Fourier Series and its Applications

1. FOURIER SERIES USING Maple™
18
Dr. Ayad M. Shahoot
Mergib University, Faculty of Sciences
Khoms-Libya. drshahoot@yahoo.com
‫باستخدام‬ ‫فورييه‬ ‫متسلسالت‬
Maple 18
Part I

2. FOURIER
SERIES
FOURIER
INTEGRAL
FOURIER
TRANSFORM
FOURIER ANALYSIS
Fourier Sine Series
Fourier Cosine Series
Fourier Sine Integral
Fourier Cosine Integral
Sine Fourier Transform
Cosine Fourier Transform
Complex Fourier Series
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

3. ‫كان‬‫المستشار‬‫العلمي‬‫لنابليون‬‫عندما‬‫غز‬‫ا‬
،‫مصر‬‫وكان‬‫من‬‫ضمن‬‫الذين‬‫تقطعت‬‫بهم‬
‫بل‬ُ‫س‬‫ال‬‫عندما‬‫تم‬‫تدمير‬‫االسطول‬‫الفرنس‬‫ي‬‫في‬
‫معركة‬‫النيل‬.ُُ‫أ‬‫لقي‬‫عليه‬‫القبض‬‫مرتين‬
‫وبالكاد‬‫نجى‬‫من‬‫المقصلة‬.
1768 – 1830
Jean Baptiste Joseph Fourier
‫درس‬‫فورييه‬‫الظواهر‬‫الدورية‬(Periodic
Phenomena)‫التي‬‫تعيد‬‫نفسها‬‫بشكل‬‫دو‬،‫ري‬
‫حيث‬‫مثلها‬‫بدوال‬‫تسمى‬‫بالدوال‬‫الدورية‬
(Periodic Functions).
‫تعرضت‬‫أعماله‬‫في‬‫المتسلسالت‬‫المثلثي‬‫ة‬
(Trigonometric Series)‫للنقد‬‫الشديد‬‫من‬
‫الجرانج‬‫والبالس‬.
‫شر‬ُ‫ن‬‫أول‬‫عمل‬‫له‬‫عن‬‫ظاهرة‬‫إنتشار‬
‫الحرارة‬‫في‬‫االجسام‬‫الصلبة‬‫والذي‬‫إستخ‬‫دم‬
‫فيه‬‫متسلسالته‬‫المثلثية‬(‫تعرف‬‫االن‬
‫بمتسلسالت‬‫فورييه‬).
‫درس‬‫فورييه‬‫الرياضيات‬‫على‬‫يد‬‫كل‬‫م‬‫ن‬
‫الجرانج‬‫والبالس‬.‫كما‬‫درس‬‫في‬‫الفيزي‬‫اء‬
‫االنتشار‬‫الحراري‬‫وظاهرة‬‫التذبذب‬.
‫هو‬‫عالم‬‫رياضيات‬‫وفيزياء‬‫ومؤرخ‬‫فرنسي‬،‫و‬‫لد‬
‫في‬‫القرن‬‫الثامن‬‫عشر‬‫الميالدي‬‫إبان‬‫الثورة‬
‫الفرنسية‬.
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Fourier Laplace Lagrange LaguerreLegendre Cauchy
D’ Alembert Poincare

4. Periodic Functionf (x) x    2
f ( 2 ) f ( )    
 
f (x)
0
2
x
 0
x
 0
x

f(x 2 ) f(x)  
x, x 0,
f (x)
x, 0 x
    
 
  
f(x) x, x     
1, x 0,
f (x)
1, 0 x
    
 
  
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Triangular Wave
Sawtooth Wave
Rectangular Wave
periodic functions.mw

5.  
n 1
f(x) cos(nx) sin(nx)
2


  
n
1
a f(x)cos(nx)dx



 
n
1
b f (x)sin(nx)dx



 
‫معــــــامالتُفوريــيه‬
Fourier Coefficients
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
For any function f(x) with period 2, we can describe the f(x) in terms of an infinite
sum of sines and cosines
na0a
nb0a
na nb

6. Example 1
?
x  0
n n
n 1
a
a cos(nx) b sin(nx)
2


 
f (x)
f(x) x, x    
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

7. f(x) x, x    
 ? 0
n n
n 1
a
x a cos(nx) b sin(nx)
2


  
n
1
b f(x) sin(nx)dx


 
 
0
1
a f(x)dx



 
n
1
a f(x) cos(nx)dx


 
 
Example 1
1

2
x
2


 
 
  

2 2
( ) ( )
2 2
  
 
  
1

0
n n
2
1
( 1) ( 1) 0
n
    
 
1
 2
xsin(nx) cos(nx)
n n




 
 
  

2
xcos(nx) sin(nx)
n n




 
 
  
2cos(n )
n
 

1

x dx


 
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

8. cos(n )
cos(1 ) 1
cos(2 )
cos(3 )
cos(4 )
cos(5 )
1
1
1
1
n 1
n 2
n 3
n 4
n 5
na 0
n
2
b
n


0a 0Example 1
cos(n ) n
( -1)
 ? 0
n n
n 1
a
x a cos(nx) b sin(nx)
2


  
n?
n 1
x sin(nx
2
0 0 1) )(
n


 
   


 

n
?
n 1
( 1)
x 2 sin(nx)
n



  
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

9. n 1 to 4
1 2 3 4
? ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x 2 sin(1x) sin(2x) sin(3x) sin(4x)
1 2 3 4
    
          
 
? 2 1
2sin(x) sin(2x) sin(3x) sin(4x)
3 2
x   
Example 1 n
?
n 1
( 1)
x 2 sin(nx)
n



  
   
x
n=1to4
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

10. x
n=to10
x
n=to4
x
n=to50
(x+0.1)
n=to∞
n
n 1
( 1)
2 sin(nx)x
n



 
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

11. n=to2
n=to6
n=to70
n=to∞
2 22
2 22
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

12. x, x 0
f(x) x
x, 0 x
    
  
   
n
2
2
( 1) 1
n
   
 
Example 2
 ? 0
n n
n 1
a
x a cos(nx) b sin(nx)
2


  
0
0
x dx x dx


 
    
 
 
 0
1
a x dx



 
2 2
1 ( ) ( )
2 2
  
    
   
n
1
a x cos(nx)dx


 
 
n
1
b x sin(nx)dx


 
  0
1

12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Fourier Series1.mw

13. Example 2
n
n 2
2
a ( 1) 1
n
   
 
nb 0
0a  
 ? 0
n n
n 1
a
x a cos(nx) b sin(nx)
2


  
n
2
?
n 1
2
[( 1) 1]x co ( )
2 n
s nx



 

 
n
?
2
n 1
2 [( 1) 1]
x cos(nx)
2 n


  
 
 
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Fourier Series1.mw

14. n 1 to 4
? 4 4
cos(x) 0 cos(3x) 0
2 9
x

    
 
n
?
2
n 1
2 [( 1) 1]
x cos(nx)
2 n


  
 
 
Example 2
 
 
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Fourier Series1.mw

15. n 1 to 
? 4 4 4
x cos(x) cos(3x) cos(5x) .... inf inity
2 9 25

     
  
Example 2
n
2
n 1
2 [( 1) 1]
x cos(nx)
2 n


  
 
 

12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Fourier Series1.mw

16. Fourier sine series
‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬f(x)‫دالة‬ ‫هي‬ ‫فورييه‬ ‫بمتسلسلة‬ ‫تمثيلها‬ ‫المراد‬‫فردية‬‫فو‬ ‫معامالت‬ ‫فإن‬ ،‫رييه‬:
‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬f(x)‫دالة‬ ‫هي‬ ‫فورييه‬ ‫بمتسلسلة‬ ‫تمثيلها‬ ‫المراد‬‫زوجية‬‫فو‬ ‫معامالت‬ ‫فإن‬ ،‫رييه‬:
Odd and Even Functions
‫نظرية‬Fourier sine series 
‫نظرية‬Fourier cosine series 
0a 0, na 0
n
0
2
b f(x)sin(nx)dx


 
nb 0
0
0
2
a f (x)dx


 
n
0
2
a f (x)cos(nx)dx


 
 0
n n
n 1
a
f (x) a cos(nx) b sin(nx)
2


   n
n 1
f (x) cos(nx) b sin(nx)
0
0
2


   
n
n 1
f (x) b sin(nx)


 
0
n
n 1
a
f (x) a cos(nx)
2


  
 0
n n
n 1
a
f (x) a cos(nx) b sin(nx)
2


   0
n
n 1
a
f (x) a cos(nx) sin(nx)
2
0


    
Fourier cosine series
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

17. 1, x 0
f (x)
1, 0 x
    
 
   
‫الدالة‬f(x)‫من‬ ‫إذن‬ ،‫فردية‬ ‫دالة‬‫النظرية‬:
0a 0
na 0
n
n 1
( 1) 12
f(x) sin(nx)
n


     
 
0
n
n
0
2 2 cos(nx) 2 cos(n ) 1 2
b 1 sin(nx)dx ( 1) 1
n n n n

                           
Example 3
n
n
2
b ( 1) 1
n
      
n to3 
n to7 
n to20 
n to  
n
0
2
b f(x)sin(nx)dx


 
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Boxcar Function
Square Wave
Function

19.    
2 2
2
2 2
x 0 x
t 0
t 0
u u
a , 0 x
t x
u 0 , u 0,
u
u f x , F x
t
 


 
  
 

 

  
 
l
l ُ‫تحلُهذهُالمسألةُبإستخدامُطريقةُفصلُالمتغيرات‬(Separation of Variables)
2
X (x) X(x) 0    2 2
T (t) a T(t) 0   
  1 2X x C cos x C sin x         3 4T t C cos at C sin at   
  k k
k 1
k a k a k
u x,t C cos t D sin t .sin x


   
  
 
 l l l
 kt 0
k 1
k
u C sin x f x




  l
 k
k 1t 0
u k a k
D sin x F x
t


  
  

 l l
 
 
k
0
k
0
2 k x
C f x sin dx,
2 k x
D F x sin dx
k a
 



 
 


l
l
l l
l
،‫بتطبيقُالشرطينُاالبتدائيينُعلىُالحلُالعام‬‫نجدُأن‬:
String Vibration
u(x,t)
X(x) T(t)
k
k
where,

 
l
u u(x,t)
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

20. 2 2
2
2 2
x 0 x
t 0
t 0
u u
a , 0 x ,
t x
u 0, u 0,
u
u f (x), F(x) .
t
0
 


 
  
 

 

   
 
l
l
‫أوجد‬‫تذبذب‬‫الوتر‬‫المثبت‬‫عند‬‫نهايتيه‬‫في‬‫النقطتين‬‫و‬‫إذا‬‫كان‬‫االنحراف‬‫االبتدائي‬
‫للوتر‬‫على‬‫شكل‬‫مثلث‬‫رأسه‬‫عنذ‬‫النقطة‬(c,h)‫عته‬‫وسر‬‫االبتدائية‬‫تساوي‬‫الصفر‬(F(x)=0).
x 0x  l
x
o
f(x)
c
h
o
l0
hx
, 0 x c,
c
f(x)
h( x)
, c x .
c

 
 
  
 
l
l
l
‫تصاغ‬‫هذه‬‫المسألة‬‫على‬‫النحو‬‫الت‬‫الي‬:
Example 1
‫الحـل‬
Dirichlet Problem
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

21. ‫بما‬‫أننا‬‫وجدنا‬‫حل‬‫مسألة‬‫تذبذب‬‫الوتر‬‫على‬‫الصو‬‫ة‬‫ر‬:
  k k
k 1
k a k a k
u x,t C cos t D sin t .sin x


   
  
 
 l l l
 k
0
2 k x
C f x sin dx

 
l
l l
hx
c
h( x
, 0 x c,
f(x)
, c .
c
x
)


 
 
  

l
l
l
 k
0
2 k x
D F x sin dx
k a


 
l
l
c
k
0 c
hx h( x)
c c
2 k x k x
C sin dx sin dx
  
  

  
 
l
l
ll l l
2
k 2 2
2h k c
C sin
k c( c)


 
l
l l
 
2
2 2
k 1
k a k
u x,t .cos t
2h k c
sin
k c
.sin
( )
x
c


  

  
 



l
l l l l
0
Example 1
12345678910111213141516171819202122232425262728293031

22. ‫الجل‬‫الحصول‬‫على‬‫حلول‬‫عددية‬(Numerical Solutions)،‫يجب‬‫إعطاء‬‫قيم‬‫عددية‬‫ابت‬‫و‬‫للث‬:
‫برمجةُالحلول‬
‫عرف‬ُ‫ن‬‫دالة‬‫اف‬‫ر‬‫االنح‬‫االبتد‬‫ائي‬:
‫نرسم‬‫دالة‬‫اف‬‫ر‬‫االنح‬‫االبتدائ‬‫ي‬:
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

23. ‫برمجةُالحلول‬
t 0
u f(x)


‫نحسب‬‫معامالت‬‫فورييه‬: k
C
‫عرف‬ُ‫ن‬‫دالة‬‫الحل‬: u(x,t)
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

24. ‫احل‬‫ر‬‫م‬‫تذبذب‬‫الوتر‬‫لعدة‬‫لحظات‬‫زمنية‬‫متفا‬‫وتة‬.
‫برمجةُالحلول‬
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

25. ‫محاكاة‬‫ة‬‫ظاهر‬‫التذبذب‬
‫برمجةُالحلول‬
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
hx
c
h( x
, 0 x c,
f(x)
, c .
c
x
)


 
 
  

l
l
l
Application.mw

26. ‫سنفرض‬‫نفس‬‫المثال‬،‫السابق‬‫ولكن‬‫سنعطي‬‫قيم‬‫ى‬‫أخر‬‫للدالة‬f(x)‫بحيث‬‫يكون‬‫اف‬‫ر‬‫االنح‬‫االبت‬‫د‬‫ائي‬‫ة‬‫ر‬‫عبا‬
‫عن‬‫مثلث‬‫متساوي‬‫الساقين‬:
Example 2
t 0
u f(x)


x
o
f(x)
h
o
l0 c
2

l
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

27. ‫احل‬‫ر‬‫م‬‫تذبذب‬‫الوتر‬‫لعدة‬‫لحظات‬‫زمنية‬‫متفا‬‫وتة‬.
‫برمجةُالحلول‬
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

28. ‫محاكاة‬‫ة‬‫ظاهر‬‫التذبذب‬
‫برمجةُالحلول‬
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

29. ‫مقارنةُسلوكُالتذب‬‫ذب‬
x
o
f(x)
c
h
o
l0
x
o
f(x)
h
o
l0 c
2

l
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

30. 12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

31. x
o
f(x)
c
h
o
l0
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Application.mw

32. ‫يمكن‬‫نمدجة‬‫تذبذب‬‫الوتر‬‫عندما‬‫يكون‬‫اف‬‫ر‬‫االنح‬‫االبتذائي‬(Initial Condition)‫على‬‫شكل‬‫قطع‬‫مكافئ‬:
12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334
Application2.mw