Distribusi binomial sering juga disebut distribusi Bernoulli. Distribusi binomial ditemukan oleh James Bernoulli. Distribusi binomial adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor. Secara lengkap kunjungi: https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/05/distribusi-binomial.html

1. Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd

2. Pengertian dan Ciri-ciri Distribusi Binomial
Distribusi binomial sering juga disebut distribusi Bernoulli. Distribusi binomial ditemukan
oleh James Bernoulli. Distribusi binomial adalah suatu distribusi teoretis yang
menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen,
seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor.
Distribusi binomial memiliki ciri-ciri berikut.
1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.
2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.
3. Percobaannya bersifat independen atau dengan pengembalian, artinya peristiwa dari
suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan
lainnya.
4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial
harus tertentu.

3. Contoh:
Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan
memiliki satu jawaban benar. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut
berspekulasi 5 jawaban benar maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah
1) Untuk menjawab benar, P(B) =
1
5
2) Untuk menjawab salah, P(S) =
4
5
Misalkan susunan 5 jawaban benar adalah B B B B B S maka:
P(B B B B B S) = P(B) P(B) P(B) P(B) P(B) P(S)
=
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
4
5
=
1
5
5 4
5
1

4. Kemungkinan lain susunan 5 jawaban benar adalah B B B S B B, sehingga:
P(B B B S B B) = P(B) P(B) P(B) P(S) P(B) P(B)
=
1
5
1
5
1
5
4
5
1
5
1
5
=
1
5
5 4
5
1
Ternyata, probabilitas 5 jawaban benar dari 6 pertanyaan adalah sama untuk susunan
mana pun. Banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dan 1 salah dapat dicari dengan
menggunakan rumus kombinasi.
𝐶 𝑥
𝑛 =
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !

5. Untuk kasus di atas, memiliki n = 6, x = 5, sehingga terdapat:
Jika semua susunan tersebut dituliskan, akan terlihat:
1) B B B B B S
2) B B B B S B
3) B B B S B B
4) B B S B B B
5) B S B B B B
6) S B B B B B
𝐶5
6
=
6!
5! 6 − 5 !
= 6 susunan

6. Untuk menentukan probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar (P(5)) adalah dengan
menjumlahkan probabilitas dari kombinasi banyaknya susunan jawaban benar, 𝐶5
6
= 6
susunan. Karena probabilitas setiap susunan adalah sama maka probabilitas menjawab
5 pertanyaan benar (P(5)) dapat pula dihitung dengan mengalikan 𝐶5
6
dengan
probabilitas salah satu susunannya.
Jadi:
P(5) = 𝐶5
6
×
1
5
5
×
4
5
1
= 0,0015

7. Dengan melakukan cara yang sama seperti di atas, untuk menghitung probabilitas
menjawab dengan jawaban benar maka dapat dibuat distribusi binomial, dari peristiwa
di atas.
P(6) = 𝐶6
6
×
1
5
6
×
4
5
0
= 0,0001
P(4) = 𝐶4
6
×
1
5
4
×
4
5
2
= 0,0154
Dan seterusnya . . .

8. Dari perhitungan di atas maka bisa dibuat tabel distribusi binomial dengan jawaban
benar, yaitu:
Jumlah Jawaban Benar (x) P(x)
0
1
2
3
4
5
6
0,2621
0,3932
0,2458
0,0819
0,0154
0,0015
0,0001
Jumlah 1,0000

9. Rumus Distribusi Binomial
a. Rumus binomial suatu peristiwa
Secara umum rumus probabilitas binomial suatu peristiwa
dituliskan:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑏 𝑥; 𝑛, 𝑝 = 𝐶 𝑥
𝑛 . 𝑝 𝑥 . 𝑞 𝑛−𝑥
Keterangan:
x = banyaknya perisitiwa sukses n = banyak percobaan
p = probabilitas perisitiwa sukses q = 1 – p = probabilitas peristiwa gagal
Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus
dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda
dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau
ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.

10. Contoh soal:
1. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan
probabilitas dari peristiwa berikut!
a) Mata dadu 5 muncul 1 kali.
b) Mata dadu genap muncul 2 kali.
c) Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali.
Penyelesaian:
a) Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap
sisi memiliki probabilitas
1
6
. Jadi, probabilitas untuk mata 5
adalah
1
6
, sehingga:

11. 𝑝 =
1
6
; 𝑞 =
5
6
; 𝑛 = 4; 𝑥 = 1 (muncul 1 kali)
𝑃 𝑋 = 1 = 𝐶1
4
. 𝑝1 . 𝑞4−1
= 4 .
1
6
1
.
5
6
3
= 0,3858
b. Mata dadu genap ada 3, yaitu 2, 4, 6, sehingga:
𝑝 =
3
6
=
1
2
; 𝑞 =
1
2
; 𝑛 = 4; 𝑥 = 2 (muncul 2 kali)
𝑃 𝑋 = 2 = 𝐶2
4
. 𝑝2
. 𝑞4−2
= 6 .
1
2
2
.
1
2
2
= 0,3750

12. c. Muncul mata dadu 2 atau 6 (ada 2), sehingga:
𝑝 =
2
6
=
1
3
; 𝑞 =
2
3
; 𝑛 = 4; 𝑥 = 4 (muncul 4 kali)
𝑃 𝑋 = 4 = 𝐶4
4
. 𝑝4
. 𝑞4−4
= 1 .
1
3
4
.
2
3
0
= 0,0123
2. Sebuah mesin yang memproduksi semacam alat, ternyata
terdapat 5% rusak. Jika secara acak diambil 10 buah dari alat
tersebut untuk diselidiki, berapa probabilitas akan terdapat:
a. dua rusak,
b. tidak ada yang rusak?

13. Penyelesaian:
𝑛 = 10; 𝑝 = 5% = 0,05; 𝑞 = 0,95
a. Dua rusak, 𝑥 = 2
𝑃 𝑋 = 2 = 𝐶2
10
. 𝑝2 . 𝑞10−2
= 45 . 0,05 2
. 0,95 8
= 0,075
b. Tidak ada yang rusak, 𝑥 = 0
𝑃 𝑋 = 0 = 𝐶0
10
. 𝑝0 . 𝑞10−0
= 1 . 0,05 0
. 0,95 10
= 0,599

14. b. Probabilitas binomial kumulatif
Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa
binomial lebih dari satu sukses.
Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan
rumus:
PBK =
𝑥=0
𝑛
𝐶 𝑥
𝑛 . 𝑝 𝑥 . 𝑞 𝑛−𝑥
=
𝑥=0
𝑛
𝑃(𝑋 = 𝑥)
= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = n)

15. Contoh soal:
Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan
probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas:
a. paling banyak 2 orang lulus,
b. yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang,
c. paling sedikit 4 di antaranya lulus!
Penyelesaian:
a. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 0, 1, dan 2
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
= 𝐶0
5
. 𝑝0 . 𝑞5−0 + 𝐶1
5
. 𝑝1 . 𝑞5−1 + 𝐶2
5
. 𝑝2 . 𝑞5−2
= 1(0,7)0(0,3)5 + 5(0,7)1(0,3)4 + 10(0,7)2(0,3)3
= 0,16

16. b. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 2 dan 3
P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X = 2) + P(X = 3)
= 𝐶2
5
. 𝑝2 . 𝑞5−2 + 𝐶3
5
. 𝑝3 . 𝑞5−3
= 10(0,7)2(0,3)3 + 10(0,7)3(0,3)2
= 0,44
c. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 4 dan 5
P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5)
= 𝐶4
5
. 𝑝4 . 𝑞5−4 + 𝐶5
5
. 𝑝5 . 𝑞5−5
= 5(0,7)4(0,3)1 + 1(0,7)5(0,3)0
= 0,53

17. Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku
Distribusi Binomial
Secara umum, nilai rata-rata (μ), varians (𝜎2), dan simpangan baku (σ),
dapat dicari berdasarkan distribusi probabilitasnya, dengan pendekatan
sebagai berikut.
1) Untuk rata-rata:
2) Untuk varians:
𝐸 𝑋 = μ =
𝑥=0
𝑛
𝑥(𝐶 𝑥
𝑛 . 𝑝 𝑥 . 𝑞 𝑛−𝑥)
𝜎2
=
𝑥=0
𝑛
𝑥2
(𝐶 𝑥
𝑛
. 𝑝 𝑥
. 𝑞 𝑛−𝑥
) − μ2

18. 3) Untuk simpangan baku:
Secara singkat, nilai rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi
binomial dapat dihitung dengan rumus:
σ =
𝑥=0
𝑛
𝑥2 (𝐶 𝑥
𝑛
. 𝑝 𝑥 . 𝑞 𝑛−𝑥) − μ2
1) rata-rata (μ) = 𝑛 . 𝑝
2) Varians (𝜎2) = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞
3) Simpangan baku (σ) = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞

19. Contoh soal:
1. Suatu distribusi binomial memiliki 𝑛 = 6; 𝑝 =
1
4
; 𝑞 =
3
4
. Tentukan nilai
rata-rata, varians, dan simpangan bakunya.
Penyelesaian:
Rata-rata (μ) = 𝑛 . 𝑝
= 6 ×
1
4
= 1,5
Varians (𝜎2
) = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞
= 6 ×
1
4
×
3
4
= 1,125

20. Varians (σ) = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞
= 1,125
= 1,06
2. Pada pelemparan 4 mata uang logam sebanyak 50 kali, terdapat
distribusi sebagai berikut:
Jika X = gambar angka, tentukan probabilitas sukses keluarnya
gambar angka tersebut (p)!
X 0 1 2 3 4
f 3 10 5 17 15

21. Penyelesaian:
𝑛 = 5; 𝑓 = 50
𝑋 =
𝑓 . 𝑋
𝑓
=
3 0 + 10 1 + 5 2 + 17 3 + 15(4)
50
=
131
50
= 2,62
Karena 𝑋 = 𝐸 𝑋 , sedangkan 𝐸 𝑋 = μ
Maka: μ = 2,62
μ = 𝑛 . 𝑝 atau
𝑝 =
μ
n
=
2,62
5
= 0,524