Viele Gleichungen und höhergradige Polynome kann man in Anwendungssituationen nicht exakt oder nur mit großem numerischen Aufwand lösen. Oft enthalten sie einen (sehr) kleinen Parameter. Dann können häufig Kruskal-Newton-Diagramme weiterhelfen. Wir erklären diese Diagramme und zeigen ihre Möglichkeiten und Vorteile wie auch Grenzen auf. #SciChallenge2017

1. Kruskal - Newton - Diagramme

2. 0,01x2 + 3x - 4 = 0
-0,1x3 + 8,2x2 – 115,5x – 264,4 = 0
 „Mitternachtsformel“
??? sehr hoher numerischer Aufwand

3. Kruskal - Newton - Diagramme
- Einfaches Lösungsverfahren für kompliziertere
Funktionstypen, wie z. B.
f(x) = ax2 + εbx + c oder
f(x) = εax3 – bx2 + cx + d
- liefert Näherungslösungen, die bei immer
kleineren ε immer besser werden

4. Erklärung des Verfahrens
-4ε0x0 + 3ε0x1 - 1ε1x2 = 0
Ausgangsgleichung:
εx2 + 3x – 4 = 0 wobei 0 < ε << 1
1. Umstellen der Ausgangsgleichung
 Jeder Term hat die Form:
Zahl ∙ εq xp

5. 2. Darstellung der Terme als Punkte in der pq – Ebene
-4ε0x0 + 3ε0x1 - 1ε1x2 = 0
-4 ε0 x0 => Punkt A (0|0);
3 ε0 x1 => Punkt B (1|0);
-1 ε1 x2 => Punkt C (2|1)

6. 3.1. Lineal von unten an das pq-Koordinatensystem
heranführen bis ein Punkt berührt wird,
hier A (0|0)
3. Ermittlung der Kruskal - Newton - Linien
3.2. Drehen des Lineals um diesen Punkt bis
ein zweiter Punkt berührt wird, hier B (1|0)
3.3. Verbinden von A und B -> Kruskal-Newton-Linie L1
Hinweise:
+ Unter L1 dürfen keine markierten Punkte liegen
+ Punkt C (2|1) liegt darüber -> vernachlässigbar!
3.4. KN-Linie L2 mit B (1|0) und C (2|1) analog
konstruieren
(-> A (0|0) vernachlässigbar, weil darüber liegend)

7. A B
C
-1
0
1
2
3
0 1 2 3
q
p
L1
L2
KN-Linien L1 und L2
(im KRUSKAL-NEWTON-DIAGRAMM)

8. Für L1 und L2 ergeben sich folgende Gleichungen:
4. Errechnung der Näherungslösungen für Ausgangsgleichung
εx2 + 3x – 4 = 0
Durch KN-Linie verbundene Terme auswählen
und gleich Null setzen
L1: 3x - 4 = 0 => x1 ~ 4/3
L2: εx2 + 3x = 0 | : x *1
εx + 3 = 0
*1 Dividieren durch x erlaubt, weil x = 0 keine Lösung der
Ausgangsgleichung
=> x2 ~ -3/ε

9. 5. Genauigkeit der Näherungslösungen mit
KN-Diagramm
für Ausgangsgleichung εx2 + 3x – 4 = 0
ε Exakte Lösung KN-Näherungslösung Relativer Fehler
ε=0,5
X1= 1,123
X2= -7,123
X1= 4/3
X2= -6
15,8%
18,7%
ε=0,1
X1= 1,279
X2= -31,279
X1= 4/3
X2 = -30
4,1%
4,3%
ε=0,01
X1= 1,327
X2= -301,327
X1= 4/3
X2= -300
0,5%
0,4%
ε=0,001
X1= 4/3
X2= -3001 1/3
X1= 4/3
X2= -3000
0%
0,04%

10. Graph der Ausgangsgleichung εx2 + 3x – 4 = 0
für ε = 0,1

11. 6. Anwendbarkeit für unterschiedliche
Gleichungstypen
6.1. Quadratische Gleichungen
z.B. ε3ax2– εbx + c = 0 oder ax2 + εbx - ε3c = 0 ,
bei denen ε in anderen Termen als x2 und/oder
in mehreren Termen der Gleichung enthalten ist
6.2. Kubische Gleichungen
z.B. εax3 + bx2 - cx - d = 0

12. 7. Grenzen des Verfahrens
7.1. Funktionen vom Typ
f(x) = ε3ax3 + ε2bx2 + ε1cx1 + ε0dx0 (a, b, c, d ≠ 0)
Bei diesem Gleichungstyp liegen alle Punkte in der
pq-Ebene auf einer Geraden, weshalb das Verfahren
nicht sinnvoll anwendbar ist.
7.2. Doppelte Nullstelle
Das Vorhandensein einer doppelten Nullstelle,
z.B. bei der Funktion f(x) = εx3 – 0,6x2 + 6x für ε = 0,015 ,
erkennt das KN-Verfahren nicht, sondern gibt
fälschlicherweise eine dritte Nullstelle an.

13. 8. Bewertung des KN-Verfahrens
KN-Diagramme sind - von einigen Ausnahmen
abgesehen - ein sehr einfach anzuwendendes und
gleichzeitig vergleichsweise sehr genaues Verfahren,
um quadratische Gleichungen und sogar
höhergradige Polynome bei Vorliegen (sehr) kleiner ε
ohne Numerik zu lösen.