
. 𝑣𝑖 = ∑ 𝑢𝑖. 𝑣𝑖
𝑖
= ∑ 𝑢𝑖. 𝑣𝑗 𝛿𝑖𝑗
𝑖𝑗
Ou 𝛿𝑖𝑗 = {
1 𝑖 = 𝑗
0 𝑖 ≠ 𝑗
C’est-à-dire
𝑢 𝑖
. 𝑣𝑖 = 𝑢 𝑖
. 𝑣𝑗. 𝛿𝑖
𝑗
𝛿𝑖
𝑗
est la métrique d’espace Euclidien.
Notation
𝜕𝑖 =
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
𝑋 𝑖
𝜕𝑖 = ∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
= 𝑋1
𝜕
𝜕𝑥1
+ ⋯ + 𝑋 𝑛
𝜕
𝜕𝑥 𝑛
1.7- Généralité
Un nombre complexe est définit par 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 tel que 𝑖2
= −1 et (𝑥, 𝑦) ∈
ℝ2
, et l’ensemble des nombre complexe notée ℂ.
On définit le conjugué de 𝑧 par le nombre complexe 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦, et la norme
de ce nombre complexe noté |𝑧| . on a les propriétés suivantes (𝑧, 𝑧’) ∈ ℂ2
𝑧̿ = 𝑧
𝑧 + 𝑧′̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧̅ + 𝑧′̅
𝑧. 𝑧′̅̅̅̅̅ = 𝑧̅. 𝑧′̅
|𝑧| ≔ √𝑧. 𝑧̅ = √𝑥2 + 𝑦2
|𝑧. 𝑧′| = |𝑧||𝑧′|
|𝑧| = |𝑧̅|
||𝑧| − |𝑧′|| ≤ |𝑧 + 𝑧′| ≤ |𝑧| + |𝑧′|

13. 12
Proposition
𝑒 𝑖𝜃
= cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃
Preuve.
Développement limité au voisinage de 0
𝑒 𝑖𝜃
= ∑
(𝑖𝜃) 𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
= ∑
(𝑖𝜃)2𝑘
2𝑘!
∞
𝑘=0
+ ∑
(𝑖𝜃)2𝑘+1
(2𝑘 + 1)!
∞
𝑘=0
= ∑(−1) 𝑘
𝜃2𝑘
2𝑘!
∞
𝑘=0
+ 𝑖 ∑(−1) 𝑘
𝜃2𝑘+1
(2𝑘 + 1)!
∞
𝑘=0
= cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃
Avec
cos 𝜃 = ∑(−1) 𝑘
𝜃2𝑘
2𝑘!
∞
𝑘=0
, sin 𝜃 = ∑(−1) 𝑘
𝜃2𝑘+1
(2𝑘 + 1)!
∞
𝑘=0
Corollaire
cos 𝜃 =
𝑒 𝑖𝜑
+ 𝑒−𝑖𝜑
2
, sin 𝜃 =
𝑒 𝑖𝜑
− 𝑒−𝑖𝜑
2𝑖
Voici quelques propriétés trigonométriques
cos 𝑝 + cos 𝑞 = 2 cos
𝑝 + 𝑞
2
cos
𝑝 − 𝑞
2
cos 𝑝 − cos 𝑞 = −2 sin
𝑝 + 𝑞
2
sin
𝑝 − 𝑞
2
sin 𝑝 + sin 𝑞 = 2 sin
𝑝 + 𝑞
2
cos
𝑝 − 𝑞
2
sin 𝑝 − sin 𝑞 = 2 cos
𝑝 + 𝑞
2
sin
𝑝 − 𝑞
2
cos(𝑝 + 𝑞) = cos 𝑝 cos 𝑞 − sin 𝑝 sin 𝑞
sin(𝑝 + 𝑞) = sin 𝑝 cos 𝑞 + cos 𝑝 sin 𝑞

14. 13
Schéma générale de travaille
Variété M :
L’être mathématique
de l’étude
La géométrie
Riemannien :
Etude de courbure de M
par la métrique g et les
tenseurs de courbure en
espace tangent
Les formes
différentielles :
Etude de structure M par
des formes tensoriels en
espace cotangent
La géométrie
algébrique :
Etude des formes
géométriques par des
méthodes algébriques
Topologie :
Etude des différentes
structures de M

15. 14
Chapitre 2
Variétés différentiables
2.1. Introduction
Suite aux travaux novateurs de Gauss dans l'étude des
surfaces, Riemann développa ce qui devint une branche maîtresse des
mathématiques : la géométrie différentielle. L'objectif fut de généraliser les
propriétés métriques et différentielles des surfaces "usuelles" de l'espace
euclidien à des espaces "courbés" considérés comme espaces de référence et non
plus comme plongés dans un espace plus vaste de dimension supérieure : on parle
de variétés :
Variété est une généralisation des courbes et des Surfaces en dimensions
supérieures tel les plans cercles…
On va voire plus tard plusieurs types de variétés : réels, complexes,
différentiables, connexe, orientable, …
Les calculs sont en rapport avec l'analyse à plusieurs variables c’est pour faire
des paramétrisation, mais cette fois c’est on va paramétriser les applications
géométriques.
On peut associer à chaque point de la variété un espace tangent constitué de
toutes les vitesses (direction et intensité) avec lesquelles il est possible de
s'écarter de ce point, l'espace tangent en tout point est un espace vectoriel, a la
même dimension que la variété, en d’autres termes, l’espace tangent est une
copie de ℝ 𝑛
. L'espace tangent a plusieurs définitions. Une définition possible est
l'espace vectoriel des chemins qui passent en ce point, quotient par la relation
d'équivalence qui identifie deux chemins ayant le même « vecteur vitesse » en ce
point c'est-à-dire la même dérivée si on les compose avec une carte quelconque.
Un champ de vecteurs est une application prend sa place de la variété vers
l'union disjointe de ses espaces tangents (l'union en elle-même est une variété
connue comme le fibré tangent). Une fonction différentiable des réels vers la
variété est une courbe sur la variété. Cela définit une fonction des réels vers les
espaces tangents cela traduit la vitesse de la courbe sur l’espace tangent de
chaque point de la variété.
Une variété M est dite connexe, si deux points quelconques de cette variété
peuvent être joint par une courbe contenue sur M, tel le tore.

16. 15
2.2. Notion d’espace topologique
Espace topologique
Est un couple (𝐸, 𝑇) de d’une ensemble E et la topologie T sur E, la topologie est
représentée par
𝑇 = {𝑈𝑖, ∅, 𝐸}𝑖=1…𝑛
Ou les 𝑈𝑖 sont les ouverts de (𝐸, 𝑇), tel que ⋃ 𝑈𝑖𝑖 ∈ 𝑇 est union dénombrable.
Exemple
L’espace E est vide à l’intérieur pour mettre les ouverts 𝑈𝑖
Espace topologique séparé
Lorsque l’ensemble des ouverts 𝑈𝑖=1…𝑛 au voisinage d’un point 𝑥𝑖=1…𝑛 dans E
vérifiant
𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 = ∅
On dit que E est un espace topologique séparé.
Equivalence topologique (homéomorphisme)
On dit qu’une application 𝜑 entre deux espaces topologiques E et F
𝜑 ∶ 𝐸 → 𝐹
Est équivalence topologique ou est un homéomorphisme si 𝜑 est une application
continue et inversible dont l’inverse est continué.
𝑈𝑖
∅
𝐸

17. 16
Sont topologiquement équivalentes
Ne sont pas topologiquement équivalentes
2.3. Notion de la carte
Est un couple (𝑈, 𝜑) tel que 𝜑: 𝑈 → ℝ 𝑛
est un homéomorphisme.
2.4. Notion d’Atlas 𝑨
A est un atlas de dimension n de la variété est l’ensemble des cartes (𝑈𝑖, 𝜑𝑖) qui
recouvrent la variété séparée :
A = (𝑈𝑖, 𝜑𝑖)
2.5. Application difféomorphisme
On dit qu’une application 𝜑 est difféomorphismes, si cette application réelles,
inversible et différentiable avec réciproque soit aussi différentiable
Pour monter qui application 𝜑 est difféomorphisme on utilise par exemple la
matrice Jacobienne 𝑑𝜑 𝑝𝑙
Exemple : soit une application 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑔(𝑥, 𝑦), ℎ(𝑥, 𝑦)) de classe ∁∞
= ∁0
, ∁ 𝑘=1…∞
(continué et différentiable k fois), La matrice jacobienne de 𝑓 s’écrit
𝐽 =
[
𝜕𝑔
𝜕𝑥
𝜕𝑔
𝜕𝑦
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝜕ℎ
𝜕𝑦]
On calcule déterminant de cette matrice s’appelle le jacobienne, puis on cherche
les domaines pour lesquelles le jacobienne ne s’annule pas, ce sont les domaines
ou l’application 𝑓 est un difféomorphisme.
Soit le paire (𝑥0, 𝑦0) pour lesquelles 𝑑𝑒𝑡 𝐽 s’annule, alors 𝑓 est un difféomorphisme
sur ℝ2
− {𝑥0, 𝑦0}.

18. 17
2.6. Variété différentiable
2.6.1 Notion de la variété différentiable
Une variété est un espace topologique M de dimension n formé par ensemble des
points, qui représente une extension locale (déformation, courbure,) de ℝ 𝑛
.
En chacun point de la variété, on peut définir un voisinage homéomorphe à un
ouvert de ℝ 𝑛
, cela veut dire que sur toute partie pas trop grosse de la variété, on
peut paramétriser un seul point par n paramètre.
Soit deux cartes (𝑈𝑖, 𝜑𝑖) et (𝑈𝑗, 𝜑𝑗) la variété M de d tel que
𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 ≠ ∅
On définit le changement de carte, l’homéomorphisme 𝜑𝑖𝑗 tel que
𝜑𝑖𝑗 = 𝜑𝑗 𝜊𝜑𝑖
−1
On travaille avec les changements de cartes d’une manière, tout simplement de
fait que l’étude des variétés par ses applications est incompréhensible, on ne peut
pas décrire une variété facilement, c’est quelque chose abstrait on peut pas
mesurer des choses abstraits, alors il faut projeter les notions de variété sur le
plan qui nous entoure, ce pan réel ou complexe, mais on sait travailler avec ce
plan s’appelle l’espace tangent ou l’espace analytique (réel ou complexe) ou
parfois l’espace des formes. Alors les changements de carte 𝜑𝑖𝑗 sont analytiques
on peut les mesurer facilement, et aussi ils nous informent sur la nature des
variétés de l’étude.
𝑼𝒋
𝑼𝒊
ℝ 𝒏
𝑴
𝝋𝒋(𝑼𝒋)
𝝋𝒊(𝑼𝒊)
𝝋𝒋
𝝋𝒊
𝝋𝒊𝒋

19. 18
On dit que la variété M est une variété différentiable, si l’atlas des cartes de M
contient des changements de carte 𝜑𝑖𝑗 difféomorphismes.
Une variété différentielle dans un espace topologique est une collection
d'homéomorphismes d'ensembles ouverts vers une partie unitaire de ℝ 𝑛
tels que
les ensembles ouverts couvrent l'espace et que si 𝑓, 𝑔 sont des homéomorphismes
alors la fonction 𝑓𝑜𝑔−1
d'un sous-ensemble ouvert de la partie unitaire vers la
partie ouverte unitaire est infiniment différentiable. On dit que la fonction d'une
variété vers ℝ est infiniment différentiable si la composition de chaque
homéomorphisme résulte en une fonction infiniment différentiable de la partie
unitaire ouverte unitaire dans ℝ.
2.6.2 Formes composées de des application
Soit
Pour passer de point A vers B il y a deux possibilités : soit par 𝑔−1
puis 𝑓 ce
chemin passe alors par le composé de 𝑓 et 𝑔−1
: 𝑓𝜊𝑔−1
, ou soit par ℎ c’est-à-dire
ℎ(𝑥) = 𝑓𝜊𝑔−1
(𝑥)
Pour passer de point A vers B il y a deux possibilités : soit par 𝑔−1
puis 𝑡
finalement par 𝑓 ,ce chemin passe alors par le composé de 𝑓 , 𝑡 et 𝑔−1
: 𝑓𝜊𝑡𝜊𝑔−1
, ou
soit par ℎ c’est
ℎ(𝑥) = 𝑓𝜊𝑡𝜊𝑔−1
(𝑥)
𝑩
𝒇
𝒉
𝒈 𝑨
+
𝒉
𝑨
𝑩
𝒕
𝒇
𝒈
+

20. 19
Pour cette forme
On a
ℎ(𝑥) = 𝑓𝑛 𝜊 … 𝑓2 𝜊𝑓1(𝑥)
Pour la forme suivante
ℎ(𝑥) = 𝑓𝑛
−1
𝜊 … 𝜊𝑓2
−1
𝜊𝑓1
−1
(𝑥)
Généralement
ℎ(𝑥) = 𝑓𝑛
𝜔 𝑛
𝜊 … 𝜊𝑓2
𝜔2
𝜊𝑓1
𝜔1
(𝑥)
Avec 𝜔𝑖 = ±1
Pour le sens positif d’application 𝑓𝑖 on aura 𝜔𝑖 = +1 , et pour le sens négatif
d’application 𝑓𝑖 on aura 𝜔𝑖 = −1.
Soit 𝑛 = 2𝑘 paire le nombre des applications 𝑓𝑖 qui forment
Pour 𝜔𝑖 = 𝜔𝑖+1 = 𝜔 , ∀𝑖 ∈ 1, … ,
𝑛
2
et 𝜔𝑗 = 𝜔𝑗+1 = −𝜔 ∀𝑗 ∈
𝑛
2
+ 1, … , 𝑛
On aura dans ce cas
ℎ(𝑥) = 𝑓𝑛
−ω
𝜊 … 𝑜𝑓𝑛
2
+1
−𝜔
𝑜𝑓𝑛
2
𝜔
𝑜 … 𝜊𝑓2
ω
𝜊𝑓1
ω(𝑥) = 𝐼𝑑(𝑥)
𝒇 𝒏−1
𝒇 𝒏
⋰
𝒉
𝒇1
𝒇2
𝒇3
𝒇4
+
⋱
𝒇 𝒏
𝒇1
𝒇2
𝒇3
𝒇4
𝒇 𝒏−1
+

21. 20
2.6.3 Produit de deux variétés différentiables
Soit deux variétés (𝑀1, 𝐴1) et (𝑀2, 𝐴2) différentiables de dimension 𝑛 et 𝑚 classe
𝐶 𝑘
. Les deux atlas sont définis comme suite
𝐴1: {𝜑1: 𝑈1 → 𝑉1}
𝐴2: {𝜑2: 𝑈2 → 𝑉2}
Tel que
𝑈𝑖=1,2 est un ouvert dans la variété 𝑀𝑖=1,2.
𝑉𝑖=1,2 est un ouvert dans la variété ℝ 𝑛
, ℝ 𝑚
(𝑟𝑒𝑠𝑝. ).
On veut former le produit de deux applications 𝜑1 × 𝜑2: 𝑈1 × 𝑈2 → 𝑉1 × 𝑉2 qui
définit par 𝜑1 × 𝜑2(𝑥1, 𝑥2) = (𝜑1(𝑦1), 𝜑2(𝑦2)) tel que (𝑦1, 𝑦2) ∈ 𝑈1 × 𝑈2, ce qui nous
permet de faire le produit entre deux atlas
𝐴1 × 𝐴2: {𝜑1 × 𝜑2: 𝑈1 × 𝑈2 → 𝑉1 × 𝑉2}
Et puisque nous avons choisir ces deux atlas dans les deux variétés
différentiables 𝑀 et 𝑁 alors ce qui va nous donne le sens au produit de deux
variétés 𝑀1 × 𝑀2.
On cherche d’abord la dimension de produit de deux variétés différentiables
𝜑1 × 𝜑2: 𝑈1 × 𝑈2 → 𝑉1 × 𝑉2
𝜑1 × 𝜑2: ≡ 𝑀1 × 𝑀2 → ℝ 𝑛
× ℝ 𝑚
𝜑1 × 𝜑2: 𝑀1 × 𝑀2 → ℝ 𝑛+𝑚
Ce qui nous permet de dire que le produit 𝑀1 × 𝑀2 est de dimension 𝑛 + 𝑚.
Exemple
Le cylindre est un produit entre l’espace réel et la sphère ℂ2
= ℝ × 𝕊1
.
Le tore est le produit de deux sphères 𝕋2
= 𝕊1
× 𝕊1
.
2.7. Paramétrisation locale
2.7.1 Définition
Une paramétrisation locale de M autour d’un point 𝑥0 est un homéomorphisme de
𝑉 ⊂ ℝ 𝑛
vers 𝑈 est un voisinage de 𝑥0 qui paramétré par 𝑓
𝑈 = {𝑥 = 𝑓(𝑥1
, 𝑥2
, … , 𝑥 𝑛) ∈ 𝑀, (𝑥1
, 𝑥2
, … , 𝑥 𝑛) ∈ 𝑉 ⊂ ℝ 𝑛}

22. 21
2.7.2 Définition
Soit M une variété définit par un atlas (𝑈 𝛼, 𝜑 𝛼)
On appelle coordonnées locales, tout fonction de coordonnées définies en tout
point 𝑥 ∈ 𝑈 𝛼
𝑥 𝑖
= 𝜋 𝑖
𝑜𝜑(𝑥)
Ou 𝜋 𝑖
: ℝ 𝑛
→ ℝ est la projection sur la i -ème composante pour 𝑖 = 1, … , 𝑛
2.8 Etude de la sphère : comme une variété différentielle
On définit une sphère par un sous espace topologique de dimension n noté 𝕊 𝑛
et
définit sur ℝ 𝑛+1
par 𝕊 𝑛
= {(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛+1) ∈ ℝ 𝑛+1
; 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ ⋯ + 𝑥 𝑛+1
2
= 1}.
On définit sur une sphère deux pôles : pôle nord {𝑁} de point 𝑁 = (0, . . . , 0, 1) et le
pôle sud {𝑆} de la sphère 𝕊 𝑛
de point 𝑆 = (0, . . . , 0, −1). On utilise au moins deux
ouverts pour recouvrer la sphère 𝕊 𝑛
:
Le premier ouvert qui recouvre la partie nord de la sphère 𝑈 𝑁 = 𝕊 𝑛
− {𝑁}.
Le deuxième ouvert qui recouvre la partie sud de la sphère 𝑈𝑆 = 𝕊 𝑛
− {𝑆}
Puis on définit les applications suivantes :
Projection stéréographique du pôle nord 𝜑 𝑁: 𝑈 𝑁 = 𝕊 𝑛
− {𝑁} → ℝ 𝑛
Projection stéréographique du pôle sud 𝜑 𝑆: 𝑈𝑆 = 𝕊 𝑛
− {𝑆} → ℝ 𝑛
Soit (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛+1) ∈ 𝑈 𝑁, 𝜑 𝑁(𝑥1, … , 𝑥 𝑛+1) = (
𝑥1
1−𝑥 𝑛+1
, … ,
𝑥 𝑛
1−𝑥 𝑛+1
)
Et 𝜑 𝑆(𝑥1, … , 𝑥 𝑛+1) = (
𝑥1
1+𝑥 𝑛+1
, … ,
𝑥 𝑛
1+𝑥 𝑛+1
)
N (0, …,0, z=1)
S (0, …,0, z=-1)

23. 22
On calcule le changement de carte de la sphère à partir de cette relation
𝜑 𝑁 𝑜𝜑 𝑁
−1
: ℝ 𝑛
− {0} → ℝ 𝑛
− {0}
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛+1) → 𝜑 𝑆 (
𝑥1
1 − 𝑥 𝑛+1
, … ,
𝑥 𝑛
1 − 𝑥 𝑛+1
)
𝜑 𝑁 et 𝜑 𝑆 sont des applications difféomorphismes.
L’ensemble {(𝑈 𝑁, 𝜑 𝑁); (𝑈𝑆, 𝜑 𝑆)} définit un atlas de classe 𝐶∞
sur la sphère 𝕊 𝑛
, ce
qui confère à la sphère 𝕊 𝑛
une structure de variété différentiable de dimension 𝑛
et de classe 𝐶∞
.
Exercice :
1-Montrer que 𝜑 𝑆 𝑜𝜑 𝑁
−1
est un difféomorphisme.
2-Montrer que {U 𝛼 = 𝕊 𝑛
− {𝛼}, 𝜑 𝛼} avec 𝛼 ∈ {𝑆, 𝑁} est un atlas.
Réponse :
L’application 𝜑 𝑆 𝑜𝜑 𝑁
−1
est analytique réel (d’après le théorème) puisqu’elle dans
ℝ 𝑛
− {0} , alors cette application est un difféomorphisme
Les ouverts 𝑈 𝑁, 𝑈𝑆 recouvrent 𝕊 𝑛
implique que {U 𝛼 = 𝕊 𝑛
− {𝛼}, 𝜑 𝛼} est un atlas
2.9 Etude de plan projectif
Soit 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥 𝑛+1) une paramétrisation dans ℝ 𝑛+1
− {0} ou ℂ 𝑛+1
− {0}, on
définit un espace projectif réel ℘ 𝑛
(ℝ) (resp. Complexe ℘ 𝑛
(ℂ) ) par l’ensemble des
droites de ℝ 𝑛+1
qui passent par l’origine, définissent par
[𝒙1, … , 𝒙 𝒏+1] = {𝜶𝒙1, … , 𝜶𝒙 𝒏+1}
On s’intéresse par la suite d’étudier l’espace projectif réel.
Pour recouvrer l’espace ℘ 𝑛
(ℝ) il nous faut 𝑛 + 1 ouverts 𝑈𝑖 c’est-à-dire
𝒄𝒂𝒓𝒅𝑼𝒊 = 𝒅𝒊𝒎ℝ 𝒏+1
= 𝒏 + 1
Pour relier ces ouverts avec une application homéomorphisme 𝜑𝑖 = 𝑈𝑖 ℝ 𝑛
𝑖 =
1, … , 𝑛 + 1
𝜑 𝑁
𝜑 𝑆
ℝ 𝑛

24. 23
𝜑𝑖[𝑥1, … , 𝑥 𝑛+1] = (
𝑥1
𝑥𝑖
, … ,
𝑥𝑖−1
𝑥𝑖
,
𝑥𝑖+1
𝑥𝑖
, … ,
𝑥 𝑛+1
𝑥𝑖
)
Avec 𝑈𝑖 = {(𝒙1, … , 𝒙 𝒏+1) ∈ ℘(ℝ), 𝑥𝑖 ≠ 0}
soit 𝑡 𝛼 =
𝑥 𝛼
𝑥 𝑖
1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑛 + 1 ⇒ 𝑥 𝛼 = 𝑥𝑖 𝑡 𝛼 on définit les 𝑡 𝛼 dans ℝ 𝑛+1
𝜑𝑖
−1(𝑡1, … , 𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖+1, … , 𝑡 𝑛+1) = [𝑡1, … , 𝑡𝑖−1, 1, 𝑡𝑖+1, … , 𝑡 𝑛+1]
On calcule le changement de carte plan projectif 𝜑𝑗 𝑜𝜑𝑖
−1
𝜑𝑗 𝑜𝜑𝑖
−1
(𝑡1, … , 𝑡 𝑛+1) = (
𝑡1
𝑡𝑖
, … ,
𝑡𝑖−1
𝑡𝑖
,
1
𝑡𝑖
, … ,
𝑡⏞
𝑡𝑖
, …
𝑡 𝑛+1
𝑡𝑖
)
Le changement de carte est une application analytique (à un expression sur ℝ).
Par conséquent, (𝑈𝑖, 𝜑𝑖) est un atlas sur ℘ 𝑛
(ℝ).
On s’intéresse par la suite d’étudier l’espace projectif complexe.
L’espace projectif complexe ℘ 𝑛
(ℂ),( est une variété complexe compacte de
Dimension complexe 𝑛) est l’ensemble des droites
Complexes de ℂ 𝒏+1
passant par l’origine.
Pour recouvrer l’espace ℘ 𝑛
(ℂ) il nous faut 𝑛 + 1 ouverts 𝑈𝑖 c’est-à-dire
𝒄𝒂𝒓𝒅𝑼𝒊 = 𝒅𝒊𝒎ℂ 𝒏+1
= 𝒏 + 1
Pour relier ces ouverts avec une application homéomorphisme 𝜑𝑖 = 𝑈𝑖 → ℂ 𝑛
𝑖 =
1, … , 𝑛 + 1
𝜑[𝑧̅1, … , 𝑧̅ 𝑛+1] = (
𝑧1
𝑧𝑖
, … ,
𝑧𝑖−1
𝑧𝑖
,
𝑧𝑖+1
𝑧𝑖
, … ,
𝑧 𝑛+1
𝑧𝑖
)
On calcule l’inverse de 𝜑 :
soit 𝑡𝑗 =
𝑧 𝑗
𝑧 𝑖
1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 ⇒ 𝑧𝑗 = 𝑧𝑖 𝑡𝑗
𝜑−1[𝑡1, … , 𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖+1, … , 𝑡 𝑛+1] = (𝑡̅1, … , 𝑡̅ 𝑛+1)
On calcule le changement de carte plan projectif 𝜑𝑗 𝑜𝜑𝑖
−1
𝝋𝒋 𝒐𝝋𝒊
−1
(𝒕1, … , 𝒕 𝒏+1) = (
𝒕1
𝒕𝒊
, … ,
𝒕𝒊−1
𝒕𝒊
,
1
𝒕𝒊
, … ,
𝒕⏞
𝒕𝒊
, …
𝒕 𝒏+1
𝒕𝒊
)

25. 24
2.10 Variété complexe
2.10.1 Introduction sur Variété complexe
Lemme1.
Toute variété complexe de dimension complexe 𝑛 est une variété différentielle
réelle de dimension réelle 2𝑛 qui est orientable.
Démonstration.
La preuve se résume à observer que les jacobiens réels des changements de carte sont
tous positifs : ce sont les modules au carré des jacobiens complexes.
Réciproquement, toute surface différentiable réelle orientable admet une structure
complexe (un atlas holomorphe maximal).
Lemme2.
𝕊2
≅ ℂ1
∪ {∞} ≅ ℘1
(ℂ)
Preuve. (Exercice)
2.10.2 Fibration de Hopf
On définit En coordonnées cartésiennes, la sphère 𝕊3
de l'espace à 4 dimensions
de centre (𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4) et de rayon 𝑅 est l'ensemble de tous les points
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) par l’équation :
(𝑥4 − 𝜔4)2
+ (𝑥3 − 𝜔3)2
+ (𝑥2 − 𝜔2)2
+ (𝑥1 − 𝜔1)2
= 𝑅2
On choisit 𝑅 = 1 (𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4) = (0,0,0,0) et on obtient la sphère unitaire qui
définit par l’ensemble
𝕊3
= {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) ∈ ℝ4
: 𝑥4
2
+ 𝑥3
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥1
2
= 1}
En coordonnées sphériques on peut paramétrisé la sphère 𝕊3
en utilisant les
angles (𝜓, 𝜃, 𝜑)
𝑥1 = 𝑅 cos 𝜓
𝑥2 = 𝑅 sin 𝜓 cos 𝜃
𝑥3 = 𝑅 sin 𝜓 sin 𝜃 cos 𝜑
𝑥4 = 𝑅 sin 𝜓 sin 𝜃 sin 𝜑
On peut monter que 𝕊3
est un sous espace complexe :
Soit deux éléments complexes (𝑧1, 𝑧2) ∈ ℂ2
tel que 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑥2 et 𝑧2 = 𝑥3 + 𝑖𝑥4
On a |𝑧2|2
+ |𝑧1|2
= 𝑥4
2
+ 𝑥3
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥1
2
cela nous permet d’écrire
𝕊3
= {(𝑧1, 𝑧2) ∈ ℂ2
: |𝑧2|2
+ |𝑧1|2
= 1}
Alors 𝕊3
⊂ ℂ2
.

26. 25
Pour un cercle unité 𝒞 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2||𝑥2
+ 𝑦2
= 1} on définit une paramétrisation
D’une application 𝜑(𝜃 ∈ ℝ) = (cos 𝜃 , sin 𝜃) ∈ ℝ2
parcouru dans le sens
trigonométrique. L’application 𝛾: 𝑡 ∈ ℝ → −𝑡 ∈ ℝ est un changement admissible de
paramétrisation qui inverse l’orientation 𝜑𝑜𝛾parcourt le cercle unité dans le sens
des aiguilles d’une montre.
On définit l’application de Hopf par une application qui transporte chaque
élément de 𝕊3
vers un élément de 𝕊2
𝜋: 𝕊3
→ 𝕊2
𝜋(𝑧1, 𝑧2) = (𝑧̅1 𝑧2 + 𝑧̅2 𝑧1, 𝑖(𝑧̅1 𝑧2 − 𝑧̅2 𝑧1), |𝑧1|2
− |𝑧2|2
)
La norme de cette application est très intéressante pour trouver largeur de fibration
|𝜋(𝑧1, 𝑧2)|2
= (𝑧̅1 𝑧2 + 𝑧̅2 𝑧1)2
− (𝑧̅1 𝑧2 − 𝑧̅2 𝑧1)2
+ (|𝑧1|2
− |𝑧2|2)2
|𝜋(𝑧1, 𝑧2)|2
= 4|𝑧1 𝑧2|2
+ |𝑧1|4
− 2|𝑧1 𝑧2|2
+ |𝑧2|4
|𝜋(𝑧1, 𝑧2)|2
= (|𝑧1|2
+ |𝑧2|2)2
A partir de cette application on peut paramétriser la sphère 𝕊3
, c’est-à-dire
trouver 𝑧1, 𝑧2 en fonction de (𝜃, 𝜑) puisque 𝜋 chaque élément de 𝕊3
vers un
élément 𝕊2
, on peut appliquer ce raisonnement sur les coordonnées sphériques de
la sphère 𝕊3 (𝜓, 𝜃, 𝜑) vers les coordonnées (𝜃, 𝜑)
Autrement dit
𝜋(𝜓, 𝜃, 𝜑) = (𝜃, 𝜑)
Et la sphère 𝕊2
est paramétrisée par deux paramètres (𝜃, 𝜑) qui définit par
l’application (cos 𝜑 sin 𝜃 , sin 𝜑 sin 𝜃, cos 𝜃), si on prend cette application qui
caractérise les éléments de la sphère 𝕊2
(𝜃, 𝜑) = (
cos 𝜑 sin 𝜃
sin 𝜑 sin 𝜃
cos 𝜃
)
=
(
𝑒 𝑖𝜑
+ 𝑒−𝑖𝜑
2
(cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
+ cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
)
𝑒 𝑖𝜑
− 𝑒−𝑖𝜑
2𝑖
(cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
+ cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
)
cos (
𝜃
2
+
𝜃
2
) )

27. 26
=
(
cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
𝑒−𝑖𝜑
+ cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
𝑒 𝑖𝜑
𝑖 (cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
𝑒−𝑖𝜑
− cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
𝑒 𝑖𝜑
)
cos2
𝜃
2
− sin2
𝜃
2 )
Voir chapitre 1.
Comparant le dernier résultat avec l’expression de 𝜋
𝜋(𝑧1, 𝑧2) = (𝑧̅1 𝑧2 + 𝑧̅2 𝑧1, 𝑖(𝑧̅1 𝑧2 − 𝑧̅2 𝑧1), |𝑧1|2
− |𝑧2|2
)
Et vous allez trouver que
𝑧1(𝜃, 𝜑) = cos
𝜃
2
𝑒−𝑖
𝜑
2 ; 𝑧2(𝜃, 𝜑) = sin
𝜃
2
𝑒 𝑖
𝜑
2
Et puisque 𝑧1, 𝑧2 paramétrisés la sphère 𝕊3
des coordonnées (𝜓, 𝜃, 𝜑) alors il faut
exprimer 𝑧1, 𝑧2 en fonction de (𝜓, 𝜃, 𝜑)
𝒛 𝟏(𝜽, 𝝋, 𝝍) = 𝐜𝐨𝐬
𝜽
𝟐
𝒆−
𝒊
𝟐
(𝝍+𝝋)
; 𝒛 𝟐(𝜽, 𝝋, 𝝍) = 𝐬𝐢𝐧
𝜽
𝟐
𝒆−
𝒊
𝟐
(𝝍−𝝋)
Et puisque on applique 𝜋𝑜(𝑧1, 𝑧2)𝑜(𝜓, 𝜃, 𝜑) vers (𝜃, 𝜑) c’est-à-dire de 𝕊3
vers 𝕊2
,
cela nous montre que l’application de Hopf transporte chaque élément de 𝕊3
vers
un élément de 𝕊2
et on écrit
𝜋: 𝕊3
→ 𝕊2
Pour un 𝛼 ∈ ℝ on peut parler de la transformation suivante
𝑧1 → 𝑧1
′
= 𝑒 𝑖𝛼
𝑧1
𝑧2 → 𝑧2
′
= 𝑒 𝑖𝛼
𝑧2
Cette transformation laisse 𝜋 invariant (simple à vérifier) :
𝜋(𝑧1, 𝑧2) = 𝜋(𝑧1′, 𝑧2′)
Aure exemple de fibration de Hopf
𝜋: 𝕊3
→ 𝕊2
(𝑧1, 𝑧2) →
𝑧1
𝑧2
𝑧2 ≠ 0
La 3-sphère 𝕊3
est un fibré de cercle 𝕊1
au-dessus de la sphère 𝕊2
.

28. 27
𝕊1
→ 𝕊3
→⏟
𝜋
𝕊2
La fibre au-dessus de chaque point 𝕊2
est un cercle sur 𝕊3
. Donc la 3-sphère n’est
rien d’autre qu’une union de grands cercles paramétrés par les points de la
sphère 𝕊2
.
Des exemples de fibration de Hopf
2.10.3 Tore
Le tore est le composé d’un nombre définit des sphères on écrire également
𝕋 𝑛
= 𝕊1
× … × 𝕊1
On dit aussi que le tore est un sous espace topologique d’ensemble complexe ℂ 𝑛
𝕋 𝑛
= {(𝑧1, … , 𝑧 𝑛) ∈ ℂ 𝑛
: |𝑧1| = ⋯ = |𝑧 𝑛| = 1 }
En tout point du tore on peut lui associer une application définit par
(𝑧1, … , 𝑧 𝑛) → (𝑒2𝜋𝑖𝑧1, … , 𝑒2𝜋𝑖𝑧 𝑛)
Remarque. 𝕋2
= 𝕊1
× 𝕊1
≠ 𝕊2
Le tore en trois dimensions

29. 28
2.11 bouteille de Klein
Selon Felix Klein pour une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-
dire une surface pour laquelle il est impossible de définir un intérieur et un
extérieur, autrement dit l’intérieur et l’extérieur sont les même chose.
On ne peut pas représenter la bouteille de Klein dans l'espace ℝ3
que si l'on
accepte qu'elle se traverse elle-même ; aussi, aucune réalisation que l'on peut voir
de la bouteille de Klein n'est exacte. Dans ℝ4
, il est par contre possible de la
réaliser sans auto-intersection (mathématiquement, on dit qu'elle possède
un plongement (immersion injective) de classe 𝐶∞
dans ℝ4
).
Bouteille de Klein en 3 dimension
2.12 Théorèmes (à monter)
Théorème 1
Tout surface topologique compacte connexe est homéomorphe : à la somme de
Genius 𝑔 ≥ 0 copies du tore 𝑇2
.Ou à la somme connexe de 𝑔 ≥ 1 copies du plan
projectif réel 𝑃2
(𝑅).Alors ne sont pas homéomorphes.
Théorème 2
Tout espace topologique quotient 𝐺𝐻 admet une unique structure d’une variété
différentiable de classe 𝐶 𝑘
, pour la projection canonique 𝜋: 𝐻 → 𝐺𝐻 soit 𝐶 𝑘
-
difféomorphisme local
Théorème 3
Soit M une variété.
Si (𝑈 𝛼; 𝜑 𝛼) est une famille de cartes 𝐶 𝑘≥1
et (𝑉𝛽; 𝜓 𝛽) est la famille de cartes 𝐶 ∞
,
alors (𝜓 𝛽 𝑜𝜑 𝛼)−1
sont de classe 𝐶 𝑘≥1
, c’est-à-dire telle que toutes les cartes de la
structure 𝐶 ∞
sont aussi de classe 𝐶 𝑘≥1
.

30. 29
Théorème 4 (d’inversion locale)
Le théorème d'inversion locale précise les conditions d'existence locale d'une
application réciproque pour une fonction ƒ. C'est une généralisation d'un
théorème simple sur les fonctions de la variable réelle.
Si ƒ est définie sur un intervalle 𝐼 et si a est un élément de 𝐼, si ƒ possède
en a une dérivée continue non nulle alors il existe un intervalle 𝐼 𝑎 autour de 𝑎, un
intervalle 𝐽(𝑓(𝑎)) autour de ƒ(a) et une fonction ƒ−1 définie sur 𝐽(𝑓(𝑎))qui soit
l'application réciproque de la restriction de ƒ à 𝐼 𝑎.
Cette application réciproque est aussi dérivable en ƒ(a).
Le théorème d'inversion locale généralise cette propriété à des fonctions définies
sur des espaces vectoriels réels de dimension finie. La condition « 𝑓′(𝑎) non
nulle » est alors remplacée par « le jacobien de ƒ en a est non nul ». De plus, si ƒ
est de classe 𝐶 𝑘
, l'application réciproque l'est aussi.

31. 30
Exercices corrigés
Exercice 1.
Montrer que ℝ 𝑛
est une variété différentiable.
Réponse.
On suppose que ℝn
recouvre ℝn
(choix d’une seule carte), et soit l’application
d’identité définit par
𝑰𝒅(ℝ 𝒏): 𝒙 → 𝒙
Ces deux choix nous montrent que ℝn
est une variété différentiable de dimension
n et de classe infini
Exercice 2.
Soit la fonction 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2
− 𝑦2
, 2𝑥𝑦): ℝ2
→ ℝ2
Montrer que c’est un difféomorphisme local sur le plan privé de l’origine.
Déterminer un ouvert maximal 𝑈 tel que la restriction de 𝑓 à 𝑈 soit un
difféomorphisme global sur son image. Même question avec la fonction
𝒈(𝒙, 𝒚) = (𝒆 𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒆 𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝒚).
Réponse.
On calcule la matrice jacobienne de 𝑓 en (𝑥, 𝑦)
𝐽(𝜑) =
(
𝜕𝑥2
− 𝑦2
𝜕𝑥
𝜕𝑥2
− 𝑦2
𝜕𝑦
𝜕2𝑥𝑦
𝜕𝑥
𝜕2𝑥𝑦
𝜕𝑦 )
= (
2𝑥 −2𝑦
2𝑦 2𝑥
)
Son déterminant est
det 𝐽 = det (
2𝑥 −2𝑦
2𝑦 2𝑥
) = 4(𝑥2
+ 𝑦2
)
Donc pour tout (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0), la différentielle de 𝑓 en (𝑥, 𝑦) est inversible.
D’après le théorème d’inversion locale, la restriction de 𝑓 à un voisinage ouvert de
(𝑥, 𝑦) est un difféomorphisme sur son image. La restriction de 𝑓 à ℝ2
privé de

32. 31
l’origine n’est pas un difféomorphisme sur son image, car 𝑓(−𝑥, −𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Par contre la restriction de f au demi plan supérieur est un difféomorphisme sur
son image. Cela découle du théorème d’inversion locale et du fait que la
restriction de 𝑓 à 𝑈 soit injective. De plus U est un ouvert maximal ayant cette
propriété. En effet si 𝑉 est un ouvert contenant strictement U, alors V contient
un point de coordonnées (𝑥, 𝑦) avec 𝑦 < 0, mais alors (−𝑥, −𝑦) ∈ 𝑈 ⊂ 𝑉, et donc
la restriction de 𝑓 à 𝑉 n’est pas injective.
Exercice 3.
Soit une application 𝜑: ℝ2
→ ℝ × ]0, +∞[ définie par 𝜑(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑒 𝑦
, 𝑒 𝑦
), Monter
que 𝜑 est un 𝐶1
−difféomorphisme et déterminer son application réciproque 𝜑−1
.
Réponse.
L’application 𝜑 définie par (𝑥, 𝑦) → (𝑥𝑒 𝑦
, 𝑒 𝑦
), pour monter qu’elle est
difféomorphisme on cherche la valeur de déterminant de son matrice jacobienne.
La matrice de Jacobi est
𝐽(𝜑) =
(
𝜕𝑥𝑒 𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥𝑒 𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑒 𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑒 𝑦
𝜕𝑦 )
= (
𝑒 𝑦
𝑥𝑒 𝑦
0 𝑒 𝑦 )
Le jacobienne de cette matrice
det 𝐽(𝜑) = det (
𝑒 𝑦
𝑥𝑒 𝑦
0 𝑒 𝑦 )
det 𝐽(𝜑) = 𝑒2𝑦
∀𝑥
det 𝐽(𝜑) ne s’annule pas dans ℝ2
∀𝑥 et ∀𝑦. Alors 𝜑 est un 𝐶1
−difféomorphisme.
Soit 𝑢 = 𝑥𝑒 𝑦
et 𝑣 = 𝑒 𝑦
implique 𝑥 =
𝑢
𝑣
et 𝑦 = ln 𝑣
𝜑(𝑥, 𝑦) = (𝑢, 𝑣)
𝜑−1(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦)
𝜑−1(𝑢, 𝑣) = (
𝑢
𝑣
, ln 𝑣)
C’est l’application réciproque de 𝜑.
Exercice 4.
Monter que ℂ1
≅ ℝ2
, conclure que ℂ 𝑛
≅ ℝ 𝑛+1

33. 32
Réponse.
Soit un élément complexe 𝑧1 ∈ ℂ1
tel que 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑥2
ℂ1
= {𝑧1 ∈ ℂ}
Egalement puisque 𝑧1 varié selon la variation de deux nombres réels 𝑧1 ∝ (𝑥1, 𝑥2)
Alors ℂ1
= {(𝑥1, 𝑥2) ∈ ℝ2} ce qui nous montre que ℂ1
est isomorphe à ℝ2
et on écrit
ℂ1
≅ ℝ2
De même pour et par l’homogénéité des calculs on peut conclure ℂ 𝑛
≅ ℝ 𝑛+1
Exercice 5.
Monter que 𝕊 𝑛
{(0, … ,0,1)} ≅ ℝ 𝑛
pour 𝑛 ≥ 1
Réponse.
Soit l’application du nord 𝜑 𝑁: 𝑈 𝑁 = 𝕊 𝑛
− {𝑁} ou 𝜑 𝑁: 𝕊 𝑛
{(0, … ,0,1)} → ℝ 𝑛
définit
par
𝜑 𝑁(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛+1) = (
𝑥1
1 − 𝑥 𝑛+1
,
𝑥2
1 − 𝑥 𝑛+1
, … ,
𝑥 𝑛
1 − 𝑥 𝑛+1
)
𝜑 𝑁(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛+1) =
1
1 − 𝑥 𝑛+1
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛)
On cherche l’inverse de 𝜑 en posant 𝑡𝑖 =
𝑥 𝑖
1−𝑥 𝑛+1
𝑖 = 1, … , 𝑛 + 1
𝜑 𝑁
−1(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛) =
1
1 + ‖𝑡‖2
(2𝑡1, … , 2𝑡 𝑛, ‖𝑡‖2
− 1)
L’application𝜑 𝑁: 𝕊 𝑛
{(0, … ,0,1)} → ℝ 𝑛
est bijective, continue ainsi que sa
réciproque. Alors 𝜑 𝑁 est un homéomorphisme. Donc 𝕊 𝑛
{(0, … ,0,1)} ≅ ℝ 𝑛

34. 33
Exemples des variétés
La sphère unitaire ∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 = 1
Ellipsoïde unitaire ∑ 𝛼𝑖 𝑥𝑖
2
𝑖 = 1
Cône 𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑧2
= 0
Hyperboloïde a une nappe
𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑧2
= 1

35. 34
Chapitre 3
Espaces tangents et cotangent aux
variétés
Notion : Fibré tangent, Espace dual, base locale, L’espace tangent à une sous-variété de 𝑅 𝑛
3.1 Fibré tangent et Fibré cotangent
3.1.1 Définition
On appelle fibré tangent 𝑇𝑀 sur une variété différentiable M de dimension m
l’union disjointe des espaces tangents 𝑇𝑥 𝑀 aux points x
𝑻𝑴 = ⋃ 𝑻 𝒙 𝑴
𝒙∈𝑴
On appelle fibré cotangent 𝑇∗
𝑀sur une variété différentiable M de dimension m
l’union disjointe des espaces cotangents 𝑇𝑥
∗
𝑀
𝑻∗
𝑴 = ⋃ 𝑻 𝒙
∗
𝑴
𝒙∈𝑴
3.1.2 Espace tangent et Espace cotangent
L’espace tangent de M au point x noté 𝑇𝑥 𝑀 muni d’une base
𝒆 𝜶 =
𝜕
𝜕𝒙 𝜶
Et tous les vecteurs dans cette espace s’écrivent toujours dans cette base
𝑽 = 𝑽 𝜶
𝜕
𝜕𝒙 𝜶
Exemple : tous les formes de la géométrie Riemannienne s’écrivent dans cette
base.
L’espace cotangent de M au point x noté 𝑇𝑥
∗
𝑀 est un espace dual de 𝑇𝑥 𝑀 c’est-à-
dire est l’ensemble des formes linéaires et continués sur 𝑇𝑥 𝑀, l’espace cotangent
muni de la base suivante

36. 35
𝒆 𝜷
= 𝒅𝒙 𝜷
Avec < 𝑒 𝛽
, 𝑒 𝛼 >= 𝛿 𝛼
𝛽
vérifiant bien la relation d’ortho-normalisation.
Et tous les vecteurs dans cette espace s’écrivent toujours dans cette base
𝑽 = 𝑽 𝜷 𝒅𝒙 𝜷
Exemple : tous les formes des formes différentielles s’écrivent dans cette base.
3.1.3 Application tangente
3.1.3.1 Définition
Soit une variété M muni d’un espace tangent au point 𝑥0
et N une autre variété. On appelle l’application tangente de 𝑓: 𝑀 → 𝑁,
l’application linéaire 𝑇𝑥0
𝑓: 𝑇𝑥0
𝑀 → 𝑇𝑓(𝑥0) 𝑁, définie par 𝑇𝑓(𝑣) = 𝑇𝑥0
𝑓(𝑣) pour tout
𝑣 ∈ 𝑇𝑥0
𝑀, c’est-à-dire l’application 𝑇𝑓 nous permet de construire à partir d’un
espace tangent à variété M en 𝑥0 un autre espace tangent dans autre variété N
au point 𝑓(𝑥0).
3.1.3.1 Propriétés
Soit M, N et L trois variétés de classe-1, et les applications définissent par
(𝑓: 𝐿 → 𝑀 , 𝑔: 𝑀 → 𝑁) ∈ 𝐶1
On a
𝑇𝑥0
(𝑔𝑜𝑓) = (𝑇𝑓(𝑥0) 𝑔)𝑜𝑇𝑥0
(𝑓)
𝑇𝑥0
(𝛼𝑓 + 𝑔) = 𝛼𝑇𝑥0
𝑓 + 𝑇𝑥0
𝑔 𝛼 ∈ ℝ
𝑇𝑥0
(𝑓𝑔) = 𝑔(𝑥0)𝑇𝑥0
𝑓 + 𝑓(𝑥0)𝑇𝑥0
𝑔
3.2 Champs de vecteurs
3.2.1 Définition
Un champ de vecteur sur un ouvert U de M est une vecteur 𝑋: 𝑀 → 𝑇𝑀 du fibré
tangent sur la variété M. on note 𝔛(𝑀) l’ensemble des champs de vecteurs sur M,
𝔛(𝑀) est un espace vectoriel sur ℝ .

37. 36
Tout champ de vecteur 𝑋 sur une base locale 𝑥 𝑖
→
𝜕
𝜕𝑥 𝑖 , 𝑖 = 1 … 𝑚 dans un ouvert U
sur la variété M de classe ∁∞
s’exprime alors
𝑋 = ∑ 𝑋 𝑖
𝑚
𝑖=1
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
= 𝑋 𝑖
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
= 𝑋 𝑖
𝜕𝑖
Autour d’un point 𝑥 on peut former un espace tangent des champs de vecteurs 𝑋.
Un champ de vecteur X tangent à la variété M au point 𝑥0 est une forme linéaire.
Soit U un ouvert autour de 𝑥0 et les deux applications 𝑓: 𝑈𝑓 → ℝ et 𝑔: 𝑈𝑔 → ℝ
Pour tout 𝑋, 𝑌 ∈ 𝔛( 𝑀) on a les propriétés suivantes
(𝑋 + 𝑌)𝑓 = 𝑋(𝑓) + 𝑌(𝑓)
(𝛼𝑋)𝑓 = 𝛼𝑋(𝑓)
𝑋(𝑓𝑔) = 𝑓(𝑥0)𝑋(𝑔) + 𝑋(𝑓)𝑔(𝑥0)
𝑋(𝛼𝑓 + 𝑔) = 𝛼𝑋(𝑓) + 𝑋(𝑔)
Pour 𝛼 ∈ ℝ.
L’ensemble des champs de vecteurs tangents à variété M vérifié par ces
propriétés est un ℝ-espace vectoriel noté 𝑇𝑥0
𝑀 est un espace tangent à la variété
M en point 𝑥0.
L’espace tangent 𝑇𝑥0
𝑀 est muni d’une base d’un système de coordonnées sous
Forme des opérateurs de dérivée en 𝑥0 sur (𝑈, (𝑥1, … , 𝑥 𝑛))
(𝜕1, … , 𝜕 𝑛)
Tout champ de vecteur s’applique sur une application 𝑓 s’écrit
𝑋(𝑓) = ∑ 𝑋(𝑥𝑖)
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
(𝑥0)
𝑋(𝑓) = ∑ 𝑋(𝑥𝑖)𝜕𝑖|𝑥0
𝑛
𝑖=1
𝑓
Alors
𝑋 = ∑ 𝑋(𝑥𝑖)𝜕𝑖|𝑥0
𝑛
𝑖=1

38. 37
On voit bien que {𝜕𝑖} forme un système de base de 𝑇𝑥0
𝑀.
Soit (𝑈, 𝜑 = (𝑥1, … , 𝑥 𝑛)) une carte en 𝑥0. On définit un 𝑛 champ de vecteurs de la
base sous forme de dérivation 𝜕𝑖=1,…,𝑛.
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑖
(𝑥0) = 𝜕𝑖|𝑥0
𝑓 = 𝑑(𝑓𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0)|𝑒 𝑖
Pour tout 𝑓: ℝ 𝑛
→ ℝ et 𝑒𝑖=1,…,𝑛 est la base canonique de ℝ 𝑛
Si𝜕𝑖|𝑥0
𝑓 = 0 on dit que 𝑓 est plat en 𝑥0.
Soit un système des scalaires (𝛼1, … , 𝛼 𝑛) vérifiant
∑ 𝛼𝑖
𝑛
𝑖=1
𝜕𝑖|𝑥0
= 0
Et 𝜕𝑖|𝑥0
𝑥 𝑗
= 𝛿𝑖𝑗 / 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 alors 𝛼𝑖 = 0 , 𝑖 = 1, . . , 𝑛 par conséquent le système est
libre, ce qui prouve que les dérivations 𝜕𝑖|𝑥0
forme un système de cordonnées
(𝑥1, … , 𝑥 𝑛) en 𝑥0 dans l’espace tangent.
3.2.2 Lois de transformation
Soit par la suite deux systèmes de coordonnées :
Définit sur un ouvert 𝑈 en 𝑥0 sur système de coordonnées
𝜑 = (𝑥1, … , 𝑥 𝑛)
Définit sur un ouvert 𝑈 en 𝑥0 sur système de coordonnées
𝛾 = (𝑦1, … , 𝑦𝑛)
On pose
𝜕
𝜕𝑥 𝑖 = 𝜕 𝑥 𝑖 et
𝜕
𝜕𝑦 𝑖 = 𝜕 𝑦 𝑖
𝑥0
𝑀
𝑇𝑥0
𝑀
𝑋 𝑓

39. 38
On a 𝜕 𝑥 𝑖 𝑓 = 𝑑(𝑓𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0) = 𝑑(𝑓𝑜𝛾−1
𝑜𝛾𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0)|𝑒 𝑖
𝜕 𝑥 𝑖 𝑓 = 𝑑(𝑓𝑜𝛾−1
) 𝛾(𝑥0) 𝑑(𝛾𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0)|𝑒 𝑖
D’autre part on a
𝑑(𝛾𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0)|𝑒 𝑖
= 𝑑((𝑦1, … , 𝑦𝑛)𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0)|𝑒 𝑖
= 𝑑((𝑦1, … , 𝑦𝑛)𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0)|𝑒 𝑖
= (𝑑(𝑦1 𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0), … , 𝑑(𝑦𝑛 𝑜𝜑−1
) 𝜑(𝑥0)|𝑒 𝑖
)
= (
𝜕𝑦1
𝜕𝑥 𝑖
(𝑥0), … ,
𝜕𝑦𝑛
𝜕𝑥 𝑖
(𝑥0))
= (𝜕 𝑥 𝑖 𝑦1, … , 𝜕 𝑥 𝑖 𝑦𝑛)
= ∑ 𝜕 𝑥 𝑖 𝑦𝑗
𝑛
𝑗=1
(𝑥0)|𝑒𝑗
On continue les calculs de départ
𝜕 𝑥 𝑖 𝑓 = ∑ 𝜕 𝑥 𝑖 𝑦𝑗
𝑛
𝑗=1
(𝑥0)|𝑒𝑗 𝑑(𝑓𝑜𝛾−1
) 𝛾(𝑥0)
𝜕 𝑥 𝑖 𝑓 = ∑ 𝜕 𝑥 𝑖 𝑦𝑗
𝑛
𝑗=1
(𝑥0)|𝑒𝑗 𝜕 𝑦 𝑗 𝑓
Par ceci on obtient ainsi les lois de transformations du système de coordonnées
locales
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
= ∑
𝜕𝑦 𝑗
𝜕𝑥 𝑖
𝑛
𝑗=1
𝜕
𝜕𝑦 𝑗
𝜕
𝜕𝑦 𝑖
= ∑
𝜕𝑥 𝑗
𝜕𝑦 𝑖
𝑛
𝑗=1
𝜕
𝜕𝑥 𝑗
3.2.3 Espace tangent muni d’un crochet de Lie
Les champs de vecteur 𝑋(𝑀) forment une algèbre de Lie agissant sur une
application 𝑓 ∈ ∁∞
, définissent le crochet

40. 39
[𝑋, 𝑌]𝑓 = 𝑋(𝑌𝑓) − 𝑌(𝑋𝑓)
Ce crochet est la forme d’une dérivée.
Proposition.
Soit X, Y et Z champs de vecteurs sur ℝ 𝑛
,on a
[𝑋, 𝑋] = 0
[𝑋, [𝑌, 𝑍]] + [𝑌, [𝑍, 𝑋]] + [𝑍, [𝑋, 𝑌]] = 0
Lemme de Schwartz
Soit 𝑓: 𝑀 → ℝ une application de classe 𝐶∞
𝜕2
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗
𝑓 =
𝜕2
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖
𝑓
Exercices.
1- En utilisant l’expression locale des champs 𝑋 = 𝑋 𝑖
𝜕𝑖 et 𝑌 = 𝑌 𝑖
𝜕𝑖 montrer
que
[𝑋, 𝑌] = (𝑋 𝑖
𝜕𝑖 𝑌 𝑗
− 𝑌 𝑖
𝜕𝑖 𝑋 𝑗
)𝜕𝑗
Réponse.
[𝑋, 𝑌]𝑓 = 𝑋 𝑖
𝜕𝑖(𝑌 𝑗
𝜕𝑗 𝑓) − 𝑌 𝑗
𝜕𝑗(𝑋 𝑖
𝜕𝑖 𝑓)
[𝑋, 𝑌]𝑓 = 𝑋 𝑖
𝜕𝑖(𝑌 𝑗
)𝜕𝑗 𝑓 + 𝑋 𝑖
𝑌 𝑗
𝜕𝑖 𝜕𝑗 𝑓 − 𝑌 𝑗
𝜕𝑗(𝑋 𝑖
)𝜕𝑖 𝑓 − 𝑌 𝑗
𝑋 𝑖
𝜕𝑗 𝜕𝑖 𝑓
En utilisant le changement d’indice on trouve
[𝑋, 𝑌]𝑓 = (𝑋 𝑖
𝜕𝑖 𝑌 𝑗
− 𝑌 𝑖
𝜕𝑖 𝑋 𝑗
)𝜕𝑗 𝑓
2- Montrer que
[𝑋𝑓, 𝑌] = 𝑓[𝑋, 𝑌] − 𝑌(𝑓)𝑋
Réponse. En utilisant les expressions locales 𝑋 = 𝑋 𝑖
𝜕𝑖 et 𝑌 = 𝑌 𝑖
𝜕𝑖
On a
[𝑓𝑋, 𝑌] = (𝑓𝑋 𝑖
𝜕𝑖 𝑌 𝑗
− 𝑌 𝑖
𝜕𝑖 𝑓𝑋 𝑗
)𝜕𝑗
[𝑓𝑋, 𝑌] = (𝑓𝑋 𝑖
𝜕𝑖 𝑌 𝑗
− 𝑌 𝑖
𝑓𝜕𝑖 𝑋 𝑗
− 𝑌 𝑖(𝜕𝑖 𝑓)𝑋 𝑗
)𝜕𝑗
[𝑓𝑋, 𝑌] = 𝑓(𝑋 𝑖
𝜕𝑖 𝑌 𝑗
− 𝑌 𝑖
𝜕𝑖 𝑋 𝑗
)𝜕𝑗 − −𝑌 𝑖(𝜕𝑖 𝑓)𝑋 𝑗
𝜕𝑗
[𝑓𝑋, 𝑌] = 𝑓[𝑋, 𝑌] − 𝑌(𝑓)𝑋

41. 40
3.3 Groupe
3.3.1 Groupe de Lie
Un groupe de Lie (𝐺,×) est une variété différentiable de classe 𝐶∞
et de
dimension 𝑛.muni d’une application (𝑥, 𝑦) → 𝑥. 𝑦 ∶ 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 avec 𝑥, 𝑦 sont
inversibles. Le produit d’un groupe de Lie G de dimension 𝑛 avec un autre groupe
de Lie Q de dimension 𝑚, est un groupe de Lie G×Q de dimension 𝑛 × 𝑚.
Théorème de Chevalley
Tout sous-groupe fermé 𝐻 d’un groupe de Lie 𝐺 est un sous-groupe de Lie de 𝐺.
Théorème d’Ado
Toute algèbre de Lie de dimension finie sur un corps 𝐾 de caractéristique nulle
est isomorphe à une algèbre de Lie de matrices.
Le groupe linéaire générale des matrices carrées 𝑔 s’écrit
𝐺𝐿(𝑛, ℝ) = {𝑔 ∈ ℝ 𝑛×𝑛|det 𝑔 ≠ 0}
Exemple : le groupe linéaire spécial
𝑆𝐿(𝑛, ℝ) = {𝑔 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ)|det 𝑔 = 1}
Exercice.
Soit deux groupes de lie
𝑈(𝑛) = {𝐴 ∈ 𝐺𝐿(ℝ, 𝑛)| 𝐴𝐴+
= 𝐴+
𝐴 = 𝑖𝑑 }
𝑆𝑈(𝑛) = {𝐴 ∈ 𝐺𝐿(ℂ, 𝑛)|det 𝐴 = 1 }
Avec A une matrice carrée de rang n.
1- Monter que 𝑈(1) ≅ 𝕊1
2- Monter que 𝑆𝑈(2) ≅ 𝕊3
Réponse.
1- Pour n=1 on a 𝑈(1) = {𝐴 ∈ 𝐺𝐿(ℝ, 1)| 𝐴𝐴+
= 𝐴+
𝐴 = 𝑖𝑑 𝑛 } dans ce cas A n’est
plus une matrice mais c’est un nombre.
D’autre part la sphère 𝕊1
s’écrit 𝕊1
= {𝑒 𝑖𝜃
, 𝜃 ∈ [0,2𝜋]2𝜋}, 𝑒 𝑖𝜃
est un nombre
et de plus 𝑒 𝑖𝜃
× (𝑒 𝑖𝜃
)
+
= 𝑒 𝑖𝜃
𝑒−𝑖𝜃
= 1 = 𝑖𝑑1 alors 𝑈(1) ≅ 𝕊1
.
2- Pour n=2 on a 𝑆𝑈(2) = {𝐴 ∈ 𝐺𝐿(ℂ, 2)|det 𝐴 = 1 } dans ce cas A une matrice
carré de rang 2 avec des éléments complexes tel que
𝐴 = (
𝑎 𝑏
−𝑏∗
𝑎∗)

42. 41
Avec 𝑎 = 𝑥1 + 𝑖𝑥2 et 𝑏 = 𝑥3 + 𝑖𝑥4
On a det 𝐴 = 𝑎𝑎∗
+ 𝑏𝑏∗
= 1
On trouve une équation d’une sphère à 4 dimension
det 𝐴 = 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥3
2
+ 𝑥4
2
= 1
𝑆𝑈(2) ≅ 𝕊3
3.3.2 Groupe avec un paramètre
3.3.2.1 Définition
Soit 𝑀 une variété différentiable de dimension 𝑛 définit par un atlas (𝑈𝑖, 𝜑𝑖).
Et une application différentiable 𝜙: ℝ × 𝑀 → 𝑀 satisfait aux propriétés
suivantes :
Pour tout𝛼 ∈ ℝ, l’application 𝜙 𝛼 difféomorphisme de la variété M, définie par :
𝜙 𝛼: 𝑥 → 𝜙(𝛼, 𝑥)
Soit 𝐷𝑖𝑓𝑓(𝑀) l’ensemble des difféomorphismes de la variété M. Alors
𝛼 → 𝜙 𝛼
Est un homomorphisme de (𝐷𝑖𝑓𝑓(𝑀)) 𝑜 vers (ℝ)+, soit deux scalaires (𝛼, 𝛽) ∈ ℝ
𝜙 𝛼 𝑜𝜙 𝛽 = 𝜙 𝛼+𝛽
𝜙 𝛼
−1
= 𝜙−𝛼
𝜙0 = 𝑖𝑑(𝑀)
Exemple.
Soit 𝑀 = ℝ3
et 𝜙: ℝ × ℝ3
→ ℝ3
l’application
𝜙(𝛼, (𝑥, 𝑦, 𝑧)) = (𝛼 − 𝑦 + 𝑥, 𝑦, 𝑧)
Est un groupe à un paramètre de difféomorphisme de 𝑀 = ℝ3
Exercice.
1- Monter que 𝜙 𝛼 𝑜𝜙 𝛼
−1
= 𝑖𝑑(𝑀)
2- On définit la puissance composé d’une application par 𝜙 𝛼
𝛾
: = (𝜙 𝛼) 𝑜(𝛾)
Montrer que (𝜙 𝛼) 𝑜(𝛾)
= 𝜙 𝛼𝛾 et que (𝜙 𝛼) 𝑜(𝛾)
≔ 𝜙 𝛼 𝑜 … 𝑜𝜙 𝛼⏟
𝛾 𝑓𝑜𝑖𝑠
3- Monter la symétrie (𝜙 𝛼) 𝑜(𝛾)
= (𝜙 𝛾)
𝑜(𝛼)

43. 42
4- Soit |𝛼| < 𝜀 monter pour que |
𝛼
𝛽
| < 𝜀 la formule 𝜙 𝛼 = (𝜙 𝛼
𝛽
)
𝑜(𝛽)
Réponse
1-
𝜙 𝛼 𝑜𝜙−𝛼 = 𝜙0
𝜙 𝛼 𝑜𝜙 𝛼
−1
= 𝑖𝑑(𝑀)
2-
𝜙 𝛼𝛾 = 𝜙 𝛼+⋯+𝛼⏟
𝛾 𝑓𝑜𝑖𝑠
𝜙 𝛼𝛾 = 𝜙 𝛼 𝑜 … 𝑜𝜙 𝛼⏟
𝛾 𝑓𝑜𝑖𝑠
𝜙 𝛼𝛾 = 𝜙 𝛼 𝑜 … 𝑜𝜙 𝛼⏟
𝛾 𝑓𝑜𝑖𝑠
𝜙 𝛼𝛾 = (𝜙 𝛼) 𝑜(𝛾)
Puisque 𝛼, 𝛾 ∈ ℕ
3-
On a (𝜙 𝛼) 𝑜(𝛾)
= 𝜙 𝛼 𝑜 … 𝑜𝜙 𝛼⏟
𝛾 𝑓𝑜𝑖𝑠
= 𝜙 𝛾 𝑜 … 𝑜𝜙 𝛾⏟
𝛼 𝑓𝑜𝑖𝑠
= (𝜙 𝛾)
𝑜(𝛼)
4- 𝜙 𝛼 = 𝜙 𝛼
𝛽
𝛽
= 𝜙 𝛼
𝛽
𝛽 = 𝜙 𝛼
𝛽
𝑜 … 𝑜𝜙 𝛼
𝛽
= (𝜙 𝛼
𝛽
)
𝑜(𝛽)
3.4 Applications des champs
3.4.1 Pull back et push forward de 𝝓
Soit 𝜙 une application d’une variété N vers une variété M, avec l’inverse 𝜙−1
,
pour les éléments 𝑥 ∈ 𝑀 et 𝑦 ∈ 𝑁 et deux champs 𝑋 ∈ 𝔛(𝑀) et 𝑌 ∈ 𝔛(𝑁) on définit
Le pull back de 𝜙 est 𝜙∗
: 𝔛(𝑀) → 𝔛(𝑁) tel que
(𝜙∗
𝑋)(𝑦) ≔ 𝑑𝜙 𝑦
−1
(𝑋 𝜙 𝑦
)
Le push forward de 𝜙 est 𝜙∗: 𝔛(𝑁) → 𝔛(𝑀) tel que
(𝜙∗ 𝑌)(𝑥) ≔ 𝑑𝜙 𝑦
−1
(𝑋 𝑦)

44. 43
Propriété
Soit 𝜙 une application entre deux variétés différentiables, et 𝑓 une application
𝜙∗
𝑓 = 𝑓𝑜𝜙
3.4.2 Flots
Une courbe 𝑐(𝑡): 𝐼 → 𝑀 qui passe par un point 𝑥 de la variété 𝑀 tel que 𝑐(0) = 𝑥
𝑐(𝑡) dit intégrale si pour chaque champs 𝑋 ∈ 𝔛(𝑀) on a
𝜕𝑐(𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑋𝑐(𝑡)
En coordonnées locales 𝑥̇ 𝑖(𝑡) = 𝑋 𝑖
(𝑥1(𝑡), … , 𝑥 𝑛(𝑡)) 𝑖 = 1, … , 𝑛
Le flot est une application noté 𝜙 𝑋
, qui représente chaque champ 𝑋 ∈ 𝔛(𝑀) vers
une variété M par
𝜙 𝑋
: ℝ → 𝐷𝑖𝑓𝑓(𝑀)
𝑡 → 𝜙 𝑋
Définie en chaque point 𝑥 ∈ 𝑀 par
𝜙 𝑡
𝑋
(𝑥) ≔ 𝑐(𝑡) 𝜙0
𝑋
(𝑥) ≔ 𝑐(0) = 𝑥
Avec 𝑐(𝑡) est une courbe intégrale qui passe par 𝑥
On utilise l’équation définie précédemment de 𝑐(𝑡) on trouve par suite
𝜕𝜙 𝑡
𝑋
(𝑥)
𝜕𝑡
= 𝑋𝑐(𝑡)
L’application exponentielle est définie sur un élément d’algèbre de Lie 𝑋 ⊂ 𝔤 et
vers le groupe de Lie 𝐺 𝑒𝑥𝑝: 𝔤 → 𝐺 par
𝑑
𝑑𝑡
exp 𝑡𝑋 = 𝑋
𝑔 exp(𝑡𝑋) : = 𝜙 𝑡
𝑋
(𝑔)
exp(𝑢𝑋) exp(𝑣𝑋) = exp((𝑢 + 𝑣)𝑋)
Lemme
Le flot d’un champ X est un groupe à paramètre qui vérifié

45. 44
𝜙 𝑡
𝑋
= 𝑖𝑑(𝑀)
𝜙 𝑢
𝑋
𝑜𝜙 𝑣
𝑋
= 𝜙 𝑢+𝑣
𝑋
Preuve.
3.4.3 Dérivée de Lie
Considérons une variété différentiable (𝑀, 𝐴) de dimension 𝑛.
Soit 𝑋 ∈ 𝔛(𝑀) et 𝑌 ∈ 𝔛(𝑀) deux champs dans l’espace tangent de cette variété
Pour le champ de vecteurs 𝑋 on définit un flot local 𝜙 𝑡
𝑋
de 𝑋 au voisinage ouvert
𝑈 autour d’un point 𝑥 ∈ 𝑀, on définit alors la dérivée de Lie par rapport à 𝑋 par
𝐿 𝑋: 𝔛(𝑀) → 𝔛(𝑀)
𝐿 𝑋 𝑌 = [𝑋, 𝑌]
𝐿 𝑋 𝑌 ≔ lim
𝑡→0
((𝜙 𝑡
𝑋
)
∗
𝑌) 𝑥
− 𝑌𝑥
𝑡
Avec 𝜙 𝑡
𝑋
: 𝑀 → 𝑀 et (𝜙 𝑡
𝑋
)
∗
: 𝔛(𝑀) → 𝔛(𝑀)
Propositions
Soient 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔛(𝑀) et 𝑓 une application différentiable, on a les propriétés
suivantes :
𝐿 𝑋 𝑌 =
𝑑
𝑑𝑡
((𝜙 𝑡
𝑋
)
∗
𝑌) 𝑡=0
𝐿 𝑋+𝑌 𝑍 = 𝐿 𝑋 𝑍 + 𝐿 𝑌 𝑍
𝐿 𝑓𝑋 𝑍 = 𝑓𝐿 𝑋 𝑍 + 𝑑𝑓 ∧ 𝑖(𝑋)𝑍
[𝐿 𝑋, 𝐿 𝑌]𝑍 = 𝐿[𝑋,𝑌] 𝑍
[𝐿 𝑋 𝑖(𝑌)]𝑍 = 𝑖([𝑋, 𝑌])𝑍
𝑓∗
𝐿 𝑋 𝑍 = 𝐿 𝑋 𝑓∗
𝑍
Avec 𝑖(𝑋) est le produit intérieur (voir chapitre 4).

46. 45
Exercices
Exercice1.
Considérons les champs de vecteurs 𝑉 = 𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕
𝜕𝑦
et 𝑊 = 𝑥
𝜕
𝜕𝑦
− 𝑦
𝜕
𝜕𝑥
,définis sur
ℝ2
,
1. Les champs de vecteurs 𝑉 et 𝑊 forment-il une base d'une algèbre de Lie ? Si
oui, quel type d'algèbre de Lie ?
2. Exprimer les deux champs de vecteurs en coordonnées polaires.
3. Calculer le crochet de Lie des deux champs exprimés en coordonnés polaires.
Comparer avec le résultat de 1.
Exercice2.
Soient 𝑈 =
𝑑
𝑑𝑥
, 𝑉 = 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
et 𝑊 = 𝑥2 𝑑
𝑑𝑥
Des champs de vecteurs sur ℝ.
1- Montrer que ces champs de vecteurs forment une algèbre de Lie sous le
commutateur.
2- Trouver la représentation adjointe de cette algèbre.
3- Trouver la forme de Killing.
4- Trouver l'opérateur de Casimir.

47. 46
Chapitre 4
Formes différentielles
Notion : espace cotangent, le produit extérieur, le produit intérieur, la dérivée extérieure et la dérivée de Lie.
La forme différentielle est un être mathématique multilinéaires alternées sur
les espaces tangents d'une variété différentielle de dimension n .
La différentielle d'une fonction peut être regardée comme un champ de formes
linéaires : c'est le premier exemple de formes différentielles. Au-delà de cet
exemple on va voir plusieurs champs multilinéaires dont le degré p est appelé p-
forme.
Les formes différentielles permettent de définir des structures importantes,
comme les formes volumes, les formes symplectiques, les formes de contact ou
encore les connexions…
La manipulation des formes différentielles fait intervenir un certain nombre
d'opérations, dont le produit extérieur, le produit intérieur, la dérivée
extérieure et la dérivée de Lie. En particulier, la dérivée extérieure permet de
distinguer les formes fermées et les formes exactes. Cette distinction permet dans
un second temps de définir les espaces de cohomologie de De Rham.
Définition 1
Soit 𝑻 𝒒
𝒑
un tenseur de type (𝒑, 𝒒) s’écrit dans les bases d’espace tangent et
cotangent
𝑻 𝒒
𝒑
= 𝑻 𝜷1…𝜷 𝒒
𝜶1…𝜶 𝒑 𝜕
𝜕𝒙 𝜶1
⨂ ⋯ ⨂
𝜕
𝜕𝒙 𝜶 𝒑
⨂𝒅𝒙 𝜷1⨂ ⋯ ⨂𝒅𝒙 𝜷 𝒒
Définition 2
On définit le produit extérieur ∧ dans l’espace cotangent par le tenseur
antisymétrique
𝑑𝑥 𝛼
∧ 𝑑𝑥 𝛽
=
1
2
(𝑑𝑥 𝛼
⨂𝑑𝑥 𝛽
− 𝑑𝑥 𝛽
⊗ 𝑑𝑥 𝛼
)
𝑑𝑥 𝛼
∧ 𝑑𝑥 𝛼
= 0
𝑑𝑥 𝛼
∧ 𝑑𝑥 𝛽
= −𝑑𝑥 𝛽
∧ 𝑑𝑥 𝛼

48. 47
Définition 3
Les éléments qui s’écrivent de cette façon 𝝎 = 𝒂 𝜷1…𝜷 𝒑
𝒅𝒙 𝜷1 ∧ ⋯ ∧ 𝒅𝒙 𝜷 𝒑 s’appelle : p-
Forme différentielle, si les 𝒂 𝜷1…𝜷 𝒑
sont différentiables.
Définition 4
Soit 𝑴 une variété différentiable de dimension n et de classe, et soit 𝑻∗
𝑴 est fibré
cotangent des espaces tangents 𝑻 𝒙
∗
𝑴 à la variété
4.1 p-forme différentielle
Soit 𝑥 ∈ 𝑀 et 𝜔 ∈ Λ 𝑝
(𝑇𝑥
∗
𝑀) avec 𝜔: 𝑀 → Λ 𝑝(𝑇∗
𝑀), avec Λ 𝑝
(𝑇∗
𝑀) = ⋃ Λ 𝑝(𝑇𝑥
∗
𝑀)𝑥∈𝑀
Aussi il faut savoir que 𝑥𝜊𝜔 = 𝐼𝑑. Soit l’application Λ qui vérifié
(𝑎, 𝑏) → 𝑎 ∧ 𝑏 ∶ Λ 𝑝
(𝑇𝑥
∗
𝑀) × Λ 𝑞
(𝑇𝑥
∗
𝑀) → Λ 𝑝+𝑞
(𝑇𝑥
∗
𝑀)
Soit 𝑎 une p-forme, 𝑏 une q-forme et 𝑐 une r-forme :
(𝑎 ∧ 𝑏)𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐)
𝑎 ∧ 𝑏 = (−1) 𝑝𝑞
𝑏 ∧ 𝑎
𝑎 ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∧ 𝑏 + 𝑎 ∧ 𝑐 𝑠𝑖 𝑞 = 𝑟
4.2 Base de calculs des formes différentielles
On change la notation pour bien simplifier les calculs, soit 𝑑𝑥 𝛽1 ≔ 𝑑1.
4.2.1 une seule itération 𝚲 𝒑
Soit 𝑑𝑥 𝛽𝑖 ≔ 𝑑𝑖 ∈ Λ 𝑝
Pour l’espace Λ1
𝑑1 = +𝑑1
Pour l’espace Λ2
𝑑1 ∧ 𝑑2 = −𝑑2 ∧ 𝑑1 → (−1) 1
= +𝑑1 ∧ 𝑑2 → (−1) 𝑝=2
Pour l’espace Λ 𝑝=3
𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑3 = −𝑑1 ∧ 𝑑3 ∧ 𝑑2 → (−1)1
= +𝑑3 ∧ 𝑑1 ∧ 𝑑2 → (−1)2

49. 48
= −𝑑3 ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑1 → (−1) 𝑝=3
Généralement pour l’espace Λ 𝑝
𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ … ∧ 𝑑 𝑝 = (−1) 𝑝
𝑑 𝑝 ∧ 𝑑 𝑝−1 ∧ … ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑1
4.2.2 deux itérations 𝚲 𝒑
× 𝚲 𝒒
Soient 𝑑𝑥 𝛽𝑖 ≔ 𝑑𝑖 ∈ Λ 𝑝
et 𝑑𝑥 𝛼 𝑗 ≔ 𝜎𝑗 ∈ Λ 𝑞
de deux formes différentes.
Pour l’espace Λ 𝑝=2
× Λ 𝑞=1
𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝜎1 = −𝑑1 ∧ 𝜎1 ∧ 𝑑2 → (−1) 1
= +𝜎1 ∧ 𝑑1 ∧ 𝑑2 → (−1) 2×1
Pour l’espace Λ2
× Λ2
𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝜎1 ∧ 𝜎2 = −𝑑1 ∧ 𝜎1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝜎2 → (−1) 1
= +𝜎1 ∧ 𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝜎2 → (−1) 2
= −𝜎1 ∧ 𝑑1 ∧ 𝜎2 ∧ 𝑑2 → (−1) 3
= +𝜎1 ∧ 𝜎2 ∧ 𝑑1 ∧ 𝑑2 → (−1) 2×2=4
Pour l’espace Λ3
× Λ2
𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑3 ∧ 𝜎1 ∧ 𝜎2 = −𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝜎1 ∧ 𝑑3 ∧ 𝜎2 → (−1)1
= +𝑑1 ∧ 𝜎1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑3 ∧ 𝜎2 → (−1)2
= −𝜎1 ∧ 𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑3 ∧ 𝜎2 → (−1)3
= +𝜎1 ∧ 𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝜎2 ∧ 𝑑3 → (−1)4
= −𝜎1 ∧ 𝑑1 ∧ 𝜎2 ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑3 → (−1)5
= +𝜎1 ∧ 𝜎2 ∧ 𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑3 → (−1) 𝑝×𝑞=6
Pour l’espace Λ 𝑝
× Λ 𝑞
𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ … ∧ 𝑑 𝑝 ∧ 𝜎1 ∧ 𝜎2 ∧ … ∧ 𝜎𝑞 = (−1) 𝑝×𝑞
𝜎1 ∧ 𝜎2 ∧ … ∧ 𝜎𝑞 ∧ 𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ … ∧ 𝑑 𝑝

50. 49
Implique 𝑎(𝑝) ∧ 𝑏(𝑞) = (−1) 𝑝×𝑞
𝑏(𝑞) ∧ 𝑎(𝑝)
4.2.3 l’annihilation extérieure
Soit 𝑑𝑥 𝛽𝑖 ≔ 𝑑𝑖 ∈ Λ 𝑝
et la forme extérieure 𝔏 𝑝 = 𝑑1 ∧ 𝑑2 ∧ … ∧ 𝑑 𝑝, on définit
l’annihilateur de 𝔏 𝑝 par une forme extérieure qui fait disparaitre la forme initial
cette forme annihilateur par 𝔏 𝑝 = 𝑑 𝑝 ∧ 𝑑 𝑝−1 ∧ … ∧ 𝑑2 ∧ 𝑑1 tel que
𝔏 𝑝 ∧ 𝔏 𝑝 = 𝔏 𝑝 ∧ 𝔏 𝑝 = 0
Corollaire
1- 𝔏 𝑝 ∧ 𝔏 𝑝 = 0
2- 𝔏 𝑝 = 𝔏 𝑝
Preuve.
1- On sait 𝔏 𝑝 = (−𝟏) 𝒑
𝔏 𝑝
𝔏 𝑝 ∧ 𝔏 𝑝 = (−𝟏) 𝒑
𝔏 𝑝 ∧ 𝔏 𝑝 = 0
2- 𝔏 𝑝 = (−𝟏) 𝟐𝒑
𝔏 𝑝 = 𝔏 𝑝
Proposition1
On définit le schnorkel extérieur par
𝔏 𝑝
̃(𝑛) = (−𝟏) 𝒏𝒑
𝔏 𝑝 = {
𝔏 𝑝 𝑠𝑖 𝑛 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒.
𝔏 𝑝 𝑠𝑖 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒.
Résultat
𝔏 𝑝 ∧ 𝔏 𝑞 = 𝔏 𝑞
̃(𝑝) ∧ 𝔏 𝑝
Proposition2
La forme extérieure est invariance par la transformation 𝔏 𝑝 → 𝔏 𝑝
̃(𝑞) par
l’application ∧ sur une autre forme 𝔏 𝑞 c’est-à-dire
𝔏 𝑝
̃(𝑞) ∧ 𝔏 𝑞
̃(𝑝) = 𝔏 𝑝 ∧ 𝔏 𝑞
Preuve. (Simple)

51. 50
4.3 Diagrammes de géo-formes
4.3.1 Proposition
L’espace vectoriel Λ 𝑝
(𝑇𝑥
∗
𝑀) (noté aussi Λ 𝑥
𝑝
ou Λp
) ou des p-forme différentielle
contient des éléments de la base 𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑝 et de la dimension
𝑑𝑖𝑚 Λ 𝑥
𝑝
= (
𝑛
𝑝) =
𝑛
𝑝!(𝑛−𝑝)!
Exemple 1
n=2 Possibilité des p-forme Dimension de p-forme
0-Formes fonction différentiable 𝑑𝑖𝑚 𝛬 𝑥
0
= (
2
0
) = 1
1-Formes 𝑑𝑥1
𝑑𝑥2
𝑑𝑖𝑚 𝛬 𝑥
1
= (
2
1
) = 3
2-Formes 𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
𝑑𝑖𝑚 𝛬 𝑥
2
= (
2
2
) = 1
Exemple 2
n=3 Possibilité des p-forme Dimension de p-forme
0-Formes fonction différentiable dim Λ 𝑥
0
= (
3
0
) = 1
1-Formes 𝑑𝑥1
𝑑𝑥2
𝑑𝑥3
dim Λ 𝑥
1
= (
3
1
) = 3
2-Formes 𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥3
𝑑𝑥2
∧ 𝑑𝑥3
dim Λ 𝑥
2
= (
3
2
) = 3
3-Formes 𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
∧ 𝑑𝑥3
dim Λ 𝑥
3
= (
3
3
) = 1

52. 51
4.3.2 Diagrammes de géo-formes
Soit 𝒞 𝑛 un cercle de rayon 𝑟 = 1 dans le plan ℝ2
, on définit sur cette cercle
l’ensemble des points {𝑝1, … , 𝑝 𝑛} tel que l’angle entre chaque deux points
voisinages est la même c’est-à-dire 𝜃 = 𝑝1 𝑝2̂ = 𝑝2 𝑝3̂ = ⋯ = 𝑝 𝑛−1 𝑝 𝑛̂ = 𝑝 𝑛 𝑝1̂, cela peut
nous idée à définir l’ange comme suite 𝜃 =
2𝜋
𝑛
, avec 𝑛 est le nombre des points
sur la cercle 𝒞 𝑛.
on écrit
𝒞 𝑛 = {(𝑝1, … , 𝑝 𝑛) ∈ ℝ2
, 𝑟 = 1, 𝜃 =
2𝜋
𝑛
}
On représente ce cercle géométriquement par
On associer à chaque point 𝑝𝑖 𝑖 =, … , 𝑛, une forme différentielle 𝑑𝑥𝑖 𝑖 =, … , 𝑛.
Généralement pour 𝑛 points on a 𝑛-forme différentielle, autrement dit 𝒞 𝑛 ≅ Λ 𝑝 𝑛
𝑛
Exemple.
Soit l’espace de 3-forme Λ 𝑥
3
, on représente cette espace sur un cercle 𝒞3 par
𝒞3 = {(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3) ∈ ℝ2
, 𝑟 = 1, 𝜃 =
2𝜋
3
}
Géométriquement le cercle est
Pour 1-forme sur 𝓒 𝟑 : 𝒅𝒙 𝟏, 𝒅𝒙 𝟐, 𝒅𝒙 𝟑
⋮
𝑝1
𝑝2
𝑝3
𝑝4𝑝5
𝑝 𝑛
𝑝6
𝜃 𝜃
𝜃
𝜃
𝜃𝜃
𝑑𝑥1
𝑑𝑥2𝑑𝑥3

53. 52
On aura trois possibilité c’est-à-dire trois cercle élémentaire suivantes
Pour cette 1-forme on a trois possibilités i.e. dim Λ1
= (
3
1
) = 3
Pour 2-forme sur 𝓒 𝟑 : 𝒅𝒙 𝟏 ∧ 𝒅𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒙 𝟐 ∧ 𝒅𝒙 𝟑 et 𝒅𝒙 𝟏 ∧ 𝒅𝒙 𝟑
On aura trois possibilité c’est-à-dire trois cercle élémentaire suivantes
Pour cette 2-forme on a trois possibilités i.e. dim Λ2
= (
3
2
) = 3
Pour 3-forme sur 𝓒 𝟑 : 𝒅𝒙 𝟏 ∧ 𝒅𝒙 𝟐 ∧ 𝒅𝒙 𝟑
On aura une seule possibilité c’est-à-dire un seule cercle élémentaire suivante
Pour cette 2-forme on a trois possibilités i.e. dim Λ3
= (
3
3
) = 1.
Proposition1.
Soit dit 𝒞 𝑛 qui représente les formes de Λ 𝑝 𝑛
𝑛
on a
𝑑𝑥1
𝑑𝑥2
𝑑𝑥3
𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2
𝑑𝑥2 𝑑𝑥2
𝑑𝑥1𝑑𝑥1
𝑑𝑥3 𝑑𝑥3
𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3
𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥3
𝑑𝑥1
𝑑𝑥2𝑑𝑥3
𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3

54. 53
𝒞 𝑛 = ⋃ 𝒞𝑖
𝑛
𝑖=1
C’est-à-dire 𝒞 𝑘 ⊂ 𝒞 𝑛; ∀𝑘 < 𝑛
Proposition2.
On définit le cardinale de par 𝒞 𝑘 ∀𝑘 < 𝑛
𝑐𝑎𝑟𝑑 𝒞 𝑘 = 𝑑𝑖𝑚 Λ 𝑘
Exercice1.
Donner la géo-forme de la forme suivante 𝜔 = 𝑎𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3 ∧ 𝑑𝑥4
Réponse : est un cercle de rayon 𝑎 et de 4 points et de 𝜃 =
2𝜋
4
4.4 Produit intérieur
Soit 𝜔 une p-forme différentiable sur Λ 𝑝
= Λ 𝑝
(𝑇𝑥
∗
𝑀), et le champ des vecteur 𝑋 sur
la variété différentiable 𝑀 de dimension 𝑛, on note 𝑖(𝑋)𝜔 le produit intérieur de
champ 𝑋 par 𝜔 est de p-1-forme, on dit aussi que 𝒊 transforme tout p-forme en
une p+1-forme
𝑖(𝑋)𝜔(𝑋1, … , 𝑋 𝑝−1) = 𝜔(𝑋, 𝑋1, … , 𝑋 𝑝)
𝜔 → 𝑖(𝑋)𝜔: 𝛬 𝑝
→ 𝛬 𝑝−1
𝑖: 𝛬 𝑝
→ 𝛬 𝑝−1
Exemple en physique : L’opérateur 𝑎 d’annihilation transforme chaque état |𝑛⟩
vers un état inférieur |𝑛 − 1⟩
Soit le champ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝔛(𝑀) et 𝑓 ∈ Λ0
(de 0 -forme) Vérifié les propriétés :

55. 54
𝑖(𝑋 + 𝑌) = 𝑖(𝑋) + (𝑌)
𝑖(𝑓𝑋) = 𝑓𝑖(𝑋)
𝑖(𝑋)𝑖(𝑌) = −𝑖(𝑌)𝑖(𝑋)
𝑖(𝑋)𝑖(𝑋) = 0
Proposition
Soit 𝑎 une p-forme et b une q-forme on a
𝑖(𝑋)(𝑎 ∧ 𝑏) = (𝑖(𝑋)𝑎) ∧ 𝑏 + (−1) 𝑝
𝑎 ∧ (𝑖(𝑋)𝑏)
Pour un élément de base
𝑖(𝑒 𝑟 𝑘
)(𝑑𝑥 𝑟1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑟 𝑝) = (−1) 𝑘−1
𝑑𝑥 𝑟1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑟 𝑘−1 ∧ 𝑑𝑥 𝑟 𝑘+1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑟 𝑝
On note parfois
𝑖(𝑒 𝑟 𝑘
)(𝑑𝑥 𝑟1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑟 𝑝) = (−1) 𝑘−1
𝑑𝑥 𝑟1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑟 𝑘̂ ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑟 𝑝
𝑖(𝑒 𝑟 𝑘
)(𝑑𝑥 𝑟1 … ∧ 𝑑𝑥 𝑟 𝑘̂ ∧ … 𝑑𝑥 𝑟 𝑝) = 0
Exemple : sur ℝ3
𝑖(𝑒 𝑥⃗⃗⃗ )(𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) = 𝑑𝑦
𝑖(𝑒 𝑥⃗⃗⃗ )(𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥) = −𝑑𝑧
𝑖(𝑒 𝑥⃗⃗⃗ )(𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧) = 0
4.5 Dérivée extérieure
Soit 𝝎 une p-formes différentiable sur Λ 𝑝
⊂ ℝ 𝑛
un ouvert de ℝ 𝑛
autour d’un point
𝑥 et la fonction 𝑓 ∈ Λ0
.
On exprime 𝑎 dans un système des coordonnées (𝑥1, … , 𝑥 𝑛) est
𝑎 = 𝜎𝛽1…𝛽 𝑝
𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑝
En définissant la dérivée extérieure par tout application noté 𝑑 sur un ouvert 𝑈
qui transforme toutes p-forme en une p+1-forme
𝑑: Λ 𝑝
→ Λ 𝑝+1

56. 55
Exemple en physique : L’opérateur 𝑎+
d’annihilation transforme chaque état |𝑛⟩ vers un
état supérieur |𝑛 + 1⟩
L’application de 𝒅 sur la p-forme 𝒂 définit par
𝑑𝑎 = 𝑑𝜎𝛽1…𝛽 𝑝
𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑝
𝑑𝑎 =
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝜎𝛽1…𝛽 𝑝
) 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑝
Soient les deux forme 𝑎 ∈ Λ 𝑝
, 𝑏 ∈ Λ 𝑞
, Vérifié les propriétés :
𝑑(𝑎 + 𝑏) = 𝑑𝑎 + 𝑑𝑏
𝑑(𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑑𝑎 ∧ 𝑏 + (−1) 𝑝
𝑎 ∧ 𝑑𝑏
𝑑2
= 𝑑𝜊𝑑 = 0
Preuve.
Soit 𝑎 = 𝜎 𝛼1…𝛼 𝑝
𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝 ∈ Λ 𝑝
et 𝑏 = 𝜌 𝛽1…𝛽 𝑝
𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑞 ∈ Λ 𝑞
𝑑(𝑎 ∧ 𝑏) =
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝜎 𝛼1…𝛼 𝑝
𝜌 𝛽1…𝛽 𝑝
) 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝 ∧ 𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑞
𝑑(𝑎 ∧ 𝑏) = (
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝜎 𝛼1…𝛼 𝑝
) 𝜌 𝛽1…𝛽 𝑝
+ 𝜎 𝛼1…𝛼 𝑝
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝜌 𝛽1…𝛽 𝑝
)) 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝 ∧ 𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯
∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑞
𝑑(𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑑𝑎 ∧ 𝑏 + (𝜎 𝛼1…𝛼 𝑝
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝜌 𝛽1…𝛽 𝑝
)) 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝 ∧ 𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑞⏟
𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑑(𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑑𝑎 ∧ 𝑏 + (𝜎 𝛼1…𝛼 𝑝
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝜌 𝛽1…𝛽 𝑝
)) (−1) 𝑝
𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑝 ∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯
∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑞
Car nous avons utilisé la base de calculs
𝑑(𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑑𝑎 ∧ 𝑏 + (−1) 𝑝
𝜎 𝛼1…𝛼 𝑝
𝑑𝑥 𝛽1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛽 𝑝 ∧
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝜌 𝛽1…𝛽 𝑝
) 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑞
𝑑(𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑑𝑎 ∧ 𝑏 + (−1) 𝑝
𝑎 ∧ 𝑑𝑏

57. 56
Soit maintenant 𝜔 = 𝑟𝛼1…𝛼 𝑝
𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝 ∈ Λ 𝑝
𝑑𝜔 =
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝑟𝛼1…𝛼 𝑝
) 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝
𝑑𝑜𝑑𝜔 = 𝑑(𝑑𝜔) =
𝜕
𝜕𝑥 𝑗
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝑟𝛼1…𝛼 𝑝
) 𝑑𝑥 𝑗
∧ 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝
Puisque 𝑑𝑥 𝑗
∧ 𝑑𝑥 𝑖
= −𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝑗
𝑑𝑜𝑑𝜔 = −
𝜕
𝜕𝑥 𝑗
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
(𝑟𝛼1…𝛼 𝑝
) 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝑗
∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝
𝑑𝑜𝑑𝜔 = −
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
𝜕
𝜕𝑥 𝑗
(𝑟𝛼1…𝛼 𝑝
) 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝑗
∧ 𝑑𝑥 𝛼1 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝛼 𝑝
Alors 𝑑𝑜𝑑𝜔 = −𝑑𝑜𝑑𝜔 donc 𝑑𝑜𝑑𝜔 = 0.
Proposition1.
Soit 𝑓 ∈ Λ0
, on a 𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑖
𝑑𝑥 𝑖
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1
+
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2
+ ⋯.(voir l’exercice 4.)
Proposition2.
Soit la 1-forme 𝜔 = ∑ 𝑓(𝑖 𝑥 𝑖
)𝑑𝑥 𝑖
∈ Λ1
,la dérivée extérieure de 𝜔 est
𝑑𝜔 = ∑
𝜕𝑓(𝑥 𝑖
)
𝜕𝑥 𝑗
𝑖
𝑑𝑥 𝑗
∧ 𝑑𝑥 𝑖
𝑖 ≠ 𝑗
On voit bien 𝑑𝜔 ∈ Λ2
Exemples
Pour 𝜔 = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 ∈ Λ1
sa dérivée extérieure est
𝑑𝜔 =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑥 +
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦
𝑑𝜔 = −
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 +
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦
𝑑𝜔 = (
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
−
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦.

58. 57
Pour 𝜔 = −𝜙𝑑𝑥 + 𝑎𝑖 𝑑𝑦 𝑖
avec 𝑖 = 1,2
𝑑𝜔 = −(𝜕𝑖 𝜙𝑑𝑥 + 𝜕𝑡 𝑎𝑖 𝑑𝑦 𝑖
)𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑡 + 𝜕𝑗 𝑎𝑖 𝑑𝑥 𝑗
∧ 𝑑𝑥 𝑖
Avec
𝜕𝑗 𝑎𝑖 𝑑𝑥 𝑗
∧ 𝑑𝑥 𝑖
=
𝜕
𝜕𝑥1
𝑎2 𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
+
𝜕
𝜕𝑥2
𝑎1 𝑑𝑥2
∧ 𝑑𝑥1
=
𝜕
𝜕𝑥1
𝑎2 𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
−
𝜕
𝜕𝑥2
𝑎1 𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
4.6. Opérateur de Hodge
Soit la p-forme 𝜔 = 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑝
On définit l’opérateur de Hodge ⋆ sur ℝ 𝑛
par une (𝑛 − 𝑝)-forme noté ⋆ 𝜔 tel que
⋆ 𝜔 =⋆ 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑝 = 𝜖(𝜎)(𝑑𝑥 𝑗1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑗 𝑛−𝑝)
Avec 𝑖1 < ⋯ < 𝑖 𝑝 et 𝑗1 < ⋯ < 𝑗 𝑛−𝑝
𝜎 = (𝑖1, … , 𝑖 𝑝, 𝑗1, … , 𝑗 𝑛−𝑝) est une perméation et 𝜖(𝜎) = 1 si 𝜎 dans le sens positif et
𝜖(𝜎) = −1 si 𝜎 dans le sens négatif, sinon 𝜖(𝜎) = 0.
L’opérateur de Hodge permet de transformer :
𝑝-forme ∈ Λ 𝑝
en (𝑛 − 𝑝)-forme∈ Λ 𝑛−𝑝
.
Exemples
Soit l’espace de calculs est ℝ 𝟐
on transforme 𝒑-forme en (𝟐 − 𝒑) −forme
Pour 𝑝 = 0 ⋆ 𝑓 = 𝑓𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
Pour 𝑝 = 1 ⋆ (𝛼𝑑𝑥1
+ 𝛽𝑑𝑥2) = 𝛼𝑑𝑥2
− 𝛽𝑑𝑥1
1 ↻ 2
L’espace Λ 𝑝
sur ℝ 𝑛
Contient les
formes 𝜔
L’espace Λ 𝑛−𝑝
sur ℝ 𝑛
Contient les formes ⋆ 𝜔
L’espace Λ 𝑛
sur ℝ 𝑛
contient les formes 𝜔 et les formes ⋆ 𝜔

59. 58
Pour 𝑝 = 2 ⋆ (𝛼𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2) = 𝛼
Soit l’espace de calculs est ℝ 𝟑
on transforme 𝒑-forme en (𝟑 − 𝒑) −forme
Pour 𝑝 = 0 ⋆ 𝑓 = 𝑓𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
∧ 𝑑𝑥3
Pour 𝑝 = 1 ⋆ (𝛼𝑑𝑥1
+ 𝛽𝑑𝑥2
+ 𝛾𝑑𝑥3) = 𝛼𝑑𝑥2
∧ 𝑑𝑥3
− 𝛽𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥3
+ 𝛾𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
Pour 𝑝 = 2 ⋆ (𝛼𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
+ 𝛽𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥3
+ 𝛾𝑑𝑥2
∧ 𝑑𝑥3) = 𝛼𝑑𝑥3
− 𝛽𝑑𝑥2
+ 𝛾𝑑𝑥1
Pour 𝑝 = 3 ⋆ (𝛼𝑑𝑥1
∧ 𝑑𝑥2
∧ 𝑑𝑥3) = 𝛼
Lemme
Soit la p-forme 𝜔 = 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑝 , on a
⋆⋆ 𝜔 = (−1) 𝑝(𝑛−𝑝)
𝜔
Preuve.
On a 𝜔 ∈ Λ 𝑝
et ⋆ 𝜔 ∈ Λ 𝑛−𝑝
alors ⋆⋆ 𝜔 ∈ Λ 𝑝
c’est-à-dire on fait un tournage entre les
deux espaces de formes :
Pour la suite (𝑖1 → ⋯ → 𝑖 𝑝 → 𝑗1 → ⋯ → 𝑗 𝑛−𝑝)
⋆ 𝜔 =⋆ 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑝 = 𝜖(𝜎)(𝑑𝑥 𝑗1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑗 𝑛−𝑝)
⋆⋆ 𝜔 =⋆ 𝜖(𝜎)(𝑑𝑥 𝑗1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑗 𝑛−𝑝)
(𝑗1 → ⋯ → 𝑗 𝑛−𝑝 → 𝑖1 → ⋯ → 𝑖 𝑝)
⋆⋆ 𝜔 = 𝜖(𝜎)𝜖′(𝜎)(𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑝)
⋆⋆ 𝜔 = 𝜖(𝜎)𝜖′(𝜎)𝜔
1 → 2
↖ 3 ↙
L’espace Λ 𝑝
sur ℝ 𝑛
L’espace Λ 𝑛−𝑝
sur ℝ 𝑛
Par l’opérateur de Hodge ⋆
Par l’opérateur de Hodge ⋆

60. 59
On cherche d’abord la valeur de 𝜖(𝜎)𝜖′(𝜎) par la méthode d’inverser l’itération :
𝜖(𝜎)𝜖′(𝜎): 𝜎 = (𝑖1 → ⋯ → 𝑖 𝑝) → (𝑗1 → ⋯ → 𝑗 𝑛−𝑝)
On permet les 𝑗 𝛼 dans le sens inverse :
𝜖(𝜎)𝜖′(𝜎): 𝜎 = {(−1) 𝑝
× (𝑗1) → (𝑖1 → ⋯ → 𝑖 𝑝) → (𝑗2 → ⋯ → 𝑗 𝑛−𝑝)}
𝜖(𝜎)𝜖′(𝜎): 𝜎 = { (−1)2𝑝
× (𝑗1 → 𝑗2) → (𝑖1 → ⋯ → 𝑖 𝑝) → (𝑗3 → ⋯ → 𝑗 𝑛−𝑝)}
⋮
𝜖(𝜎)𝜖′(𝜎): 𝜎 = {(−1)(𝑛−𝑝)𝑝
× (𝑗1 → ⋯ → 𝑗 𝑛−𝑝) → (𝑖1 → ⋯ → 𝑖 𝑝)}
Alors 𝜖(𝜎)𝜖′(𝜎) = (−1)(𝑛−𝑝)𝑝
Cas particuliers
𝜖(123) = 1 ∶ 𝜎 = { (−1)0
× (1 → 2 → 3)}
𝜖(132) = −1 ∶ 𝜎 = { (−1)1
× (1 → 3 → 2)}
𝜖(312) = 1 ∶ 𝜎 = { (−1)2
× (3 → 1 → 2)}
Pour le produit sur ℝ6
, on prend par exemple : 𝜖(𝜎 = 1234) et 𝜖′(𝜎 = 12)
𝜖(𝜎) × 𝜖′(𝜎) = 1: 𝜎 = { (−1)0
× (−1)0
× (1 → 2 → 3 → 4) → (1 → 2)}
𝜖(𝜎) × 𝜖′(𝜎) = −1: 𝜎 = { (−1)0
× (−1)1
× 1 → 2 → 3 → 4 → 2 → 1}
𝜖(𝜎) × 𝜖′(𝜎) = +1: 𝜎 = { (−1)0
× (−1)2
× 1 → 2 → 3 → 2 → 4 → 1}
𝜖(𝜎) × 𝜖′(𝜎) = −1: 𝜎 = { (−1)0
× (−1)3
× 1 → 2 → 2 → 3 → 4 → 1}
𝜖(𝜎) × 𝜖′(𝜎) = +1: 𝜎 = { (−1)0
× (−1)4
× 2 → 1 → 2 → 3 → 4 → 1}
𝜖(𝜎) × 𝜖′(𝜎) = −1: 𝜎 = { (−1)0
× (−1)4+1
× 2 → 1 → 2 → 3 → 1 → 4}
⋮
𝜖(𝜎) × 𝜖′(𝜎) = −1: 𝜎 = { (−1)0
× (−1)4+4
× 2 → 1 → 2 → 3 → 1 → 4}
Alors 𝜖(𝜎) × 𝜖′(𝜎) = (−1)4(6−4)
= −1
Donc
⋆⋆ 𝜔 = (−1)(𝑛−𝑝)𝑝
𝜔.

61. 60
On appelle la Co-différentielle la forme suivante :𝛿 = (−1) 𝑛(𝑝+1)+1
⋆ 𝑑 ⋆.
Exemple.
𝛿𝑓 = 0
𝛿 ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑥 𝑖
= − ∑
𝜕𝑎𝑖
𝜕𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=1
= − ∑ 𝜕𝑖 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
4.7 Variété orientable
Définition 4.7.1
On dit qu’une une variété différentielle M de dimension n muni d’un atlas
{(𝑈𝑙, 𝜑𝑙)} ,est orientable si on peut choisir une orientation de tous les espaces
tangents à cette variété pour qu’elle soit continue en chaque direction.
Mathématiquement il faut que les changements de cartes 𝜑 𝑝𝑙 = 𝜑𝑙 𝑜𝜑 𝑝
−1
aient un
jacobien positif 𝐝𝐞𝐭 𝒅𝝋 𝒑𝒍 > 𝟎
Soit M une variété différentielle de dimension p. Alors M est orientable si et
seulement s’il existe une p-forme différentielle sur M qui ne s’annule nulle part.
Exemple.
La sphère 𝑆 𝑛
⊂ ℝ 𝑛+1
est une variété orientable.
Proposition 4.7.2
- Toute variété compacte connexe de dimension 1 est orientable.
- Toute hypersurface compacte de ℝ 𝑛
est orientable.
- Un produit de variétés orientables est orientable.
- Un groupe de Lie est une variété orientable.
Lemme 4.7.3
Si 𝑀 est une variété à bord orientée, 𝜕𝑀 est une variété (sans bord) orientée.

62. 61
Démonstration
On voit en utilisant une carte locale que si 𝑥 est un point du bord, 𝑇𝑥 𝑀 est divisé
en deux demi-espaces. On appelle demi-espace intérieur (resp. Extérieur) le
Demi-espace 𝑑𝜑(𝑥)−1
(ℝ 𝑝−1
× ]−∞, 0] × {0}) resp. 𝑑𝜑(𝑥)−1
(ℝ 𝑝−1
× [0, +∞[ × {0})
Ce qui nous permet de séparer entre deux classes de vecteurs non tangents à 𝜕𝑀:
les vecteurs pointant vers l’extérieur et ceux pointant vers l’intérieur de 𝑀.
Les seconds sont par exemple vecteurs tangents en 0 à une courbe 𝑐(𝑡) telle que
𝑐(0) = 𝑥 et 𝑐(𝑡) ∈ 𝑀 pour 𝑡 > 0. Soit alors 𝑣 un vecteur sortant.
On dira d’une base (𝑒1, … , 𝑒 𝑛−1) de 𝑇𝑥 𝜕𝑀 qu’elle est positivement orientée si la
base (𝑣, 𝑒1, … , 𝑒 𝑛−1) de 𝑇𝑥 𝑀 l’est aussi. Cela fournit une orientation continue
de𝑇𝑥 𝜕𝑀.
4.8 Intégration des formes différentielles
4.8.1 Pull back des Formes différentielles
Propriétés
Soit 𝑓 une application lisse entre deux variétés différentiables 𝑀 et 𝑁.
Pour deux formes 𝑎 ∈ Λ 𝑝
et 𝑏 ∈ Λ 𝑝
:
𝑓∗(𝑎 + 𝑏) = 𝑓∗
𝑎 + 𝑓∗
𝑏
𝑓∗
𝑑𝑎 = 𝑑(𝑓∗
𝑎)
Et pour 𝑎 = 𝑑𝑥1
∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑝
𝑓∗
𝑑𝑥1
∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑝
= det 𝑓 . 𝑑𝑥1
∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑝
Pour deux formes 𝑎 ∈ Λ 𝑝
et 𝑏 ∈ Λ 𝑞
:
𝑓∗
𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑓∗
𝑎 ∧ 𝑓∗
𝑏
Prennent deux application lisses 𝑓: 𝑈 → 𝑉 et 𝑔: 𝑉 → 𝑊 sur une forme 𝑎 ∈ Λ 𝑝
𝑓∗
(𝑔𝑜𝑓)𝑎 = 𝑓∗
(𝑔∗
𝑎)
4.8.2 Intégration des 1-formes différentielles
Soit 𝜔 ∈ Λ1
une 1-forme différentielle dans une variété différentielle 𝑀
Pour un point 𝑥 ∈ 𝑀, on aura 𝜔(𝑥) ∈ T𝑥
∗
𝑀 est une forme linéaire. Et 𝛾: 𝐼 → 𝑀 une
courbe paramétrée régulière tracée sur M.
On définit l’intégrale de 𝜔 le longe de la courbe 𝛾 par

63. 62
∫ 𝛾
𝜔 = ∫ 𝑡
𝜔(𝛾(𝑡)).
𝑑𝛾(t)
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡
Pour t ∈ 𝐼
Lemme
L’expression de 𝛾 modifiée 𝛾̃ = 𝛾𝑜𝜑: ℝ → ℝ 𝑚
. On a
∫ 𝛾̃
𝜔 = ∫ 𝛾
𝜔
Preuve.
On a ∫ 𝑡
𝜔(𝛾̃(𝑡)).
𝑑𝛾̃(t)
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡
𝜔(𝛾(𝜑(𝑡))).
𝑑𝛾(𝜑(𝑡))
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡
Puisque
𝑑𝛾̃(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑𝜑(𝑡)
𝑑𝑡
.
𝑑𝛾(𝜑(𝑡))
𝑑𝑡
∫ 𝑡
𝜔(𝛾̃(𝑡)).
𝑑𝛾̃(t)
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡
𝜔(𝛾(𝜑(𝑡))).
𝑑𝛾(𝜑(𝑡))
𝑑𝑡
.
𝑑𝜑(𝑡)
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡
On pose 𝑑𝑣 =
𝑑𝜑(𝑡)
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡
∫ 𝑡
𝜔(𝛾̃(𝑡)).
𝑑𝛾̃(t)
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡 = ∫ 𝑣
𝜔(𝛾(𝑣)).
𝑑𝛾(𝑣)
𝑑𝑡
. 𝑑𝑣
= ∫ 𝑡
𝜔(𝛾(𝑡)).
𝑑𝛾(t)
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡
Cela représente que pour une intégration des 1-formes différentielles la
transformation 𝛾̃ = 𝛾𝑜𝜑 ne modifiée pas l’intégration, autrement dite, cette
transformation sera une méthode pour intégrer les 1-formes différentielles.
4.8.3 Intégration volumique des formes différentielles
Prenons une variété différentiable 𝑀 de dimension 𝑛, muni d’un atlas {(𝑈𝑖, 𝜑𝑖)}
paramétrisé par les coordonnées (𝑥1, … , 𝑥 𝑛) , et puis on choisit une forme
différentielle 𝜔 de 𝐶∞
et de degré 𝑛 qui égale à la dimension de la variété 𝑀.
Pour chaque ouvert 𝑈𝑖 on lui associe une n-forme
𝜔| 𝑈𝑖
= 𝑎𝑖 𝑑𝑥1
∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛
Avec 𝑎𝑖 est une fonction lisse c’est-à-dire de classe 𝐶∞
.
On définit l’intégrale de la n-forme 𝜔 sur un volume 𝑈𝑖 ⊂ 𝑀 de la variété M
sur 𝑉 ⊂ ℝ 𝑛
paramétrisé par l’application 𝜑: 𝑉 → 𝑈𝑖 par
∫ 𝑈
𝜔: = ∫ 𝑉
𝜑∗
𝜔

64. 63
Soit une application lisse (classe infini) 𝑓 ∶ 𝑈𝑗 ⊂ 𝑀 → 𝑉 ⊂ ℝ 𝑛
qui relier chaque
point de cette variété vers une autre variété différentiable 𝑉 ⊂ ℝ 𝑛
, on définit
l’application 𝑓∗
𝜔 𝑥0
en un point 𝑥0 de 𝑀 par
𝑓∗
𝜔 𝑥0
(𝑥1, … , 𝑥 𝑛): = 𝜔 𝑓(𝑥0)(𝑑 𝑥0
𝑓(𝑥1), … , 𝑑 𝑥0
𝑓(𝑥 𝑛))
Soit (𝑒1, … , 𝑒 𝑛) vecteurs de base canonique de ℝ 𝑛
, on a
∫ 𝑈
𝜔 = ∫ 𝑉
𝜔 𝜑(𝑥0)(𝑑 𝑥0
𝜑(𝑥1), … , 𝑑 𝑥0
𝜑(𝑥 𝑛))𝑑𝑥0
4.9 formes différentielles exactes et fermées
Soit 𝜔 une p-forme différentielle définie sur un ouvert 𝑈 de ℝ 𝑛
,
4.9.1 Définition : 𝝎 exacte
Soit 𝜇 une (p-1) -forme différentielle sur 𝑈, sa déférentielle 𝑑𝜇.
On dit que 𝜔 est exacte si
𝜔 = 𝑑𝜇
Dans ce cas 𝑓 est dite primitive de 𝜔, pour calculer l’intégrale de 𝜔 à partir de
Cette primitive sur un chemin paramétrisé 𝛾: 𝐼 = [𝑎, 𝑏] → 𝑈 ⊂ ℝ 𝑛
par
∫ 𝛾
𝜔 = 𝑓(𝛾(𝑏)) − 𝑓(𝛾(𝑎))
4.9.2 Définition : 𝝎 fermée
On dit que 𝜔 est fermée si
𝑑𝜔 = 0
4.9.3 Proposition.
Toute forme exacte est aussi fermée.
Preuve.
Soit 𝜔 une forme exacte c’est-à-dire 𝜔 = 𝑑𝜇 ,et on a déjà comme propriété
𝑑𝑜𝑑 = 0
Exemple.
Pour 𝜔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝑑𝑥 − 𝑥𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑦𝑑𝑧 ∈ Λ1
(ℝ3
), on a
𝑑𝜔 = 2𝑥𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 − 2𝑧𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ≠ 0

65. 64
Alors 𝜔 n’est pas fermé.
Pour Ω =
𝑥
𝑥2+𝑦2 𝑑𝑥 +
𝑦
𝑥2+𝑦2 𝑑𝑦 ∈ Λ1
(ℝ2
{(0,0)}) :
Ω est fermé car 𝑑Ω = 0, et aussi exacte sur ℝ2
{(0,0)} car Ω = 𝑑𝜇, telle que
𝜇(𝑥, 𝑦) =
1
2
ln(𝑥2
+ 𝑦2) + 𝑐𝑡𝑒 ∈ ℝ2
{(0,0)}

66. 65
Exercices corrigés
Exercice1.
Soit 𝜔 = 𝑎(𝑥1, … , 𝑥 𝑛)𝑑𝑥1
∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛
une n-forme différentielle, et 𝑓 ∶ 𝑈 → 𝑉 ⊂ ℝ 𝑛
une application. Calculer 𝑓∗
𝜔
Note de réponse
𝑓∗
𝜔 = 𝑓∗(𝑎(𝑥1, … , 𝑥 𝑛)𝑑𝑥1
∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛)
= 𝐽(𝑓). 𝑎𝑜𝑓. 𝑑𝑥1
∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛
Lorsque 𝐽(𝑓) > 0, la formule de changement de variables dans ℝ 𝑛
assure ainsi
que
∫ 𝑈𝑖
𝜔 = ∫ 𝑉
𝜑∗
𝜔 = ∫ 𝑈𝑖
(𝜑𝑜𝑓)∗
𝜔
Exercice2.
On considère les formes 𝛼 = 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦, 𝛽 = 𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 𝑒𝑡 𝛾 = 𝑧 𝑑𝑦
sur ℝ3
Calculer
1. 𝛼 ∧ 𝛽, 𝛼 ∧ 𝛽 ∧ 𝛾 ;
2. 𝑑𝛼, 𝑑𝛽, 𝑑𝛾.
3. ⋆ 𝛼, ⋆ 𝛽, ⋆ 𝛾 , ⋆ 𝛼 et ⋆ (𝛼 ∧ 𝛽)
Réponse
1- 𝛼 ∧ 𝛽 = (𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦) ∧ (𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧)
𝛼 ∧ 𝛽 = 𝑥2
𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧
Car 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑥 = 0
On a 𝛼 ∧ 𝛽 ∧ 𝛾 = (𝛼 ∧ 𝛽 ) ∧ 𝛾
= 𝑧𝑥2
𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑦 = 0
2- On a 𝛼 ∈ Λ1
, 𝛽 ∈ Λ2
et 𝛾 ∈ Λ1
𝑑𝛼 = 𝑑(𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦)
𝑑𝛼 =
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑥 −
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦
𝑑𝛼 = 0
Car
𝜕𝑥
𝜕𝑦
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 0

67. 66
𝑑𝛽 = 𝑑(𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) + 𝑑 (𝑥 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧)
On calcul d’abord 𝐼 = 𝑑(𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) en utilisant deux propriétés (𝑑(𝑎 ∧ 𝑏) =
𝑑𝑎 ∧ 𝑏 + (−1) 𝑝
𝑎 ∧ 𝑑𝑏 et 𝑑2
= 𝑑𝜊𝑑 = 0).
𝐼 = 𝑑(𝑧 𝑑𝑥) ∧ 𝑑𝑦 + (−1)1
𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦⏟
=0
𝐼 = (
𝜕𝑧
𝜕𝑦⏟
=0
𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥) ∧ 𝑑𝑦
𝐼 = 𝑑(𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) = 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦
De même on trouve 𝑑(𝑥 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧) = 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧
𝑑𝛽 = 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 + 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧
𝑑𝛽 = 2𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧
𝑑𝛾 = 𝑑(𝑧 𝑑𝑦)
𝑑𝛾 =
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑦
𝑑𝛾 = 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑦
3- Soit la pénétration positive 𝒅𝒙 → 𝒅𝒚 → 𝒅𝒛 , on va transformer p-forme en
(3-p) -forme, avec 𝑖𝑛𝑑(𝑑𝑥) < 𝑖𝑛𝑑(𝑑𝑦) < 𝑖𝑛𝑑(𝑑𝑧)
⋆ 𝛼 =⋆ (𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦)
= 𝑥 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑧
⋆ 𝛽 = ⋆ 𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦
= 𝑧 𝑑𝑧
⋆ 𝛾 = −𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑧
⋆ (𝛼 ∧ 𝛽) =⋆ 𝑥2
𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧
= 𝑥2
Exercice3.
Soit deux formes :
𝛼 = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 ∈ Λ1
sur ℝ2
.
𝛽 = 𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 ∈ Λ1
sur ℝ2
.

68. 67
Et un champ de vecteurs 𝑉(𝑥, 𝑦) = sin 𝑥 .
𝜕
𝜕𝑥
+ sin 𝑦 .
𝜕
𝜕𝑦
sur ℝ2
1- Calculer 𝛼 ∧ 𝛽.
2- Calculer 𝛽(𝑉).
Réponse.
1- 𝛼 ∧ 𝛽 = −(𝑥2
+ 𝑦2)𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦
2- 𝛽(𝑉) = 𝑦𝑑𝑥(sin 𝑥 .
𝜕
𝜕𝑥
+ sin 𝑦 .
𝜕
𝜕𝑦
) − 𝑥𝑑𝑦(sin 𝑥 .
𝜕
𝜕𝑥
+ sin 𝑦 .
𝜕
𝜕𝑦
)
= 𝑦 sin 𝑥 . 𝑑𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑦 sin 𝑦 . 𝑑𝑥
𝜕
𝜕𝑦
− 𝑥 sin 𝑥 . 𝑑𝑦
𝜕
𝜕𝑥
− 𝑥 sin 𝑦 . 𝑑𝑦
𝜕
𝜕𝑦
= 𝑦 sin 𝑥 . 〈𝑑𝑥,
𝜕
𝜕𝑥
〉
⏟
=1
+ 𝑦 sin 𝑦 . 〈𝑑𝑥,
𝜕
𝜕𝑦
〉
⏟
=0
− 𝑥 sin 𝑥 . 〈𝑑𝑦,
𝜕
𝜕𝑥
〉
⏟
=0
− 𝑥 sin 𝑦 . 〈𝑑𝑦,
𝜕
𝜕𝑦
〉
⏟
=1
Car 〈𝑑𝑥 𝑖
,
𝜕
𝜕𝑥 𝑗
〉 = 𝛿𝑗
𝑖
= {
1 𝑖 = 𝑗
0 𝑖 ≠ 𝑗
Alors
𝛽(𝑉) = 𝑦 sin 𝑥 − 𝑥 sin 𝑦
Exercice4.
Soit 𝜔 =
−𝑦
𝑥2+𝑦2
𝑑𝑥 +
𝑥
𝑥2+𝑦2
𝑑𝑦 et on pose 𝜃 =
𝑥
√𝑥2+𝑦2
et 𝜑 =
𝑦
√𝑥2+𝑦2
, monter que
𝜔 = 𝜃𝑑𝜑 − 𝜑𝑑𝜃 ≔ 𝜃𝑑⃡ 𝜑
Réponse.
La base des cordonnées s’écrit
On a 𝑑𝜃 =
𝜕𝜃
𝜕𝑥 𝑖
𝑑𝑥 𝑖
=
𝜕𝜃
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝜃
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝜕𝜃
𝜕𝑥
=
𝑦2
√(𝑥2 + 𝑦2)3
,
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=
−𝑥𝑦
√(𝑥2 + 𝑦2)3
𝑑𝜃 =
𝑦2
√(𝑥2 + 𝑦2)3
𝑑𝑥 +
−𝑥𝑦
√(𝑥2 + 𝑦2)3
𝑑𝑦 (∗)
De même 𝑑𝜑 =
𝜕𝜑
𝜕𝑥 𝑖
𝑑𝑥 𝑖
=
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝜑
𝜕𝑦
𝑑𝑦

69. 68
𝜕𝜑
𝜕𝑥
=
−𝑥𝑦
√(𝑥2 + 𝑦2)3
,
𝜕𝜑
𝜕𝑦
=
𝑥2
√(𝑥2 + 𝑦2)3
𝑑𝜑 =
−𝑥𝑦
√(𝑥2 + 𝑦2)3
𝑑𝑥 +
𝑥2
√(𝑥2 + 𝑦2)3
𝑑𝑦 (∗∗)
On remplace (*) et (**) dans l’équation 𝜃𝑑𝜑 − 𝜑𝑑𝜃 :
𝜃𝑑𝜑 − 𝜑𝑑𝜃 =
1
(𝑥2 + 𝑦2)2
(−𝑦(𝑥2
+ 𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑥(𝑥2
+ 𝑦2
)𝑑𝑦)
𝜃𝑑𝜑 − 𝜑𝑑𝜃 =
−𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝑑𝑥 +
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
𝑑𝑦
Alors 𝜔 = 𝜃𝑑𝜑 − 𝜑𝑑𝜃.
Exercice5.
1- Montrer que la forme déférentielle 𝜔 = (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑦 est exacte.
2- Déterminer une primitive de 𝜔.
3- Résoudre alors l'équation déférentielle
𝑥 + 𝑦 + (𝑥 − 𝑦)𝑦′ = 0
Dont l'inconnue est la fonction y de la variable réelle x.
Exercice6.
Le laplacien ∆𝑓 d'une fonction lisse 𝑓 sur un ouvert de ℝ 𝑛
est défini par
∆𝑓 = ∑
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
Montrer
1- ∆𝑓 =⋆ 𝑑 ⋆ 𝑑𝑓
2- ∆(𝑓𝑔) = (∆𝑓)𝑔 + 𝑓∆𝑔 + 2 ⋆ (𝑑𝑓(⋆ 𝑑𝑔))
Réponse.
1- Généralement L’opérateur de Hodge permet de transformer 𝑝-forme ∈ Λ 𝑝
en (𝑛 − 𝑝)-forme∈ Λ 𝑛−𝑝
.
On a 𝑓 ∈ Λ0
et sa dérivée extérieure 𝑑𝑓 = 𝜕𝑖 𝑓. 𝑑𝑥 𝑖
= ∑ 𝜕𝑖 𝑓. 𝑑𝑥 𝑖𝑛
𝑖=1 ∈ Λ1
et puisque
on définit f sur ℝ 𝑛
c’est-à-dire ⋆ 𝑓 ∈ Λ 𝑛−0
et ⋆ 𝑑𝑓 ∈ Λ 𝑛−1
⋆ 𝑑𝑓 = ∑ 𝜕𝑖 𝑓. 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑛−1
𝑛
𝑖=1

70. 69
Tel que 𝑖 < 𝑖1 < ⋯ < 𝑖 𝑛−1
𝑑 ⋆ 𝑑𝑓 = 𝑑 (∑ 𝜕𝑖 𝑓. 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑛−1
𝑛
𝑖=1
)
= ∑ 𝜕 𝑘 𝜕𝑖 𝑓. 𝑑𝑥 𝑘
∧ 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑛−1
𝑛
𝑖=1
𝑑 ⋆ 𝑑𝑓 = ∑ 𝜕𝑖 𝜕𝑖 𝑓. 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑛−1
𝑛
𝑖=1
On voit bien que 𝑑 ⋆ 𝑑𝑓 ∈ Λ 𝑛
⇒⋆ (𝑑 ⋆ 𝑑𝑓) ∈ Λ 𝑛−𝑛
= Λ0
:
⋆ 𝑑 ⋆ 𝑑𝑓 =⋆ ∑ 𝜕𝑖 𝜕𝑖 𝑓. 𝑑𝑥 𝑖
∧ 𝑑𝑥 𝑖1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑖 𝑛−1
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝜕𝑖
2
𝑓
𝑛
𝑖=1
⋆ 𝑑 ⋆ 𝑑𝑓 = ∑
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
= ∆𝑓
2- On veut montrer ∆(𝑓𝑔) = (∆𝑓)𝑔 + 𝑓∆𝑔 + 2 ⋆ (𝑑𝑓(⋆ 𝑑𝑔))
On a ∆(𝑓𝑔) = ∑
𝜕2 𝑓𝑔
𝜕𝑥2
𝑛
𝑖=1
∆(𝑓𝑔) = ∑
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
𝑔 + ∑ 𝑓
𝜕2
𝑔
𝜕𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
+ 2 ∑
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝜕𝑔
𝜕𝑥𝑖
∆(𝑓𝑔) = (∆𝑓)𝑔 + 𝑓∆𝑔 + 2 ∑
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝜕𝑔
𝜕𝑥𝑖
Alors il faut monter que ∑
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=1
𝜕𝑔
𝜕𝑥 𝑖
=⋆ (𝑑𝑓(⋆ 𝑑𝑔))
𝑑𝑓(⋆ 𝑑𝑔) = ∑ 𝜕𝑖 𝑓. 𝑑𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=1
. ∑ 𝜕𝑗 𝑔. 𝑑𝑥 𝑗1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑗 𝑛−1
𝑛
𝑗=1
= ∑ 𝜕𝑗 𝑓. 𝜕𝑗 𝑔. 𝑑𝑥 𝑗1 ∧ 𝑑𝑥 𝑗2 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑗 𝑛
𝑛
𝑗=1

71. 70
On voit bien que 𝑑𝑓(⋆ 𝑑𝑔) ∈ Λ 𝑛
⇒⋆ (𝑑𝑓(⋆ 𝑑𝑔)) ∈ Λ 𝑛−𝑛
= Λ0
, alors
⋆ (𝑑𝑓(⋆ 𝑑𝑔)) = ∑ 𝜕𝑗 𝑓. 𝜕𝑗 𝑔
𝑛
𝑗=1
= ∑
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝜕𝑔
𝜕𝑥𝑖
Exercice7.
Calculer la dérivée extérieure de ces deux formes
𝑒 𝑥𝑦+𝑧2
𝑑𝑥
∑ 𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥̂𝑖 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛
Le chapeau 𝑑𝑥̂𝑖 indique que le terme 𝑑𝑥𝑖 est omis.
Réponse.
𝑑𝑒 𝑥𝑦+𝑧2
𝑑𝑥 =
𝜕
𝜕𝑦
𝑒 𝑥𝑦+𝑧2
𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑥 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑒 𝑥𝑦+𝑧2
𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥
𝑑𝑒 𝑥𝑦+𝑧2
𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥𝑦+𝑧2
𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑥 + 2𝑧𝑒 𝑥𝑦+𝑧2
𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥
𝑑 ∑ 𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥̂𝑖 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛 = ∑
𝜕𝑥𝑖
2
𝜕𝑥𝑗
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑥𝑗 ∧ 𝑑𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥̂𝑖 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛
Alors pour que sa dérivée extérieure ne soit pas nulle il faut que
𝑗 ≠ 1, … , 𝑖 − 1, 𝑖 + 1, … 𝑛
Ce qui nous permet de dire que 𝑗 = 𝑖, dans ce cas :
𝑑 ∑ 𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥̂𝑖 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛 = ∑ 2𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑥𝑖 ∧ 𝑑𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥̂𝑖 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛
Et on place 𝑑𝑥𝑖 dans sa place entre 𝑑𝑥𝑖−1 et 𝑑𝑥𝑖+1
𝑑 ∑ 𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥̂𝑖 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛 = ∑(−1)𝑖−1
2𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑𝑥𝑖 ∧ … ∧ 𝑑𝑥 𝑛