1. Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modelinin Elde Edilmesi
Formüller ve grafikler için http://www.wikipedia.org
sitesinden yararlanılmıştır.
DİFUZYON
ve
BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ

2. 1. Stok fiyat hareketlerinin modellenmesi
Black-Scholes formulasyonuna girmeden önce, senet
(stok) hareketlerinin matematik modelini kurmalıyız.

3. Stok hareketlerinin Matematik Modeli
Senet fiyatlarındaki ∆t zaman aralığındaki değişimi ∆S, ile
gösterilsin.
Burada ∆S in ∆t aralığındaki beklenen verimi (% µ)
yansıtacağını kabul edebiliriz.
Başlangıç olarak stok fiyatlarının volatilitesi olmadığını
varsayarsak, başlangıç bağıntısı olarak;
∆S = mSDt
Burada S cari senet fiyatı, ∆t kısa zaman aralığı ve µ , S nin
bileşik faizle yıllık beklenen getirisidir. (µ Pazar tarafından
belirlenen ve bağımsız bir değer olarak düşünülmektedir.
Diğer bir deyişle yatırımcılar senedin şimdiki değerinden
bağımsız olarak yıllık bir getiri bekleyeceklerdir.

4. Fiyat Diferansiyeli Fiyat İle Orantılıdır
∆t ufak bir değer olduğunda ∆t zaman aralığındaki senet
fiyatı S∆t
S∆t = Seµ∆t
Olacaktır. Buradan
∆S = S∆t - S
= Seµ∆t
- S
= S(eµ∆t
– 1)
seriye açarak işlem yapılır ve
∆t yüksek dereceli terimleri ihmal edilirse
≈ Sµ∆t , Olarak alınabilir
S∆t ≈ Sµ∆t

5. Piyasada senet fiyatlarının sabit bir oranda artmadığı açıktır.
Buna göre modele bir miktar rasgelelik de eklenmelidir. Bunun
için fiyat diferansiyeline aşağıdaki terimi ekleyeceğiz.
εσ tS ∆
Burada σ yıllık volatilite, yani ∆S/S değerlerinin yıllık değişiminin
standart sapmasıdır.
∀ε ise N(0,1) dağılımından gelen bir rasgelel değerdir (white
noise)
ε değerinin normalliği, stok fiyatlarının bir Brown hareketi izlediği
kabulunden kaynaklanıyor. Bunun anlamı küçük bir zaman
aralığında stok değerlerinin büyük sıçramalar yapmayacağıdır.
Bu sapmaların normal dağıldığını kabul ediyoruz. ∆t karekökü ise
birazdan açıklanacaktır.

6. Normallik Varsayımı
Burada dikkatle belirtmemiz gereken durum, ∆t aralığı çok
küçük olduğundan normalite varsayımının oldukça zayıf
olduğudur.
Normallik kabulunun geçerli olduğunu varsayarsak; Bu
kabuller çerçevesinde;
( )
εσµ
σεσ
tStSS
tSNtS
∆+∆=∆
∆∆ ,0~
Diyebiliriz.
Bu modele göre, stok fiyatlarındaki değişime rasgele
değerler alan ε neden olacaktır.

7. Ito Lemması
∆S bağıntımızın çok ufak ∆t, değerleri için geçerli olduğunu
kabul edelim, şimdi f fonksiyonu S ve t değişkenleri cinsinden
tanımlanmış olsun ve iki kere türetilebilsin.
f = (S,t)
Bu fonksiyon ufak ∆t değerleri için aşağıdaki bağıntıyı
gerçekler;
)2()()()22
2
2
2
1( totS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f ∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆ εσσµ

8. Ito Lemması İspat:
Şimdi F yukarıdaki gibi tanımlanmış olsu. Bu iki değişkenli fonksiyona
Taylor açılımını uygularsak ikinci mertebeden terimlere kadar ∆f için
aşağıdaki bağıntı yazılabilir,
)(
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
totS
Sf
f
t
t
f
S
S
f
t
t
f
S
S
f
f
∆+∆∆
∂∂
∂
+∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
Burada ∆S için daha önceki εσµ tStSS ∆+∆=∆
bağıntımızı yerine koyarsak,
).()(
2
2
2
2
2
12)(
2
2
2
1
)(
tottStS
Sf
f
t
t
f
tStS
S
f
t
t
f
tStS
S
f
f
∆+∆∆+∆
∂∂
∂
+
∆
∂
∂
+∆+∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+∆+∆
∂
∂
=∆
εσµ
εσµ
εσµ

9. ).(2
32
2
2
2
2
2
2
1222
2
2
2
1
2
3
2
2
2
222
2
2
2
1
totS
St
f
tS
St
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
tS
S
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
f
∆+∆
∂∂
∂
+∆
∂∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
εσµεσ
εµσµεσµ
ifadesi elde edilir. Biraz karışık görünse de sadece iki değişkenli
bir Taylor açılımıdır. Şimdi, ∆t son derecede küçük bir değer
olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden
yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade
basitleşir.
Df açılımını terimlerine göre yeniden düzenleyerek
)()()222
2
2
2
1(
)(222
2
2
2
1
totS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f
totS
S
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
f
∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
εσεσµ
εσεσµ

10. Şimdi, ∆t son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel)
düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden yüksek üslerini
ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleşir.
)()()222
2
2
2
1(
)(222
2
2
2
1
totS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f
totS
S
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
f
∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
εσεσµ
εσεσµ

11. Bu ifade ile Ito lemması arasındaki tek fark ilk terimindeki ε2
katsayısıdır. Bunu gidermek için aşağıdaki değerlendirmeleri
görelim:
.
( ε ~ N(0,1) olduğu için.)
22)2()4(
2
)22()24()2(
)(2
tEE
tEtEtVAR
tott
∆



 −=



 ∆−∆=∆
∆+∆=∆
εε
εεε
ε
tttE ∆=



∆=∆ 22
)( εε

12. )()(
)22
2
2
2
1(
totS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f
∆+∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
εσ
σµ
Elde edilir ve (2) bağıntısı ile verilen lemma gerçeklenmiş olur.
Buna göre ε2
∆t varyansı 0 civarında ise ve,
ε2
∆t nin beklenen değeri ∆t ise, ε2
∆t = ∆t + o(∆t) olur ve

13. ( )ttSNS t ∆∆−+∆ σσµ ,)(ln~ln 2
2
1
0
İspat: Ito’nun (2) Lemmasına göre biliyoruz ki;
.)()2
2
1(
)()2
2
1(
)1()22
2
1
2
101(
)ln(
)()22
2
2
2
1(
εσσµ
σεσµ
εσσµ
εσσµ
tt
tt
tS
S
tS
S
S
S
f
olsunSf
tS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f
∆+∆−=
∆+∆−=
∆+∆−++≈∆
=
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≈∆
.

14. Lemma 2:
Senet fiyatları (1) denklemine uyumlu olsun.
∆t küçük olduğunda senet fiyatları log-normal olarak dağılır.
.)()2
2
1(
)()2
2
1(
)1()22
2
1
2
101(
;)ln(
εσσµ
σεσµ
εσσµ
tt
tt
tS
S
tS
S
S
S
f
olsunSf
∆+∆−=
∆+∆−=
∆+∆−++≈∆
=




 ∆∆−+∆ ttSNtS σσµ ,)2
2
1(0ln~ln
tS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≈∆ )()22
2
2
2
1( εσσµ
İspat: Ito’nun Lemmasını kullanarak;

15. Şimdi Ito Lemmasına göre bu bağıntı bir takım sabitler ve tek bir
rasgele değişken ε dan oluşuyor. µ, σ, ve ∆t için nümerik
değerler zaman serilerinden elde edilebilir. Buna göre;




 ∆∆−∆ ttNf σσµ ,)2
2
1(~




 ∆∆−+
∆
−
∆
=∆
ttSN
t
S
S
t
Sf
σσµ ,)2
2
1(
0
ln~ln
)
0
ln()ln(
.
Buradan senet fiyatlarındaki değişimin logaritmalarının
bir normal dağılıma sahip olduğunu görmekteyiz.
Olarak belirlenir. Yani senetlerin fiyat diferansiyelleri normal olarak
dağılmaktadır. Bu önemli bir sonuç olup ilerde tekrar kullancağız.

16. Corollary 1: Senet fiyatlarındaki değişim de, ∆t zaman
aralıkları keyfi olarsak büyük seçildiğinde (T olarak
gösterilir) log-normal olarak dağılır.




 −+ TTSN
T
S σσµ ,)2
2
1(
0
ln~ln
İspat: Burada T zaman süresi n adet, örtüşmeyen {∆t1, ∆t2, ∆t3,
…, ∆tn} zaman aralıklarının toplamından oluşsun;
∆t1+∆t2+ ∆t3+ …+ ∆tn= T.
ST senedin T anındaki fiyatını göstersin, kabullerimize göre senet
fiyatları bir Brown hareketine göre değişir ve etkin Pazar
hipotezine göre senet fiyatları bağımsızdır ve
ln (Si+1) – ln (Si )
diferansiyelleri normal olarak dağılır.

17. Logaritmik diferansiyellerin toplamı da Normal dağılır
Bunların toplamı da normal olarak dağılacaktır.
Buna göre;
0112
2-n1-n1-nT0T
Sln–SlnSln–Sln......
Sln–SlnSln–SlnSln–Sln
+++
= +
( ) ( ) ( )
( )01
2110
lnln...
lnlnlnlnlnln
SSE
SSESSESSE nnnTT
−++
−+−=− −−−
( ) ( ) ( ) 1
2
2
1
1
2
2
12
2
1
... ttt nn ∆−++∆−+∆−= − σµσµσµ
( ) ( ) ( )Ttt
i
i
i
i
2
2
12
2
12
2
1 σµσµσµ −=∆−=∆−= ∑∑

18. Ve varyans “için de benzer olarak;
( ) ( ) ( )
( )01
2110
lnln...
lnlnlnlnlnln
SSVar
SSVarSSVarSSVar nnnTT
−++
−+−=− −−−
( ) ( ) ( )2
1...
2
1
2
tntnt ∆++−∆+∆= σσσ
T
i
it 22 σσ =∑∆
Burada senet fiyatlarının Brown hareketine sahip olduğu
Varsayımında nin önemi ortaya çıkıyor.T

19. Buna göre;




 −− TTNS
T
S σσµ ,)2
2
1(~
0
lnln
Veya benzeri olarak ,




 −+ TTSN
T
S σσµ ,)2
2
1(
0
ln~ln
Elde edilir. Bu da senet fiyatlarının hareketi konusundaki
varsayımlarımızı kanıtlamış olur.