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Conhecimento      Anterior• Produtos Notáveis• Fatoração• Conjuntos Numéricos• Números Complexos• Noções de Função
Vamos aprender                 definição                 grau                                 adição                      ...
Polinômio  Definição:  Chamamos de polinômio na variável x,toda expressão na forma:                  n 1                n...
definição   an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0Polinômios
Polinômio Grau do polinômio: O grau do polinômio é determinado pelomaior expoente da variável.Exemplos: 4x2 – 3  2º grau...
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variáv...
Tente fazer              sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que opolinômio:    p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x...
Tente fazer              sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que opolinômio:    p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x...
Soluçãop(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4     m4  0       m  16  0                    2     m4           m  4R...
Tente fazer             sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e cpara que os polinômios p1(x) e p2(x) sejamidênt...
Tente fazer             sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e cpara que os polinômios p1(x) e p2(x) sejamidênt...
Soluçãop1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14a  x  c   b x  d   x  6 x  15 x  14          3      ...
Soluçãop1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14               2                      2                       ...
Operações com          Polinômios A) Adição:  Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6,logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7. B...
Operações com           Polinômios C) Multiplicação : Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logop(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-...
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variáv...
Tente fazer               sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças...
Tente fazer               sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças...
Solução f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5 a) f(x) . g(x)  grau 35 (falso)      x7 . x5 = x12  grau 12 b) f(x) + g(x)  grau ...
Divisão de                 Polinômios C.1) Método da chave No método da chave temos que armar a conta,como se fosse uma di...
Divisão de               PolinômiosExemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5)1º passo: ordenar e completar o dividendo,  ...
Divisão de                 Polinômios  3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo1º termo do divisor.              x2 ...
Divisão de                  Polinômios  4º passo: multiplicar o resultado por cadatermo do divisor, colocando a resposta e...
Divisão de                Polinômios 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,obtendo um novo dividendo.            x...
Divisão de                 Polinômios  6º passo: verificar se o grau do 1º termo donovo dividendo é menor que o grau do 1º...
Divisão de                Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5        x2 + 2x - 15 x + 5-x2 - 5x      x           -x2 - 5x      x...
Divisão de                   Polinômios  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.1º passo:            x4...
Divisão de                Polinômios  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.3º passo:      x4 + 0x3 + ...
Divisão de               Polinômios  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.4º passo:      x4 + 0x3 + 0...
Divisão de               Polinômios  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.5º passo:      x4 + 0x3 + 0...
Divisão de                  Polinômios  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.5º passo: x4 + 0x3 + 0x2...
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variáv...
Divisão de divisão deNote que para todaPolinômios a sentença: polinômios, vale  D(x) = d(x) . q(x) + r(x)          Exemplo...
Tente fazer             sozinho4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 ...
Tente fazer             sozinho4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 ...
Solução 4x3 + 12x2 + x – 4   2x + 3-4x3 – 6x2            2x2 + 3x – 4       6x2 + x – 4      – 6x2 – 9x           – 8x – 4...
Tente fazer               sozinho5) Determine o polinômio p(x) que divididopelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente ...
Tente fazer               sozinho5) Determine o polinômio p(x) que divididopelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente ...
SoluçãoD(x)= d(x).q(x) + r(x)P(x)= f(x) . q(x) + r(x)P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3P(x) = x2 + 3x ...
Divisão de                Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini  Vamos usar o próximo exemplo para mostraros pas...
Divisão de                  Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).  2º pa...
Divisão de                  Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).  2º pa...
Divisão de                   Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).3º pas...
Divisão de                    Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).  4º ...
Divisão de                      Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).  4...
Divisão de                  Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).  5º pa...
Divisão de                   Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).  5º p...
Divisão de                  Polinômios  C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 6º pas...
Divisão de                PolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).1º passo: x  i...
Divisão de                  PolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).4º e 5º passo...
definição      an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variá...
Tente fazer               sozinho6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e  b são constantes reais) é divisível por x ...
Tente fazer               sozinho6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e  b são constantes reais) é divisível por x ...
Solução5      -1    a      5              b       -1   a – 5 5a – 20    25a – 100 + b                                  0-2...
Teorema do Resto “ Seja p(x) um polinômio tal que p ≥ 1. O resto dadivisão de p(x) por x – a é    igual a p(a), ou seja,  ...
Teorema do RestoExemplo: Para calcular o resto da divisão dep(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicaro Teorema do Res...
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variáv...
Tente fazer              sozinho7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5co...
Tente fazer              sozinho7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5co...
SoluçãoP(x)= k(x) . q(x) + r(x)P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7)P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7)P(0)...
Teorema deD’Alembert “ Seja a (complexo) é raiz deum polinômio f(x), então f(x) é     divisível por x – a e,   reciprocame...
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variáv...
Equações                Polinomiais  Equação polinomial é aquela que pode serescrita na forma:                       n 1 ...
definição      an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variá...
Equações               Polinomiais Raiz da equação é o valor que da variável,que satisfaz a igualdade. Exemplos:    a) 2x ...
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variáv...
Equações                 Polinomiaisc)x  2x  2x  0     3   2                         d)x  2x  x  2  0              ...
Equações                      Polinomiais Podemos decompor um polinômio em fatoresdo 1º grau, de acordo com suas raízes, a...
Equações                        Polinomiais  Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números ...
Tente fazer          sozinho8) Resolva a equação abaixo, sabendoque duas de suas raízes são – 1 e 1.         x4 – 2x3 + x2...
Tente fazer          sozinho8) Resolva a equação abaixo, sabendoque duas de suas raízes são – 1 e 1.         x4 – 2x3 + x2...
Solução  Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, entãop(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0. Logo,  -1   1   -2   1    2   -2   1   ...
Multiplicidade                 da Raiz Entende-se por multiplicidade da raiz onúmero de vezes que uma mesma raiz aparece. ...
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variáv...
Multiplicidade                 da Raiz  Para identificar qual é a multiplicidade deuma raiz, basta dividir o polinômio pel...
Multiplicidade                  da Raiz Exemplo:    Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 +...
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0             grau        Maior expoente da variáv...
Tente fazer           sozinho9) Determine uma equação algébricado 4º grau que tenha -1 como raiz demultiplicidade 3 e 2 co...
Tente fazer           sozinho9) Determine uma equação algébricado 4º grau que tenha -1 como raiz demultiplicidade 3 e 2 co...
SoluçãoComo o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é aoutra raiz, podemos escrever o polinômioassim:p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0p...
Bibliografia• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson;  Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo,  Roberto – Atual Edito...
Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença:   D(x) = d(x) . q(x) + r(x)          Exemplo:  x4 + 1 = x (x3 +...
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  1. 1. Conhecimento Anterior• Produtos Notáveis• Fatoração• Conjuntos Numéricos• Números Complexos• Noções de Função
  2. 2. Vamos aprender definição grau adição subtração operações multiplicação Polinômios métodos divisão Teoremas Equações polinomiais
  3. 3. Polinômio Definição: Chamamos de polinômio na variável x,toda expressão na forma: n 1 n2 an x  an1 x n  an  2 x  ...  a2 x  a1 x  a0 2 Onde:an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos denominados coeficientesn é um número inteiro não negativox é uma variável complexa
  4. 4. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0Polinômios
  5. 5. Polinômio Grau do polinômio: O grau do polinômio é determinado pelomaior expoente da variável.Exemplos: 4x2 – 3  2º grau 8x5 + 6x3+ 2x  5º grau
  6. 6. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variávelPolinômios
  7. 7. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que opolinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4seja de grau 2.
  8. 8. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que opolinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4seja de grau 2.
  9. 9. Soluçãop(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4 m4  0 m  16  0 2 m4 m  4Resposta: m não existe.
  10. 10. Tente fazer sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e cpara que os polinômios p1(x) e p2(x) sejamidênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  11. 11. Tente fazer sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e cpara que os polinômios p1(x) e p2(x) sejamidênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  12. 12. Soluçãop1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14a  x  c   b x  d   x  6 x  15 x  14 3 3 2a x  3x c  3xc  c   bx  bd  x  6 x  15 x  14 3 2 2 3 3 2ax 3  3acx 2  3ac 2 x  ac 3  bx  bd  x 3  6 x 2  15 x  14ax  3acx 3 2  3ac 2  bx  ac 3  bd  x  6 x  15 x  14 3 2
  13. 13. Soluçãop1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14 2  2 ax  3acx  3ac  b x  ac  bd  x  6 x  15x  14 3 3 3 2 ax  x 3 3 3acx  6 x 2 2 3ac 2   b x  15 x a 1 3.1.c  6 3.1.2  b  15 2 c2 12  b  15 b3
  14. 14. Operações com Polinômios A) Adição: Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6,logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7. B) Subtração: Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4,logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.
  15. 15. Operações com Polinômios C) Multiplicação : Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logop(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21. Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logop(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 = = -6x2+23x-20.
  16. 16. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operaçõesPolinômios
  17. 17. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus7 e 5, respectivamente. Julgue as sentençasseguintes, corrigindo o que for falso:a) O grau de f(x) . g(x) é 35b) O grau de f(x) + g(x) é 7c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  18. 18. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus7 e 5, respectivamente. Julgue as sentençasseguintes, corrigindo o que for falso:a) O grau de f(x) . g(x) é 35b) O grau de f(x) + g(x) é 7c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  19. 19. Solução f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5 a) f(x) . g(x)  grau 35 (falso) x7 . x5 = x12  grau 12 b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro) c) (x2-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso)grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente dasoma dos termos de grau 7 pode ser zero
  20. 20. Divisão de Polinômios C.1) Método da chave No método da chave temos que armar a conta,como se fosse uma divisão de números naturais: dividendo divisor resto quocientee seguir os passos conforme os exemplos.
  21. 21. Divisão de PolinômiosExemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5)1º passo: ordenar e completar o dividendo, se necessário.Nesse caso não será necessário2º passo: armar a conta. x2 + 2x - 15 x + 5
  22. 22. Divisão de Polinômios 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo1º termo do divisor. x2 + 2x - 15 x + 5 x
  23. 23. Divisão de Polinômios 4º passo: multiplicar o resultado por cadatermo do divisor, colocando a resposta embaixodo dividendo, com o sinal contrário. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x
  24. 24. Divisão de Polinômios 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,obtendo um novo dividendo. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x - 3x - 15
  25. 25. Divisão de Polinômios 6º passo: verificar se o grau do 1º termo donovo dividendo é menor que o grau do 1º termodo divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x - 3x - 15
  26. 26. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x2 + 2x - 15 x + 5-x2 - 5x x -x2 - 5x x -3 - 3x - 15 - 3x - 15 3x + 15 0 Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.
  27. 27. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.1º passo: x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 12º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
  28. 28. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.3º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x
  29. 29. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.4º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 -x4 - x x
  30. 30. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.5º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 -x4 - x x - x+1
  31. 31. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.5º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1-x4 - x x - x+1Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
  32. 32. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômios métodos divisão
  33. 33. Divisão de divisão deNote que para todaPolinômios a sentença: polinômios, vale D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
  34. 34. Tente fazer sozinho4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  35. 35. Tente fazer sozinho4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  36. 36. Solução 4x3 + 12x2 + x – 4 2x + 3-4x3 – 6x2 2x2 + 3x – 4 6x2 + x – 4 – 6x2 – 9x – 8x – 4 + 8x+12 8 Letra E
  37. 37. Tente fazer sozinho5) Determine o polinômio p(x) que divididopelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  38. 38. Tente fazer sozinho5) Determine o polinômio p(x) que divididopelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  39. 39. SoluçãoD(x)= d(x).q(x) + r(x)P(x)= f(x) . q(x) + r(x)P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3P(x) = x2 + 3x – 7
  40. 40. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Vamos usar o próximo exemplo para mostraros passos a serem seguidos: Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de(x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 1º passo: Calcular a raiz do divisor. x 3  0  x  3
  41. 41. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e oscoeficientes do dividendo da seguinte forma 3 1 -4 5 -2
  42. 42. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e oscoeficientes do dividendo da seguinte forma raiz do coeficientes 3 1 -4 5 -2 divisor do dividendo
  43. 43. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).3º passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo 3 1 -4 5 -2 1
  44. 44. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pelaraiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte. (3 . 1 - 4 = -1) 3 1 -4 5 -2 1 -1
  45. 45. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pelaraiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte. + Colocar o resultado 3 1 -4 5 -2 embaixo do 1 -1 coeficiente somado x
  46. 46. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: repetir as operações (multiplicarpela raiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte)
  47. 47. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: + + 3 1 -4 5 -2 3 1 -4 5 -2 1 -1 2 1 -1 2 4 x x
  48. 48. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 6º passo: identificar o resto e os coeficientesdo quociente. 3 1 -4 5 -2 O quociente é: x2 – x + 2 1 -1 2 4 Resto = 4
  49. 49. Divisão de PolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).1º passo: x  i  0  x  i2º passo: 3º passo: -i 2 0 -5 1 -i 2 0 -5 1 2
  50. 50. Divisão de PolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).4º e 5º passos: 6º passo:-i 2 0 -5 1 O quociente é: 2x2 – 2ix – 7 2 -2i -7 1+7i O resto é: 1 + 7i
  51. 51. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini
  52. 52. Tente fazer sozinho6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35.a) Determine os valores de a e b.b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  53. 53. Tente fazer sozinho6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35.a) Determine os valores de a e b.b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  54. 54. Solução5 -1 a 5 b -1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b 0-2 -1 a 5 b -1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b 35 25a – 100 + b = 0 a=3 4a – 2 + b = 35 b = 25
  55. 55. Teorema do Resto “ Seja p(x) um polinômio tal que p ≥ 1. O resto dadivisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a).”
  56. 56. Teorema do RestoExemplo: Para calcular o resto da divisão dep(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicaro Teorema do Resto.A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2Pelo Teorema do Resto temos que:r(x) = p(2)r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
  57. 57. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas
  58. 58. Tente fazer sozinho7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  59. 59. Tente fazer sozinho7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  60. 60. SoluçãoP(x)= k(x) . q(x) + r(x)P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7)P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7)P(0) = k(0) . 5 + 7Pelo Teorema do resto, temos que k(0) = 2Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
  61. 61. Teorema deD’Alembert “ Seja a (complexo) é raiz deum polinômio f(x), então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente, se f(x) é divisível por x – a, então a é raiz de f(x).”
  62. 62. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a)
  63. 63. Equações Polinomiais Equação polinomial é aquela que pode serescrita na forma: n 1 an x  an1 x n  ...  a1 x  a0  0 Exemplos: x3 + 1 = 0 3x2 – 2ix + 1 = 0 x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0
  64. 64. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 Equações polinomiais
  65. 65. Equações Polinomiais Raiz da equação é o valor que da variável,que satisfaz a igualdade. Exemplos: a) 2x + 12 = 0 b) x2 – 9 = 0 2 x = - 12 x2 = 9 x=-6 x=±3
  66. 66. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz
  67. 67. Equações Polinomiaisc)x  2x  2x  0 3 2 d)x  2x  x  2  0 3 2  x x  2x  2  0 2 x x  2  1x  2  0 2x  0 ou x  2x  2  0 x  2x 2  1  0 2 x1  1  i; x  2  0 ou x 1  0 2 x2  1  i x  -2 x  1
  68. 68. Equações Polinomiais Podemos decompor um polinômio em fatoresdo 1º grau, de acordo com suas raízes, atravésda fórmula: p( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  ...  ( x  xn ) Onde: an é o coeficiente de xn . xi são as raízes de p(x).
  69. 69. Equações Polinomiais Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,podemos decompor esse polinômio em fatoresdo 1º grau, usando a fórmula: p( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  ...  ( x  xn ) Sendo assim, temos: 2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
  70. 70. Tente fazer sozinho8) Resolva a equação abaixo, sabendoque duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  71. 71. Tente fazer sozinho8) Resolva a equação abaixo, sabendoque duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  72. 72. Solução Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, entãop(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0. Logo, -1 1 -2 1 2 -2 1 1 -3 4 -2 0 1 -2 2 0 q(x) = x2 – 2x + 2 Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
  73. 73. Multiplicidade da Raiz Entende-se por multiplicidade da raiz onúmero de vezes que uma mesma raiz aparece. Exemplo: Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 ,encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse caso,dizemos que x = 6 é uma raiz de multiplicidade2.
  74. 74. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz Nº de vezes que definição a raiz aparece multiplicidade
  75. 75. Multiplicidade da Raiz Para identificar qual é a multiplicidade deuma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz,até encontrar um resto diferente de zero. Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
  76. 76. Multiplicidade da Raiz Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8? 2 1 -5 6 4 -8 2 1 -3 0 4 0 2 1 -1 -2 0não 2 1 1 0 1 3
  77. 77. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz Nº de vezes que definição a raiz aparece multiplicidade Divisões identificação sucessivas
  78. 78. Tente fazer sozinho9) Determine uma equação algébricado 4º grau que tenha -1 como raiz demultiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  79. 79. Tente fazer sozinho9) Determine uma equação algébricado 4º grau que tenha -1 como raiz demultiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  80. 80. SoluçãoComo o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é aoutra raiz, podemos escrever o polinômioassim:p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
  81. 81. Bibliografia• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 551 a 585• Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 134 a 164• Figuras: google imagens
  82. 82. Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
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